四年级上册数学试题奥数第21讲图形的切拼一全国用含答案

小学奥数图形的分割与拼接精选例题练习习题(含知识点拨)

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．知识点拨例题精讲4-2-3.图形的分割与拼接llll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20604020【例 8】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”。

四年级上册数学试题 - 奥数第21讲：图形的切拼(一) 全国用(含答案)

第21讲图形的切拼（一）把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。

这一讲，我们一起来研究这类问题。

例1如下图所示：是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。

（1）分析与解答：如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分。

每部分面积应是正方形面积的，再把三个个正方形合成一个与个正方形形状相同的图形，于是我们就有了如图（2）的分法。

（2）例2请把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的小三角形。

分析与解答：①分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形平均分成两份，得到如下左图所示的图形。

②分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到下右图所示的符合条件的图形。

例3将下图中的图形分成形状相同、面积相等的两部分，想一想，应该怎么分？分析与解答：为了方便，可先将图分成许多1×1的小正方形（请你在“坐标纸”上画一画），如下左图：由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位。

为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来。

下面继续进行类似的推理，可以找到答案。

具体分法见下右图，图中的阴影和空白部分将上图分成了形状相同、面积相等的两部分。

例4长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请你先把它剪成大小、形状都相同的两部分，然后再把它们拼成一个正方形。

分析与解答：已知长方形面积是：9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如下图所示：例5请你把下图中的两个图形中的某一个分成三块，然后再把它们拼成一个正方形。

【思维拓展】数学四年级思维拓展之图形的分割与剪拼(附答案)

四年级思维拓展之图形的分割与剪拼1.请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?2.图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?3.把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?4.下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．5.下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？6.将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．7.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．8.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．参考答案1.【解答】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.2.【解答】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.3.【解答】先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如下图所示.4.【解答】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是由6结合染色法，如下图.5.【解答】用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图．6.【解答】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中的一个如图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以图2为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图3；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图．图2：图3：7.【解答】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，所以将长为3的边分成两段，找到AD 的三等分点E，现在，CD=AE,DE=AB,EF=EF，所以还要找到BC 的中点F，连接EF，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分.如下图.8.【解答】最好拿起手中的等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，见下图【解答】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4×4的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，如下图：→→。

四年级奥数讲义几何图形简拼

几何图形剪拼例题1.将下面两个图形分别分成四块相同的图形：2. 将右面图形分成四块相同的图形，要求每一块都包含A 、B 、C 、D ；3. 在俄罗斯方块的游戏中出现的七种图形如下，它们都是由4个单位小方格组成的连通图形。

1）如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形，那么可以用的图形有哪几种；2）如果用其中的4种不同的图形拼成一个面积是16的正方形，那么可以选择哪几种图形；4. 如图所示，有一个的正方形，现在要把它分割8个小正方形，1）要形成2种面积不同的小正方形，如何分割；2）要形成3种面积不同的小正方形，如何分割；5. 用四块直角三角板（形状如图）拼成一个外沿是正方形，里面有一个正方形孔的图形；6. 右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形，现在要把它剪成4块形状大小均相同的图形，应该如何剪？7. 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，把它剪成两块再拼成一个正方形；8. 将右图分成两块，然后拼成一个5 6的长方形。

请在原图上标明分割线，并画出长方形的拼合图；9. 右图的纸片是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成，请把它分成三部分，并可以重新拼成一个正方形；D C A A B B C D A D C A B C D B（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（1）几何图形剪拼课后练习1.将一个任意形状的三角形分成四块相同的图形；2.把一张长方形纸片剪一刀（不能折叠），分成两部分，使这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形，还能拼成梯形，在下面的图中画一直线表示剪切，并画出拼法；3.把一个长24厘米，宽15厘米的长方形剪成形状大小相同的两块图形，重新拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形；4.梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60 ，将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块；5.将右图分割成相同的两块，然后拼成一个正方形；6.将一个正方形按要求分成四块图形，并重新形成两个正方形；1）四块图形相同，两个新正方形面积相同2）四块图形可以不同，两个新正方形，一个是另一个面积的8倍；。

奥数：4-1-5图形的分割与拼接题库

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．例题精讲图形的分割与拼接可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 14 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．AB C B AABC【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．AB C B ABA【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→ 【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DC BA 1FE 221D C B A【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020【解析】先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是54个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【解析】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例 11】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．666555444333222111【例 12】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底⨯高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O【例 14】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥【解析】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．本读数奥答案不唯一．【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【解析】如下图所示：图1答案不唯一．【例 16】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【解析】看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角22 的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉．现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：考思习学考思学习学考思习学考思习学习思考考思习学考思习学考思习学【例 17】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1 图2【解析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转90、180、270得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转180后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“⨯”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分．空白部分是另外两块．下就是最后分得的结果．【例 19】正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FE D CB AFE D CBA【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有1553÷=(个)小正方形，如图．⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822-=(厘米)．图1【例21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例22】(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【解析】分割的方法不唯一，如图所示．【例23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→【例 27】有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．→→【例28】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A) (B) (C)已有A型板30块，要购买B、C两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B型板每块价格5元，C型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B、C两种板要花多少元？【解析】要使花的钱尽可能的少，已有30个A型板最好能用上，而价格较贵的B型板尽可能少用，因为A型与B型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C型板或1块C型板，考虑尽可能多地使用A型板，有如下图1、图2的拼法：BCC CCBAAAAAABCA图1图2图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A型板，所以在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)【例29】试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三图形的剪拼【例30】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例31】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图．【例32】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有6个单位，具体切拼方法如下：【例33】试将一个49⨯的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】已知长方形格数9436⨯= (个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图．。

小学奥数第二十一讲图形的切拼和变换.doc

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】第二十一讲图形的切拼和变换阅读与思考法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。

他从一名军官成为一国之君，东征西讨，战功赫赫。

他对数学也有着浓厚的兴趣，他喜欢思考和讨论数学问题。

在圣赫勒拿岛上，拿破仑常与自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。

一天，他给卡萨斯出了一道智力题，那是他当年随军远征时见过一块形状奇异的土地（如图1）。

他曾发出誓言；谁能将它分成形状相同的两块，这块土地就赏给谁。

然而，当时无人能做到。

卡萨斯也考虑了好几个晚上，仍未能解得此题。

当拿破仑告诉他后，他看到题目的解法竟然如此简单而后悔不已。

这一有趣的问题后人称为“拿破仑分地”问题，它的具体解法如图2.也就是本讲中我们要讨论的第一个问题——“图形的切拼”，也即图形的切割问题。

另外，我们在求某些组合图形的面积时，由于题目中的条件不多，用公式无法计算，即使用到前面第八、九两讲所学习的方法和技巧也很难奏效，但若是用到平移、旋转、对称等其他几何图形变换的手段往往能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。

平移就是将一个图形沿固定方向进行移动，使原图形变成新的图形结构。

平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

旋转就是将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，从而形成一个新的图形结构。

旋转也只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对称分轴对称和中心对称。

轴对称图形就是沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全生命。

轴对称图形的对称轴平分这个图形的面积，这一特性在求组合图形的面积时经常用到。

如果在一个图形上任取一点，把这一点与一定点连续起来，并且将连线段延长一倍，延长线段的外端点在图形的另一部分上，这个定点叫做对称中心，这样的图形就是中心对称图形。

典型例题|例1|将下面图形分成三块形状相同，大小相同的图形（如图3）。

训练1：如图4是一个等腰梯形，上底与腰相等，下底是上底的2倍，怎样剪开可以得到四个面积相等形状一样的小等腰梯形？（在图形中画出来）|例2|如图5是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。

高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形

第二^一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密. 回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形）乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B. C\ ⑪个三角形，革均匀生怅，1草场的苹可使⑷头牛吃I 氏，R 草场的草可供祀％牛吃一天「【草场前龜可供⑷（）其牛唏一天,I ）堂埸堰？底AB底我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” •“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形.如图，已知平行四边形 ABCD 的面积是100平方厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图，E 是平行四边形 ABCD 中的任意一点，已知厶AED 与厶EBC 的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB 、三角形PAB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是 AB ;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的•进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的.ABCA DBC如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米, 高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？练习2如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米, BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？练习3如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中, 而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进A F HBE CA D例题4如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点, 已知DE和AB平行，那么与△ ADC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦!8厘米.求阴影部分的面积.A DO如右图，梯形ABCD中，对角线相交于0点，由于AD与BC平行，那么就有△ ABC与厶DBC同底等高、面积相等，△ ABD与厶ACD同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ ABO与厶CDO面积相等.我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ ABO与△ CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB=8, AD=15，四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理 (Butterfly theorem )，是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，贝U M是XY的中点.从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得.实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可.这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”.混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论•混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别.混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国.作业1. 如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△ BCE的面积是多少平方厘米？2.如图，长方形ABCD的面积为6,平行四边形BECF 的面积为多少？4. 如图，长方形的长为16,宽为5.阴影三角形的面积和为多少?5. 如图，直角梯形 ABCD 中，CD 30，BD 40，BD 和CD 垂直•那么三角形 ABC 的面积是多少？3. 如图所示，一个长方形被分成 4个不同的三角形，红色三角形的面积是 9平方厘米，黄色三角形的面积是 21平方厘米，绿色三角形的面积是面积是多少平方厘米？10平方厘米，那么蓝色三角形的C1. 例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米.2. 例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米•狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米.3. 例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米.4. 例题4答案：△KBD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和△KBE .5. 例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解:(1)如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底(共同的底为大正方形对角线)等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米.(2)如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底(共同的底为小正方形对角线)等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米.第二十一讲等积变形1. 例题1答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米.2. 例题2答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将 F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米.3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米.4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．第二十一讲等积变形1. 例题1 答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米．2. 例题2 答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米．3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米．4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD 平行于BC，AB 平行于DE ．根据AD 平行于BC ，可以知道△\DC的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．。

四年级数学奥数培优讲义-专题10平面图形的切割与拼接(含解析)

四年级数学奥数培优讲义-专题10平面图形的切割与拼接（含解析）专题10平面图形的切割与拼接图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再讲成一个规则的图形。

拼切前后的图形面积大小不变。

利用图形的对称性进行拼切是一种常用的方法，还要学会选择分割的方法和技巧。

1．用一张长方形纸剪同样的三角形（如下图），最多能剪多少个这样的三角形？2．一个三角形的底是12分米，高是8分米，用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方分米？3．一块装饰玻璃形状如下图所示，这块玻璃的面积是多少平方分米？4．王村有一个宽20米的长方形鱼塘。

因修路，鱼塘的宽减少了6米，这样鱼塘的面积就减少了180平方米。

现在鱼塘的面积是多少平方米？（先画出减少的部分，再解答）5．长方形纸长24厘米、宽14厘米，先剪下一个最大的正方形，再从剩下的长方形中剪下一个最大的正方形。

最后剩下的小长方形的面积是多少？6．欣欣和乐乐想用一张长8分米、宽5.5分米的长方形纸剪边长是2分米的正方形。

乐乐说：“我最多能剪出11个正方形”，欣欣说：“不可能，你吹牛”。

你认为乐乐是在吹牛吗？请你用画示意图的方式说明你的想法。

7．在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸的一端剪掉一个最大的正方形，在剩下的长方形纸的一端再剪掉一个最大的正方形．最后剩下部分是什么图形？它的面积是多少平方厘米？8．一块正方形的玻璃边长8分米，在它一角切下一个长4分米、宽3分米的长方形，这块玻璃剩下部分的周长多少分米？（先画图，再计算）9．李阿姨在一块长为80分米，宽为50分米的长方形花布上剪下一块最大的正方形花布，这块正方形花布的周长是多少分米？剩下的花布的周长是多少分米？10．一张长方形桌布长120厘米、宽90厘米。

这张桌布有了一个洞，为了不浪费，小明想剪下一块最大的正方形桌布。

剪下的这块正方形桌布的面积是多少平方厘米？11．在下图的长方形中，截取一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是多少厘米？12．一块长方形花圃，如果把它的长减少4米，面积就减少64平方米；如果把它的宽增加4米，面积就增加80平方米。

4年级奥数几何图形拼剪问题例题

1．在图7-1所示的①号、②号、③号、④号这4个图形中，可以用图7-2所示的两种小块拼成的图形是第几号?[分析与解]①号和②号图形各有11个小方格，11不是3的整数倍，因此不能用这两种图形拼成．③号图形的右上角和下边只能用来拼，剩下的图形显然不能用这两种图形来拼．只有④号图形可以用这两种三个方格的图形来拼，拼法有多种，下面给出一种．2．在方格纸上剪出由4个单位小方格组成的连通图形，其形状只能有如图7-3所示的7种．如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形，那么可以用的图形有几种?[分析与解]用四个图⑤或⑦，显然可以拼成面积为4×4的正方形．用图形①、②、⑥的拼法如下图所示：图形③、④不行，所以可用的图形有5种．3．在方格纸上剪出由4个单位小方格组成的连通图形，其形状只能有如图7-3所示的7种．如果用其中的4种拼成一个面积是16的正方形，那么这4种图形编号之和的最小值是多少?[分析与解]编号最小的为①、②、③、⑦，和的最小值为13．4．如图7-4，在一个5×5的方格表中，每个方格内都写有一个数．在挖去一个方格后，可以将方格表剪成8个1×3的长方形．那么应该挖去的方格内写的数是多少?[分析与解]由下图知，应将13号方格挖去．5．9个边长分别为1，4，7，8，9，10，14，15，18的正方形可以拼成一个长方形．问这个长方形的长和宽是多少?并请画出这个长方形的拼接图．[分析与解]长方形的面积为12+42+72+82+92+102+142+152+182＝1056．长方形的宽显然大于等于18，而1056＝22×48＝24×44＝32×33，但18只有与4相加得22，多出得18－4＝14无法与其他数相加得出22，所以宽不能是22．同理，宽不是24，因而长方形的宽是32，长是33．具体拼法如下图．当然上图的对称图形也是符合要求的．6．把图7-5所示的正方形分割为3种面积不同的小正方形，并且使得小正方形的个数是8．[分析与解]可以如下的分出：评注：此图可以用来说明(3+2)2＝32+22+2×(3×2)．7．用l×l×2，l×1×3，l×2×2三种木块拼成3×3×3的正方体．现有足够多的l×2×2木块，还有14块l×l×3的木块，要拼成l0个3×3×3的正方体，最少需要l×1×2的木块多少块?[分析与解]因为有足够多的1×2×2木块，所以要尽可能多地利用这种木块．在拼成1个3×3×3的正方体时，1×2×2最多用5个，还要1×1×2的2个，1×1×3的1个，具体拼法如下图．其中1，2，3，4是1×2×2，还有一块在背面，紧贴2与3，5与6的是1×1×2，7是1×1×3．由于1×1×2和1×2×2的体积是偶数，而3×3×3＝27是奇数，因此拼成的正方体中最少有1个1×1×3．现在有14个1×1×3，要拼成10个正方体，至少用药其中10个，也就是说，至多只能多出4个．为了上面拼成中的1×1×2尽可能的少，只有用2个1×1×3来代替1个1×1×2和1个1×2×2，这样可少用1个1×1×2．原来拼10个要用10×2＝20个1×1×2，现在多了4个1×1×3，可少用2个1×1×2，只要20－2＝18个．所以最少需要1×1×2的木块18个．8．从一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽l厘米的纸条?请画图说明剪裁方法．[分析与解]长方形纸片的面积为14×11＝154立方厘米，而每个小纸片的面积为4×1＝4平方厘米．①②③9．请将图7-6所示的6×6方格表沿网格线分成大小形状都相同的4块，并且每块中都有黑子与白子各一个．[分析与解]注意利用对称性，下面给出剪拼方法：10．观察图7-7，ABCDEF是正六边形，D是它的中心．画出线段PQ后，就把ABCDEF分成两个形状、大小都相同的五边形PABCQ与PFEDQ．请在图7-8中画出3条线段，把正六边形ABCDEF，分成6个形状、大小都相同的正三角形．请在图7-9中画出几条线段，把正六边形ABCDEF分成3个形状、大小都相同的五边形．[分析与解]如下图所示：11．现在要将图7-10中所示的图形分割成4个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼合成一个正方形．请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼合图．[分析与解]我们不难计算出题中图形的面积为36，有36＝6×6，所以拼成的正方形的边长为6，下面给出两种拼法．12．将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形．请在图7-1l中同时画出切割线和拼接线．[分析与解]如下图，给出一种拼接方法：13．如图7-12，长方形ABCD的长是4厘米、宽3厘米，从这个长方形中减去两个长2厘米、宽l厘米的小长方形后得到一个“T”形，请你沿直线对这个“T”形剪两刀，使剪开的部分恰好能拼成一个正方形．请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼合图．[分析与解]这个“T”形图的面积为4×3－2×2×1＝8，拼成的正方形边长不是整数，但是我们可以利用对角线来求解．下面给出两种不同的拼合方法．14．试将图7-13分成两块，然后拼成一个5×6的长方形．请在原图上标明分割线，并画出长方形的拼合图．[分析与解]注意运用对称性，15．如图7-15，在8×8的方格表中用形状如图7-14所示的“L”形纸片来覆盖，要求每个“L”形都恰好盖住3个小方格．为使所余部分不能再放入“L”形，最少需要摆放多少张纸片?[分析与解]最少需要11个．每个2×2的正方形至少被覆盖住2个小方格，才不能再放下“L”形．在8×8的正方形中有16个2×2的正方形，因此至少需要覆盖住2×16＝32个小方格．而要覆盖住32个小方格至少需要11个“L”形，不然，10个只能覆盖3×10＝30个小方格．具体的覆盖方法很多，下面给出几例．。

【教师版】小学奥数4-2-4图形的分割.专项练习及答案解析

【教师版】小学奥数4-2-4图形的分割.专项练习及答案解析几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。

我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。

掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。

解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题【解析】将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米【例 2】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【考点】图形的分割【难度】2星【题型】解答【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199?=(平方米)．例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【答案】9平方米【例3】将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.【考点】图形的分割【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分【解析】阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍【答案】16倍【例 4】正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割【难度】3星【题型】解答【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例 5】正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割【难度】3星【题型】解答【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122?= (平方米)【答案】2平方米【例 6】长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。

四年级上册数学试题 - 奥数第22讲图形的切拼(二) 全国用(含答案)

第22讲图形的切拼(二)学校有一块正方形的绿地（如下图所示），里面恰好有12棵小松树。

现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养，要求每块绿地的形状和大小都相同，并且恰好都有三棵小松树。

怎么分呢？数学老师把这个问题交给了五（1）班的同学们。

呵，大家讨论的可热烈啦。

一下课，同学们就交给了老师两种方案，见下图。

同学们，你们知道他们是采用什么方法分割的吗？下面我们通过几个例题一起研究等分图形的技巧和一些图形的切拼问题。

例1下图是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。

分析与解答：从计算图形面积开始。

梯形面积=（20+40）×60÷2=1800（平方厘米）。

所以分成两部分后，每一部分的面积为900平方厘米。

设MN为梯形ABCD的中位线，MN=（20+40）÷2=30（厘米），这样MN把梯形ABCD 分成了两部分，如图：梯形ABNM的面积是：（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）；梯形MNCD的面积是：（20+30）×30÷2=750（平方厘米）。

两个梯形的面积一大一小相差：1050-750=300（平方厘米），根据”移多补少”的原理，所以梯形MNCD的面积的面积应增加300÷2=150（平方厘米），梯形ABNM的面积也就相应减少150平方厘米.因为MN=30（厘米），比较简单的方法是：以MN为三角形的高，在NB上找一点P，使三角形MPN 面积为150平方厘米，所以线段NP：150×2÷30=10（厘米），这样NP就把梯形分成了面积相等的两部分。

具体分法见上图，线段MP把梯形ABCD分成了面积相等的两部分。

说明：下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形ABPM中，过M点作ME垂直AB于E，则ME把四边形ABPM分成了两部分：直角三角形 AEM和直角梯形EBPM.因为MN=EB=30（厘米），所以AE=10（厘米）。

四年级奥数巧解图形拼割问题

巧解图形拼割问题巧点晴——方法和技巧本讲主要讲述一些趣味性的拼图游戏以及图形面积的各种法，如平移、割补等。

要求同学们熟知一些特殊图形的面积计算公式，如三角形、长方形、梯形的面积公式；善于发现所求图形与基本图形之间的关系，熟练掌握图形的拼、割、补。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】四边形ABCD是一个长方形，画一条直线把这个长方形分成两部分，并使这两部分能够拼成一个平行四边形、三角形或梯形。

问这条直线应该怎么画？做一做1 把下列各图分别剪成三块，各拼成正方形。

【例2】将一个长为9，宽为4的长方形（如下图①）分成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解先算出所拼正方形的边长。

因为拼成的正方形的面积与原长方形的面积相等。

4×9=36=6×6，所以正方形的边长是6。

正方形的边长为6，将下图①分成两块，如下图②），然后拼成正方形，如下图③所示：③做一做2 将长为36，宽为25的长方形分成两块，然后拼成一个正方形。

【例3】如下图，用方格纸剪成面积是4平方厘米的图形，图形形状有7种。

其中有哪种图形可以拼成面积是16平方厘米的正方形？①②③④⑤⑥⑦做一做3 用方格剪成面积是4的图形，其形状只有以下7种。

如果用其中的四种图形拼成面积是16的正方形，那么这种图形的编号和的最小值是。

①②③④⑤⑥⑦B级培优竞赛·更上层楼【例4】怎样把两张正方纸拼成一个大正方形纸？分析与解1 把两张正方形纸都沿着其一条对角线剪开，然后拼成一张大正方形纸，如下图所示：分析与解2 把两张正方形纸中的一张正方形纸沿其两条对角线剪分析与解3 把两张正方形纸分别沿其两条对角线剪开，然后拼成一张大正方形纸，如下图所示：做一做4 你能想出例3的其他拼法吗？【例5】图钉钉画：把4张长方形画用图钉钉在墙上，要使每张画的4个角上都钉上图钉，一共需要几颗图钉？方法1 如下图所示，把4张画分开钉，每张需4个图钉，用16个图钉。

【经典】小学四年级奥数题及答案(可直接打印) 一图文百度文库

【经典】小学四年级奥数题及答案(可直接打印) 一图文百度文库一、拓展提优试题1．定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝．2．是三位数，若a是奇数，且是3的倍数，则最小是．3．将一张长11厘米，宽7厘米的长方形纸沿直线剪开，每次必须剪出正方形，这样最多能剪出个正方形．4．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是分．5．如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期．6．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．7．在□中填上适当的数，使竖式成立．8．学校有足球和篮球共20个，恰好可供96名同学同时活动，足球每6人玩一个，篮球每3人玩一个，其中足球有个．9．小胖用两个秒表测一列火车的车速．他发现这列火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样的速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是米．10．爸爸比儿子大24岁，今年爸爸的年龄是儿子的五倍，年后爸爸的年龄是儿子的三倍．11．两数相除，商是12，余数是3，被除数最小是．12．六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行15次传球．13．一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，若长方形的长是1024，宽是1，则正方形的周长是．14．如图，将一张圆形纸片对折，再对折，又对折，…，到第六次对折后，得到的扇形的面积是5，那么，圆形纸片的面积是．15．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】定义新运算需要理解题中给出的运算过程，△的运算是两数和再乘以第二个数的积运算．□的运算是两数的积与第二个数的和运算．解：依题意可知：a△b＝（a+b）×b得1△2＝（1+2）×2＝6a□b＝a×b+b得6□3＝3×6+3＝21故答案为：21【点评】本题的关键是找到新定义的符号的意义和运用．同时注意做题时的顺序是从左向右的顺序计算，那么代表他们是同级运算．问题解决．2．【分析】要使最小，那么百位数字最小是1，那么十位数字是0，这个数就为，然后根据能被3整除的数的特征确定c的最小值即可．解：要使最小，那么百位数字最小是1，那么十位数字是0，这个数就为，又因为是3的倍数，所以可得：1+0+c的和是3的倍数，所以，c最小是2，则，最小是102．故答案为：102．【点评】本题考查了能被3整除的数的特征的灵活应用，关键是确定百位和十位的数字．3．解：根据题干分析可得：答：一共可以剪出6个正方形．故答案为：6．4．【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96×4＝384分，用这一分数减去小光前三轮的得分即可解答．解：96×4﹣95﹣97﹣94，＝384﹣95﹣97﹣94，＝98（分）；答：第四轮的得分至少是98分．【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键．5．【分析】今天算起，57天后的第一天也就是经过了57天，用57除以7，求出经过了多少周，还余几天，然后根据余数推算．解：57÷7，＝57÷7，＝8（周）…1（天）；余数是1，星期五再过1天是星期六．故答案为：六．【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．6．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块， (1)20，2＝21，4＝22，8＝23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n＝90，因为1+4+16+64+5＝90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27＝2+8+32+128＝170（块），90+170＝260（块），答：最初包裹中有 260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．7．解：根据题干分析可得：8．解：假设全是足球，96÷6＝16（个），4×6＝24（人），篮球：24÷（6﹣3），＝24÷3，＝8（个）；足球：20﹣8＝12（个）；答：其中足球有12个．故答案为：12．9．解：根据分析可得，660÷（40﹣10），＝660÷30，＝22（米）；22×10＝220（米）；答：火车的车身长是 220米．故答案为：220．10．解：根据题意，由差倍公式可得：今年爸爸的年龄是儿子的五倍时，儿子的年龄是：24÷（5﹣1）＝6（岁）；爸爸的年龄是儿子的三倍时，儿子的年龄是：24÷（3﹣1）＝12（岁）；12﹣6＝6（年）．答：6年后爸爸的年龄是儿子的三倍．故答案为：6．11．解：除数最小为：3+1＝412×4+3＝48+3＝51故答案为：51．12．解：一个图形中，如果有K个奇点，那么这个图形会用笔画出来．为了让这个图形用一笔画出来，则要使它只存在2个奇点．上面的图形共有6个奇点，6×5÷2＝15条线．最少可以去掉2条线（剩下13条线），使6个奇点变成2个奇点，就可以用一笔画出来了．所以6人两两传球，但每两人之间最多只能传一次，最多就能传13次．故答案为：13．13．【分析】若长方形的长是1024，宽是1，根据长方形的面积＝长×宽，可求出长方形的面积，再根据正方形的面积公式可求出正方形的边长，然后再根据正方形的周长＝边长×4可求出它的周长．解：1024×1＝10241024＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝32×32，所以正方形的边长是32．32×4＝128答：正方形的周长是128．【点评】本题主要考查了学生对长方形面积和正方形面积与周长公式的掌握．14．【分析】把这张圆形纸片对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角＝180°，再对折1次，就是把平角平均分成2分，每份是90°，再对折1次，就是把90°的角再平均分成2份，每份是45°，第六次对折后，平均分成了（2×2×2×2×2×2）＝64份，得到的扇形的面积是圆面积的；由此解答即可．解：5＝320答：圆形纸片的面积是320；故答案为：320．【点评】本题是考查简单图形的折叠问题，明确把圆对折6次后，得到的图形的面积是圆面积的．15．【分析】先用两个班的总人数减去四（1）班的人数，求出四（2）班的人数，再用四（2）班的人数减去四（2）班男生的人数，求出四（2）班女生的人数，再用女生的总人数35人，减去四（2）班的女生人数，就是四（1）班的女生人数．解：35﹣（72﹣36﹣19）＝35﹣17＝18（人）答：四（1）班有女生 18人．故答案为：18．【点评】解决本题注意理解题意，把总人数按照两种方法进行分类：总人数＝四（1）班人数+四（2）班人数＝男生人数+女生人数．。

小学奥数思维训练几何图形剪拼通用版

实用标准文档2021年四年级数学思维训练：几何图形剪拼1．如图，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法．〔如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的〕2．观察图，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3．如图，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两局部，应该怎么办？4．请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形．5．请把图沿格线分成形状、大小都相同的三局部，使得每局部都恰好含有一个“○〞．6．如图，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来．文案大全实用标准文档7．图1是由五个相同大小的小正方形拼成的，图2是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的．请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形．8．如图，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形．〔1〕如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？〔2〕如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9．如图，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：1〕如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？2〕如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10．如图是由假设干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？11．请在图中标出分割线，把下列图沿格线分成形状、大小都相同的四个局部，〔如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的〕12．把图沿格线分割成形状、大小都相同的四个局部，请在图中画出具体的分割方法．文案大全实用标准文档13．将图分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法．14．一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的纸条，请画图说明．15．将图分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D．16．将边长分别是3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形．〔先在左下列图画出切割示意图，后在右下列图画出新拼成的正方形示意图．〕17．请将图剪成三块，再拼成一个正方形．18．将图分割成四个形状和大小都相同的局部，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图．19．如图中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形．文案大全实用标准文档20．有一张长方形纸片，按图所示剪成了三块，这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法．21．把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法．22．用假设干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法．23．将图沿格线分割成大小、形状完全相同的四个局部，你能想出几种方法？〔如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的〕24．如图，长方形的长和宽分别是25厘米和16厘米．请把这个长方形剪成两块，再拼成一个正方形．25．如图1是一块25×49〔单位：厘米〕的长方形纸片，现在要沿虚线将它分成三块，再拼成图2的边长为35厘米的正方形纸片．请用实线标明剪切和拼接的方法，在这里，虚线划分成的小长方形的大小均为5×7〔单位：厘米〕．26．将图沿格线分割成七个形状不同的长方形〔包含正方形〕，请在图中用实线标出分割线．文案大全实用标准文档27．如图是由5个小正方形组成的一个“十字架〞．请将它剪成假设干块，然后拼成一个大正方形．28．如图，一个大长方形左上角缺少一个2×3的小长方形．请把这个图形分成三局部，再拼成一个正方形．29．有一个大正方形，现在要把它分割为12个小正方形，那么：〔1〕要形成2种面积不同的小正方形，可以如何分割？〔2〕要形成3种面积不同的小正方形，可以如何分割？〔3〕要形成4种面积不同的小正方形，可以如何分割？30．请画出一个三角形，并把它分成大小形状都完全相同的4个小三角形．如果要分为完全相同的16个小三角形，该如何画？文案大全实用标准文档参考答案1．比拟常见的方法：【解析】试题分析：前三种是比拟常见的方法，又因为正方形是中心对称图形，根据中心对称的性质，正方形一定被经过中心的直线平分据此解答即可．解：比拟常见的方法：因为只是要求分成形状、大小都相同的四个局部，没要求具体什么图形，所以只要这两条直线过正方形中心且相互垂直即可，因而有无数种剪法：点评：此题考查了中心对称及正方形的性质，解决此类问题，要充分考虑题意的要求．2．根据分析画图如下：【解析】试题分析：不管把六边形平均分成几局部，六边形的六条边必须在分成的每一局部的外沿，其他边不可能在六边形的外边，只能处在六边形的内部，从这个角度来计算，分成的每一部分保存的六边形原来边的条数是：图〔2〕，分成6个形状、大小都相同的正三角形，含有原来边的条数是：6÷6=1条，相当于1条边的长度，所以连接它的中心O，和六个顶点，即可符合要求；图〔3〕分成3个形状、大小都相同的四边形，含有原来边的条数是：6÷3=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两文案大全实用标准文档条边的长度各取一半，所以只有前者才可满足条件．图〔4〕把正六边形ABCDEF分成3个形状、大小都相同的五边形，含有原来边的条数是：6÷3=2条，相当于2条边的长度，这就有两种可能，一是：相邻的两条边的长度，二是：相邻的3条边，其中两条边的长度各取一半，所以只有后者才可满足条件．解：根据分析画图如下：点评：此题要从平均分成的每一局部图形的特征和规律入手，找到每一局部图形保存原有的边的长度．3．如下图：【解析】试题分析：这两个图形都是中心对称图形，找出两个图形的对称中心，过这两个中心做直线，即可把纸片分成面积相等的两局部．解：如下图：点评：解答此题需结合图形，利用中心对称图形的性质即可解决问题．4．把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下列图：【解析】试题分析：〔1〕第一个图共12个小方格，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由12÷4=3个小方格组成；通过观察，画图即可；〔2〕第二个图共12个三角形，要分成四个大小相等，形状相同的图形，每个图形应由12÷4=3个三角形组成；进而分析画出即可；解：把图分成四个大小相等、形状相同的图形如下列图：文案大全实用标准文档点评：此题应结合题意，根据各图的特点，进行分析，然后试画，进而得出问题答案．5．答案如图，【解析】试题分析：此题需要认真的观察，共有12个小正方形，说明4个一组，根据图形的特点，分成正规的小正方形是不可能的，因此只能分成不规那么的图形，方案如下．解：答案如图，点评：此题应结合题意进行分析，分析过程中最好通过实践操作得出问题答案，并进行验证．6．12个，如下图：【解析】试题分析：观察图形，先把六角形的外部的六个角分割出6个与小三角形完全相同的三角形，那么内部是一个正六边形，再把正六边形的六个顶点分别与正六边形的中心连接起来，又可以分割成6个与小三角形完全相同的三角形，所以拼成这个六角形，一共要6+6=12个小三角形，据此即可解答．解：根据题干分析可得，拼成这个六角形，一共要6+6=12个小三角形，文案大全实用标准文档故答案为：12．点评：根据六角形的特点，先把这个图形进行分割，即可解答问题．7．如下图：红线为切割线：1〕2〕【解析】试题分析：〔1〕因为给出的是五个正方形拼成的图形，所以要将图形切分成四块形状、大小都一样的图形，也就是必须把这5个正方形平均分成四份，所以要把其中的正方形切割完成，如下列图．〔2〕设正方形的面积为2，那么△BEC的面积为1，根据题意，分成的每一个直角梯形的面积为，然后找出正方形的中心O，过中心O分别作OF∥AD交AB于点F、作OG∥CD交BE于点H，交BC边于点G，连接OD、HE，即可作出．解：如下图：红线为切割线：〔1〕2〕点评：〔1〕解答此题的关键是如何将五个正方形平均分成四份，由此根据图形的特点进行分割．2〕此题主要考查了复杂作图，根据面积确定出从正方形的中心入手求解是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．8．〔1〕文案大全实用标准文档2〕【解析】试题分析：〔1〕将大正方形方的边长平均分成3等份，那么可将大正方形分割为9个相等的小正方形，其中4个相邻的组成1个，其余5个小的各成1个．2〕将大正方形方的边长平均分成4等份，分成3个2×2，4个1×1即可．解：〔1〕2〕点评：此题考查了学生实际操作以及空间想象能力．9．：如下图：1〕（2〕文案大全实用标准文档【解析】试题分析：〔1〕分别剪开这两个正方形的对角线，各分成两个直角三角形，把这两个三角形拼成一个大三角形，这样就把四个小直角三角形拼成了两个大直角三角形，再拼成正方形即可．2〕沿对角线切开，分成四个三角形，把四个三角形拼成一个菱形，找出菱形各边中点，连结即可．解：如下图：1〕2〕点评：此题考查了图形的拆拼，正确分析图形，做题时最好是先结合实物进行分割，进行观察，然后选出最正确答案．10．如图：文案大全实用标准文档【解析】试题分析：因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以根据给出的图的特点，进行如下切割和重新拼组为正方形如下．解：如图：点评：此题主要考查了学生的拼组的能力，要根据给出的图形的特点和正方形的特点解答．11．作图如下【解析】试题分析：因为共有16个方格，分成形状、大小都相同的四个局部，那么每个局部就有4个方格，根据原图形状，可分成4个“L〞形的图形，解决问题．解：作图如下点评：仔细观察图形，根据图形特点，结合“如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的〞即可作出图形．12．【解析】试题分析：因为共有24个三角形，沿格线分割成形状、大小都相同的四个局部，每局部包括6个三角形，由此进行划分即可．解：文案大全实用标准文档点评：此题考查了图形的拆拼，明确每局部包括6个三角形，是解答此题的关键．13．【解析】试题分析：将图分割成形状、大小完全相同的四块，即每个图形的面积占整个图形面积的，结合图形，进行分割即可．解：点评：此题要抓住“把该图形要分割成四个大小相等、形状相同的图形，〞这条信息，从中得出每个图形要占整个图形面积的是顺利分割的突破口．14．最多能剪出12个这样的长方形．【解析】试题分析：根据题干中图形的剪切方法可得：在正方形的每条边长上，可以剪出一个长边4厘米，剩下的3厘米可以截成3条1厘米的宽边，如此一共可以剪出3+3+3+3=12个出4厘米、宽1厘米的小长方形，据此即可解答问题．解：根据题干分析可得，最多能裁出3+3+3+3=12个这样的长方形：文案大全实用标准文档答：最多能剪出12个这样的长方形．点评：此题利用画图的方法解答更简单、直观，此题也可以利用面积公式解答：7×7÷〔4×1〕≈12〔个〕．15．根据分析，分割如下：【解析】试题分析：因为每一块中都要带有A、B、C、D各一个．根据A、B、C、D的位置特点，先把A、B、C、D划分出四个局部，再根据A、B、C、D的位置特点将中图形划分出四个完全相同的四个图形即可．解：根据分析，分割如下：点评：此题主要考查图形的划分，要结合A、B、C、D的位置特征进行划分．16．如下列图所示，即可将这两个正方形拼组成一个边长为5厘米的大正方形：文案大全实用标准文档【解析】试题分析：大正方形不动，把小正方形切割成宽为1厘米的三局部，即可拼组成一个边长为5厘米的正方形．解：如下列图所示，即可将这两个正方形拼组成一个边长为5厘米的大正方形：点评：抓住正方形的特点进行讨论拼组．17．【解析】试题分析：依据图示可得：原图中可分为上面边长为3的正方形，以及下面边长为4的正方形，假设想把原图分成三块再拼成正方形，拼成正方形的边长一定不能是两个正方形的边长，且一定大于4，故此只能把原图中边长是7的边分开，据此即可解答．解：点评：此题比拟抽象，也比拟难以找出突破口，分图时不要仅仅局限于原图的边长，要根据文案大全实用标准文档具体情况进行重组．18．拼成的正方形的边长为6，画图分割如下：【解析】试题分析：我们不难技术处题中图形的面积为36，因为36=6×6，所以拼成的正方形的边长为6，由此画出正方形的拼接图．解：2×3+6×〔2+1+1〕+2×3=6+24+6=36因为36=6×6，所以拼成的正方形的边长为6，画图分割如下：点评：此题考查了图形的切拼，通过分析、计算得出拼成的正方形的边长为6，是解答此题的关键．19．如图分割即可：【解析】试题分析：长和宽分别为9厘米和4厘米的长方形，它的面积为36平方厘米，剪拼后的正方形的面积也应该是36平方厘米，它的边长为6厘米；由此把长方形的面积平均分成36份，然后分成2局部，并且使两局部的形状一样即可．解：9×4=36〔平方厘米〕，因为6×6=36，所以剪拼后的正方形的面积也应该是36平方厘米，它的边长为6厘米；如图分割即可：文案大全实用标准文档点评：此题考查了图形的切拼，明确剪拼后的正方形的面积是36平方厘米，它的边长为6厘米，是解答此题的关键．20．拼成的正方形的边长为12，拼接如下：【解析】试题分析：因为长方形的面积=长×宽，由此即可求出长方形的面积，为：〔12+4〕×9=144，因为：12×12=144，所以拼成的正方形的边长为12，由此根据给出的图形，把三块进行拼接即可．解：〔12+4〕×9=144，因为：12×12=144，所以拼成的正方形的边长为12，拼接如下：点评：此题考查了图形的切拼，明确拼成是正方形的边长是12，是解答此题的关键．21．由以上分析，周长最小的拼法如下图：周长为：38厘米．【解析】试题分析：可以拼成3种，其周长分别是：38cm，50cm，62cm．周长最小的拼法是：3个长方形横着拼接成12厘米乘3厘米的长方形，剩下的4个长方形竖着拼成12厘米乘4厘米的长方形再把这两个长方形拼成12厘米乘7厘米的长方形．这个长方形的周长是38厘米．解：由以上分析，周长最小的拼法如下图：文案大全周长为：〔4×3+3+4〕×2=19×2=38〔厘米〕．点评：此题属于图形的切拼问题，考查学生的空间想象力，通过画图，解决问题．22．由以上分析，拼法如下：【解析】试题分析：根据题意，要求用的纸片最少，应尽量用边长最大的，但通过操作，如果用边长4的，但用的边长1的会更多．因此应用：一张边长为3的，三张边长为2的，四张边长为的，这样用的张数最少．解：由以上分析，拼法如下：共用了8张纸片．一张边长为3的，三张边长为2的，四张边长为1的，共用了8张纸片．点评：此题既要抓住拼成的正方形边长为5，还要考虑“最少〞．23．如下图：文案大全【解析】试题分析：通过观察，图中一共32个小正方形，平均分成四个局部，每个局部就要有8个小正方形，根据要求，作出图形即可．解：如下图：点评：此题考查了学生想象、思维以及实际操作能力．24．如下图：【解析】试题分析：因为长方形面积为25×16=400〔平方厘米〕，拼成的正方形的面积也应是400平方厘米，因此正方形的边长应为20厘米，如下列图所示．解：如下图：点评：根据长方形和正方形面积相等进行剪拼．25．由以上分析，图示如下：【解析】文案大全实用标准文档试题分析：把长方形纸片右边2列5行剪去，再把剪下的局部2列2行〔即a〕，补在右下角〔即a〕；然后再在剪下的剩余局部中剪掉b和c，补在如下图图2的b和c局部；最后把剩下的d和c剪开，补在图二d和c局部即可．解：由以上分析，图示如下：点评：此题属于实际操作题，运用实物实际操作一下，问题不难解决．26．①是1个正方形；②4个；③2个；④3个；⑤5个；⑥6个；⑦4个．【解析】试题分析：大正方形中共有25个小正方形，要求分割成七个形状不同的长方形〔包含正方形〕，那么先从分成的正方形的个数入手：1+2+3+4+5+6=21，还剩4个，拼成一个正方形即可．解：①是1个正方形；②4个；③2个；④3个；⑤5个；⑥6个；⑦4个．点评：此题考查学生综合分析以及进行实际操作的能力．27．由分析可知，答案如图，【解析】试题分析：首先沿着其中两个方格的对角线分割成两局部：；文案大全实用标准文档拼成如图：再沿图分割：对应把①②放到④③的位置即可．解：由分析可知，答案如图，点评：此题主要考查图形的分割与拼凑，注意第一次分割拼凑后第二次分割．28．由分析可得：效果图：文案大全实用标准文档【解析】试题分析：由题意，一个大长方形左上角缺少一个2×3的小长方形，那么这个图形的面积是7×5﹣2×3=29，把这个图形分成三局部，再拼成一个正方形，那么正方形的面积就是29，因为5×5=25，可知正方形的边长大于5，由于29=25+4，所以可想法剪下两个直角边为5、2的直角三角形来拼组，其斜边就是正方形的边长；据此解答即可．解：由分析可得：效果图：点评：解答此题关键是明确正方形的面积是29，29=25+4，进而得出剪切小直角三角形拼组．29．〔1〕要形成2种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为6×6，那么分成8个2×2，4个1×1；〔2〕要形成3种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为6×6，那么分成1个4×4，3个2×2，8个1×1；文案大全实用标准文档〔3〕要形成4种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为7×7，那么分成1个4×4，2个3×3，2个2×2，7个1×1．【解析】试题分析：根据分成正方形面积的三种情况，假设大正方形面积为6×6或7×7，很容易解决问题．解：〔1〕要形成2种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为6×6，那么分成8个2×2，4个1×1；〔2〕要形成3种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为6×6，那么分成1个4×4，3个2×2，8个1×1；〔3〕要形成4种面积不同的小正方形，假设大正方形面积为7×7，那么分成1个4×4，2个3×3，2个2×2，7个1×1．点评：此题考查了学生实际操作以及空间想象力，此题有多种答案．30．由以上分析可得：文案大全实用标准文档【解析】试题分析：先画出一个三角形，然后找出每边的中点，两两连接这3个中点，就把三角形分割成4个，同理，继续找出四个三角形的中点，连接就可以了．解：由以上分析可得：点评：此题解答的关键在于找出三角形的中点，两两连接这3个中点，进行分割．文案大全。

四年级上册数学试题 - 奥数第22讲图形的切拼(二) 全国用(含答案)

第22讲图形的切拼(二)学校有一块正方形的绿地（如下图所示），里面恰好有12棵小松树。

现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养，要求每块绿地的形状和大小都相同，并且恰好都有三棵小松树。

怎么分呢？数学老师把这个问题交给了五（1）班的同学们。

呵，大家讨论的可热烈啦。

一下课，同学们就交给了老师两种方案，见下图。

同学们，你们知道他们是采用什么方法分割的吗？下面我们通过几个例题一起研究等分图形的技巧和一些图形的切拼问题。

例1下图是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。

分析与解答：从计算图形面积开始。

梯形面积=（20+40）×60÷2=1800（平方厘米）。

所以分成两部分后，每一部分的面积为900平方厘米。

设MN为梯形ABCD的中位线，MN=（20+40）÷2=30（厘米），这样MN把梯形ABCD 分成了两部分，如图：梯形ABNM的面积是：（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）；梯形MNCD的面积是：（20+30）×30÷2=750（平方厘米）。

两个梯形的面积一大一小相差：1050-750=300（平方厘米），根据”移多补少”的原理，所以梯形MNCD的面积的面积应增加300÷2=150（平方厘米），梯形ABNM的面积也就相应减少150平方厘米.因为MN=30（厘米），比较简单的方法是：以MN为三角形的高，在NB上找一点P，使三角形MPN 面积为150平方厘米，所以线段NP：150×2÷30=10（厘米），这样NP就把梯形分成了面积相等的两部分。

具体分法见上图，线段MP把梯形ABCD分成了面积相等的两部分。

说明：下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形ABPM中，过M点作ME垂直AB于E，则ME把四边形ABPM分成了两部分：直角三角形 AEM和直角梯形EBPM.因为MN=EB=30（厘米），所以AE=10（厘米）。

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苏教版小学四年级上册数学奥数题带答案图文百度文库一、拓展提优试题1．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝．2．把50颗巧克力分给4个小朋友，每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同．分得最多的小朋友至少可以得颗巧克力．3．在一个长方形内，任意画一条直线，长方形被分成两部分（如图），如果画三条互不重合的直线，那么长方形至少被分成部分，最多被分成部分．4．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．5．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．6．在□中填上适当的数，使竖式成立．7．（17分）一块长方形木板，如果按长、短不同的两组边分别截去4分米，则面积减少了168平方分米，请问：原来长方形的周长是多少分米？8．如图，BC＝3BE，AC＝4CD，三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍．9．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有辆．10．有6个数排成一行，它们的平均数是27，已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数34，第4个数是．11．小明有100元钱，买了3支相同的钢笔后还剩61元，则他最多还可以买支相同的钢笔．12．如图，一个大正方形被分成四个相同的小长方形和一个小正方形，若一个小长方形的周长是28，则大正方形的面积是．13．甲、乙二人从同一天开始工作，公司规定：甲每工作3天后休息1天，乙每工作7天后连续休息3天，则在开始的前1000天中，甲、乙同一天休息的日子有天．．14．（8分）有10张卡片，上面分别写着1，2，3，…，9，10．那么至少取出6张卡片，才能保证取出的卡片中，有两张卡片上的数字之和为11．15．袋子中有黑白两种颜色的棋子，黑子的个数是白子的个数的2倍，每次从袋中同时取出3个黑子和2个白子，某次取完后，白子剩下1个，黑子剩下31个，则袋中原有黑子个．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：9⊙3＝9×2+3＝21；故答案为：21．2．解：因为要使每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同，第一次先分给这4个小朋友的巧克力数依次为：1、2、3、4，从这里可以看出最后那个人是分得鲜花最多的人；那么还剩下50﹣（1+2+3+4）＝40颗巧克力；如果这40颗巧克力全给最后这个人，那么他最多可分得4+40＝44颗，要想让他分得的巧克力数少，那么剩下的40颗朵，可以再分给每个人10，由此可得出这时每个人的巧克力数为：11、12、13、14，答：分得最多的小朋友至少可以得14颗巧克力；故答案为：14．3．【分析】三条线不重合，不相交时，把长方形分成的部分最少；三条线不重合，但在长方形内两两相交，有3个交点，把长方形分成的部分最多，如下图所示，因此得解．解：由分析可得：故答案为：4，7．【点评】认真分析题意，找出规律是解决此题的关键，线的交点越多，图形被分的部分越多．4．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块， (1)20，2＝21，4＝22，8＝23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n＝90，因为1+4+16+64+5＝90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27＝2+8+32+128＝170（块），90+170＝260（块），答：最初包裹中有 260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．5．解：设中间的圆圈中的数是A；根据题意可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A＝18×5，66+4A＝90，4A＝24，A＝6；那么每条线段剩下的两个数的和是：18﹣6＝12；又因为，1+11＝12，2+10＝12，3+9＝12，4+8＝12，5+7＝12；分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；由以上可得：．6．解：根据题干分析可得：7．解【分析】如图所示：，假设长、宽各截去4分米后剩下的长为b分米，剩下的宽为a分米，则截去的部分的面积为：4b+4a+4×4＝168，求出a+b＝（168﹣16）÷4＝38，原来长方形的周长为：（b+4+a+4）÷2，据此代入（a+b）的值计算即可．：如图所示：，设长、宽各截去4分米后剩下的长为b分米，剩下的宽为a分米，4b+4a+4×4＝1684（a+b）＝168﹣164（a+b）＝152，4（a+b）÷4＝152÷4a+b＝38，原长方形的周长为：（b+4+a+4）×2＝（38+8）×2＝46×2＝92（分米）．答：原来长方形的周长是92分米．8．解：因为BC＝3BE，AC＝4CD，则BC：BE＝3：1，AC：CD＝4：1，所以S△ABE ＝S△ABC，S△ACE＝S△ABC，S△ADE＝S△ACE＝S△ABC＝S△ABC，三角形ABC的面积是三角形ADE面积的2倍．故答案为：2．9．解：假设24辆全是4个轮子的汽车，则三轮车有：（24×4﹣86）÷（4﹣3），＝10÷1，＝10（辆），答：三轮车有10辆．故答案为：10．10．解：23×4+34×3﹣27×6，＝92+102﹣162，＝194﹣162，＝32．答：第4个数是32．故答案为：32．11．【分析】根据题意，可用100减去61计算出购买3支钢笔花的钱数，然后再除以3计算出每支钢笔的钱数，最后再用100除以每支钢笔的钱数进行计算，得到的商就是最多购买钢笔的支数，得到的余数就是剩余的钱数，最后再用最多购买的钢笔数减去原来买的3支即可．解：（100﹣61）÷3＝39÷3＝13（元）100÷13＝7（支）…9（元）7﹣3＝4（支）答：他最多还可以买4支同样的钢笔．故答案为：4．【点评】此题主要考查的有余数除法计算方法的应用，解答时关键求出每支钢笔的单价．12．【分析】一个小长方形的周长是28，也就是小长方形的长和宽的和是28÷2＝14，也就是大正方形的边长，然后根据正方形的面积公式，解决问题．解：28÷2＝1414×14＝196答：大正方形的面积是196．故答案为：196．【点评】根据长方形的长和宽与正方形边长之间的关系，先求出小长方形的长和宽的和，即求出了大正方形的边长．13．【分析】甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么甲只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期，每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合解：甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么乙只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合．故答案为：100．【点评】本题主要考查了公约数与公倍数问题．关键是乙每工作10天才会有1天与甲的重合．14．解：10÷2＝5（个）5+1＝6（个）故填615．【分析】因黑子个数是白子个数的2倍，可假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×2＝4个、白子每次取2个，则白子余1个时，黑子余2个．现每次黑子取少4﹣3＝1个了，则黑子多出来的数量，除以应取和实取的差，就是取的次数．据此解答．解：假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×3＝6个、白子每次取3个，则：（31﹣1×2）÷（2×2﹣3）＝29÷1＝29（次）3×29+31＝87+31＝118（个）答：袋中原有黑子 118个．故答案为：118．【点评】本题的关键是根据黑子是白子个数的2倍，假设每次取黑子的个数是白子的2倍，与实际取黑子的差，及实际取与假设取应剩下黑子的差，进行解答．。

高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形

第二^一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密. 回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形）乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B. C\ ⑪个三角形，革均匀生怅，1草场的苹可使⑷头牛吃I 氏，R 草场的草可供祀％牛吃一天「【草场前龜可供⑷（）其牛唏一天,I ）堂埸堰？底AB底我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” •“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形.如图，已知平行四边形 ABCD 的面积是100平方厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图，E 是平行四边形 ABCD 中的任意一点，已知厶AED 与厶EBC 的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB 、三角形PAB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是 AB ;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的•进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的.ABCA DBC如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米, 高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？练习2如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米, BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？练习3如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中, 而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进A F HBE CA D例题4如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点, 已知DE和AB平行，那么与△ ADC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦!8厘米.求阴影部分的面积.A DO如右图，梯形ABCD中，对角线相交于0点，由于AD与BC平行，那么就有△ ABC与厶DBC同底等高、面积相等，△ ABD与厶ACD同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ ABO与厶CDO面积相等.我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ ABO与△ CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB=8, AD=15，四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理 (Butterfly theorem )，是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，贝U M是XY的中点.从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得.实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可.这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”.混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论•混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别.混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国.作业1. 如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△ BCE的面积是多少平方厘米？2.如图，长方形ABCD的面积为6,平行四边形BECF 的面积为多少？4. 如图，长方形的长为16,宽为5.阴影三角形的面积和为多少?5. 如图，直角梯形 ABCD 中，CD 30，BD 40，BD 和CD 垂直•那么三角形 ABC 的面积是多少？3. 如图所示，一个长方形被分成 4个不同的三角形，红色三角形的面积是 9平方厘米，黄色三角形的面积是 21平方厘米，绿色三角形的面积是面积是多少平方厘米？10平方厘米，那么蓝色三角形的C1. 例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米.2. 例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米•狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米.3. 例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米.4. 例题4答案：△KBD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和△KBE .5. 例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解:(1)如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底(共同的底为大正方形对角线)等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米.(2)如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底(共同的底为小正方形对角线)等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米.第二十一讲等积变形1. 例题1答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米.2. 例题2答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将 F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米.3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米.4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．第二十一讲等积变形1. 例题1 答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米．2. 例题2 答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米．3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米．4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD 平行于BC，AB 平行于DE ．根据AD 平行于BC ，可以知道△\DC的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．。

四年级上册数学试题 奥数第21讲 图形的切拼一 全国用含答案

小学奥数 图形的分割与拼接 精选例题练习习题(含知识点拨)