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凹凸函数之切线放缩

很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。这里特例举几个题目来谈谈它的应用。

例1、()[]2

3,0,31x f x x x

+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *

<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030

解析：3)31(f =因为，当1220101

3a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030

对于函数2

3()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3

(11)10y x =-， 则()2

2331(11)(3)()01103

x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，

所以当03,n a n N *

<≤∈时，有()3(113)10

n n f a a ≤-

122010()()()f a f a f a +++[]1220103

1120103()603010

a a a ≤⨯-+++=

例2、已知函数2

901x

f x a ax =

>+()() ． （1）求f x ()在1

2

2[,]上的最大值；

（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；

（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

…,,, ，且121414x x x =…+++

，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．

解析：（1）222222

9[1(1)2]9(1)

()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，

令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<

<，解得1

44a <<． （ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1

[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．

（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1

[,2]2上的最大值为118()24f a =+．

（ⅲ）当1

44

a <<时，在12x a <<时，()0f x '>，在

2x a <<时，()0f x '<，

∴()f x 在1

[,2]2

上的最大值为=f

（2）设切点为(,())t f t ，则()1,

()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩ 由()1f t '=-，有2

22

9[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有

2

921t

a t at

=-+，…② 由①、②解得2a =

或4a =．

（3）当2a =时，2

9()12x

f x x

=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，

∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1

[,2]2

x ∈时，()4f x x ≤-．

3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2

2

21(2)

12x x x

--=+（）， 当1

[,2]2

x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．

∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，

121414x x x +++=，

1214()()()561442f x f x f x ∴++

+≤-=．

∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ++

+≤恒成立，必须42λ≥．

又

当12141x x x ==

==时，满足条件121414x x x ++

+=，

且1214()()()42f x f x f x ++

+=，因此，λ的最小值为42．

例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且3

1

1i i x ==∑，则

2111x ++2211x ++2

311x +≤27

10

证明：设g(x)= 2

1

1x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 2232(31)(1)x x -+，

由g ´´(x)＜0得

-

3＜x

＜3，g ´´(x)＞0得x

＞3或x ＜

- 3

， ∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 2

1

1x

+在［

- 3

，3］上是上凸的，在区间(-∞，

-3)，

(3，+∞)上是下凸的。由3

1

1i i x ==∑，则平衡值x 0= 13，由导数知识易求得g(x) = 2

11x +在 x=

13处的切线为y=2750（2-x ）,因x 0= 13∈［

- 3

，3］，g(x) = 2

11x

+在［

- 3

，3］上是上凸的，故g(x) = 211x +≤2750（2-x ）恒成立。即2111x +≤2750（2-x 1）

，2211x +≤27

50

（2-x 2），2311x +≤2750（2-x 3），三式相加并结合3

11i i x ==∑即得2111x ++22

11x ++2

311x +≤27

10。