用适当方法解二元一次方程组(新)

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第二节二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学学而思

第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用法，消y 用法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。

二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。

8.2.4 用适当的方法解二元一次方程组

x2y 3
的解也是
二元一次方程x+y=2解，求k的值。
提示：两方程相减得x+y=k-2,从而得到k-2=2得k=4.
5、已知方程 1011x1010 y1009m 的解满足x+y=1,求m
的值。
1010 x1011 y 1012m
提示：两方程相加得x=y=m，很明显得到m=1.
例1、解二元一次方程组：
以下是小明的解题过程。请你帮他检
3x 4 y 2 ①
验是否正确。
2x 3y 7 ②
解：由②得 y 7 2x ③
3
把③代入①得：3x 4 7 2x 2
3
两边同乘3得：9x 47 2x 2 你能指出错误原因吗？
解得：
x 31
四、运用活学：
（二）课外补充：
1、已知方程组
3x 5 y m

x

2
y

m

4中未知数的和等
于－1，求m的值。
1、选择适当的方法解二元一次方程组。
2、体会数学思想能使问题从难到易，不会到会的过程。
即:x+y=2 ③
①－② 得：6x-6y=24
即：x-y=4 ④
③+④得：2x=6
解得 x=3
把x=3代入③解得：y=-1
所以这个方程组的解是 x=3
一
y=-1
类型二未知数系数和（差）是定值
2.如果二元一次方程组
2x y 7 ① x 2 y 8 ②
那么x＋y＝_5____ ，x－y＝__-1___
把x=2代入③得：
y
7
7

二元一次方程组及其解法

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
例8.解方程组
一、选择题
1.下列各式中，是二元一次方程的是（）
A.4x－2π＝5B.3x＋5yC.2x－5y＝0D.2x－5＝y2
2.如果5x3m－2n－2yn－m+11＝0是二元一次方程，则（）
A.m＝1，n＝2B.m＝2，n＝1 C.m＝－1，n＝2D.m＝3，n＝4
3.如果是方程3x－ay＝7的一个解，那么a＝（）
二元一次方程组及其解法
知识要点
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？（1）5x＋3y＝75；（2）3x＋1＝8x；（3）＋y＝2；（4）2xy＝9.
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
解法2：
由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.
把k＝1，代入x＝k，得x＝1；
把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；
把k＝1，代入z＝7k，得z＝7.
因此三元一次方程组的解为
小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.
例4、解方程组
分析：

二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc

二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。

如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。

如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3、无解。

如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。

二元一次方程组的解法(教师版)2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义(人教版)

第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②732y x -=733382y y -⨯-=13y =能力拓展将代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为．【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x ﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．【即学即练】解方程组（1）（2）【答案】 13y =313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解：将①代入②：，得 y=4，将y=4代入①：2x －12=2得 x=7，∴原方程组的解是. （2）解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，， ∴原方程组的解为. 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值．【答案】B ．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2． 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②25297y ++=74x y =⎧⎨=⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②k k k k k k k 58k =-542x k ==-1538y k ==-52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以，又联立方程组，则有，解得．所以(2a+b)2011＝-1．【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：， 2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④2011(2)a b +2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③22x y =⎧⎨=-⎩48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩13a b =⎧⎨=-⎩则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：349(1)2659(2)3x y x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23x y =⎧⎨=⎩【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组1615ax my bx ny -=⎧⎨+=⎩的解为71x y =⎧⎨=-⎩，求关于x 、y 的方程组(2)()16(2)()15a x y m x yb x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解．【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x +y ，x -y 看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x +y )与(x -y )分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：．【答案】解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩ 【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设,610x y x y m n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①② 解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【即学即练】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3－①×2得，3535y =，即1y =，将1y =代入①得，99x =，即1x =，所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①② ①－②，整理得513y y -=- ③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =；当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解.将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（） A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 【答案】D【解析】【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意．故选D ．分层提分2．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【解析】【分析】根据各选项分别计算，即可解答．【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．3．解方程组231367x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2【答案】C【解析】【分析】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【详解】解：①×2得：4x+6y=2③，③+②得：7x=9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．用加减法将方程组2311255x yx y-=⎧⎨+=-⎩中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26y= B．816y=C．26y-=D．816y-=【答案】D【解析】【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．利用加减消元法解方程组2510{536x yx y+=-=，①②，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2【答案】D【解析】【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为：（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．故选D6．用代入消元法解方程组3+4=225x yx y⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是()A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x－5【答案】D【解析】【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.【详解】解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故应选D.【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】B【解析】【详解】试题解析：512{34a ba b+=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．8．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2B2C．2D．4【解析】【详解】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． 2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为2．故选C ．9．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【详解】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵32120x y x y --+-=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②， ①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．11．若方程组31331x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定【答案】A【解析】【详解】试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ． 12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为（）A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得2,c =-且3222a b +=①，由于乙看错c ，所以2622a b -+=②，解由①②构成的方程组可得：4,5a b =⎧⎨=⎩故选B ．题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．【答案】y=3-2x【解析】【详解】23x y +=移项得：y=3-2x.故答案是：y=3-2x ．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___．【答案】1【解析】【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得到一个关于a ，b 的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b 的值．【详解】解：根据题意把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得 345432b a b a +⎧⎨+⎩＝①＝②， ①+②，得：7（a+b ）=7，则a+b=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____．【答案】24．【解析】【分析】把x y 3x 5y +-、分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解：∵x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩， ∴()()()3x y 3x 5y 37324+--=⨯--=．故答案为：24．17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________．【答案】5【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为．【答案】2【解析】【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==， ∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+=，故答案为2.19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m -7n 的算术平方根是_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为 4．考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组 20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ．【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩∴方程组3()()=52()()6a b m a ba b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是12a ba b+=⎧⎨-=⎩解12a ba b+=⎧⎨-=⎩得3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．21．若方程组2313{3530.9a ba b-=+=的解是8.3{1.2,ab==则方程组的解为________【答案】6.32.2 xy==⎧⎨⎩【解析】【详解】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：6.3{2.2xy==.题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩，整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ，两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩．（2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩，两式相减得：25y =，将25y =代入5156x y +=中，得251565x +⨯=，解得：0x =．所以原方程组的解为025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．23．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx yx ny+=-=时，甲解题时看错了m，解得7{22xy==-；乙解题时看错了n，解得3{7xy==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】n = 3, m = 4，2 {3 xy==-【解析】【详解】试题分析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，由此即可求得n的值；37xy=⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；试题解析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，∴72(2)132n⨯--=，解得n=3；37xy =⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，∴375m-=，解得m=4；∴原方程组为：452313x yx y+=⎧⎨-=⎩，解此方程组得23xy=⎧⎨=-⎩，∴m=4，n=3，原方程组的解为：23 xy=⎧⎨=-⎩.点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩时，甲解题时看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”这句话的含义是：“722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”是关于x y、的二元一次方程“213x ny-=”的解.25．阅读探索解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得22xy=⎧⎨=⎩，即1222ab-=⎧⎨+=⎩，所以3ab=⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．【答案】（1）95a b =⎧⎨=-⎩；（2）23m n =-⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）设13a -=x ，25b +=y ，可得出关于x 、y 的方程组，即可求出x 、y 的值，进而可求出a 、b 的值；（2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，根据已知方程组的解确定出m 、n 的值即可.【详解】（1）设13a -=x ，25b +=y ，原方程组可变形为2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，即123215a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：95a b =⎧⎨=-⎩. （2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，原方程组可变形为：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩， ∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩， ∴5(3)53(2)3m n +=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.故答案为23 mn=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.。

第十章二元一次方程组单元测试(含答案)

第十章二元一次方程组单元测试第Ⅰ卷（选择题，共16分）一、选择题（每题2分，共16分）1．下列方程中，属于二元一次方程的是（） A ．3－5x=2x+2 B ．8－x=1y+1 C ．m －3n=5s D ．3s+11=5t 2.原创题若x 、y 都是质数，则二元一次方程2005x y += 的解有（） A.1组； B.2组； C.3组； D.无数组． 3.自编题设x ay b=⎧⎨=⎩是方程3x －y=0的一个解,那么 ( )A. a,b 一定为正数;B. a,b 一定是负数;C. a,b 必同为0;D. a,b 不可能异号.4. 自编题若二元一次方程组22x y k k x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解也是二元一次方程3x －4y=6的解,则k 的值为 ( )A. －6B. 6C. 4D. 8 5. 原创题若｜3523+-y x ｜+(6x+5y －8)2=0,则x 2－xy+y 2的值为 ( A)A.943 B. －943 C. 957D. 957-6.一列快车和一列慢车的长度分别为180米和225米,若同向行驶,从快车追及慢车到全部超过81秒,如果快、慢车速分别为x 米/秒和y 米/秒,那么表示其等量关系的方程是 ( ) A. 81(x －y)=225; B. 81(x －y)=180; C. 81(x －y)=225－180; D. 81(x －y)=225+1807. 原创题一张试卷一共只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣2分，李明同学做了全部试题，得了88分，那么他做对了（）A 、21题B 、22题C 、23题D 、24题8.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元，那么此人住院的医疗费是（）住院医疗费（元）报销率（%）不超过500元的部分 0 超过500～1000元的部分 60 超过1000～3000元的部分 80 ……A 、1000元B 、1250元C 、1500元D 、2000元第Ⅱ卷（非选择题，共84分）二、填空题（每题2分，共16分） 9. 自编题如果方程6123=+y x 变形为用y 的代数式表示x,那么____________. 10. 自编题方程3x+4y=10正整数解是_______________. 11.若x ：y =3：2，且1323=+y x ，则=x ，y = . 12.若100,2x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩是二元一次方程mx －ny －10=0的解,则m+n=______. 13．自编题方程组20,x y x y a+=⎧⎨-=⎩的解是15,,x y b =⎧⎨=⎩，则a=_______，b=________．14.自编题方程组200,2_____x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是150,_____.x y =⎧⎨=⎩15．原创题某种商品的市场需求量E （千件）和单价F （元/件）服从需求关系13E+F －173=0，•则当单价为4元时，市场需求量为________；若出售一件商品要在原单价4元的基础上征收税金1元，市场需求变化情况是__________．16.甲、乙两种糖果，售价分别为20元／千克和24元／千克，根据市场调查发现，将两种糖果按一定的比例混合后销售，取得了较好的销售效果．现在糖果的售价有了调整：甲种糖果的售价上涨了8%，乙种糖果的售价下跌了10%．若这种混合糖果的售价恰好保持不变，则甲、乙两种糖果的混合比例应为甲︰乙= ．三、解答题（第17题每题4分，第18、19题每题6分，其余每题8分共68分） 17. 用适当的方法解下列二元一次方程组：（1）解方程组7,28.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②（2）00000042,0.8 1.1421.x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩18．原创题若方程组4322,(3) 3.x ymx m y+=⎧⎨+-=⎩①②的解满足x=2y，求m的值．19.原创题用一根长60cm的铁丝围成一个长方形，且使长方形的宽是长的57，•求长方形的长与宽．20.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？21．据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市．其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．求严重缺水城市有多少座？22．甲、乙两人环绕长为400米的环形跑道散步．如果两人从同一点背道而行，•那么经过2分钟相遇；如从同一点同向而行，那么经过20分钟两人相遇，如甲的速度比乙快，求两人散步速度各是多少？23．商场销售A、B两种品牌的衬衣，单价分别为每件30元，50元，一周内共销售出300件；为扩大衬衣的销售量，商场决定调整衬衣的价格，将A种衬衣降价20%出售，B 种衬衣按原价出售，调整后，一周内A种衬衣的销售量增加了20件，B种衬衣销售量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售多少件？24. 原创题有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？25.原创题阅读理解.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+1412723yxy x 时，如果设n y m x ==1,1，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组⎩⎨⎧=-=+142723n m n m 。

求解二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.4求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1）定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1）变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b 是常数,a≠0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b 为常数,a≠0.用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组；【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组；【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组——错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组——参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。

消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)

消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ．二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。

用适当方法解二元一次方程组 (4)

四、例1
下列方程组用什么方法解好?为什么? 2x+y=4 (1)
（1） y=7 (2)
（2）（3）
2x+5y=10 (1) 3x-5y=6 (2)
4x+3y=-1 (1) 2x=8 (2)
（4）
-2（x-y）+7（x+y）=21 (1) 2（x-y）－5（x+y）=－1 (2)
2. 选择适当方法解方程组：
用含y 的代数式表示x的形式,则x=._______.
4.“甲数的2倍减去乙数的一半的差是5”,根据这语句设甲数为 x,乙数为y, 则列出方程是________.
5.已知方程组
x y 4 x y 2
则
1 x
-3y=.________
6.若4x 32 +|2y+1|=0,则x+3y=______.
解三元一次方程组的基本思想是化三元为二元再化二元为一元
二.,课堂练习:
一.填空题：
1.二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=_____.
2.在方程3x-ay=8中,如果
x

y
3 1
是它的一个解,则a=____
3.把方程3x+y=5写成用含x的代数式表示y的形式,则y=._____

2 ,
6
求A、B、C的值。
（2）甲、乙两人同解方程
组CAxx

By 3y

2 2,
甲正确解得 xy

11,乙抄错C，解得xy

2 ,
6
求A、B、C的值。
解得：A 5，B 1，C -5
2

怎么求解二元一次方程组

怎么求解二元一次方程组
二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。

要求解这样的方程组，可以使用以下方法：
1. 消元法，将方程组中的一个未知数消去，得到只含有一个未知数的方程，然后求解该方程，再将求得的结果代入另一个方程中求解另一个未知数。

2. 代入法，将一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。

3. 直接相减法，将两个方程相减，消去一个未知数，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。

这些方法都可以用来求解二元一次方程组，选择合适的方法取决于具体的方程组形式和个人偏好。

通过这些方法，可以有效地求解二元一次方程组，得到方程组的解。

(完整版)二元一次方程组的常见解法

二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。

《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)

用一个未知数的代数式表示另一个未知数消去一个元分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10

2022年上海六年级数学下学期同步教材满分攻略第09讲二元一次方程(组)及解法(练习版)

第09讲二元一次方程（组）及解法（核心考点讲与练）一．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．三．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．四．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．五．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．六．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．一．二元一次方程的定义（共2小题）1．（2021春•浦东新区期末）在下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x2+y＝3B．2x＝y C．xy＝2D．2x+y＝z﹣1 2．（2021春•奉贤区期末）观察下列方程其中是二元一次方程是（）A．5x﹣y＝35B．xy＝16C．2x2﹣1＝0D．3z﹣2（z+1）＝6二．二元一次方程的解（共2小题）3．（2021春•萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A．B．C．D．4．（2021春•浦东新区校级期末）已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝．三．解二元一次方程（共2小题）5．（2021春•闵行区期末）将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝．6．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（）A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y四．二元一次方程组的定义（共2小题）7．（2021春•浦东新区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．8．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．五．二元一次方程组的解（共3小题）9．（2020春•恩平市期末）以为解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．10．（2021春•杨浦区期末）方程组的解的情况是（）A．B．C．无解D．无数组解11．（2018春•宝山区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．六．解二元一次方程组（共7小题）12．（2021秋•普陀区校级月考）对于两个一元多项式（含字母x）来说，当未知数x任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式（含字母x）恒等．如：如果两个一元多项式x+2与ax+b（a、b是常数）是恒等的，那么a＝1，b＝2．请完成下列练习：（1）多项式ax4﹣1与bx2+cx+1具备什么条件时，这两个多项式恒等？（2）如果多项式（a+b）x3+3x2+1与1+x2+10x3恒等，试求a、b的值．13．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组：．14．（2021春•浦东新区期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝．15．（2021春•闵行区期末）解方程组：．16．（2021春•闵行区期中）（1）解方程组：；（2）解方程组：．17．（2016春•浦东新区期末）已知m、n满足＝＝2，求m、n的值．18．（2014春•闵行区期中）解方程组：．七．二元一次方程组的应用（共1小题）19．（2021秋•福田区校级期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？题组A 基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2020春•普陀区期末）下列方程中，二元一次方程是（） A ．2x +1＝0B ．x 2+y ＝2C ．2x ﹣y ＝1D ．x ﹣y +z ＝12．（2020春•营山县期末）二元一次方程3x +2y ＝12的解可以是（） A ．B ．C ．D ．3．（2021春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A ．B ．C ．D ．二．填空题（共10小题）4．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x +y ＝8的正整数解是．5．（2021春•上海期中）将方程2x +5y ＝7变形为用含y 的式子表示x ，那么x ＝． 6．（2020•奉贤区二模）二元一次方程x +2y ＝3的正整数解是． 7．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是．8．（2021春•浦东新区期末）将x +2y ＝4变形成用含x 的式子表示y ，那么y ＝．9．（2021春•普陀区期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x ﹣5y ＝7的等模解是．10．（2021春•松江区期末）在二元一次方程3x +y ＝12的解中，x 和y 是相反数的解是． 11．（2021春•松江区期末）已知是方程2x +ay ＝7的一个解，那么a ＝．12．（2018春•杨浦区校级月考）已知关于x 、y 的二元一次方程（m +1）x +（m +2）y +3﹣2m ＝0，当m 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为．分层提分13．（2021春•黄浦区校级月考）方程组的解是．三．解答题（共5小题）14．（2020春•普陀区期末）解方程组：．15．（2020春•浦东新区期末）解方程组：．16．（2018春•杨浦区校级月考）试求方程组的解．17．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．18．（2021春•嘉定区期末）解方程组：．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（）A．B．C．D．2．（2015•下城区一模）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①﹣3＜a≤1；②当时，x＝y；③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；④若x≤1，则y≥2．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④二．填空题（共7小题）3．（2020春•普陀区期末）方程2x+y＝3的正整数解是．4．（2019春•奉贤区期末）已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k的值是．5．（2018春•普陀区期末）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是和．6．（2017春•浦东新区期中）如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y ＝．7．（2017春•浦东新区校级月考）已知关于x、y的方程2x2m+y n﹣1＝1是二元一次方程，那么mn ＝．8．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝．9．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是．三．解答题（共5小题）10．（2019春•浦东新区期末）解方程组：．11．（2018春•浦东新区期末）解方程组：12．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．13．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值丙同学：先解方程组，再求k的值（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．14．（2018春•石阡县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．。

二元一次方程组的解法步骤

二元一次方程组的解法步骤二元一次方程组的解法步骤第 1 篇代入消元法(1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式;(2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程，求出x的值;(4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解;(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。

换元法解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。

该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。

加减消元法(1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;(4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。

二元一次方程组的解法步骤第 2 篇教学目的1、使学生巩固等式与方程的概念。

2、使学生掌握等式的*质和灵活掌握一元一次方程的解法，培养学生求解方程的计算能力。

教学分析重点：熟练掌握一元一次方程的解法。

难点：灵活地运用一元一次方程的解法步骤，计算简化而准确。

突破：多练习，多比较，多思考。

教学过程一、复习1、什么是一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解是什么？2、等式的*质是什么？（要求说出应注意的两点）3、解一元一次方程的基本步骤是什么？以解方程－2x+=为例，说明解一元一次方程的基本步骤与注意点，并口头检验。

二、新授1、已知方程（n+1）x|n|=1是关于x的一元一次方程，求n 的值。

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五、活学活用
（一）课内检测：
1.解下列方程组：
2 a b 1) x y（（1） 3x 5 y 14
2

x 3 y 1

2
x 0, x 0 5. zy 5
2 x y 4 2.已知方程组，则x+y的值为（ D ） x 2 y 5 A.-1 B.0 C.2 D.3

2 x3 y k 的解x，y满足方程 3 x4 y k 11
提示：两方程相加得5x-3y=2k+11,从而得到2k+11=3得 k=-4. 1011x 1010 y 1009 m
5.已知方程组 m的值。

1010 x 1011 y 1012 m
的解满足x+y=1,求
提示：两方程相加得x+y=m，很明显得到m=1.
解得

x 13 y 7
四、合作探究：
4.解方程组
33 x 25 y 41 ① 31x 23 y 39 ②
33 x 25 y 41 ① 31x 23 y 39 ②
2 x y 1
分析：本题未知数的系数差是定值，可以凭此作差将方程组变形。解：①-②得2x-2y=2,即x-y=1

(ax b 1)5 z 25 6 （2） 3x 4 z 20
3、若|a+b+1|与(a b 1) 互为相反数，则a 与b的大小关系是（ C ） A．a＞b B.a=b C.a＜b D.a≥b
3 x y 1
2
五、活学活用
4.已知方程组 5x-y=3,求k的值。

x 4 1 y 2
2 x y 5 （2） 3x 4 y 2

x 2 y 1

3 x 2 5 y 6
3x 2 y 8 （4）6x 9y 21

x2 y 1
总结：
1.代入法：方程组中有一个未知数的系数 2.加减法：
为1（或-1）。（1）方程组中有某个未知数的系数相同或互为相反数；（2）同一个未知数的系数成倍数关系；（3）求同一系数的最小公倍数。特别强调：对于较复杂的二元一次方程组应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）
分析：若先去括号，去分母等变形显得十分烦 2 琐，观察上述方程中特点将（ 3 y）、（x-3）作整体且（ 2 y ）系数相同，整体相减消元。 3 1 28(x 3) 7, x 3 ，解：②-①得： 1 4
11 把x 3 1 代入①得， y3 4 15
x 3 4 y 3 11 15
换元思想是重要的数学思想，望掌握！
分析：本题含有相同的式子，可用换元法求解。
x y x y 解：设 m， n 6 10
，

原方程化为
x y m 6
m n 3 mn 1
解得
m 1 原方程组变为 n2
即
x y 1 6 x y 2 10
x y 6 x y 20
33 x 25 y 41 ① 31x 23 y 39 ②
③
①+②得64x-48y=80，即4x-3y=5 ④ 由③得y=x-1,代入④得x=2,将x=2代入③得y=1 x 2, x2 所以可得方程组的解为
y 1
y 1.
四、合作探究：
5.解方程组
2 5( y) 8( x 3) 20 ① 3 20( x 3) 5( 2 y) 27 ② 3
把y=3代入③，得 x=4 x 4, 所以，方程组得解是： y 3.
解法一：
解二元一次方程组：

① ×3 得 ② ×2 得 ③+ ④ 得
3x+ 4y = 16 5x - 6y = 33 9x+ 12y = 48 10x - 12y = 66
① ②
③ ④
19x = 114 把x = 6代入①得 18 + 4y = 16 原方程组的解为
即x=6
1 即y= 2

x = 6, 1 y= 2.
解方程组：
解法二：
① ×5 得 ② ×3 得 ③- ④ 得
1 2

3x+ 4y = 16 5x - 6y = 33
①
②
③ ④
15x+ 20y = 80 15x - 18y = 99 38y = -19
即y=
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
把y =
代入①得 3x-2 = 16
x 7 y 4
四、合作探究：
5.3x 4.7 y 112 ① 2.解方程组 4.7x 5.3y 88 ②
分析：上述方程中两个未知数系数的轮换形式，可作整体相加，整体相减而解出。
10 x 10 y 200 解：①+②得：即 x y 20 ③ 0.6x 0.6 y 24 ① ② 得：即 x y 40 ④
六、小结与作业
课堂小结：本节课你有哪些收获？有哪些困惑？
课外作业：必做题：课本p98习题第5题。
3x 5 y m 4 课本第 111 页复习题选做题： x 2 y m
第2题（2）（4）
祝同学们学习愉快，同学们再见！
x 30 ③+④得： y 10 ③ ④ 得：所以 x 30
y 10
四、合作探究：
3.解方程组
x y x y m, n 6 10
x y x y 3 ① 6 10 m n 3 ① x y x y 1 ② m n 1 ② 10 6
原方程组的解为

即x=6
x = 6， 1 y= 2.
四、合作探究：
1.解方程组
2 x 3 y 2 0 2 x 3y 5 2y 9 7 ① ②
分析：方程①及②中均含有 2 x 3 y 。可用整体思想解。由①得 2 x 3 y 2 代入②而求出y。
三、例题分析：
代入消元法
x 3 y 13 ① 解二元一次方程组： x 2 y 10 ②
加减消元法解：把①-②得：
解：由①得：x=13-3y ③ 把③代入②，得 13-3y+2y=10
y=3
y3
把 y=3代入①得：
x4
一元方程组的解是：
x 4, y 3.
人教新课标版七年级数学下
巢湖市板桥学校李小平
一、目标导学：
1.能熟练、正确、灵活地运用代入法和加减法解二元一次方程组。 2.会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。
二、学习准备：
解下列方程组并总结在哪种情况下选择哪种方法：
x 2 y 5 （1 ） x 4
3x 3 y 2 （3） x 3 y 4