求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题

求离心率范围的方法 一、建立不等式法：

1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意

一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，

|PF 1|≥c －a .

3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。 二、函数法：

1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

2.通过确定函数的定义域；

3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

练习

利用曲线的范围建立不等关系

1.F 1，F 2是椭圆x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的

取值范围.

2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范

围是_________.

3.设12,F F 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得

212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）

A ．

12

B ．1

3 C

．2 D

．3

2

π

4.

5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2

c

上存在点P ，使

线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，

22 B.⎝

⎛⎦⎥⎤0，

33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O

为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）

A ．⎛ ⎝⎭

B ．()0,1

C ．⎫⎪⎪⎝⎭

D ．⎛ ⎝⎭

利用线段长度的大小建立不等关系

7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双

曲线离心率的取值范围。

8.已知以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与直线l ：x ＝a 2

c

(其中c ＝a 2－b 2)交于

不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是____________.

9.若双曲线x 2－y 2b

2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2

＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值

范围是________.

10.已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >， 0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，

若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 31,

2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()1,2 C. 3,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

D. ()2,+∞

11.设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，

B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )

A.(1，＋∞)

B.(1，3)

C.(2－1，2＋1)

D.(1，1＋2)

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F ,2F .这两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||10PF =,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ,则12e e 的取值范围是（ ）

A.1(,)9+∞

B.1(,)5+∞

C.1(,)3

+∞ D.(0,)+∞

13.若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫b

2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的

离心率e 的取值范围为( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫55，35 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3

5

，55

14.若在线段

上（不含端点）有且仅有两个不同的点

，使得

，则双曲线的离心率的

取值范围是（ ） A.

B.

C.

D.

利用角度长度的大小建立不等关系

15.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的取值范围； 16.

17.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>与圆222

2:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作

的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．1

[,1)2 B ．[

22 C ．2 D ．[2

利用题目不等关系建立不等关系

18.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长