匀速圆周运动物体机械能守恒问题新解

8.匀速圆周运动物体机械能守恒问题新解
摘 要：重新解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀
速运动的小车上，匀速圆周运动物体机械能都守恒的新结论．
关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒
中图分类号：O 313.1 文献标识码：A
质量为m 的钢球（视为质点），在长为R 的轻绳的牵制下，在光滑水平地面上绕地面上的o 点做匀速量值为v 的圆周运动，有一小车相对于地面以恒速量值u 沿光滑水平地面运动，在忽略各种阻力时，试问在地面（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和小车上观察，钢球的机械能是否守恒，并说明理由．
解：在地面上观察时，以点o 为坐标原点，以过点o 且平行于小车运动的方向为x 轴正向，建立平面直角坐标系如图1所示．
向心力J 是保守力，在静止系向心力势能为0．证明如下：设o 为极点，射线ox 为极轴，o 到钢球的矢量r 为极径，θ为极角，则有：
⎰s J 0⋅d s =⎰-s J 0)(cos 2πd s =-⎰s
00d s =-0(s -0)=0-0⋅s =0． 定义0⋅s 为向心力J =m R
2
v n 在s 处的势能，记做E pJ (s )，则有E pJ (s )=0⋅s =0．向心力势能只与位置s 有关，且满足“保守力做的功等于保守力势能减少量”的原则，故圆周运动物体受到的向心力是保守力． 设在地面上观察时，钢球从t=0时刻在x 轴正向与圆周交点处开始沿圆周转动，t 时刻转过的角度、
图1 匀速圆动物体机械能守恒问题新解
线速度、动能、势能、机械能分别为：θ，v ，E k (t )，E p (t )，E (t )；在小车上观察时，t 时刻的线速度、动能、势能、机械能分别为：v 1，E 1k (t )，E 1p (t )，E 1(t )；则在地面上观察（即以地面为静止系）时有：
E k (t )=
21m v 2；E p (t )=0；E (t )=E k (t )+E p (t )=21m v 2+0=2
1m v 2． 所以，在地面上观察时，钢球的机械能守恒，守恒值为21m v 2． 在地面系看来匀速圆周运动机械能守恒，向心力是一个保守力，旋度为0，旋度不依赖于坐标系，所以在小车系看来也是保守力，这里进一步验证了这个问题.
在小车上观察时：
直觉判断：
因为当质点的运动速度为垂直于x 轴时，我们规定此时静止系与运动系的势能相等，与地面系比较可以得出质点的动能增加21m (-u )2=2
1mu 2， 所以，在小车参照系上观察时，质点的机械能为：
E 1(t )=E (t )+
21mu 2= 21m v 2+2
1mu 2（常数）． 所以，在小车参照系上观察时，质点的机械能守恒，守恒值为21m v 2+21mu 2. 数学推导：
由物理学知识知道，在匀速圆周运动中旋转角是时间t 的单值函数，因此也可以用旋转角表示机械能.
v 1x =v x -u =-v sin θ-u ，21x v =2x v +2u -2u v x ；v 1y =v y ，21y v =2y v ；
21v =21x v +21y v =2x v +2u -2u v x +2y v =v 2+u 2+2u v sin θ．E 1k (t )= E 1k ′(θ)=21m 21v =21m v 2+2
1mu 2+mu v sin θ． v =t
s d d =t R θd )d(=t θR d d ，d t =v θR d ． 0-E 1p (t )= -E 1p ′(θ)=-m ⋅R 2v (cos θ)(-u )d t =mu ⋅R
2v (cos θ)v θR d =mu v cos θd θ， E 1p (t )= E 1p ′(θ)=-⎰θ
mu 0
v cos θd θ=-m u v (sin θ-sin 0)=-m u v sin θ．
E 1(t )=E 1k (t )+E 1p (t )= E 1k ′(θ)+E 1p ′(θ) =
21m v 2+21mu 2+m u v sin θ-m u v sin θ=21m v 2 +2
1m 2u ． 所以，在小车上观察时，钢球的机械能守恒，守恒值为21m v 2+21m 2u ．当u =0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.
在本题中的约束力是弹力，弹力是保守力，进一步验证了这个问题，不过在这里轻绳的劲度系数认为是
无穷大，忽略形变.
定理：质点做圆周运动的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是不改变质点的机械能.
说明：前面我们分析了单一一个保守力做功时，机械能守恒定律满足力学相对性原理，分为重力、弹力（弹簧弹力、匀速圆周运动的约束力）、万有引力，其实静摩擦力也是保守力（因为静摩擦力在一个惯性系内不做功，在另一个惯性系内可能做功，我们也可以按照保守力来处理），此时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，我们不再分析，有兴趣的读者自己分析即可.
Brand-new explanation of mechanical energy conservation of object
moving in even speed around circle
Abstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of the object moving in uniform speed around circle, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth, the mechanical energy of the object moving in uniform speed around circle is always conservative.
Key words：the object moving in uniform speed around circle；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy。