机械能守恒定律的综合运用(含典型例题和变式练习及详细答案)

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机械能守恒定律的综合运用（含典型例题变式练习题和答案）

一. 教学内容：

机械能守恒定律的综合运用

二. 学习目标：

1、掌握机械能守恒定律的表达式及应用机械能守恒定律解题的一般方法和步骤。

2、深刻掌握关于机械能守恒定律的习题类型及其相关解法。

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三. 考点地位：

机械能守恒定律的综合应用问题是高考考查的重点和难点，题目类型通常为计算题目形式，从出题形式上常与牛顿定律、圆周运动、电磁学、热学等问题进行综合，从习题模型化的角度上来看，常与线、轻杆、弹簧等模型综合，题目灵活性很强，在高考当中常做为压轴题形式出现，2007年天津理综卷第5题，2006年全国Ⅱ卷理综卷第23题、2006年广东大综合卷第34题、2006年北京理综卷第22题、2005年北京理综卷的第23题均通过大型计算题目形式考查。

知识体系：

（一）机械能守恒定律的表达式：

当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：

①，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。

②△=－或△，即动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量。

—

③△，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。

（二）应用机械能守恒定律解题的步骤及方法：

（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。

（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。

（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在运动过程中的始态和末态的机械能。

（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。

说明：

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（1）机械能守恒定律只关心运动的初、末状态，而不必考虑这两个状态之间变化过程的细节，因此，如果能恰当地选择研究对象和初、末状态，巧妙地选定势能参考平面，问题就能得到简捷、便利的解决，可避免直接应用牛顿定律可能遇到的困难，机械能守恒定律为解决力学问题提供了一条简捷的途径。

（2）如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程机械能是否守恒，还要

分析过程的连接点有无能量损失，只有无机械能损失才能对整体列机械能守恒式，否则只能列出每段相应的守恒关系。

【典型例题】

问题1、单一物体的机械能守恒问题：

（2005年北京卷）

例1. 是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：

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（1）小球运动到B点时的动能；

（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；

（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。

解析：（1）小球从A滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则

。

（2）由机械能守恒有

、

。

小球速度大小为，速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下，如图所示，即图中角。由几何关系知，速度方向与竖直方向的夹角为。

（3）由机械能守恒得①

由牛顿第二定律得②

由①②式解得。

小球运动到C点，在竖直方向上受力平衡，。

答案：（1）。（2），与竖直方向夹角。（3）；mg。

[

变式、（2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：

（1）小球落地点到O点的水平距离；

（2）要使这一距离最大，R应满足何条件最大距离为多少

解析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度。

根据机械能守恒定律得

&

设水平距离为s，根据平抛运动规律可得

（2）因H为定值，则当时，即时，s最大，最大水平距离

。

问题2、双物体的机械能守恒问题：

例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少

;

解析：释放后，系统加速运动，当A着地时B恰好达水平直径的左端，此时A、B速度均为，

这一过程系统机械能守恒，此后B物体竖直上抛，求出最高点后即可得出结果，下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。

（1）用求解。

由

有，

得，B以竖直上抛，则上抛最大高度，故B上升的最大高度为。

（2）用△求解。

对A、B系统，△，△，

由△有，得。

：

同理可得。

（3）用△求解。

对A物体：△，对B物体：△。

由△有，则。

同理可得。

答案：。

变式1、

（2007·江苏南京）如图所示，A物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光

滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量，B物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B物体在上升过程中离地的最大高度为多大（取）

"

解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得

解得

代入数据有

A着地后，B做竖直上抛运动，竖直上抛能上升的高度为

代入数据有

;

B物体上升过程中离地面的最大高度为

。

答案：。

变式2、

一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接，设定滑轮到竖直杆距离，又知物体由