2017年初一数学竞赛试题(含答案)

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2017-2018学年度第一学期数学竞赛七年级数学

2017~2018学年度第一学期数学竞赛七年级数学一．选择题（共10小题）1．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（）A．36 B．37 C．38 D．392．用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和不可能是（）A．104 B．108 C．24 D．283．四个不相等的整数a，b，c，d，它们的积等于abcd=9，那么a+b+c+d的值是（）A．0 B．4 C．3 D．不能确定4．把前2008个数1，2，3，4，…，2008的每一个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得之结果为（）A．偶数B．奇数C．正数D．有时为奇数，有时为偶数5．已知x≠﹣1，0，1，则的值可能是（）A．比3大的数B．比﹣3小的数C．±1，±3 D．比﹣3大，并且比3小的数6．若A与B都是二次多项式，则A﹣B：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．27．若取A=3m2﹣5m+2，B=3m2﹣4m+2，则A与B之间的大小关系是（）A．A＜B B．A＞BC．A=B D．以上关系都不对8．如图所示，圆的周长为4个单位长度．在圆的4等分点处标上0，1，2，3，先让圆周上的0对应的数与数轴的数﹣1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上．那么数轴上的﹣2007将与圆周上的数字（）重合．A．0 B．1 C．2 D．39．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．1310．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a ﹣b）等于（）A．7 B．6 C．5 D．4二．选择题（共8小题）11．（﹣2）+4+（﹣6）+8+…+（﹣98）+100=．12．一只蜗牛沿10米高的柱子往上爬，每天从清早到傍晚向上爬行5米，夜间又向下滑3米，像这样从某一天清早开始，蜗牛第天爬上柱子顶部．13．已知有理数a，b，c满足+，则=．14．大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成个．15．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是；数﹣201是第行从左边数第个数．16．若4x+3y+5=0，则3（8y﹣x）﹣5（x+6y﹣2）的值等于．17．若a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：=ad﹣bc，那么当=18时，x=．18．如图，是由六块正方形拼成了一个长方形．已知最小的正方形面积为1，则长方形的面积是．三．解答题（共5小题）19．下列算式是由火柴棍摆成的错误算式，你能只移动其中的一根火柴使之成为正确的算式吗？请将移动后的算式“画”在下面．20．计算﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣﹣﹣…﹣．21．已知：a2﹣ab=26，ab﹣b2=﹣18，求代数式a2﹣b2与a2﹣2ab+b2的值．22．已知x=3是方程的解，n满足关系式|2n+m|=1，求m+n的值．23．列方程解应用题今年某网上购物商城在“双11岁物节“期间搞促销活动，活动规则如下：①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款元．（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？2017~2018学年度第一学期数学竞赛七年级数学参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（）A．36 B．37 C．38 D．39【分析】若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2．【解答】解：根据题意小嘉和班长两次都数了，所以17+21﹣2=36．故选：A．【点评】主要考查正负数在实际生活中的应用．本题中班长和小嘉两次都数了，可能有学生考虑不到．2．用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和不可能是（）A．104 B．108 C．24 D．28【分析】先设最小的数是x，则其余的三个数分别是x+1，x+7，x+8，求出它们的和，再把A、B、C、D中的四个值代入，若算出的x是正整数，则符合题意，否则就不合题意．【解答】解：设最小的代数式是x，则其它三个数分别是x+1，x+7，x+8，四数之和=x+x+1+x+7+x+8=4x+16．A、根据题意得4x+16=104，解得x=22，正确；B、根据题意得4x+16=108，解得x=23，而x+8=31，因为四月份只有30天，不合实际意义，故不正确；C、根据题意得4x+16=24，解得x=2，正确；D、根据题意得4x+16=28，解得x=3，正确．故选B．【点评】能根据题意列代数式，并会验证数值是否符合实际意义．3．四个不相等的整数a，b，c，d，它们的积等于abcd=9，那么a+b+c+d的值是（）A．0 B．4 C．3 D．不能确定【分析】由于abcd=9，且a，b，c，d是整数，所以把9分解成四个不相等的整数的积，从而可确定a，b，c，d的值，进而求其和．【解答】解：∵9=1×（﹣1）×3×（﹣3），∴a+b+c+d=1+（﹣1）+3+（﹣3）=0．故选A．【点评】此题关键在于把9分解成四个不相等的整数的积，确定出四个数．4．把前2008个数1，2，3，4，…，2008的每一个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得之结果为（）A．偶数B．奇数C．正数D．有时为奇数，有时为偶数【分析】因为偶数个奇数相加，故结果是偶数．【解答】解：因为相邻两个数的和与差都是奇数，且是从1开始到2008，共有1004对，则所得之结果肯定是偶数个奇数相加，故结果是偶数．故选A．【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，此题应该根据相邻两个数的和与差都是奇数作为突破口：当有偶数个奇数相加时，结果是偶数．5．已知x≠﹣1，0，1，则的值可能是（）A．比3大的数B．比﹣3小的数C．±1，±3 D．比﹣3大，并且比3小的数【分析】分x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1四种情况讨论可求的值．【解答】解：当x＜﹣1时，=﹣1﹣1﹣1=﹣3；当﹣1＜x＜0时，=﹣1﹣1+1=﹣1；当0＜x＜1时，=﹣1+1+1=1；当x＞1时，=1+1+1=3．故选C．【点评】考查了绝对值和分类思想的运用，有一定的难度．6．若A与B都是二次多项式，则A﹣B：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】多项式相减，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，所以结果的次数一定不高于2次，由此可以判定正确个数．【解答】解：∵多项式相减，也就是合并同类项，而合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，∴结果的次数一定不高于2次，当二次项的系数相同时，合并后结果为0，所以（1）和（2）（5）是错误的．故选C．【点评】此题要准确把握合并同类项的法则，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，当二次项的系数互为相反数时，合并后结果为0．7．若取A=3m2﹣5m+2，B=3m2﹣4m+2，则A与B之间的大小关系是（）A．A＜B B．A＞BC．A=B D．以上关系都不对【分析】运用求差比较法比较．根据去括号与合并同类项法则化简A﹣B=（3m2﹣5m+2）﹣（3m2﹣4m+2）即可．注意无法确定﹣m的正负，所以无法确定A与B之间的大小关系．【解答】解：A﹣B=（3m2﹣5m+2）﹣（3m2﹣4m+2）=3m2﹣5m+2﹣3m2+4m﹣2=﹣m．因为无法确定﹣m的正负，所以无法确定A与B之间的大小关系．故选D．【点评】求差比较法是比较大小的常用方法，其思想是：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b=0，则a=b．8．如图所示，圆的周长为4个单位长度．在圆的4等分点处标上0，1，2，3，先让圆周上的0对应的数与数轴的数﹣1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上．那么数轴上的﹣2007将与圆周上的数字（）重合．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2007）=2006，2006÷4=501…2，∴数轴上表示数﹣2007的点与圆周上表示2的数字重合．故选C．【点评】把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．9．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．13【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．【解答】解：由图可知S=3+4+5=12．故选C．【点评】考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是1～6这6个数最大的三个数字．10．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a ﹣b）等于（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．【解答】解：设重叠部分面积为c，a﹣b=（a+c）﹣（b+c）=16﹣9=7，故选A．【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．二．选择题（共8小题）11．（﹣2）+4+（﹣6）+8+…+（﹣98）+100=50．【分析】观察式子，可发现：每相邻的两个数字相加为2，且有25对．【解答】解：（﹣2）+4+（﹣6）+8+…+（﹣98）+100=25×2=50．【点评】注意观察式子发现规律，即可简便计算．12．一只蜗牛沿10米高的柱子往上爬，每天从清早到傍晚向上爬行5米，夜间又向下滑3米，像这样从某一天清早开始，蜗牛第4天爬上柱子顶部．【分析】每天从清早到傍晚向上爬行5米，夜间又向下滑3米，则每天向上爬2米，依此类推，就可得到．【解答】解：每天从清早到傍晚向上爬行5米，夜间又向下滑3米，则每天向上爬2米，到第三天夜间，即第四天的开始距顶部还有4米，则这天就可到达顶部．【点评】本题容易出现的错误是误认为每天爬2米，用10除以2，进行简单的计算．13．已知有理数a，b，c满足+，则=﹣1．【分析】此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号关系，再进一步求解．【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或﹣1．又+，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．则=﹣1．【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．14．大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成512个．【分析】由于3小时有9个20分，而大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，那么经过第一个20分钟变为2个，经过第二个20分钟变为22个，然后根据有理数的乘方定义可得结果．【解答】解：依题意得：29=512个．答：经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成512个．【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．15．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是90；数﹣201是第15行从左边数第5个数．【分析】先从排列中总结规律，再利用规律代入求解．【解答】解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；如第四行最末的数字是42=16，第9行最后的数字是﹣81，∴第10行从左边数第9个数是81+9=90，∵﹣201=﹣（142+5），∴是第15行从左边数第5个数．故应填：90；15；5．【点评】主要考查了学生的综合数学素质，要求能从所给数据中找到规律并总结规律，会利用所找到的规律进行解题．16．若4x+3y+5=0，则3（8y﹣x）﹣5（x+6y﹣2）的值等于20．【分析】由于4x+3y=﹣5，可将原式化简变形，得出含有4x+3y的形式，整体代入即可求解．【解答】解：3（8y﹣x）﹣5（x+6y﹣2）=24y﹣3x﹣5x﹣30y+10=﹣8x﹣6y+10=﹣2（4x+3y）+10=﹣2×（﹣5）+10=20．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．17．若a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：=ad﹣bc，那么当=18时，x=3．【分析】根据规定的一种新的运算法则：=ad﹣bc，=18可化为：2×5﹣4（1﹣x）=18即可求得x的值．【解答】解：=18可化为：2×5﹣4（1﹣x）=18，去括号得：10﹣4+4x=18，合并同类项得：6+4x=18，移项得：4x=12，系数化1得：x=3．故填3．【点评】本题为一个小型的材料分析题，需要同学们有一定的阅读分析能力，将其转化为关于x的一元一次方程．18．如图，是由六块正方形拼成了一个长方形．已知最小的正方形面积为1，则长方形的面积是143．【分析】可设最大的正方形的边长为x，那么按大小边长依次是x﹣1，x﹣2，x﹣3，结合长方形的长是相等的，看列出方程，进而求解．【解答】解：因为最小的正方形面积为1，那么边长为1，设最大的正方形的边长为x，那么按大小边长依次是x﹣1，x﹣2，x﹣3，根据长方形的长是相等的，可得x+（x﹣1）=（x﹣2）+2（x﹣3），解得x=7，∴长方形的面积=（7+6）×（6+5）=143．故填143．【点评】解决本题的难点是得到相邻的正方形的边长相差1，关键是得到最大的正方形的边长．三．解答题（共5小题）19．下列算式是由火柴棍摆成的错误算式，你能只移动其中的一根火柴使之成为正确的算式吗？请将移动后的算式“画”在下面．【分析】（1）1和11移动不大可能，改变第一个算式中使加法变为减法，所以应从符号上进行改变；（2）根据（1）的方法，第二个式子加上11，不可能为1，所以应减去11，从符号上进行改变．【解答】解：（1）12﹣11=1，（2）1+11﹣11=1．【点评】解决本题的关键是确定不动的数字或符号．20．计算﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣﹣﹣…﹣．【分析】根据加法结合律，先将原式中同分母的分数相加，再将所得的结果相加，根据规律求得计算结果．【解答】解：原式=﹣+（﹣﹣）+（﹣﹣﹣）+（﹣﹣﹣﹣）+…+（﹣﹣﹣﹣…﹣）=﹣+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣0.5﹣1﹣1.5﹣2﹣2.5﹣3﹣…﹣24.5==﹣612.5【点评】本题主要考查了有理数的减法运算，解决问题的关键是掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b=a+（﹣b）．21．已知：a2﹣ab=26，ab﹣b2=﹣18，求代数式a2﹣b2与a2﹣2ab+b2的值．【分析】本题考查整式的加法运算，要先把代数式a2﹣b2与a2﹣2ab+b2转化为含有a2﹣ab和ab﹣b2的形式，代入求值．【解答】解：a2﹣b2=a2﹣ab+ab﹣b2=26+（﹣18）=8．a2﹣2ab+b2=a2﹣ab﹣（ab﹣b2）=26﹣（﹣18）=44．【点评】解题要灵活，能把代数式a2﹣b2与a2﹣2ab+b2转化为含有a2﹣ab和ab﹣b2的形式，代入求值．22．已知x=3是方程的解，n满足关系式|2n+m|=1，求m+n的值．【分析】把x=3代入方程，求出m的值，把m的值代入关系式|2n+m|=1，求出n的值，进而求出m+n的值．【解答】解：把x=3代入方程，得：3（2+）=2，解得：m=﹣．把m=﹣代入|2n+m|=1，得：|2n﹣|=1得：①2n﹣=1，②2n﹣=﹣1．解①得，n=，解②得，n=．∴（1）当m=﹣，n=时，m+n=﹣；（2）当m=﹣，n=时，m+n=﹣．【点评】本题求m、n的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．23．列方程解应用题今年某网上购物商城在“双11岁物节“期间搞促销活动，活动规则如下：①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款180元．（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？【分析】（1）按活动规定实际付款=商品的总价×0.9，依此列式计算即可求解；（2）可设第2次购物商品的总价是x元，根据等量关系：小丽第2次购物花费490元，列出方程求解即可；（3）先得到两次购得的商品的总价，再根据促销活动活动规则列式计算即可求解．【解答】解：（1）200×0.9=180（元）．答：按活动规定实际付款180元．（2）∵500×0.9=450（元），490＞450，∴第2次购物超过500元，设第2次购物商品的总价是x元，依题意有500×0.9+（x﹣500）×0.8=490，解得x=550，550﹣490=60（元）．答：第2次购物节约了60元钱．（3）200+550=750（元），500×0.9+（750﹣500）×0.8=450+200=650（元），∵180+490=670＞650，∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．故答案为：180．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．。

广东江门市20172018七年级数学上学期入学竞赛试题附答案新人教版

适用精选文件资料分享广东江门市 2017-2018 七年级数学上学期入学比赛试题（附答案新人教版）广东省江门市2017-2018 学年七年级数学上学期入学比赛试题时间：60 分钟满分： 100 一、选择。

（每题 4 分，共 20 分） 1. A. 6 B. 72.某同学完成数学作业后，因不当心将墨水泼在作业纸上（如图）。

请你依据供给的条件算一算，优秀的人数是（）人条件：（1）这个班数学期末考试的及格率为 95%。

（2）成绩优秀的人数占全班的35%。

（3）成绩“优秀”的人数比“优秀”的人数多。

A ．14 B．18 C．6 D．163.某电视台在黄金时段的 2 分钟广告时间内，计划插播长度为 15 秒和30 秒的两种广告。

15 秒广告每播一次收费 0.6 万元，30 秒广告每播一次收费1 万元。

若要求每种广告播放许多于2 次，则电视台在播放时收益最大的方式是（） A ．放 15 秒的广告 2 次，播放 30 秒的广告 4 次 B．放 15 秒的广告 4 次，播放 30 秒的广告 2 次 C．放 15 秒的广告 2 次，播放 30 秒的广告 3 次 D．放 15 秒的广告 3 次，播放30 秒的广告 2 次A．2400 B．245 0 C ． 2500 D ．2540 4.甲、乙、丙三人绕圆形跑道跑步，甲跑一圈要 1 分钟，乙跑一圈要 1 分 30 秒，丙跑一圈要1分 15 秒。

现三人同时从起点出发，最少经过（）分钟后，三人又在起点相会。

A. 15 B. 20 C. 25 D. 305. 假如用□表示1 个立方体，用表示两个立方体叠加，用■ 表示三个立方体叠加，那么下边图是由 7 个立方体叠成的几何体，从正前面观察，可画出的平面图形是（）A. B. C. D. 二、填空。

（每题 5 分，共 40 分） 6. 36cm的正方形纸板，裁掉暗影部分后将其折叠成如图右图是边长为所示的长方2体盒子，已知该长方体的宽是高的 2 倍，则它的体积是cm3．7.如图，大长方形ABCD被分为四个小长方形，此中小长方形AEMF、FMGD、MHCG的面积分别为 3、2、4，则△ EHD的面积为8.某体检中心有编号为 A、B、C、D、E的五台体重计，因为长时间使用，有的称重已经不太正确。

2017年数学竞赛初中初赛答案

伊
1 006 1 007
伊…伊
2 004 2 005
伊
2 005 2 006
……………………………… 2 分
= 2 伊（1 + 2 + 3 + … + 2 005 + 2 006）
4分
= 2 006 伊 2 007
5分
= 4 026 042.
6分
14.（员）设爸爸追上乐乐用了 x 分钟援由题意列方程，得
5分
所以甲说的“801 班得第四”是对的；则丙说“803 班得第三”的对的；乙说“802 班得冠军”是对的.所以 804 班
是亚军.
9分
四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分）
17. 当 a > 1 时，a >
1 a
；
1分
当 a = 1 时，a =
1 a
；当 a = 0 时，1a
不存在，没法比较；当 0 < a
< 1 或 a < -1 时，a <
1 a
.
12 分
18.（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 y m3.
1分
嗓由题意，得
12 12
000 000
+ +
20x 15x
= 16 伊 20y， =（16 + 4）伊 15y.
9分
所以 a + b + c + d = 45，俞
11 分
将俞代入虞，愚，舆，余得
a = 3，b = 9，c = 12，d = 21，
13 分
所以 d - a = 21 - 3 = 18.

2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)

2017年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（）．（A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=，于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-，于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=．所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解；若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =．（i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=．综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）．经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2017元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+，于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2017年数学竞赛初中决赛

3分 8分 10 分 12 分 1分
2分（2） ∵A ， B 所对应的数分别是-8， 7， M， N 所对应的数分别是 m， m + 3.∴A N = （m + 3）-（-8） = m + 11 ， BM = 7 - m . 3分有 m + 11 ≤ 0， ①当 m ≤ -11 时， 7 - m > 0. 得-m - 11 = 2 （7 - m），解得 m = 25. ∴A N = m + 11 = -m - 11， BM = 7 - m = 7 - m.由 A N = 2BM，舍去. ∵m ≤ -11， ∴m = 25 不合题意， 5分有 m + 11 > 0， ②当-11 < m ≤ 7 时， 7 - m ≥ 0.∴A N = m + 11 = m + 11， BM = 7 - m = 7 - m.由 A N 得 m + 11 = 2 （7 - m），解得 m = 1. = 2BM， 7分有 m + 11 > 0， ③当 m > 7 时， 7 - m < 0.∴A N = m + 11 = m + 11， BM = 7 - m = m - 7.由 A N = 2BM，得 m + 11 = 2 （m - 7），解得 m = 25. 9分综上所述：当 m = 1 或 m = 25 时， 10 分 A N = 2BM. （3） PQ 的值不发生改变. 11 分设 P， Q 表示的数为 a， b .∵ 点 P 为 A N 的中点， ∴ A P = NP. 点 A，， ①当点 N 在点 A 右侧时， N 表示的数分别为-8， m + 3.∴A P = a -（-8） NP =（m + 3）- a， ∴a -（-8）= （m + 3）- a，解得 a = m - 5 .同理可得， b = m + 7 .∴PQ = b - a = m + 7 - m - 5 = 6. 13 分 2 2 2 2 同理可得， ②当点 N 在点 A 左侧时， PQ = 6. 14 分恒为 6. ∴PQ 是值不发生改变， 15 分六、马到成功（本大题总计 15 分）因此当只裁剪长为 0.8 m 的用料时，最多可剪 7 根； 20.（1） ①6 ÷ 0.8 = 7……0.4， 1分（6 - 2.5）÷ 0.8 = 4……0.3，因此当先剪下 1 根 2.5 m 的用料时，余下部分最多能剪 0.8 m 长的用料 4 根； ② 2分（6 - 2.5 × 2）÷ 0.8 = 1……0.2，因此当先剪下 2 根 2.5 m 的用料时，余下部分最多能剪 0.8 m 长的用料 1 ③ 根. 3分故答案为 7，， 4 1. （2）设用方法②剪 x 根，方法③裁剪 y 根 6 m 长的钢管， 4分 x + 2y = 32， x = 24，由题意，得解得 6分 4x + y = 100. y = 4. 答：用方法②剪 24 根，方法③剪 4 根 6 m 长的钢管. 7分（3）设方法①裁剪 m 根，方法③裁剪 n 根 6 m 长的钢管， 8分 7m + n = 100， m = 12，由题意，得解得 10 分 2n = 32. n = 16. ∴m + n = 28.∵x + y = 24 + 4 = 28， ∴ m + n = x + y. 11 分设方法①裁剪 a 根，方法②裁剪 b 根 6 m 长的钢管， 12 分，， 7a + 4b = 100 a = -4 由题意，得解得（无意义） 14 分 b = 32. b = 32. 所需要 6 m 长的钢管与（2）中根数相同. 15 分 ∴ 方法①与方法③联合，

2017年全国初中数学联赛试题-含详细解析

2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。

2017年世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛七年级数学试题(含答案)

2017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。

考试期间,不得使用计算工具或手机。

七年级试题(A 卷)一、填空(每题3分，共30分)1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度.2、在等腰△ABC 中，AB =AC ,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________.3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________.4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________.5、已知是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________.6、若关于x 、y 的方程组无解，则a 的值是________.7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+8、已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是________.9、都是正数，那么N M 、的大小关系是________.10、若n 为不等式的解，则n 的最小正整数的值是________.二、选择题(每题5分，共25分)11、三元方程的非负整数解的个数有（）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个12、如图已知分别为ABC ∆的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ②A D ∠-︒=∠2190;③AC PD //.其中正确的是（）. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③13、有一个边长为4米的正六边形客厅，用边长为50厘米的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）块.A.200B.300C.384D.420 14、解方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一个学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则d c a 、、的值是：A.不能确定B.1,1,3===d c aC.d c 、不能确定，3=aD.2,2,3-===d c a15、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了( )朵.A.4380B.4200C. 4750D.3750三、计算题(16~20题每题5分，21~22题每题10分，共45分)16、已知,9,27,81614131===c b a 则c b a 、、的大小关系是多少？17、计算：20002000200020001998357153)37(++⨯18、已知=+++--a y x y xy x 1437622)(32(b y x +-x 3y ++c ），试确定c b a 、、的值。

全国初中数学竞赛试题及答案(2017年)

2017年全国初中数学竞赛试题考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。

如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。

A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)-3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S SB ．13S S ＝24S SC ．13S S ＞24S SD ．不能确定5、设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。

2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2．设 O是锐角三角形 ABC的外心， D,E分别为线段 BC,OA的中点，
,
，则
_________.
3.题目与（A）卷第 3题相同. 4.题目与（A）卷第 4题相同
第二试（A）
一、（本题满分 20分）已知实数 x,y满足 x+y=3，
，求
的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，AB AC， BAC 45，E是 BAC的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F在AB 上且EF AB.已知AF 1，BF
1．已知二次函数 y ax2 bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函
数
y a3x2 b3x c3 的图象与x轴的交点个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．不确定．
2．题目与（A）卷第1 题相同.
3.题目与（A）卷第3 题相同.
4．已知正整数a,b,c满足 a2 6b 3c 9 0， 6a b2 c 0，则a2 b2 c2
CB的延长线上，满足
.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝（）
A.
B.
C.
D.
6．对于正整数 n，设 an是最接近的整数，则
A.191/7
B．192/7
C．193/7
（） D．194/7
二、填空题（本题满分 28分，每小题 7分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1．使得等式
2017 年全国初中数学联合竞赛试题
2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30
第一试(A)
一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅

2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝（）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝（）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试（B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。

2017全国初中数学联赛初一试题及答案

省市县（区）学校姓名考号（密封装订线内不要答题）得分评卷人得分评卷人）题答要不内线订装封密（）题答要不内线订装封密（90745154100,,=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x y x 则道做错道设做对10.已知： a =1×2+2×3+3×4+!+99×100， b =2×4+3×5+4×6+!+100×102则b a −=_________.【解析】： −15147a −b =−3×2−3×3−3×4−!−3×100=−3×(2+3+!+100) −3×99×51=−1514711.小华为了备战2017年全国初中数学联赛，做了100道模拟选择题，估分时把对的20%估为错的,把错的20%估为对的,这样得到74道是正确的,那么小华真正做对道.【解析】： 12.若 a ,b ,c ,d 都是自然数，满足 a 3=b 2,c 4=d 3，且 a −d =33，则 b −c =______.【解析】4849或335设 a 3=b 2=p 6,c 4=d 3=q 12，所以 a =p 2,d =q 4.所以 33=p 2−q 4=(p −q 2)(p +q 2)，得 p +q 2=33,p −q 2=1或 p +q 2=11,p −q 2=3所以 p =17,q =4或 p =7,q =2,所以 b −c =p 3−q 3=4849或 335.三、解答题（本题满分20分）如图，一个九宫格内有八个正方形滑块，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 现在滑动九宫格中的滑块，例如：依次将滑块 2下移一格，滑块 1右移一格，滑块 8上移 1格，滑块 2左移一格，可以得到图2.图1 图2图3 图4（1）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图3的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.（2）是否可以经过若干次滑动，使得图1变为图4的情形？若可以，请指出操作方法；若不能，说明理由.【解析】：（1）可以，先将滑块8移至空白处，其它滑块从7至1依次顺时针滑动一格，再重复一次该操作得到下图.再将8上移一格.即可得到图2.……………………（10分）（2）不能将某个滑块移入中间空格处，然后移动外围的7个滑块，再将中间的滑块移至外围。

2017年全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2017年全国初中数学竞赛（天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ．解：由已知得2310x x ++=，于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．（3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．解：由题设可知1y yx -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭．于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a 第（5）题是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16．解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.（8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32．解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．（9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32．解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线2y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b.于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（）（10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，第（10）题第（9）题所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. ……………………………………………………10分又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分（13）如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ；（Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ．所以a b +=．由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是，可求得2==a b将b =代入223y x =，得到点Q ，12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k所以直线PQ 的函数解析式为1y x =+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y x =+，或1y =+. ………………20分解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+.所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分（14）已知0122011i a i >=，，　，　，　，且122011a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2017，使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。

2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(1)

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里•不填、多填或错填得零分)1 •在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从 10解：因为4和9的最小公倍数为36, 19+ 36 = 55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C . 2.已知 m h 一2，n =1 - . 2，且 (7m 2 -14ma)(3n 2 -6n - 7) =8，贝U a 的值等于()(A )— 5 ( B ) 5 ( C )— 9 (D ) 9答：C .解：由已知可得 m 2-2m=1，n 2 -2n =1 .又2 2(7m -14m a)(3n _6n _7) =8，所以 7 • a 3-7 =8，解得a = -9 .故选C .3. Rt △ ABC 的三个顶点A , B , C 均在抛物线y = x 2 上,并且斜边AB 平行于x 轴.若斜边上的高为h ，则()(A ) h ：：1 ( B ) h =1(C ) 1 ：： h 2( D ) h 2答：B .解:设点A 的坐标为(a,a 2)，点C 的坐标为(c,c 2) ( c £ a )，则点B 的坐标为(-a,a 2)，由勾股定理，得2 /、2 / 2 2、2AC 二(c -a) (c -a )，千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是(19千米处第一次同时经过这两 ).(A ) 36答：C .(D) 90(B ) 37 (C ) 552( 、2 / 2 2、2BC 二(c a) (c-a ),2 2 2AC BC 二 AB ,由于a 2 c 2，所以a 2 -c 2 =1，故斜边AB 上高h = a 2 -c 2 = 1 .故选B . 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了 34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ） 2004 （B ） 2005（C ） 2006（D ） 2007答：B .解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°.于是，剪过k 次后，可得（k + 1）个多边形，这些多边形的内角和为（k + 1）x 360°.因为这（k + 1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34X （ 62- 2）x 180° =34x 60x 180°，其余多边形有（k + 1）- 34= k — 33 （个），而这些多边形的内角和不少于（k — 33）x 180°.所以(k + 1)x 360°> 34x 60x 180° + ( k — 33)x 180 解得 k > 2005.当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1 个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了 58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到 33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪 58刀，便得到33个六十二边形和33x 58个三角形.于是共剪了所以/ 2 2 x 2(a -c )二 a 2 - c 258 + 33+ 33x 58= 2005 （刀）.故选B.5. 如图，正方形ABCD内接于。

2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案

上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为（精确到0.001）。

2017年七年级数学能力竞赛试题卷 (3)

B．a≥3
C．a＜3
D．a＞3
2.已知点 A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．A，B 关于 y 轴对称，
则(4a＋b)2 018 的值（ ▲ ）
A．2018 B．2
C．1
D．-1
3.如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D．若 ED=5
则 CE 的长为
延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为（ ▲ ）
A. 1
B. 1
3
2
C. 3
D. 2
5
5
8.如图，在等腰直角 ABC 中， AC BC，ACB 90，D 、 E 是边 AB 上的两
点, AD 3，BE 4，DCE 45，则 DE 的长为（ ▲ ）
A．6
下列结论： ① AF BC ； ② A D G A C F； ③ O 为 BC 的中点； ④
AG : DE 3 : 4 .其中正确的是 ▲ （把你认为正确结论的序号都填上）.
14、已知 a－b=b－c= 3 ，a 2 5
b2
c2
1,则 ab+bc+ca=
___▲_______.
温州育英国际实验学校 2017 学年七（下）能力竞赛数学试题卷(3) （命题人：周学光）
温馨提示：试卷总分 120 分，考试时间 120 分钟;请将答案写在答题卷上. 一、仔细选一选（本题有 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）=
1.若关于 x 的不等式组
无解，则 a 的取值范围是
（▲）
A．a≤3
B．5
C．4
D．3
二、认真填一填（本题有 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）

2017-2018年人教版七年级数学上册竞赛试卷

212017-2018学年度第一学期人教版七年级数学竞赛试卷一、选择题（12个小题，每个小题3分，共36分。

） 1. 下列说法不正确的是（）A.分数都是有理数B.-a 是负数C.有理数不是正数就是负数D.绝对值等于本身的数是正数 2. ．已知ab ≠0，则+的值不可能的是（）A ． 0B ．1C ．2D ． ﹣23.给出下列式子:0,3a ,π,错误！未找到引用源。

,1,3a 2+1,-错误！未找到引用源。

+y.其中单项式的个数是( )A.5B.1C.2D.34、计算：-2+5的结果是（）A. －7B. －3C. 3D. 7 5、2016年9月15日22时04分12秒，“天宫二号空间实验室”在酒泉卫星发射中心发射成功，它的飞行高度距离地球350千米，350千米用科学记数法表示应为（）A. 3.5×102B. 3.5×105C. 0.35×104D. 350×1036、下列各组数中，结果相等的是（）A. －22与(－2)2B. 与 ( )3C. －(－2)与－|－2|D. －12017与（－1）20177、已知b a m 225-和n b a -347是同类项，则2m - n 的值是（）A 、6B 、4C 、3D 、2 8．在有理数－4，0，－1，3中，最小的数是( ) A ．－4 B ．0 C ．－1 D ．39. 已知22(3)0a b -++=，则a b 的值是（）A .-6B . 6C . -9D .910．已知a ≤2，b ≥－3，c ≤5,且a －b ＋c ＝10，则a ＋b ＋c 的值等于（）。

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4、、、、二、填空题（6个小题，每个小题4分，共24分）13、当正整数m= _________ 时，代数式的值是整数．14、(3a ＋2b)－2(a － )= a ＋4b ，则横线上应填的整式是 .15、已知(x+3)2与|y －2|互为相反数，z 是绝对值最小的有理数，则代数式(x+y)y +xyz 的值为 .16.在－2 ，－15，9， 0 ，10- 这五个有理数中，最大的数是，最小的数是 . 17.若23m ab +与43(2)n a b -是同类项，且它们的和为0，则mn = .18.已知3232572A x x x m =+-++，223B x mx =+-，若多项式A B +不含一次项，则多项式A B +的常数项是 .三、解答题：(9个小题共90分) 19. (10分)计算：（1）5×（－2）＋（－8）÷（－2）；（2）71123627()3927-⨯-+；20.(10分)求下列未知数的值（1）x 2=25 （2）y 3= - 6421．(10分)计算：(1)8a ＋7b －12a －5b ； (2) 111111111111123200523200422005232004⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23 5322、(8分)在数轴上表示下列各数：321，－3，0，—1.5，并把所有的数用“＜”号连接起来.23.(8分).先列式再计算： -1 减去与的和所得差是多少？24.(10分)．先化简，再求值：(2－a 2＋4a)－(5a 2－a －1)，其中a ＝－2.25．(10分).已知x 、y 互为相反数，且|y －3|＝0，求2(x 3－2y 2)－(x －3y)－(x －3y 2＋2x 3)的值．26.一根长度为1米的木棍，第一次截去全长的12 ，第二次截去余下的13 ，第三次截去第二次截后余下的14 ，……，第n 次截去第（n-1）次截后余下的1n+1 。

2017年上学期七年级数学竞赛试题

2017年上学期七年级数学竞赛试题时量：120分钟总分值：120分一、选择题（共10个小题，每题4分，总分值40分）1．假设方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x ﹣5y ﹣90=0的一个解，那么a 的值是（）A ．3B ．2C ．6D ．72．有甲、乙、丙三种货物，假设购甲3件、乙2件、丙1件，共需315元，假设购甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购甲、乙、丙各1件，共需（） A ．128元 B ．130元C ．150元D ．160元3．已知x +y =﹣5，xy =3，那么x 2+y 2=（）A ．25B ．﹣25C ．19D ．﹣194．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S =1+2+22+23+…+22021，那么2S=2+22+23+24+…+22021，因此2S ﹣S=22021﹣1，S=22021﹣1，咱们把这种求和的方式叫错位相加减，仿照上述的思路方式，计算出1+5+52+53+…+52016的值为（）A ．52016﹣1B ．52017﹣1C ．2017514-D ．2016514-5．（﹣8）2016+（﹣8）2017能被以下数整除的是（）A ．3B ．5C ．7D ．96．小强是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中，有如此一条信息：x ﹣y ，a ﹣b ，2，x 2﹣y 2，a ，x +y ，别离对应以下六个字：江、爱、我、美、游、湄，现将2a （x 2﹣y 2）﹣2b （x 2﹣y 2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱漂亮B ．湄江游C ．我爱湄江D ．美我小江 7．如图，直线a ，b 相交于点O ，OE ⊥a 于点O ，OF ⊥b 于点O ，假设∠1=40°，那么以下结论正确的选项是（） A ．∠2=∠3=50° B ．∠2=∠3=40° C ．∠2=40°，∠3=50° D ．∠2=50°，3=40°第7题图第8题图第9题图 8．如图，以下条件：①∠1=∠3，②∠2=∠3，③∠4=∠5，④∠2+∠4=180°中，能判定直线l 1∥l 2的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，AB ∥DC ，ED ∥BC ，AE ∥BD ，那么图中和△ABD 面积相等的三角形（不包括△ABD ）有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10甲乙丙丁平均数（cm ）185 180 185 180 方差3.63.67.48.1依照表中数据，要从当选择一名成绩好且发挥稳固的运动员参加竞赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（共8个小题，每题5分，总分值40分）11．假设a m=6，a n=3，那么a m+2n的值为_________．12．《孙子算经》是中国古代重要的数学高作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有假设干钱，若是甲取得乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；若是乙取得甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原先各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是___________________．13．已知5个数据：8，8，x，10，10．若是这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是____________．14．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转到△DBE的位置．连接AD，假设∠ADB=60°，那么∠1=___________°．第14题图第15题图第18题图15．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部份组成轴对称图形的涂法有___________种．16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=30°，那么∠COE的度数是____________．17．在解关于x，y的方程组时，教师告知同窗们正确的解是，小明由于看错了系数c，因此取得的解为，则a+b+c=___________．18．假设m2=n+2，n2=m+2（m≠n），那么m3﹣2mn+n3的值为___________．三、解答题（共4个小题，每题10分，总分值40分）19．已知x2﹣3x﹣4=0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．20．某服装点用6000购进A，B两种新式服装，按标价售出后可取得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．A型B型类型价格进价（元/件）60 100标价（元/件）100 160（1）求这两种服装各购进的件数；（2）若是A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全数售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？21．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点（1）假设∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；（2）假设图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；（3）探讨∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．22．阅读以下材料，并解决后面的问题．材料：咱们明白，n个相同的因数a相乘可记为a n，如23=8，现在，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3），一样地，假设a n=b （a＞0且a≠1，b＞0），那么n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，那么4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观看（1）中三数4、1六、64之间知足如何的关系式？log24、log21六、log264之间又知足如何的关系式？（3）依照（2）的结果，咱们能够归纳出：log a M+log a N=log a M N（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你依照幂的a a =a m+n和对数的概念证明该结论．运算法那么：m n七年级数学竞赛参考答案一、选择题（共10个小题，每题4分，总分值40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C C C C C B A 二、填空题（共8个小题，每题5分，总分值40分）题号11 12 13 14 15 16 17 18答案5414822483x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩8或10 60 4 37.5 7 2-三、解答题（共4个小题，每题10分，总分值40分）1九、解：原式=x2﹣1﹣x2﹣6x﹣9+2x2=2x2﹣6x﹣10=2（x2﹣3x﹣4）﹣2，当x2﹣3x﹣4=0时，原式=2×0－2=﹣2．20、解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得，解得：．答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）由题意，得：3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）=3800﹣1000﹣360=2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入2440元．2一、解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，∴∠E=∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME=∠AMF，∴∠E=∠AMF+∠CNE=×50°+40°=65°；同理可得∠F=∠AMF+∠CNE=50°+×40°=70°；（2）∵∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠F﹣∠E=∠AMF，∵∠E+60°=2∠F，即2∠F﹣∠E=60°，∴∠AMF=60°，∴∠AMF=40°；（3）与（1）的证明方式一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，而∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=（∠E+∠F），∴∠MON=（∠E+∠F）．2二、（1）2，4，6；（2）4×16=64，log24+log216=2+4=6=log264；（3）设log a M=x，那么有a x=M，又设log a N=y，那么有a y=M，故log a M+log a N=x+y而a x+y=a x a y=MN，依照对数的概念化成对数式为x+y=log a MN，∴log a M+log a N=log a MN．。