求离心率取值范围方法总结与典型例题

求离心率取值范围—常见6法

在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。

一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式

例1 若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。

解：设为椭圆上一点，则

. ①因为，所以以OA为直径的圆经过点P，所以

. ②联立①、②消去并整理得

当时，P与A重合，不合题意，舍去。

所以又，所以，

即得，即又，故的取值范围是

二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式

例2 已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，左准线为,l P是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得，

所以. ①由又曲线第一定义得

②由①-②得

在中，所以，

即.又，从而解得的取值范围是。

三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式

例3 设椭圆的两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使=120°.

解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知.

在中，由余弦定理得

==（

所以所以.

又，故的取值范围是

四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式

例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e的取值范围。

解：设椭圆的中心为，并延长交y轴于N，则=

因为，所以。所以

所以椭圆离心率的取值范围为

五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式

例5 已知椭圆的两焦点为F1、F2，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若，求椭圆离心率e的取值范围。

解：设F2(C,0),直线则，代入椭圆方程得.

又所以，所以，

解得因为，所以

解得，所以

六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c的不等式

例6 若椭圆上存在一点P，使，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。

解：设P（），由，

得，

即（①

解得

当

因此要使①有解，需，

即.

又，故e的取值范围是

总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。