九年级数学专题09 特殊与一般

专题09 特殊与一般

——二次函数与二次方程

阅读与思考

二次函数的一般形式是()02

≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际

上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02

=++c bx ax

这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>∆时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为

A (1x ，0)，

B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，a

ac

b AB 42-=;

2.当0=∆时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点；

3.当0<∆时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．

由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】（1）抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是直角三角形，则ac = .

（全国初中数学联赛试题）

（2）为使方程b x x +=

+-3

1

1322

有四个不同的实数根，则实数b 的取值范围为 . 解题思路：对于（1），ABC ∆为直角三角形，则A ，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．

【例2】设一元二次方程0622

=-++k kx x 的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k 的取值范围．

解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．

【例3】如果抛物线()1122

++-+-=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，

B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ， （1）求m 的取值范围；

（2）若1:3:=b a ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线是否存在一点P ，使得PAB ∆面积等于BCM ∆的面积的8倍？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．

（南京市中考试题）

解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．

【例4】 设p 是实数，二次函数p px x y --=22

的图像与x 轴有2个不同的交点A ()0,1x ，B ()0,2x ． （1）求证：0322

21>++p x px ；

（2）若A ，B 两点之间距离不超过32-p ，求p 的最大值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：根据题意，方程022

=--p px x 有两个不同的实数根1x ，2x ，于是0>∆，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．

【例5】是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122

=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都

在2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k 应满足的条件，借助函数图象解题．

【例6】设m ，n 为正整数，且2≠m .如果对一切实数t ，二次函数()mt x mt x y 332

--+=的图

象与x 轴的两个交点间的距离不小于n t +2，求m ，n 的值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：由()0332

=--+mt x mt x ，得mt x x =-=21,3，由条件得n t mt +≥+23，因此不

等式对任意实数t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．

能力训练

A 级

1．已知二次函数2

242m mx x y +-=的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为24，则m = .

()2

已知9

26

2

221=

+x x ，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3．抛物线()02

≠++=a c bx ax y 的图象如图所示． （1）判断abc 及ac b 42

-的符号：

abc 0 ，ac b 42- 0； .

（2）当OB OA =时，c b a ,,满足的关系式为________________ .

第4题图

第3

题图

第6题图

4．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a 的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）

5．若关于x 的方程0322

=+-m x x 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m 的取值范围是（ ）

A. 89<

m B.8

9

14<<-m C. 59<<-m D. 214-<<-m （天津市竞赛试题） 6．设函数()()5412

+-+-=m x m x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A ，B 两点，且线段OA 与

OB 的长的比为1:4，则m 的值为（ ）

A. 8

B.-4

C. 11

D. -4 或11

7．已知二次函数c bx ax y ++=2

与x 轴相交于两点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其顶点坐标为

P ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--44,22b c b ，AB=21x x -，若1=∆APB S ，则b 与c 的关系是（ ） A. 0142

=+-c b B. 0142

=--c b 2

2