典例精析：7.1_二元一次方程组和它的解(1)
初一数学二元一次方程组的解法与应用
初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。
在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。
一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。
对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。
然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。
求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。
首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。
二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。
例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。
将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。
2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。
例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。
通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。
3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。
例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。
通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。
总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。
而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。
以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。
通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。
希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。
初中数学教学课例《8.1二元一次方程组和它的解》教学设计及总结反思
使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都 相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
错题分析： 5.写出解为的一个二元一次方程组 三、基础知识过关 6.如果是方程组的解，求 a-b 的值. 8.二元一次方程 3a+b=19 的正整数解有 四、强化练习 2.在方程 8x-y=17 中，用含 x 的表达式表示 y=， 用含 y 的表达式表示 x=. 5、已知是方程组的解，求的值. 五、归纳总结 1、二元一次方程： 2、二元一次方程组： 3、二元一次方程的解： 4、二元一次方程组的解： 六、自主检测，反馈与补偿 3、一批零件有 1500 个，如果甲先做 4 天后，乙加 入合作，再做 8 天正好完成；如果乙先做 5 天后，甲加 入合作，再做 7 天也恰好完成.设甲、乙两人每天分别 加工零件 x、y 个，请根据题意列出方程组. 七、拓展延伸
初中数学教学课例《8.1 二元一次方程组和它的解》教学设 计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《8.1 二元一次方程组和它的解》
称
“二元一次方程组和它的解”是人教版新课标中七
年级下册第八章中的第一节。这节课是继一元一次方程
之后学习的有关方程的第二个内容。凡事能用二元一次
方程组解决的实际问题，原则上都能用一元一次方程解 教材分析
上存在的问题。 综观整堂课，严谨亲切有余，但活泼激情不足，显得平 铺直叙的感觉，缺少高潮和亮点；需要在今后的教学过 程中严格要求自己，方方面面进行改善！
代数式表示另一个未知数的形式。
过程和方法：
1、培养学生分析问题、解决问题的能力以及计算
能力；
情感态度价值观：
通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组
中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘
7.1二元一次方程组和它的解
3x+y=17------------------② 前面我们用算术方法或者通过列一元一次方程求得 勇士队胜了5场，平了2场，即x=5,y=2. 这里的x=5与y=2既满足方程①，即 5＋2＝7； 又满足了方程②，即 3×5＋2＝17. x y 7 我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组
——
用一元一次方程解的有多少人？
有用其它方法解的吗？
现场 调查
来 自 足 球 场 的 数 学 问 题
暑假里，《新晚报》组织了“我们的 小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一 轮比赛中共赛9场，得17分. 比赛规定 胜一场得3分，平一场得1分，负一场 得0分.勇士队在这一轮中只负了2场， 那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
2 xy x 3 否
什 么 叫 做 二 元 一 次 方 程 组
x+y=7-----------①
3x+y=17--------②
把这两个二元一次方程合在 一起，就组成了一个二元一次 方程组.
二元一次方程组有哪些特点？ ①方程组有2个一次方程； ②方程组中共有2个不同未知数；
③一般用大括号把2个方程连起来。
3 x y 17
x 5 的解，并记作 y 2.
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两 边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方 程组的解.
1、下面4组数值中，哪些是二元一次方程
2x+y=10的解？
x = -2 (1) (2) y=6 x=3 x=4 x=6
×
√
的解
暑假里，《新晚报》组织了“我们的 小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一 轮比赛中共赛9场，得17分. 比赛规定 胜一场得3分，平一场得1分，负一场 得0分.勇士队在这一轮中只负了2场， 那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
二元一次方程组的解法及应用
二元一次方程组的解法及应用一、引言二元一次方程组是数学中常见的问题，其解法及应用在实际生活中有着重要的意义。
本文将介绍二元一次方程组的解法及其应用领域。
二、二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个未知数和两个方程所组成的方程组。
解决这种方程组的问题需要运用代数的方法进行计算。
1. 消元法消元法是解决二元一次方程组最常用的方法之一。
该方法的主要思想是通过消去一个未知数，将方程组转化为只有一个未知数的方程。
举例来说，假设我们有以下的二元一次方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：3x - 2y = 4我们可以通过将方程一的两边同时乘以2，方程二的两边同时乘以3，然后将两个方程相加得到一个新的方程：11x = 22。
从中我们可以解得x=2。
将x的值带入其中一个方程，比如方程一，可以解得y=1。
2. 代入法代入法也是解决二元一次方程组的常用方法之一。
该方法的主要思想是通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中未知数的函数，然后将其代入到另一个方程中进行求解。
举例来说，假设我们有以下的二元一次方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：3x - 2y = 4我们可以通过将方程一求解出y的表达式：y = (7 - 2x) / 3，然后将其代入到方程二中，得到一个新的方程：3x - 2(7 - 2x) / 3 = 4。
从中我们可以解得x=2。
将x的值代入其中一个方程，比如方程一，可以解得y=1。
三、二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法在实际生活中有着广泛的应用，涉及到各个领域。
1. 经济学中的应用二元一次方程组可以用于经济学中的定量分析和决策制定。
例如，在市场经济中，供求关系是决定价格和数量的重要因素。
通过建立供求方程组，可以求解出市场均衡的价格和数量。
2. 工程学中的应用二元一次方程组可以用于工程学中的问题求解。
例如，在电路分析中，可以利用欧姆定律和基尔霍夫电流定律建立二元一次方程组，求解出电路中各个节点的电流。
华东师大版七年级数学下册7.1 二元一次方程组和它的解(优秀教学设计)
7.1 二元一次方程组和它的解教学目标【知识与能力】1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义.2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据问题情境列二元一次方程组.【过程与方法】通过概念的形成过程，发展分析问题、解决问题、归纳概括的能力；在经历分析实际问题数量关系的过程中，体会方程是刻画现实世界的数学模型.【情感态度价值观】通过对情境问题的观察、思考，激发学习数学的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的过程中获取成功的喜悦，建立学习的自信心.教学重难点【教学重点】二元一次方程组和它的解的概念.【教学难点】二元一次方程组的解的概念.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢?【教学说明】从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?可以用一元一次方程来求解.设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程:3x+(9-x-2)=17.解这个方程可得x=5.所以勇士队胜了5场, 平了2场.【教学说明】一元一次方程的复习与巩固，为学习二元一次方程组提供了素材.2.由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，而这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢?师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场.在下表的空格中填入数字或式子.根据填表的结果可知:x+y=7 ①3x+y=17 ②观察这两个式子，和我们以前所学的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同点？引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1.【归纳结论】 含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程. 把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.【教学说明】 注意：方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量.3.什么是方程的解?答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.由算术法我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即x=5,y=2.x=5与y=2既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说x=5与y=2是二元一次方程组7317x y x y +=⎧⎨+=⎩的解, 并记作52x y =⎧⎨=⎩. 【归纳结论】 一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.【教学说明】 注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取x=4, y=3时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把x=5与y=2合起来, 才是方程组的解.4.某校现有校舍20000m2, 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30%,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍xm2 , 建造新校舍ym2, 请你根据题意列一个方程组.分析：由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程y=4x.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程y-x=20000×30%.解：设应拆除旧校舍xm2 , 建造新校舍ym2,根据题意列出方程组：2000030%4y x y x -=⨯=⎧⎨⎩三、运用新知，深化理解1.下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A.xy-7＝1B.2x-1＝3y+1C.4x-5y ＝3x-5yD.3x-2y=1 2.下列方程组是二元一次方程组的是（ ）3.方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）4.关于m,n的两个方程2m-n=3与3m+2n=1的公共解是（）5.由x+2y＝4，得到用y表示x的式子为x＝；得到用x表示y的式子为y＝ .6.若21xy=⎧⎨=-⎩是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则2a-b-6的值是 .7.已知23xy=⎧⎨=⎩是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.8.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.（1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元. 【教学说明】进一步理解二元一次方程组和它的解概念，突破教学难点.【答案】1.B 2.D 3.B 4.B 5.4-2y，42x-6.-87.解：答案不唯一，现举一例：∵ x＝2，y＝3，∴ x+y＝2+3＝5，2x+y＝2×2+3＝7，∴527x yx y+=⎧⎨+=⎩就是所求的一个二元一次方程组.8.解：（1）设甲数为x，乙数为y，则13x+7=2y.（2）设摩托车的速度为x km/h，货车的速度为y km/h，则32200 x yx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩（3）设时装的价格为x元/件，皮装的价格为y元/件，则1.4 53700 x yy x=⎧⎨-=⎩四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第26页“习题7.1”中第1 、2 题.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思本节从学生感兴趣的问题入手，意在让学生经历一个实际背景，激发学生自觉探究数学问题，体验发现问题的乐趣.学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系.在本节课的学习中让学生运用自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、总结归纳等方法.学生的角色从学会转变为会学，本节课，学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体验探究的氛围与真谛.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
《二元一次方程及二元一次方程组》教学设计
7.1二元一次方程及二元一次方程组的解一、教学目标1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．2．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．3．使学生体会二元一次方程组是刻画现实生活中某些实际问题的有效手段．二、教学方法讨论法、练习法、尝试指导法．三、重点及难点重点：使学生体会二元一次方程组是刻画现实生活中某些实际问题的有效手段，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．难点：使学生体会二元一次方程组是刻画现实生活中某些实际问题的有效手段．四、课时安排一课时．五、教具学具准备电脑或投影仪、自制胶片．六、师生互动活动设计1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．七、教学步骤（－）明确目标本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．（二）整体感知由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．（三）教学过程1．创设情境、复习导入（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？回答老师提出的问题并自由举例．【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫．（2）列一元一次方程求解．香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？学生活动：思考，设未知数，回答．设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得解这个方程，得答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．2．探索新知，讲授新课（1）关于二元一次方程的教学．我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．练习一判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．①②③④⑤⑥练习二分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．练习三课本第6页练习1．提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．练习四填表，使上下每对、的值满足方程．师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．（2）关于二元一次方程组的教学．上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．练习五已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？①②③④【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说是二元一次方程组的解．学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．教师纠正、指导后板书：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例题判断是不是二元一次方程组的解．学生活动：口答例题．此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．3．尝试反馈，巩固知识练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．4．变式训练，培养能力练习：（1）P8 4．【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．（2）P8 B组1．【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．（四）总结、扩展1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．八、布置作业（一）必做题：P7 3．（二）选做题：P8 B组2．（三）预习：课本第9～13页．参考答案略．教案点评：本教案的设计有以下特点：能根据教材编写思路，自制教具创造性使用新教材中的问题情景，把教材中不动的问题情景转化为学生互动的问题情景，使学生在互动中去感受．有关的一些知识，都是在教师的引导下，经过学生充分的思考、讨论，并结合大量特例，由学生自己归纳、总结发现的．教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展，真正把课堂还给了学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者．。
七年级数学下册7.1二元一次方程组和它的解怎样检验一组数值是不是某一个二元一次方程组的解素材
学必求其心得，业必贵于专精
怎样检验一组数值是不是某一个二元一次方程组的解？
难易度：★★★
关键词：二元一次方程组
答案:
常用的方法是将这组数值分别代入方程组中的每一个方程，只有当这组数值满足其中的所有的方程时，才能说这组数值是此方程的解.否则，如果这组数值不满足其中某个方程，它就不是此方程组的解。
【举一反三】
典例：二元一次方程组的解是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
思路导引:
一般来说,此类问题应根据定义，只有当这组数值满足其中的所有的方程时，才能说这组数值是此方程的解,所以检验时把每组数值代入，能使方程组中两个方程都成立的为方程组的解.
标准答案：C
1。
(新课标)华东师大版七年级数学下册同步训练：二元一次方程组和它的解(考点分析)
2017-2018学年（新课标）华东师大版七年级下册7.1二元一次方程组和它的解一．选择题（共8小题）1．若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）A． 4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣42．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（）A． 1 B．2 C．3 D． 43．若是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y=1的解，则a的值为（）A． 7 B．2 C．﹣1 D．﹣54．二元一次方程x+2y=3的解的个数是（）A． 1 B．2 C 3 D．无数5．已知二元一次方程3x﹣4y=1，则用含x的代数式表示y是（）A． y=B．y=C．y=D．y=﹣6．方程组的解是，则a，b为（）A．B． C D．7．下列方程组中，解是的是（）A．B．C．D．8．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）9．关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是_________ ．10．已知是方程2x+ay=5的解，则a= _________ ．11．4x a+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= _________ ．12．在二元一次方程2x﹣y=3中，当x=2时，y= _________ ．13．试写出一个以为解的二元一次方程组_________ ．14．若方程组的解是，则a+b的值是_________ ．15．2x+y=5的正整数解是_________ ．三．解答题（共6小题）16．已知关于x、y的方程组的解为，求m、n的值．17．已知关于x，y的方程组的解为，求m n的值．18．根据图中提供的信息，写出T恤衫的单价x（元/件）与驱虫剂的单价y（元/瓶）满足的二元一次方程组．19．是否存在m值，使方程（|m|﹣2）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+5是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5，y=4．试计算a2014+（﹣b）2013的值．7.1二元一次方程组和它的解参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）A． 4，2 B．2，4 C ﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4考点：二元一次方程的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．解答：解：将，分别代入mx+ny=6中，得：，①+②得：3m=12，即m=4，将m=4代入①得：n=2，故选：A点评：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（）A． 1 B．2 C．3 D． 4考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值．解答：解：将x=﹣1，y=2代入方程组得：，解得：m=1，n=﹣3，则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．故选：D点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．若是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y=1的解，则a的值为（）A． 7 B．2 C．﹣1 D．﹣5考点：二元一次方程的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x=1，y=2代入方程计算即可求出a的值．解答：解：将x=1，y=2代入方程得：a﹣6=1，解得：a=7，故选A．点评：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．二元一次方程x+2y=3的解的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．无数考点：解二元一次方程．菁优网版权所有分析：由于二元一次方程x+2y=3是不定方程，所以有无数组解．解答：解：由二元一次方程的解的定义知，任意一个二元一次方程都有无数个解．故选：D．点评：二元一次方程都有无数个解，但对于一些特殊解有有数个．5．已知二元一次方程3x﹣4y=1，则用含x的代数式表示y是（）A． y=B．y= C y=D．y=﹣考点：解二元一次方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x看做已知数求出y即可．解答：解：3x﹣4y=1，解得：y=．故选B．点评：此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．6．方程组的解是，则a，b为（）A．B．C．D．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有分析：此题可以把x，y的值代入，即可求出a，b的值解答：解：依题意，得a﹣1=0，1﹣b=1∴a=1，b=0．故选B．点评：此题考查的是对二元一次方程的解的理解，解这类题时可把已知的值代入转化成求a，b的方程，这样就可以求出a，b的值．7．下列方程组中，解是的是（）A．B． C D．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有分析：根据解方程组，可得方程组的解，可得答案．解答：解：A、的解是，故A不符合题意；B、的解是，故B不符合题意；C、的解是，故C符合题意；D、的解是，故D不符合题意；故选：C．点评：本题考查了二元一次方程组的解，分别求出每一个方程组的解，再选出答案．8．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（）A．B．C．D．考点：二元一次方程的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y=1的解．解答：解：A、当x=0，y=﹣时，x﹣2y=0﹣2×（﹣）=1，是方程的解；B、当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解；C、当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解；D、当x=﹣1，y=﹣1时，x﹣2y=﹣1﹣2×（﹣1）=1，是方程的解；故选：B．点评：本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．二．填空题（共7小题）9．关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是 3 ．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x与y的值代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．解答：解：将x=1，y=3代入方程组得：，解得：m=﹣1，n=﹣2，则|m+n|=|﹣1﹣2|=|﹣3|=3．故答案为：3点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．10．已知是方程2x+ay=5的解，则a= 1 ．考点：二元一次方程的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a 的一元一次方程，从而可以求出a的值．解答：解：把代入方程2x+ay=5得：4+a=5，解得：a=1，故答案为：1．点评：此题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．11．4x a+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= 0 ．考点：二元一次方程的定义；解二元一次方程组．菁优网版权所有分析：根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．解答：解：根据题意得：，解得：．则a﹣b=0．故答案为：0．点评：主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．12．在二元一次方程2x﹣y=3中，当x=2时，y= 1 ．考点：解二元一次方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：直接把x=2代入二元一次方程2x﹣y=3，求出y的值即可．解答：解：当x=2时，原方程可化为2×2﹣y=3，解得y=1．故答案为：1．点评：本题考查的是解二元一次方程，把x=2代入得到关于y的一元一次方程是解答此题的关键．13．试写出一个以为解的二元一次方程组．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有专题：开放型．分析：本题是一个开放性的题目，答案不唯一，只有举出一个方程组，把x=3，y=﹣1代入方程组，每个方程的左右两边分别相等即可．解答：解：∵当x=3，y=﹣1时，x+y=2，x﹣y=4，符合条件的一个方程组是，故答案为：．点评：本题考查了二元一次方程组的解，本题具有一定的代表性，是一道开放性的题目，答案不唯一，再如：等．14．若方程组的解是，则a+b的值是 5 ．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，只需将方程的解代入方程组，就可得到关于m，n的二元一次方程组，解得a，b 的值，即可求a+b的值．解答：解：根据定义，把代入方程得：，所以a=，b=，∴a+b=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．15．2x+y=5的正整数解是，．考点：解二元一次方程．菁优网版权所有专题：探究型．分析：根据方程2x+y=0有正整数解可分别令x=1，x=2求出y的对应值即可．解答：解：∵当x=1时，2×1+y=5，解得y=3；当x=2时，2×2+y=5，解得y=1，∴方程2x+y=0有正整数解为：，．当x取大于2的整数，求出的y是负数，即正整数解只有两个，故答案为：，．点评：本题考查的是二元一次方程，由于二元一次方程是不定方程，在解答此类题目时要先设出一个未知数的值，然后求出另一个数的对应值．三．解答题（共6小题）16．已知关于x、y的方程组的解为，求m、n的值．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将x与y的值代入方程组计算即可求出m与n的值．解答：解：将代入方程组得：，②﹣①得：n=，即n=1，将n=1代入②得：m=1，则．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．17．已知关于x，y的方程组的解为，求m n的值．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有分析：所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，只需将方程的解代入方程组，就可得到关于m，n的二元一次方程组，解得m，n 的值，即可求m n的值．解答：解：根据定义，把代入方程组，得，解得．那么m n=3﹣2=．点评：此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法，比较简单．18．根据图中提供的信息，写出T恤衫的单价x（元/件）与驱虫剂的单价y（元/瓶）满足的二元一次方程组．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有分析：根据图象可知两件上衣和两瓶驱虫剂共44元，一件上衣和3瓶驱虫剂共26元，据此列出方程组即可．解答：解：设每件上衣x元，每瓶驱虫剂y元，根据题意得：点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是从题目中找到两个等量关系，这是列方程组的依据．19．是否存在m值，使方程（|m|﹣2）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+5是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：二元一次方程的定义．菁优网版权所有分析：利用二元一次方程的定义得出其系数的关系进而求出即可．解答：解：∵方程（|m|﹣2）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+5是关于x，y的二元一次方程，∴|m|﹣2=0，m+2≠0，m+1≠0，解得：m=2．故当m=2时，方程（|m|﹣2）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+5是关于x，y的二元一次方程．点评：此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5，y=4．试计算a2014+（﹣b）2013的值．考点：二元一次方程组的解．菁优网版权所有分析：将代入方程组的第二个方程，x=5，y=4代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．解答：解：将代入方程组中的4x﹣by=﹣2得：﹣12+b=﹣2，即b=10；将x=5，y=4代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=﹣1，则a2014+（﹣b）2013=1﹣1=0．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．。
二元一次方程组的解法与应用
二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是数学中的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍二元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用。
一、二元一次方程组的解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组的常用方法。
一般而言，我们可以通过变量消元，将方程组转化为只有一个变量的一次方程，从而求解出另一个变量的值。
举例来说，考虑以下的二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以通过乘以适当的倍数，使得方程组中的x的系数相等或者y的系数相等。
然后将两个方程相减，消去一个变量，从而得到仅含一个变量的方程。
解出该变量，再回代到原方程组中得到另一个变量的值。
2. 代入法代入法也是解二元一次方程组的一种方法。
首先，我们可以利用其中一个方程，将一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程中。
例如，考虑以下方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以从第一个方程中解出x，表示为y的函数。
将得到的表达式代入第二个方程，即可得到仅含有一个变量y的一次方程。
进而解出y的值，并将y的值代入第一个方程求解x的值。
3. 克莱姆法则克莱姆法则是一种解二元一次方程组的特殊方法，它基于矩阵的理论。
对于一个由线性方程组所构成的矩阵，克莱姆法则可以帮助我们通过计算行列式的值来求解方程组的解。
考虑以下方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以构建矩阵A和向量C，并计算其行列式，如果行列式不等于零，那么方程组有唯一解。
根据克莱姆法则，我们可以通过计算行列式Dx和Dy，并分别除以行列式A来求解x和y。
二、二元一次方程组的应用1. 几何应用二元一次方程组在几何学中有广泛的应用。
例如，在坐标系中，二元一次方程组的解可以表示为一条直线与坐标轴的交点。
通过解方程组，我们可以求解直线与轴的交点坐标，从而研究直线的性质和几何关系。
此外，二元一次方程组还可以用于求解平面上的交点问题。
华东师大版数学七年级下册 二元一次方程组和它的解练习(Word版含答案)
7.1二元一次方程组和它的解★含有个未知数,并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．★含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．★二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一组未知数的值,叫做二元一次方程的解．一般情况下,一个二元一次方程有个解．★二元一次方程组中的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
通常情况下,一个二元一次方程组只有一个解,它是一对数值．一．选择题（共7小题）1．有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x+＝2；④y2＝4x；⑤＝3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列方程组中,是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．3．下列方程组的解为的是（）A．B．C．D．4．母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元,百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买）,小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种5．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解,下列四组值中不是该方程的解的是（）A．B．C．D．6．某校举行篮球赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场,负y场,则根据题意,下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．7．二果问价源于我国古代数学著作《四元玉鉴》“九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜果苦果各几个？”设甜果为x个,苦果y个,下列方程组表示正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）8．若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程,则a的值为．9．已知关于x,y的方程（2a+6）x|b|﹣1+（b﹣2）＝﹣8是二元一次方程,则a＝,b ＝．10．若方程2x2m+3+（n+3）y|n|﹣2＝4是关于x,y的二元一次方程,则m n＝．11．已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y＝0,则m的值为．12．已知等式：①＝；②2x＝5y﹣x；③3x﹣5y＝0；④＝,其中可以通过适当变形得到3x＝5y的等式是．（填序号）13．若关于x,y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝2,则m的值为．三．解答题（共7小题）14．已知是方程的解,求﹣5a+2b+1964的值．15．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何”,意思是：鸡和兔关在一个笼子里,从上面看有35个头,从下面看有94条腿,问笼中鸡或兔各有多少只？16．甲、乙两人练习赛跑,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,求两人每秒钟各跑多少米？17．已知关于x、y的二元一次方程组的解是,求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）的值．18．求方程4x+5y＝21的整数解．19．甲、乙两位同学在解方程组时,甲把字母a看错了得到方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．（1）求a,b的正确值；（2）求原方程组的解．20．若干名游客要乘坐游船,要求每艘游船乘坐的人数相同．如果每艘游船乘坐12人,结果剩下1人未能上船；若有一艘游船空着开走,则所有游客正好能平均分坐到其余游船上．已知每艘游船最多能容纳15人．请你通过计算,说明游客共有多少人？7.1二元一次方程组和它的解参考答案与试题解析★含有＿两＿个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1＿的＿整式＿方程叫做二元一次方程．★含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．★二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一组未知数的值,叫做二元一次方程的解．一般情况下,一个二元一次方程有无数＿个解．★二元一次方程组中的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
《二元一次方程组和它的解》课件
二元一次方程组的定义和性质
实际应用问题的解决
方程组的解的判定和性质
求解二元一次方解法及其应用
难点：如何求解二元一次方程组，特别是当方程无解或有无穷多解时
解析方法：通过具体例题进行讲解和演示
注意事项：强调解方程组时需要注意的事项和易错点
06
二元一次方程组的变体与拓展
二元一次方程组的变体形式
系数矩阵形式
方程组系数矩阵的秩与解的关系
增广矩阵形式
线性方程组的形式
二元一次方程组的拓展形式
几何方程组的拓展
三角函数方程组的拓展
线性方程组的拓展
代数方程组的拓展
变体与拓展形式的应用场景
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方程组的解法：介绍消元法、代入法等解二元一次方程组的方法，并说明其适用范围和优缺点。
定义：将二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，从而求得这个二元一次方程组的解的方法。
适用范围：当二元一次方程组中一个方程的一个未知数只含有一个字母时，适合使用代入法。
步骤：首先将一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，然后将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后解这个一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代回原方程得到另一个未知数的值。
练习题与思考题布置
练习题：解二元一次方程组的基本步骤和注意事项
思考题：如何判断二元一次方程组的解是否唯一？
练习题：给出几个二元一次方程组，让学生尝试求解
思考题：如何将二元一次方程组转化为一次函数的形式？
汇报人：
感谢观看
方程组中未知数的个数和次数
二元一次方程组的解法及应用
二元一次方程组的解法及应用引言：数学作为一门重要的学科，广泛应用于各个领域。
在数学中，方程组是一种常见的问题形式。
而二元一次方程组作为最简单的方程组形式，其解法和应用也是我们学习数学的基础。
本文将介绍二元一次方程组的解法及其应用。
一、二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
通常表示为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知数，x和y为未知数。
1.1 消元法消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。
通过将两个方程相加或相减，使得一个未知数的系数相互抵消，从而得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：- 将两个方程的系数进行调整，使得一个未知数的系数相等或相反数；- 将两个方程相加或相减，消除一个未知数，得到一个新的方程；- 解得新方程中的未知数的值；- 将求得的未知数的值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
1.2 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的方法。
通过将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
具体步骤如下：- 选取一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；- 将得到的函数代入另一个方程，得到一个只含有一个未知数的方程；- 解得新方程中的未知数的值；- 将求得的未知数的值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
二、二元一次方程组的应用二元一次方程组在实际生活中有广泛的应用。
以下将介绍二元一次方程组在经济学、物理学和几何学中的应用。
2.1 经济学中的应用在经济学中，二元一次方程组常用于描述供给和需求的关系。
例如，假设某商品的供给方程为ax + by = c，需求方程为dx + ey = f，其中x表示价格，y表示数量。
通过解方程组，可以得到平衡价格和数量，从而确定市场的供需关系。
2.2 物理学中的应用在物理学中，二元一次方程组常用于描述物体的运动轨迹。
例如，假设某物体在平面上的运动轨迹可以用方程组ax + by = c，dx + ey = f来表示，其中x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的位移。
湘教版七年级数学下册 第1章 二元一次方程组 第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
《孙子算经》中记载的算法：
金鸡独立，兔子站起
脚数： 94÷2=47（只）
头数：
兔 47－35=12（只） 鸡 35－12=23（只）
2
1
讲授新课
一 解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题 《孙子算经》中的算法，主要是利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4
又是2的倍数.可是当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2， 上面的计算方法就行不通.
19
解: 设这块合金中含金为x 克，含银为y 克.
根据等量关系得 解这个方程组得
x
y
250,
x
1
y
1
16.
19
10
x
190,
y
60.
答：这块合金中含金为190克，银60克.
2. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％， 乙商品提价40％,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲 、乙两种商品原来的单价.
什么长方形的面问积题分. 割
我们可以画出示意图来帮助分析
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
02 横着画，把宽分成两段，则长不变
试着画一画
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
D
F
C
等量关系式有几个？
A
E
B
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
D
100
A
总产量=
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
解： 设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长度为ym.
根据等量关系，得 解这个方程组，得
x
y
5000,
1x0
二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的概念及解法知识点梳理知识点一 二元一次方程组的概念含有两个 未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
典例分析例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有 个；例2、已知二元一次方程2x －y ＝1，若x ＝2，则y ＝ ;若y ＝0，则x ＝ ． 变式1：方程x ＋y ＝2的正整数解是__________.变式2、在方程3x －ay ＝8中，如果 是它的一个解，那么a 的值为 例3 方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是（ ）A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。
例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。
问鸡兔各几何。
”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。
知识点二 解二元一次方程消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法 典例分析例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ．⎩⎨⎧==13y x化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．例2、用代入消元法解下列方程（1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x例3、用加减消元法解下列方程（1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x例4、解下列方程（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （6）⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x例5 、若，则＝ ，＝ 。
二元一次方程组和它的解
在这个演示中，我们将深入探讨二元一次方程组及其解。通过丰富的信息和 引人入胜的解释，我们将帮助您更好地理解这个重要的数学概念。
二元一次方程组的定义和形式
了解二元一次方程组的定义及其标准形式，了解系数和变量之间的关系。
二元一次方程组的解的概念
介绍什么是二元一次方程组的解，解是如何定义的以及解对方程组的含义。
解二元一次方程组的方法三： 等式法
详细讲解等式法，这是解二元一次方程组的另一种方法。演示如何通过将两 个方程相减来得到方程组的解。
二元一次方程组的解的存在性和唯一性
探讨二元一次方程组的解的存在性和唯一性。解释在不同情况下解
通过使用图形表示法，我们将展示如何通过解二元一次方程组来找到方程组 的解。
解二元一次方程组的方法一： 代入法
解释代入法是如何用于解二元一次方程组的，示范使用代入法找到方程组的 解。
解二元一次方程组的方法二： 消元法
介绍消元法，这是解二元一次方程组的另一种方法。展示如何通过消元步骤 来找到方程组的解。
知识全解：7.1_二元一次方程组和它的解
7.1二元一次方程组和它的解
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念。
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解。
3.通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
4.提高观察问题、分析问题的能力，树立良好的数学应用意识。
重点1：二元一次方程的概念
重点2：二元一次方程的解
重点3：二元一次方程组的概念
重点4：二元一次方程组的解
难点：根据条件列二元一次方程组
（1）教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入新课，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．
（2）通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．
（3）通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．
理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．。
7.3二元一次方程组的应用(1)(1)
跟踪练习
1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛
共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只， 则列出方程组为 x +y=10 .
6x+8y=68
2.100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片
瓦，3匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少
匹小马？ 解:设有x匹大马, y匹小马,
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15. 答:地砖的长为45 cm, 宽为15 cm.
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
（鸡兔同笼、 以绳测井）
关键：找等量关系
谢谢，再见！
感谢您的支持与配合！
7.3二元一次方程组的应用（1）
汶源学校 唐元华
观察与思考
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许 多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传 尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
“鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?
鸡+兔=35只 2×鸡+4×兔=94脚
题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等 份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份， 一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
等量关系
1 关系一 3 ×绳长－井深＝5
关系二
1 4×绳长－井深＝1
解：设绳长x尺, 井深y尺, 则 根据题意得：
x -y=5 ， x- y=1 .
解方程组得： x =48, y=11.
等量关系
解：设鸡为x 只,兔为y 只.
根据题意得
x+y=35，
①
2x+4y=94. ②
二元一次方程组和它的解
二元一次方程组和它的解教学目标知识与技能弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会体验一对数是不是某个二元一次方程组的解．过程与方法学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性．情感、态度与价值观经历对二元一次方程(组)的概念的学习，感受数学与生括的联系，感受数学的乐趣．重点难点重点：二元一次方程及二元一次方程组概念的理解．难点：用二元一次方程或二元一次方程组来刻画实际问题．教学设计一、情境导人1．什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？2．(投影)教材第24页问题1．(1)请用算术方法解答：平均场数：[(9-2)×3-17]÷(3-1)．(2)请用一元一次方程解答：若设这个队胜x场，则有：3x+(9-2-x)×1=17．(3)试比较以上两种解法，判断用算术方法与方程方法来刻画实际问题中的数量关系，哪一种较简便？(4)此题中有两个问题，如果分别设为x、y，怎样列式呢？是不是更容易表示题目中的数量关系呢？学生思考、讨论、交流，对每个问题做出解答，并体会其中所含的数学知识之间的联系．二、探究交流1．(投影)教材中表格学生完成表格．教师巡回指导．2．对于方程：x+y=7①，3x+y=17②，思考问题：①它们是一元一次方程吗？②这两个方程有无共同特点？③类比一元一次方程的概念，能否确定这两个方程的概念？教师巡回指导．学生观察、思考、交流、讨论．教师引导学生得出概念．含有两个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫二元一次方程，两个二元一次方程合在一起就组成了二元一次方程组．教师板书课题：二元一次方程组和它的解．3．巩固下面是二元一次方程的有_________．a：4x-2y=13；b：3x-5=2；c：1113 x y-=；d：x2-x+y2+y=5；e：x2-5x-6=0；f：3x-4y．学生类比一元一次方程的概念，归纳出二元一次方程的概念．教师巡回指导．4．观察用算术法或一元一次方程求出的答案，然后确定：x、y的值．学生观察、思考、交流、讨论．思考：(1)x=5与y=2是否满足方程①？(2)x=5与y=2是否满足方程②？(3)类比一元一次方程解的概念，能否确定二元一次方程组的解的概念？学生思考、讨论、归纳．5．二元一次方程组解的检验练习：已知下面三对数值：⑴21，；xy⎧=⎨=⎩(2)24-，；xy⎧=⎨=⎩(3)17-，.xy⎧=⎨=⎩哪一对数是方程组253410，.x yx y⎧+=⎨+=⎩的解？学生思考、探索然后回答．教师指导学生进行探索．三、应用迁移(1)根据下列语句，分别设出适当未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组．①甲数的13比乙数的4倍多8；②某种时装的价格是某种皮装价格的1．4倍，5件皮装比3件时装贵700元．学生思考后解答，然后讨论、交流派出代表回答问题．(2)(投影)教材第26页问题2问题：①计划校园总面积有几种表示方法？②题目中能找出哪两组等量关系？③能否只用一个未知数，列出一元一次方程？④列出方程．教师点评学生的回答状况．四、小结1．二元一次方程的概念．2．二元一次方程组的概念．3．二元一次方程组解的概念及注意事项．学生回忆后回答，互相补充完善．五、布置作业教材习题7．1．。
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《二元一次方程组和它的解》典例精析
【例1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有 ．
（1）2x －4＝y ； （2）x －4＝1； （3）xy ＝3； （4）x ＋y ＝6；
（5）2x －4y ＝7； （6）021=+
x ； （7）125=+y x ； （8）321=+y x ； （9）082=-y x ； （10）62
4=+y x ． 【解析】只有（1）（4）（5）（8）（10）满足二元一次方程的概念。
（2）为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；（3）中含未知数的项的次数为2；（6）只含有一个未知数；（7）不是整式方程（其中一项的分母中含有未知数，是以后我们要学习的分式方程）；（9）中未知数x 的次数为2．
【答案】（1）（4）（5）（8）（10）．
【点评】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的概念，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据概念进行判断．
【例2】已知：方程3x m +3－2y 1
－2n =15是一个二元一次方程，则m =__________，
n =__________．
【解析】因为此方程是二元一次方程，故方程左边两个未知项的次数必为一次；即m +3=1，1－2n =1，解得m =－2，n =0．
【答案】－2，0．
【例3】在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少要2元，只要50元．李太太买了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x 元，包子每个y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？（ ） A ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=⨯⎩ B ．53502115900.9x y x y +=+⎧⎨+=÷⎩
C ．53502115900.9x y x y +=-⎧⎨+=⨯⎩
D ．53502115900.9
x y x y +=-⎧⎨+=÷⎩ 【解析】根据题意知，x ，y 同时满足两个相等关系．
①老板少要2元，只要50元，所以列方程53502x y +=+；②老板以售价的九折优待，只要90元，列方程115900.9x y +=÷，故选B ．
【答案】B．
【点评】本题中x，y同时满足两个条件的约束，可以列两个方程，故应建立方程组解答问题．
【例4】下列四对数值：
①
1,
1;
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
②
2,
1;
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
③
4,
5;
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
④
1,
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
是方程组
23,
3410
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解的是（）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B．
【点评】怎样检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，确定这对数满足其中的所有方程时，才能说这对数是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解．【例5】古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
（1）甲：x表示，y表示；
（2）乙：x表示，y表示；
【分析】（1）甲根据A、B工程队各自整治的天数设未知数；
（2）乙根据A、B工程队各自完成的任务设未知数．
【解】甲：20，180乙：180，20
（1）A工程队整治河道的天数，B工程队整治河道的天数
（2）A工程队整治河道的长度，B工程队整治河道的长度。