2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)
O ABC DEM 第17题图H y 九年级实验班数学竞赛试卷15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD的解析式。
17．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH 。
（1）求证：∠BOC=∠BHC ；（2）求证：△BOM ≌△COH ；（3）求MHOH 的值.18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a 的一元二次方程，即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）因x =a +1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是△=1－4 ( 1－a )<0. 解得a <34.（6分） 16、（1）解：如图，连结AC ，CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC=2。
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
最新上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案(1)
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
上海中考数学竞赛试题及答案
上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。
试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。
2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。
试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。
2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。
2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。
答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。
试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。
2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。
试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①，02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
2011年上海市新知杯初中数学竞赛模拟卷
2011年上海市（新知杯）初中数学竞赛模拟卷一．填空题（每题9分共90分）1. 计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒L ＝ 5 ． 2. 111(1)(1)(1)121231232011---+++++++g L g L ＝6712011．3. 已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数； (2) 6(3)f =. 则(2011)f = .答案：2023066.在(1)中，令1n =得，()()()m f m f m f ++=+11. ①令1m n ==得，()()1122+=f f . ②令2,1m n ==，并利用(2)得，()()()63212f f f ==++. ③由③②得，()()11,23f f ==. 代入①得，()()1 1.f m f m m +-=+∴2010201011(2011)[(1)()](1)(1)1k k f f k f k f k ===+-+=++∑∑201121+⋅⋅⋅++=2023066220122011=⨯=.5. 方程1220112011x ---=LL一共有 个解.答案：4.方程11x -=的所有解为02x =±或； 方程221=--x 的所有解为51±±=或x ； 方程1233x ---=的所有解为39x =±±或； 方程12344x ----=的所有解为614x =±±或；方程123455x -----=的所有解为1020x =±±或；一般地，方程12(2)n n n x ---=≥LL 的所有解为6. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案：1530.推广到一般情形，设n 个学生按题设方式排列的方法数为n a , 则63=a ，184=a ，()3621≥+=+n a a n n . 从而，()()626626331-⨯+=⇒+=+-+n n n n a a a a .7. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为________________________解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4 8. 设y x ,为实数，则=+=+)(m ax 22104522y x xy x _____4________。
字母的功效——用字母来替代常量或代数式
2020年第12期12-31字母的功效——用字母来替代常量或代数式高少平1廖蔡生3(1.上海市七宝中学，上海201101； 2.华东师范大学数学学院，上海200241 ；3.上海市核心数学和实践重点实验室，上海200241)用来表示变量的字母是代数问题中常常出现的对象•在解数学问题时，用字母来替代题目 中的常量或部分的代数式，不仅可以使数字或代数式间的特征和规律更加突出、明显，而且能避免繁冗的计算,从而找到简单明了的解题方法.下面以几道竞赛题为例来加以说明.1变量代换例1解方程/+仍/+5%+厉-1=0.思路：对于一元三次方程,我们并未学过求解公式，因此没公式可用.但我们有一元二次方程求解公式，如何用它？不妨设任=r,把 %看成常量,r 看成变量，方程化为％，+ (2x I —2 + l)r + (x3 - 1) = 0,它是r 的二次方程,可用求根公式，亦可用分解因式求解.I — t — 筑？ + 先 + 1/5 = r,所以拓=1 - x 或込=-----------，解中 ,—-(1 +⑸±丿2 + 2点例2 (2009年中国女子数学奥林匹克试题)设实数沢y 、z 大于或等于1，求证：(x 2 -2x + 2)(/ - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2) W (xyz )2 - 2xyz + 2.思路：先从特例出发，看z = l 时的情形，并 注意到不等式中的一些结构的相似性，自然地 想到(/-2^ + 2)=(% - I)2 + 1 =u + 1,其他项类似处理.解：令岳=r,则5 =/,原方程转化为/ +2rx 2 + r 2x + r - 1 = 0,即得％/ + (2x 2 + 1)r + (x 3 -1) = 0.由原方程知x#0,解关于r 的一元*2 + % + ]二次方程，得r = 1 - %或r =--------------•又因X证明：若z= 1,则原不等式化为(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) W (矽)? - 2xy + 2........................................①若能证明不等式①，则原不等式等价于(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2)W [ (xy)2 - 2xy + 2] (z 2 - 2z + 2).再次运用不等式①，有[(xy)2 - 2xy + 2](z 2-2z + 2)(xyz)2 - 2xyz + 2.从而有(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2)W (xyz )2 - 2xyz + 2.下证不等式①.令 u=rc - 1 ^0, v = y - 1 5=0,则(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2)=[(x - l)2 + 1] [ (y - l)2 + 1]=(/ + 1 )(V 2 + 1 ) =( uv) 2 +/+/ + 1W (u ”+u+”)2 + i=[(%-i)(y-l) + (%-l) + (y-l)『 + i = (xy - 1)2 + 1 =(xy)2 - 2xy + 2.评注：例2中通过变量代换后，能更好地看出不等式的本质特性.2引入辅助变量例3 (2012年“新知杯”上海市初中数学ab + c + d = 3,亠亠"、 be 十 d + a 二 5 .竞赛)解方程组：」 二 Jcd + a + b = 2,.da + 6 + c = 6.12-322020年第12期引例(第6届青少年数学国际城市邀请赛)已知沢八z是正数，且满足•X+y+xy=8,(y+z+yz=15,求％+y+z+%y的值.,z+%+zx=35,解：将x+ y+%y=8的两边同时加1,得到x+y+兀y+1=9,即(1+%)(1+y)=9.同理(1+y)(1+z)=16,(1+z)(1+%)=36.因此7解得/=1,^=7,%+y+z+%y=15.上面引例中每一个等式都只含两字母，这启发我们将每一等式变量减少，由此例3可得如下新颖解.例3的解：记a+b+c+d=K,贝」可得到ab-a-b=3-K,bc-b-c=5-K,cd—c—d=2—K,da—d—a,—()—K,即(a--1)(6-・1)=4-K,(b-■1)(c--1)=6-K,(c--D(d--1)=3-K,(d-■!)(«'-1)=7-K由此有(4-K)(3-K)=(6-K)(7-K),解得a+b+c+d二K==5・IE a-l=A,b-l=B,c-l=C,d-l=A•B=-1,D,则4+B+C+Z)=1,J S，C~1,，C・D=-2,D・A=2.易知B M0,D M0和B(4+C)=0,¥=B -2,因此4+C=0,B+D=I,D=-2B,解得A=l,B=-i,C=-\,D=2,即a=2,b= 0,c=0,<1=3.评注：例3解答中，引入了字母K,使每一等式由四变量变成三变量等式,虽然方程增加了一个a+b+c+d=K,但解答方便了许多.例4解方程：J a-Ja+x=x.思路：在无理方程有理化过程中，为了不让方程次数过高,不妨引入辅助变量.解：设y="7,则原方程化为J q-y=x.从而有y2=a+x,.....................①及a-y=x2,...................②由①、②两式中消去a并分解得(x+y)(x-y+1)=0.由于故当x+y=0时,x-y=0,此时a=0；当％-y+1=0时,y=%+1，代入①，有x2+x+1-a=0,解得-1+a/4^3-,、八”=---------2---------(a》］)•评注：本题也可直接将原方程有理化后成为％的四次方程，将a看成变量严看成参数,则是一个变量a的二次方程，方程可解.例5(2009年上海交通大学自主招生试=x的实根.思路：显然不能通过直接将方程有理化来解，受例4启发，不妨引入辅助变量把无理方程转化为有理方程组.解：设从里到外每个根号分别为X,力，…，y”,则无理方程转化为有理方程组3%=x+2%=/j,%+2人=y；,%+2y”_i=K,y”=%,这里yi,力，…，y…m o.下面考虑％与人的大小关系.若％>y,,则y：=x+2x>x+2y t=y；，从而Ti>%,类似地有％>n>y2>…>y”=%，矛盾•若％<y”则并=x+2x<x+2y,=y；，从而<坨，类似地有x<n<y2<•••<y…=力，矛盾.故x=y lt3x=x2.解得方程的两根为x=0, x=3.2020年第12期欽学软学12-33评注：用增加变元方法换取有理化方程，使得我们可以入手处理这类方程.这是数学上的一种能量守恒.3主元变量在有多个变量的问题中，有时只要转换视角，把一个变量看成主元变量，其他变量看成参数，往往能较好地解决问题.例6(2013年全国初中数学联赛)对于任意实数％、y>z,定义运算"*为：=3x3y+3x2y2+xy+45------;---------:----，且％*y*z=(%*y)*z,(%+l)3+(y+l)3-60贝」2013*2012*•••*3*2的值为…()，八6071821,小、5463…、967;967；967；16389 967解：答案为(C).设2013*2012*•••*4=m,则(20132012*••-*4)*3=m*33m3x3+3m2x9+m x27+45=--------------------------------------------=9 m+3zn2+3m+1+64-60于是(2013*2012*•••*3)*2=9*2_3x93x2+3x92x22+9x23+45103+33-60_5463967"评注：这是命题组所给出的标准答案，给人一种神奇的眼前一亮之感•但让人一头雾水的是为什么要设2013*2012*…*4=m?事实上在给出运算“*”的关系式中,如把％看成主元，贝1%*y=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+l)3+(y+l)3-60就是一个假分式,将其分解为整式与真分式之和3y+Sy(y-3)t2+y(y2-9)x-3(y-3)(/+6y2+21y+5)(x+l)3+(y+l)3-60思路：如果直接有理化方程，必然化为一个高阶方程组，解决难度大为增加若令______/2_5Jg+5则矽=-y—,可将方程组有理化为带参数/的低阶方程组.,______t2-5解：令Jlxy+5=t,则xy=一-—，故原方程化为J(x+y)t=2t2-10-3y+1,l(x+2y)z=3t2-15+x-7y-6,即方程组化为Zx+(f+3)y=2t2-9,(t—1)x+(2t+"7)y=3/~21.解此带参数t的关于变量x、y的二元一次方程组，有代入Jlxy+5=t并平方，有2t(t-3)+5=孑，解得=1,r2=5.故解为*2=5,了2=2.例8(第31届IMO预选题)已知a、6、c、d M0,且ab+be+cd+da=1.求证：a3b3-----------+-------------+b+c+d c+d+ac3d31------------+-------------M—d+a+b a+b+c----3思路：如何在放缩中消去不等式中的分母是求证的关键.证明：由条件ab+be+cd+da=1,得(a+c)(b+d)=1,从而有a+b+c+d=(a+c)+(b+d)令y=3,这时分解出的真分式为0,计算极M2丿(a+c)(b+d)=2.为简单.4引入参数例7(上海市第16届“中环杯”数学竞赛8年级决赛试题)求解方程组为了在放缩中消去不等式中的分母，特引入正参数入、如利用均值不等式，有b+c+d+入(b+c+d)+fjL(x+y)^/2xy+5=4xy-3y+1,(x+2y)y/2xy+5=6xy+x-ly~6.同理得(下转第12-42页)1242欽学款学2020年第12期S ADEF 73/1_DC_TI d B-DC~DB~DC）^3/（DB+DC）2Tl DB-DCDC DB\~DB~DC）2而ABC /34，所以S adefS AABC=2.4B=2CD,对角线4C,BD交于点E,平面内一点F满足AB=BF,BC=CF.过点E作EG//佔，交BC于点G,作EH//CF,交4F于点H.求证：AC丄BD当且仅当GH丄BC.（033200山西省临县一中李有贵供题）2020年第12期问题1106.如图4,在平面直角坐标系xOy中，22M为椭圆冷+%=l（a>6>0）上异于长轴a0端点的动点”，F分别为椭圆的右顶点和左焦点,E为线段4M的中点，直线OE交椭圆的左准2___________线/：%=-—（其中c=Ja-b2）于点P,过点c。
全国初中数学竞赛试题参考答案.doc
6. D解：由 可得2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1. A解：因为 61=山, Q + 1 = J7, a 2 =6-2a ,所以3a ，+ 12tz — 6a — 12 = 3a(6 — 2a) +12(6 — 2a) — 6a — 12=—6a" — 12a + 60= -6(6-2a)-12a+ 60 = 24.2. B解：(略)3. D解：(略)4. C解：由已知得%2 + 3x +1 = 0,于是x(x + l)(x + 2)(x + 3) - (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2)=(y+3x+i )2—1=—i.5. Bux + vy = u, fu(x-l) + vy = 0, 解：依定义的运算法则，有 , 即,n , 八对任何实数 xa + uy = v, |^v(x-l) + wy =0",V 都成立.由于实数”，V 的任意性，得(X, y ) = (1, 0).x + 2y-5z - 3, x — 2y - z = —5,x = 3z~ 1,< y = z + 2. 于是 x 2 + y 2 + z 2 = 1 lz 2 - 2z + 5 .因此，当z=#时，x 2 + /+?的最小值为普.7. C解：由题设可知y = 于是所以所以4y —1 = 1, 1 9故从而x = 4.于是工+》=@.8. CQ解：两式相加，得3t2 +5t = 8 ,解得£ = 1,或7 =—（舍去）.3当『=1时，A = 45。
，3 = 30。
满足等式，故f = l.所以，实数，的所有可能值的和为1.9. C解：如图，连接庞，设S&DEF=S；，则F夺=*'」从而有S；S3 = S2S4 .因为S[>S；,所以S.S. > S2S4. B 匕二10. A解：当k = 2,3,…，2011,因为] 1 _ 1F ______ 1______ 1-2k（k+\）]< S = 1 H—— + • • • H----- <1 — -------------------- <—23 332011321 2 2011x2012 J 4于是有4<4S<5,故4S的整数部分等于4.二、填空题11.3V〃?W4解：易知x = 2是方程的一个根，设方程的另外两个根为叫，可，则叫+易=4, x t x2 = m .显然x, + x2 = 4 > 2 ,所以国-引<2, △ = 16-4〃z30,即 +扬）2 -4.%工2 < 2 , △ = 16-4/77 30,所以J16 —4”？ < 2 , A = 16 — 4/77 ^0,解之得3V〃?W4.12.解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1, 4）, （2, 3）, （2, 3）, （4, 1）的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是生=4 36 913. 6 解：如图，设点C 的坐标为（a, b ）,点。
试题：2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)
2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：错误！未找到引用源。
-x+3m=0……①，错误！未找到引用源。
+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。
2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。
3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得+的值最小，则这个最小值为________.5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为。
6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。
7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。
8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d 的最小值为_________.二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。
求证：SM‖LC.10.求所有正整数组a ≥b ≥c ≥d ≥e ≥f ，使得a ！=b ！+c ！+d ！+e ！+f ！。
11.①求证：存在整数x ，y ，满足+4xy+=2022②是否存在整数x ，y ，满足+4xy+=2011？请证明你的结论。
2011年全国初中数学竞赛解答题汇编
O A BCDEM第17题图H y九年级实验班数学竞赛试卷15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.16．如图所示,在平面直角坐标系中有点A （-1,0）、点B （4,0）,以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD 为直角梯形,求直线BD 的解析式。
17．如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,∠BAC=60°,H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点,在BD 上取点M,使BM=CH 。
（1）求证：∠BOC=∠BHC ； （2）求证：△BOM ≌△COH ； （3）求MHOH的值.18．一个棋盘有13行17列,每个小方格里都写了一个数,从左上角开始,第一行依次为1, 2,⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅,一直写到最后一行,现将此棋盘里的数重写,从左上角开始,第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅,一直写到最后一列,这样有一些小方格在两种写法里有相同的数,求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a 的一元二次方程,即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）因x =a +1不是方程①的根,所以,当方程①无实根时,原方程有且只有一个实根. 于是△=1－4 ( 1－a )<0. 解得a <34.（6分） 16、（1）解：如图,连结AC,CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB,解得OC=2。
∴C 点的坐标为（0,2）（2分）（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax 2+bx +c (a ≠0)。
新知杯初中数学竞赛试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001……D. √92. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列各式中正确的是（）A. a^2 + b^2 = 0B. a^2 - b^2 = 0C. a^2 - b^2 = -2abD. a^2 + b^2 = 2ab3. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 6cm，则底边BC上的高AD的长度是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm4. 若一个数x满足x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = |x|D. y = √(x^2 + 1)6. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）7. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 0B. x^2 + 1 = 0C. x^2 - 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 08. 若一个数x满足x^2 - 2x - 3 = 0，则x + 1的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 等腰三角形D. 长方形10. 若一个数x满足x^2 - 4x + 4 = 0，则x的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）1. 若a、b是实数，且a^2 + b^2 = 1，则a^2 - b^2的值是______。
2. 在平面直角坐标系中，点P（-3，2）关于x轴的对称点坐标是______。
3. 若一个数x满足x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值是______。
4. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标是______。
2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案
上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。
(完整版)2007--2011年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题(设好格式,A4打印即可)
QP E DC BAF P E DCBA2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则=QBQP_____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++200821a a a _____________.4、在菱形ABCD 中，︒=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.5、关于x 的方程12122+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ∆内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形B D P F 的面积是_____________.7、对于正整数n ，规定n !n ⨯⨯⨯= 21.则乘积!!!921⨯⨯⨯ 的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02=--k x x 有两个整数根.则所有这样的正整数k 的和为_____________.9、如图：边长为1的正111C B A ∆的中心为O ，将正111C B A ∆绕中心O 旋转到222C B A ∆，使得1122C B B A ⊥.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为_________. 第9题图 第10题图10、如图：已知︒=∠=∠9DAC BAD ，AE AD ⊥，且BE AC AB =+.则=∠B _____________.二、如图：在矩形ABCD 内部（不包括边界）有一点P ，它到顶点A 及边BC 、CD 的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.FEDC三、已知实数x 、y 满足如下条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+4220202y x y x y x y x ，求y x -的最小值.四、如图：在凹六边形ABCDEF 中，A ∠、B ∠、D ∠、E ∠均为直角，p 是凹六边形ABCDEF 内一点，PM 、PN 分别垂直于AB 、DE ，垂足分别为M 、N ，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN 的长度（精确到0.01米）.五、求满足不等式n n n n n <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡131132的最大正整数n ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（第1－5小题每题8分，第6－10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b ＝a(a ＋b)＋b, 已知a ∗2.5＝28.5，则实数a 的值是 。
2011年新知杯上海市高中数学竞赛
车 戈 一 ２ 一 ４ ． （ ｌ ＋ ３ ） ≥０
十３ ・＝ ＿口西 ０
Ｃ
（） ６ 乙胜 ， 乙胜 ， 甲胜 ， 甲胜．
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其概 率依次 为 １
寺１ ． 、 １ 、 故 求概 是 ＋ ＋ ＝ ． 所 的率｛ 詈 ３１ １
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图３
由Ｂ Ｏ：Ｏ 知 Ｃ，
二 、． ９ 当 ＞ ０时
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Ｂ ，Ａ ．Ｐ＝ Ｎ＝ ． Ｐ／ Ｃ Ｂ Ｃ ３ ／ 因点 Ｍ 在 Ｎ Ｐ的垂直平分 线上 ， 以 ， 所
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４，
故 原式 ＝ ． ２
；
５． 一 １ ．
设 Ａ（ ，） Ｂ（ ａ０ ， 口＋１０ ， 线 Ｐ ， ）直 Ａ与 Ｑ ８ 的交 点为 Ｒ（ ，） ｘ） ． ，
．
显然 ，
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曰 Ｄ Ｃ
Ａ
３ 知 是 圆 分 ｌ第 象 ． 肘 椭 十 ＝在 一 限 已
的弧 上 一 动 点 ， ＭＮ 上 Ｙ轴 ， 足 为 垂 当
Ａ Ｍ Ｏ Ｎ面 积 最 大 时 ， 内切 圆 半 径 ｒ 其 ＝
ｔ１ ＋ ）＝ａｉ ￡ ｂ ＋ ｇ ｔ ２ ｓ ｎ ＋ ２＝ （）＋ ， ＋ 是奇 函数 ． ６
由 ①② 得 ＝＋， 一 式 、解 口２ 詈・ ｙ
历届新知杯试题选2
初三数学班练习(赛题选集2) 2009111986年1. 如图，在ABC 中，,A B ∠∠的外角平分线,AD BE 分别交对边的延长线于点,D E ，且AD A B BE ==，则A ∠=EDCBAFEDCBAG2.若2x =432565x x x x -+-=3. 对于实数,a b ，规定*(1)(1)a b a b =+-，则满足等式(*)*(1)(1)*(*)a a a a a a +=+的a 的值是4. 如图，梯形ABCD 中，//,:2:5,:1:1,:2:3AD BC AD BC AF FD BE EC ===，,EF CD 延长线交于G ，用最简整数比表示::GFD FED DEC S S S =5. 在一次射箭比赛中，小王与小张三次中靶的环数之积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭环数是不超过10的自然数)，则小王的三次射箭环数从小到大排列是 6. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公因数的最大可能值是多少？证明之.7. 自△ABC 的顶点引两条射线交BC 于,X Y ，使得BAX CAY ∠=∠，求证：22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅YXC BA8. 设,a b 为整数，且方程210ax bx ++=的两个不同的正数根都小于1，求a 的最小值.1987年1. 为了给一本书各页标上页码，印刷工人用了3289个数字，则这本书的页数是2. 在ABC 中，10BC =，AC AB >，且中线,BE CF 互相垂直，重心G 到BC 的距离是3，则AB = ，AC =BAEFG3. 能被33整除的六位数1987xy 的个数是4.在第一象限内，函数y =,x y 都是整数的点的个数是5. 已知△ABC 与平行BC 的直线DE 相交，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△ABC 的面积S 之间满足什么关系时问题有解？有多少解？DCBAE6. 将边长为3的正方形ABCD 折叠，折痕为EF (如图)，使得点B 落在CD 上的'B 处，点A 落在'A ，且'30B BC ∠= ，求'A EG 的面积.DCBA EA 'G7. 设正数,,x y z 满足下面的不等式：2222222221222x y z y z x z x y xy yz zx+-+-+-++>求证：,,x y z 是某个三角形的三边长.1988年1. 在凸四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90ABC ∠=，则DAB ∠的度数是 2. 若正数x 的整数部分的平方等于x 与它小数部分的乘积，则1x x-= 3. 满足方程2221x y -=的所有素数解(即,x y 均为素数)是4. 若凸42n +边形1242...n A A A +的每个内角都是30的整数倍，且12390A A A ∠=∠=∠=，则n 的所有可能值是5. 如图，三条直线,,l m n 互相平行，且,l m 之间距离为2，,m n 之间距离为1，若正三角形ABC 的三个顶点分别在,,l m n 上，则这个三角形的边长为CBAm ln6. 已知一元二次方程210x x m -+-=的两实根,αβ满足||||5αβ+≤，则实数m 的取值范围是7. 设m 是两个不相等的正整数,x y 的最小公倍数，且满足111m x y m-+=，求所有可能的,x y .1989年1. 若存在实数,a A 和正数x，使得等式=A =2. 在梯形ABCD 中，下底1991BC =，上底1989AD =，M 在BC 上，且:1:1989ABM AMCD S S = ，则CM的长度是3. 若关于x 的二次方程20x px q -+=的两根之差为1，用p 来表示q ，则q =4.已知：222xy ==，则()x y -+= 5. 已知三个非负数,,a b c 满足：325,231a b c a b c ++=+-=，记37a b c +-的最大值为M ，最小值为m ，则Mm =6. 若两个凸多边形边数之和为17，对角线条数之和为47，则这两个凸多边形的边数分别为7. 已知ABC 的两边,BC a AC b ==，且,BC AC 边上的两条中线,AD BE 互相垂直，则第三边AB 的长用,a b 来表示是8. 设,a b 是正整数，则满足5497a b <<，且b 最小的分数ab是 9. 使得27m m ++是完全平方数的所有这样的整数m 的乘积是 10. 不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数是11. 平面上任给ABC 和点O ，已知123,,G G G 分别是,,OAB OBC OCA 的中心，求123:G G G ABC S S 的值.12. 如图，P 为正方形ABCD 内一点，5,8,13PA PB PC ===，求正方形的面积.DCBAP。
上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分 60 分，前 4 题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）
1．如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的 6 条对角线又围成一个正六边
形 A2B2C2D2E2F2 ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是
.
6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A(3, a) ， B (3, b) 使 ∠AOB = 450 ，其中 a 、b 均为整数，且
a > b ，则满足条件的数对 (a,b) 共有
组.
( ) 7.已知圆 C 的方程为 x2 + y2 − 4x − 2 y +1 = 0（圆心为 C ），直线 y = tan100 x + 2 与圆 C 交于 A 、B
2
22
解得（结合 x > 1 ）
1< x ≤ 2 +1．
综上所述， h(x) = x2 −1 ，1 < x ≤ 2 +1 ． 2x
…………………（14 分）
10．解 f (x) = (a + sin x)(4 + sin x) = 1+ sin x + 3(a −1) + a + 2 ．
1+ sin x
6
5
= − 17 ，则 tan (α + β + γ ) =
．
5
4．已知关于 x 的方程 lg (kx) = 2 lg ( x +1) 仅有一个实数解，则实数 k 的取值
范围是
．
5．如图， ΔAEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知 ∠AEF = 90° ，
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2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02
=++m x x ②，其中
0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，
则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号
都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，
h ，使得()()2
2
h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，
2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，
7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1
分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
5
4
，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd
是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边
DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
求证：LC SM //。
O
M S
L
D
C
B
A
10. 对于正整数n ，记n n ⨯⨯⨯= 21!。
求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得
!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。
解
11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足202242
2
=++y xy x ；
（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?201142
2
=++y xy x 证明你的结论。
12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个
()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1
+<≤i i a i
a i p n p ，
记()k a
k a a p p p n p +++= 21
21
例如，()895210026=+=p 。
（1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；
（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。
解。