树和二叉树

树和二叉树

树形结构（非线性结构）：1）节点之间有分支；2）具有层次关系。

应用：自然界的树；人类社会的家谱和行政组织机构；计算机中的编译（用树表示源程序的语法结构）、数据库系统（用树组织信息）、算法分析（用树描述执行过程）。

定义：是n（n>=0）个节点的有限集。

若n=0,称为空树；

若n>0，则它满足如下两个条件；

1）有且仅有一个特定的称为根的节点；

2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。

树的其他表示方式：

还可以用广义表的形式表示（A(B(D))(C(E)(F))）。

树的基本术语：

根节点：非空树中无前驱节点的节点。

节点的度：节点拥有的子树数。

树的度：树内各节点的度的最大值。

叶子（终端节点）：度为0的节点

分支节点（非终端节点）：根节点以外的分支节点称为内部节点。

孩子、双亲：节点的子树的根称为该节点的孩子，该节点称为孩子的双亲。

兄弟节点：

节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点。 节点的子孙：以某节点为根的子树中的任一节点。 树的深度（高度）：树中最大层次（根节点为第一层）。 有序树：树中节点的各子树从左至右有次序（） 无序树：树中的节点没有次序。

森林：是m （m>=0）棵互不相交的树的集合。一棵树可以看成是一个特殊的森林。给森林中的各子树加上一个双亲节点，森林就变成了树（树一定是森林，森林不一定是树）。

二叉树的性质和存储结构

性质1、在二叉树的第i 层上至多有2^(i -1)个节点（i>=1）。至少1个

归纳基：当i=1时，只有一个根节点，2^(i -1)=2^0=1，命题成立。 归纳假设：设对所有的j （1<=j

归纳证明：由归纳假设可知，第i -1层上至多有2^(i -2)个节点。由于二叉树每个节点的度最大为2，故在第i 层上最大节点数为第i -1层上最大节点数的2倍，即：2*2^(i -2)=2^(i -1)。证毕。

性质2、深度为K 的二叉树至多有2^k -1个节点（k>=1）。至少有k 个节点

由性质1可见，深度为k 的二叉树的最大节点数为

∑

=-k

i i 1

)1(^2=2^k -1

性质3：对任何一棵二叉树T ，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则 n0=n2+1。

总边数为B ，B=n -1; B=n2*2+n1*1; n=n2*2+n1*1+1 总节点数为n ，n=n2*2+n1*1+1; 又 n0=n2+1

满二叉树

·一棵深度为k 且有2^k -1个节点的二叉树称为满二叉树。

·特点：1）每一层上的节点数都是最大节点数（即每层都满，不能空的）；2）叶子节点全部在最底层。

·对满二叉树节点位置进行编号：

·编号规则：从根节点开始，自上而下，自左而右。 ·每一节点位置都有元素。 ·满二叉树在同样深度的二叉树中节点个数最多；满二叉树在同样深度的二叉树中叶子节点个数最多。

完全二叉树

定义：深度为k的具有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的节点一一对应时（1~n之间的节点不能断），称之为完全二叉树。

注：在满二叉树中，从最后一个节点开始，连续去掉任意个节点，即是一个完全二叉树。

特点：1、叶子节点只可能分布在层次最大的两层上。

2、对任一节点，如果其右子树的最大层次为i，则其左子树的最大层次必为i

或i+1.

完全二叉树的性质

性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为。

公式为取3,3+1=4；所以有4层

性质4表明了完全二叉树节点数n与完全二叉树深度k之间的关系。

性质5：如果对一棵有n个节点的完全二叉树（深度为[log2n]+1）,节点按层序编号（从第1层到第[log2n]+1层，每层从左到右），则对任一节点i(1<=i<-n),有：

1)如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果>1,则其双亲是节点[i/2]。

2)如果2*i>n,则节点i为叶子节点，无左孩子；否则，其左孩子是节点

性质5表明了完全二叉树中双亲节点编号与孩子节点编号之间的关系

二叉树的顺序存储

实现：按满二叉树的节点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。

//二叉树的顺序存储表示

#define MAXSIZE 100

typedef int SqBitree[MAXSIZE]//这里将树的存储类型定义为int型

SqBitree bt;

缺点：最坏情况深度为k的且有k个节点的单支树需要长度为2^k-1的一维数组。

特点：节点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树。

二叉树的链式存储结构

//二叉链表存储结构

typedef struct BiNode{

int data;

struct BiNode *Lchild ,*Rchild;

}BiNode,*BiTree;

在n个节点的二叉链表中，有n+1个空指针，分析：总共必有2*n个链域，其中除了根节点外每个节点都有一条链域与前驱相连，所以共消耗n-1个链域，因此，空指针为2*n-(n-1)=n+1(个）

三叉链表：

typedef struct TriTNode{

int data;

struct TriTNode *Lchild ,*Rchild,*parent;

}TriTNode,*TriTree;

遍历二叉树

遍历定义：顺着某一条搜索路径寻访二叉树中的节点，使得每个节点均被访问一次，而且仅被访问一次（又称周游）。-----”访问”的含义很广，可以是对节点作各种处理，如：输出节点的信息、修改节点的数据值等，但要求这种访问不破坏原来的数据结构。

遍历目的：得到树中所有节点的一个线性排列。

遍历用途：它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提，是二叉树一切运算的基础和核心。

遍历二叉树的算法描述：

根据遍历序列确定二叉树

·若二叉树中各节点的值均不相同，则二叉树节点的先序序列、中序序列和后序序列都是唯一的。

·有二叉树的先序序列（先序遍历，根节点不在序列头部）和中序序列，或有二叉树的后序序列和中序序列（后序遍历，根节点必在后序序列尾部）可以确定唯一一颗二叉树。有先序和后序就不行。

【算法5.1】遍历

//先序遍历递归,后序和中序改变顺序即可

int preorder(Bitree t){

if(t==null) return 0;//空二叉树