高中数学之离心率专题
高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。
离心率问题的7种题型和15种方法
离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。
在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。
一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。
离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。
离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。
二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。
三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
高中数学高考数学离心率题型总结
F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。
圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。
，求椭圆离心率取值范围。
分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。
内，求椭圆离心率取值范围。
分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。
高三数学专题复习离心率的三种求法
椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．12变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ） CA ．3B. 2C.1D.14324变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） CA.3B.6C.3D.22 22二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率 e.x 2 y 2例 2： (2012 ·江西 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是 A ，B ，左，右焦点分别是F 1， F 2，若 |AF 1|，5 |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 522变式练习 1：已知 F 1， F 2 是双曲线x2y 2 1( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） DA.423B.31C.31D.3 12变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 FF， F MF21200，则双曲线的离心率为()B1， 2 1A.366D.3B.C.32322变式练习 3：设双曲线x2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3 c ，则双曲线的离心率为 ( ) A4A. 2B. 3C. 223D. 3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ________. 21【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） DA ．13C ．1D ．3B ．33222242．已知双曲线x y1的一条渐近线方程为 y x ，则双曲线的离心率为（ ）Aa 2b 23 54 C.5 3A. B. 4 D.3 3 2x 2 y 2 1 ( a 0,b 0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2 a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）D F 1O F 2 xBA. 3B. 5C.5D.3 124．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线x 2 y 2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 F 1 AF 290 0 ，且 AF 13AF 2 ，22a b 则双曲线离心率为（） B5B.10C.15D. 5A.222225．已知双曲线 xy 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） CA. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,x 2y 21(a b 0) 的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则6．已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.5 12【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点,A,B分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ( )D F 1OF 2xA. 2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6222.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线 C : x 2y 2 1(a 0,b0) 的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 2 6a,a 2b 2且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为. 33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________. 3 1x 2y 24.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C : a 2b 21(a b0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4 , 则 C 的离心率 e=______. 5575. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C ： x 2y 21(a b0) 相交于 A, B ，若 M 是线段2 a 2 b 2AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.226. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 ym0(m 0)x 2 y 21（ a b0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5__________.27. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2y 21(a 0,b 0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF 1 | |PF 2 | 3b, | PF 1 | | PF 2 9）B|ab ，则该双曲线的离心率为（4A.4B. 5C.9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 () DA. 5B.2C. 3D. 2x 2y 2 1的一个焦点，若C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：2b 2a轴的一个端点，则C 的离心率为. 5C 1：x2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线C 2：abx 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为. 322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1 ： x2 +y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，mn C 2 的离心率，则（ ） AA ．m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1 e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<112.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点，x 2y 21(a b0) 的左焦点，分别为 C 的F是椭圆C ：a 2b 2A, B左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PFx 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直A ．1B.1C.2D.3 323413.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知F1, F2是双曲线 E : x222y2 1 的左，右焦点，点M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，a bsin MF2 F11,则 E 的离心率为（） A 3（A）2（B）3（C）3（D）2 22–y214.（ 2016 山东文理）已知双曲线E：x22 =1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CDa b的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______． 2xOy F x2y2yb15.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系中，是椭圆a 2b2 1(a＞b＞0) 的右焦点，直线 2 与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6 .316.(2017 新课标Ⅰ理15)已知双曲线 C：x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ________.2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ． 2m18.(2017新课标Ⅱ理9)若双曲线C:221(a0 b0)的一条渐近线被圆x2y2 4 所截得x2y2，2a b的弦长为 2，则C的离心率为（） AA ．2B．3C．2 D ．23319.(2017 新课标Ⅲ文11)已知椭圆 C：x2y21， ( a>b>0) 的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2 a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切，则C的离心率为（） AA ．6B ．321 33C．D．3320.(201814)x 2 y 2x 2y 2N北京理 已知椭圆M ：a 2b 21(a b0)，双曲线N ：m 2n 2 1 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________． 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2y 2 1(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3 c ，则其离心率的值是． 2222.(2018 新课标Ⅱ理 12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x 2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点Pa 2b 2在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1 2的离心率为 () D6F P=120 ，则 C21C ．11A.B ．3D ．32423.(2018 新课标Ⅲ理 11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x 2y 21(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2a 2b 2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为 ( ) CA ． 5B ． 2C ． 3D ． 2椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．【答案】12→→1【解析】由椭圆定义及 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，得 2a ＝ 4， a ＝ 2， c ＝ 1，e ＝ .2变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ）A ．3B. 2C. 1D. 13424 【答案】 C【解析】由 F 1 1,0 ， F 2 3,0 知2c 3 1 ，∴ c1 ，又∵椭圆过原点，∴ a c 1 ， ac 3.∴ a2 ， c 1 c 1，所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（）A. 3B. 6C.3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 ， 2c 6 ，则 c3 ， e c3，因此选 C.a 2二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于 e 的方程，从而解得离心率 e.22例 2： (2012 ·江西 )椭圆 x2 y 2A ，B ，左，右焦点分别是， F ，若 |AF1|，a ＋b ＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是F 12|F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ________． 【答案】55【解析】由椭圆的定义知，|AF 1|＝ a － c ， |F 1F 2 |＝ 2c ， |BF 1 |＝ a ＋ c.∵ |AF 1|， |F 1F 2|， |BF 1|成等比数列，因此4c 2＝( a －c) ·(a ＋ c)，整理得 5c 2＝ a 2，两边同除以 a 2得 5e 2＝ 1，解得 e ＝5.522变式练习 1：已知 F 1 ， F 2 是双曲线x2y2 1（ a0, b 0 ）的两焦点， 以线段 F 1F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图，设 MF 1 的中点为 P ，∵ F 1(-c,0 )，M (0, 3c ),∴ P(c 3cc 2 3c 22,2 ).代入双曲线方程，得 4a 2 4b 2 1 .∴ c 4 8a 2c 2 4a 4 0 ， e 4 8e 2 4 0 ， e 24 2 3 ，∴ e 1 3 .故选 D.变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F 1 ，F 2 ， F 1 MF 21200，则双曲线的离心率为 （）A. 3B. 6C. 6D.3323【答案】 B【解析】如图所示，不妨设 M 0,b ， F 1c,0 ， F 2 c,0 ，则 MF 1MF 2c 2 b 2 ，又 F 1 F 2 2c ，MF 1 2MF 222在 F 1MF 2 中， 由余弦定理，得 cosF 1 F 2,F 1MF 22 MF 1 MF 2222 22221cbcb4cc1 .即 2 c 2 b 2，∴ b2b 2c 22∵ b2c2a 2，∴2ca21，∴3a22c 2 ，∴ e 23 ，∴ e 6 ，故选 B.2 a 2222变式练习 3：设双曲线x 2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距a 2b 2离为3c ，则双曲线的离心率为 ()4A. 2B. 3C. 22 3D. 3【答案】 A【解析】由已知，直线l 的方程为 bx ayab0 ，由点到直线的距离公式，得ab 3 c .a 2b 24又 c 2 a 2 b 2 , ∴ 4ab 3c 2 ,两边平方，得 16a 2 c 2 a 23c 4 ，整理得 3e 416e 2 16 0 ，得 e 24或 e 24 .又 0 a b 2c 2 a 2 b 2 1 b 2 2 ，∴ e 2 4e 2，故选 A.3，∴ e a 2 a 2a 2，∴三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三【答案】21c2c2c 2c 1 2 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF 1 PF 22 1【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） A ． 13C ．1D ．3B ．2332答案： D解析： ∵椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，∴ a=2b ，椭圆的离心率 c3 ，选 D.e2a224x ，则双曲线的离心率为（2．已知双曲线 xy 1的一条渐近线方程为y）a 2b 23A.5B.4C.5D.333 42答案： A解析： 双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可得b 4，可得 ec 32425，故选 A.a3a33x2y21 ( a 0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）F 1O F 2 xBA.3B.55 D. 3 1C.2答案： D解析： 连接 AF 1，∵ F 2 AB 是等边三角形，∴∠ AF 2F 1=30°，∠ F 1AF 2=90°.∴ |AF 1|=c ， |AF 2|=3 c ，∴ 2a=( 3 - 1)c ，双曲线的离心率为 1+3 ，故选 D.4．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线 x 2 y 21 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 F 1 AF2 900 ，且 AF 13 AF 2 ，a 2b 2则双曲线离心率为（ ）A.5B. 10C. 15D. 5222答案： B解析：设 F ，F 分别是双曲线x 2 y 2 1的左、右焦点 .若双曲线上存在点 A ，使∠ F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2 |， a 2 b 212设 |AF 2|=1， |AF 1|=3，在双曲线中 2a=|AF 1|- |AF 2 |=2， 2c= 22= 10 10AF 1AF 2 ,∴离心率 e=.25．已知双曲线x 2 y 2 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2A. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,答案： C解析： 双曲线x 2y 2 1 ( a 0,b 0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60 0 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2222只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b ，∴ b3 ，离心率 e 2= c2a2b ≥aaaa4，∴ e ≥ 2，故选 C.6．已知椭圆x 2 y 2的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则C :a 2b 21(ab 0)椭圆 C 的离心率是 .答案：5 12解析： ∵∠ BAO+∠ BFO=90 °，∴ sin ∠ BAO =cos ∠ BFO ，∴b b 2c,∴ e23 5 ，e 235(舍去 ).a 2 a22∴ e5 1 .2【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点 , A, B 分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ()F 1OF 2xA.2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6 22【答案】 D2.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线x 2 y 2的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 26a,C : a 2 b 21(a 0,b0)且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为 .【答案】33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为 2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于 __________.【答案】3 14.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接a 2b 2AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4, 则 C 的离心率 e=______.【答案】571x 225. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆C ： y1(a b 0) 相交于 A, B ，若 M 是线段 2a 2b 2AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为.6. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 y m 0(m 0)x 2 y 2 1（ a b 0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.7. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2 y 2 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b 21(a 0,b 0)| PF 1 | | PF 2 | 3b, | PF 1 | |PF 2 | 9ab ，则该双曲线的离心率为（）A.4B.5C.9D.33 3 48.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2【答案】 D9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：x 2y 2 1的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚a 2b 2轴的一个端点，则C 的离心率为.【答案】510.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2 y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线 C 2：a2b2x 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为.答案：32x2y21(a 0,b 0) 的渐近线为 解析：C 1:2b 2aC 2 : x22 py( p0) 的焦点 F (0, p) ，则 k AF2b 2 pb 2 pb 2 ), B(yx ，则 A( , 2 a a a 2pb 2pb 25c 2a 2 2 a ，即 , 2pb b a 2 4 a 2a2 pb 2pb 2, ) . a a 2a 2b 29 c 3a 2 ,ea .4211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1： x 2+y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，m 2n 2C 2 的离心率，则（）A ． m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<1【答案】 A考点： 1、椭圆的简单几何性质； 2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】 计算椭圆 C 1 的焦点时， 要注意 c 2 a 2b 2 ；计算双曲线 C 2 的焦点时，要注意c 2 a 2 b 2 ．否则很容易出现错误．2212.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：x2y2 1(a b 0) 的左焦点， A, B 分别为 C 的a b左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A ．1B.1C.2D.33234【答案】 A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（ 1）直接求得 a ,c 的值，进而求得e 的值；（ 2）建立 a,b, c 的齐次 等式，求得 b或转化为关于 e 的等式求解； (3) 通过特殊值或特殊位置，求出e ．a13.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知x 2 y 2M 在E 上，与 x 轴垂直，F 1, F 2 是双曲线 E :a 2b 2 1 的左，右焦点，点MF 1sin MF 2F 11 ,则 E 的离心率为（ ）3（A ） 2（B ）3（C ） 3（D ）22【答案】 A考点：双曲线的性质 .离心率 .【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ， b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中 c 2＝a 2＋ b 2.双曲线的离心率 e ∈ (1，＋ ∞)，而椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)．x 2 y 214.（ 2016 山东文理）已知双曲线 E ：–=1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB ， CDa 2b 2的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______．【答案】 2【解析】依题意，不妨设AB 6, AD 4 ，作出图象如下图所示 .则 2c 4,c 2;2a DF2DF1532,a 1, 故离心率c2 2 . a115.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆 x2y2的右焦点，直线yb 与椭a 2b21(a＞b＞0)2圆交于 B,C 两点，且BFC90,则该椭圆的离心率是.【答案】63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a, c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 a,c的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于a,c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.16.(2017 新课标Ⅰ理 15)已知双曲线 C：x2y2 1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN=60°，则 C 的离心率为 ________.【答案】2 33【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab. c17.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ．m【答案】 29)若双曲线C:x2y2218.(2017 新课标Ⅱ理1（a 0，b0 ）的一条渐近线被圆x 2 4 所y2a2b2截得的弦长为2，则C的离心率为（）A ． 2B．3C．223 D．3【答案】 Ax2y2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．63C ．213B ．3D ．33【答案】 A【解析】以线段A 1 A 2 为直径的圆是 x 2 y 2 a 2 ，直线 bx ay2ab 0 与圆相切，所以圆心到直线的距离d2aba ，整理为 a 23b 2 ，即 a 23 a2c22a23c 2 ，即 c 22 ， ec6，故选 A.a 2b 2a 23a32222x yxy20.(2018 北京理14)已知椭圆 M ：a 2b 2 1(ab0)，双曲线N ：m 2n 21 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________．【答案】3 1 22221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xy1(a0,b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3c ，则其离心率的值是．2【答案】 22222.(2018 新课标Ⅱ理12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 Pab在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1F 2P= 120，则 C 的离心率为 ()6A.2B ．1C ．1D ．13 234【答案】 D2223.(2018 新课标Ⅲ理11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2ab作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若PF 16 OP ，则 C 的离心率为 ()A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2【答案】 C。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
(完整版)离心率专题讲解
椭圆上存在点P,使得点P作圆C2的两条切线互相垂直,
则椭圆离心率取值范围.
例2.已知A ,A 是椭圆 x2
12
a2
y2 b2
1(a
b
0)的左右顶点,若
椭圆上存在相异于A ,A 1
2点P,使得PO
PA 2
,
O坐标原点,
则椭圆离心率取值范围.
变2.已知F1,F2是椭圆E:
x2 a2
y2 b2
离心率专题讲解
绵阳东辰国际学校高中部: 江维硕
例1.已知F ,F 是椭圆E: x2
12
a2
y2 b2
1(a
b 0)的左右焦点,若
椭圆上存在点P,使得PF 1
PF 2
,
则椭圆离心率取值范围.
变1.已知椭圆C1:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0)与圆C2:x2
y2 = b2 ,若
1(a
b
0)的左右焦点,
若椭圆上存在点P,使得
PF 1
PF 2
=2c2 ,则椭圆离心率最小值.
例3.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上一点A关于原点的对称点
为B, F为右焦点,若AF BF, ABF , [ , ],12 4 则椭圆离心来自取值范围.则椭圆离心率.
变4.已知F1,F2是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左右焦点,
F1PF2的内心为I
,
若IPF1IPF2
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3、已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
，直线
y
x
与椭圆相交于
A
，B
两点，若椭圆上存在
异于
A
，
B
两点的点
P
使得
kPA
kPB
(
1 3
,
0)
，则离心率
e
的取值范围为
(
)
5
学习，为了追寻更好的自己！
A． (0, 6 ) 3
B． ( 6 ,1) 3
C． (0, 2) 3
D． ( 2 ,1) 3
a2 b2
c
的离心率是________．
8、已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的焦距为 2c ，圆 M
: x2
y2
2cy
0 与椭圆 C 交
于 A, B 两点，若 OA OB ( O 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为________.
10、已知椭圆 C 的焦点为 F1 ， F2 ，过点 F1 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点.若
2、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1(c, 0)，F2 (c, 0) ，点
N (c,
a)在 2
椭圆的外部，点 M
是椭圆上的动点，满足
MF1
MN
3 2
F1F2
恒成立，则椭圆离心率 e
的取值范围是
A． (0， 2 ) 2
B． ( 2 ，1) 2
C． (
2 ，5) 26
D． ( 5 ,1) 6
F2P 为底边的等腰三角形，且 60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.( 3－1，1) 2
1，1 C. 2
B.( 3－1，1) 22
0，1 D. 2
考点 4、临界关系求离心率的取值范围
1、若双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0
与直线
y
2x
无交点，则离心率 e
的取值范围是（
左、右顶点），若存在以
2 2
c
为半径的圆内切于 △PF1F2
，则椭圆的离心率的取值范围是
（）
A．
0,
1 3
B． 0,
2 3
C．
1 3
,
2
D．
3
2 3
,1
4
学习，为了追寻更好的自己！
2、已知 F1、F2 分别是椭圆 C
:
x2 m
y2 4
1 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 P
y2 b2
1的左右焦点分别为 F1, F2 ， P
为椭圆上一点，且 PF1F2
6
，
PF2 F1
3
则椭圆的离心率
e
________
x2 y2 5、已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶
a2 b2
点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直
)
A． 3 1
B． 3 1 2
C． 2 1
D． 2 1 2
3、如图,椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的右焦点为 F
,过 F
的直线交椭圆于
A, B 两点,点 C 是
A 点关于原点 O 的对称点,若 CF AB 且 CF AB ,则椭圆的离心率为__________．
4、椭圆
x2 a2
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的右焦点为
F
，短轴的一个端点为
M
，直线 l : 3x
4y
0
交
椭圆 E 于 A, B 两点，若 AF BF 4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于 4 ，则椭圆 E 的离心率的取
5
值范围是（ ）
A．
0,
3
2
B．
0,
3 4
C．
3 2
,1
D．
3 4
,1
AF1 2 F1B ， AB BF2 ，则椭圆 C 的离心率为______.
考点 3、根据 a,b,c 的不等关系求离心率取值范围
1、设 a 1
，则椭圆
a
x2
12
y2 a2
1的离心率 e
的取值范围是（
）
Ａ．
3 2
，1
Ｂ．
0， 3 2
Ｃ．
0，1 2
Ｄ．
1 2
，1
2、已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一点，△PF1F2 是以
考点 1、根据 a,b,c 的值或关系直接求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 4
1
的一个焦点为 2,0
，则 C
的离心率为（
）
A． 1
3
B． 1
2
C． 2
2
D． 2 2
3
2、已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为( )
A.1 3
C. 2 2
B. 3 3
D.1 2
1
学习，为了追寻更好的自己！
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高中函数之离心率专题
授课标题 离心率专题
本次授课内容
掌握求椭圆及双曲线离心率 学习目标
灵活构造 a、b、c 三者的齐次等量及不等量关系求离心率 重点难点
本次课课堂教学内容
离心率
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有 两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要 把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题 难点的根本方法.
,
1 2
C．
1 5
,
1 4
D．
1 2
,
2 3
3、已知两定点 A1,0 和 B1,0 ，动点 P x, y 在直线 l : y x 3 上移动，椭圆 C 以 A, B 为焦点
且经过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为（ ）
A． 5
5
B． 10
5
C． 2 5
5
D． 2 10
5
4、设 A、B 是椭圆 C : x2 y2 1 长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足 AMB 120 ， 3m
分别为椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的左、右焦点，椭圆 C
上存在一点
P
使得
PF1
PF2
b ，
PF1
PF2
15ab ，则该椭圆的离心率为（
8
）
A． 1
2
B． 2
2
C. 3
2
D． 1
3
2、点
P
是椭圆
C1
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
与圆
x2 y2 a2 b2
的一个交点，且
2PF2F1 PF1F2 ，其中 F1 ，F2 分别为椭圆 C1 的左、右焦点，则椭圆 C1 的离心率为 (
A.
1 2
,1
B.
2,
3
2 2
C.
2 2
,1
D.
3 2
,1
4、已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P 到两焦点的距离之比为 2∶1，则椭圆 C 的离心 率的取值范围是________________．
考点 6、根据题目条件范围求离心率的取值范围
1、已知椭圆
E
线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
。
2
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x2 6、设 F1，F2 是椭圆 E：a2
y2 b2
1(a b 0)
x
的左、右焦点，P 为直线
3a 2
上一点，△F2 PF1
是底角为 30 的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为___________；
x2 y2
b
7、椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点 F(c，0)关于直线 y＝ x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆
3、已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
过点
ul ，当 l
A．
B． l C．
D．
l
l
l
l取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
4、若椭圆 x2 my2 1的离心率为 2 ，则椭圆长轴长为____________. 2
考点 2、根据几何性质找 a,b,c 的关系求离心率
1、设
F1, F2
4、分别过椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左、右焦点 F1 、 F2 作两条互相垂直的直线 l1 、l2 ，
它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．
5、已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一点，△PF1F2 是以
，
使得 PF1F2 的面积为 3 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 (