52解二元一次方程组1
七年级下册50道解二元一次方程组含答案
七年级下册50道解二元一次方程组含答案1、求解方程组：begin{cases} x+y= \\ x-y=2 \end{cases}$$改写为：begin{cases} x+y=a \\ 2x=a+2y \end{cases}$$其中，$a$为待求解的常数。
解得：$x=\frac{a+2}{2}$，$y=\frac{a-2}{2}$，因此方程的解为$(\frac{a+2}{2},\frac{a-2}{2})$。
2、求解方程组：begin{cases} y=2x \\ x+y=3 \end{cases}$$将第一个方程代入第二个方程，得到$3x=3$，解得$x=1$，因此$y=2$，方程的解为$(1,2)$。
3、求解方程组：begin{cases} x-y=6 \\ 2x+31y=-11 \end{cases}$$将第一个方程变形为$x=6+y$，代入第二个方程得到$2(6+y)+31y=-11$，解得$y=-\frac{23}{33}$，因此$x=\frac{55}{33}$，方程的解为$(\frac{55}{33},-\frac{23}{33})$。
4、求解方程组：begin{cases} x+y=1 \\ 3x-y=3 \end{cases}$$将第一个方程变形为$y=1-x$，代入第二个方程得到$3x-(1-x)=3$，解得$x=1$，因此$y=0$，方程的解为$(1,0)$。
5、求解方程组：begin{cases} y=2x-3 \\ 3x+2y=8 \end{cases}$$将第一个方程代入第二个方程，得到$3x+2(2x-3)=8$，解得$x=2$，因此$y=1$，方程的解为$(2,1)$。
6、求解方程组：begin{cases} x+y=1 \\ 4x+y=10 \end{cases}$$将第一个方程变形为$y=1-x$，代入第二个方程得到$4x+(1-x)=10$，解得$x=3$，因此$y=-2$，方程的解为$(3,-2)$。
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
《消元——解二元一次方程组 1课时》PPT
表示y，再代入②中求解.由①，得y=2x+3③.把③代入②，得4x+5(2x+3)=1，
4x+10x+15=1，14x=-14，x=-1.把x=-1代入③，得y=2×(-1)+3=-2+3=1.所
以这个方程组的解是ቊ
= −1
。
=1
知识梳理
【方法小结】注意：（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的
二元一次方程组的关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或
x=ay+b)的形式，其中a，b为常数，a≠0.
知识梳理
2 − = −3
【例2】用代入法解方程组ቊ
4 + 5 = 1
①
②
【讲解】要考虑将方程组中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表
示出来，方程组①中y的系数为-1，因此可将方程①变形，用含x的代数式
即可.
6.如图8-2-1，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的长
方形，求长方形ABCD的长和宽.
图8-2-1
课堂练习
答案：解：设小长方形的长和宽分别为x、ycm，依题意得ቊ
解这个方程组，得ቊ
4 + 7 = 68
，
2 = 5y
= 10
。5×4=20（cm），10+4=14（cm）.答：长方形
的解互为相反数，则k的值是_____________.
2 + 3 = k
+ 2 = −1
课堂练习
2 − 7 = 8 ①
②
y=4+2x
1.用代入法解方程组ቊ
可以由_____得___________
《解二元一次方程组》教案（例题+练习+答案）word版本
《解⼆元⼀次⽅程组》教案（例题+练习+答案）word版本⼆元⼀次⽅程组的解法1.⼆元⼀次⽅程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。
例1.下列⽅程组中，哪些是⼆元⼀次⽅程组_______________判断⼀个⽅程是为⼆元⼀次⽅程的三个要素：①含有两个未知数②未知数的次数为1 ③整式⽅程想⼀想：⼆元⼀次⽅程的解与⼀元⼀次⽅程的解有什么区别？①⼆元⼀次⽅程的解是成对出现的；②⼆元⼀次⽅程的解有⽆数个；③⼀元⼀次⽅程的解只有⼀个。
例2 若⽅程是⼆元⼀次⽅程，求m 、n 的值．分析：变式：⽅程是⼆元⼀次⽅程，试求a 的值．注意：①含未知项的次数为1；②含有未知项的系数不能为02.⼆元⼀次⽅程组的解⼆元⼀次⽅程组的解法，即解⼆元⼀次⽅程的⽅法；今天我们就⼀起探究⼀下有什么⽅法能解⼆元⼀次⽅程组。
练⼀练：1、若 =-??=?x 1y 2是关于 x 、y 的⽅程 5x +ay = 1 的解，则a=（）.2、⽅程组 +=??-=?y z 180y z （）的解是 =??=y 100z （）.3、若关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程组––=??+=?4x 3y 1kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（）.3、⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数想⼀想：(1)24x y +=，所以________x =；2(1)3x y y z +=??+=?，5(2)6x y xy +=??=?，7(3)6a b b -=??=?，2(4)13x y x y +=--=??，52(5)122y x x y=-??+=，25(6)312321m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=(2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) 2y x ,所以x =，________y =．总结出⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数的⽅法步骤：①被表⽰的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表⽰的未知数的系数化为1．4.⼆元⼀次⽅程的解法（1）⽤代⼊法解⼆元⼀次⽅程组将⽅程组中的⼀个⽅程的某个未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解，这种解⽅程组的⽅法叫做代⼊消元法，简称代⼊法. 代⼊消元法解⽅程组的步骤是：①⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数；②把新的⽅程代⼊另⼀个⽅程，得到⼀元⼀次⽅程（代⼊消元）；③解⼀元⼀次⽅程，求出⼀个未知数的值；④把这个未知数的值代⼊⼀次式，求出另⼀个未知数的值；⑤检验，并写出⽅程组的解.例3：⽅程组92x y y x ……①………②ì+=?í= 解：把②代⼊①得，29x x +=3x 9= 3x =把x=3代⼊②，得6y =所以，原⽅程组的解是36x y ì=??í= 总结：解⽅程组的⽅法的图解：练⼀练：1、如果31014x y +=，那么x =________；2、解⽅程组35,23 1.x y x y ì-=??í?-=??3、解⽅程组31014101532x y x y ì+=??í?+=??3、以?-=-=5.05.1y x 为解的⽅程组是（）A.=-+=--0530=++=+-05301y x y x C. ??-=+=-y x y x 531D. ??=+=-531y x y x 4、⽤代⼊消元法解下列⼆元⼀次⽅程组：（1）23321y x x y =-??+=? （2）??-=-=+42357y x y x （3） 233418x yx y ?=?+=?（2）加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种⽅法叫做加减消元法，简称加减法。
解二元一次方程50道练习题(带答案)
解二元一次方程50道练习题(带答案)
1. 解方程组：
{2x - y = 3
{3x + 2y = 8
解答：
首先，可以通过消元法来解决这个问题。
将第一个方程乘以2，并将第二个方程乘以3，得到：
{4x - 2y = 6
{9x + 6y = 24
接下来，将第一个方程的两倍加到第二个方程上，得到：
{4x - 2y = 6
{13x + 4y = 30
然后，将第一个方程的2倍加到第二个方程上，得到：
{4x - 2y = 6
{8x - 8y = 12
接下来，将第二个方程的两倍加到第一个方程上，得到：
{36x = 18
{8x - 8y = 12
最后，解方程得到：
{x = 0.5
{y = 2
2. 解方程组：
{3x + 2y = 7
{5x + 3y = 11
解答：
可以使用消元法来解决这个方程组。
将第一个方程乘以3，并将第二个方程乘以2，得到：
{9x + 6y = 21
{10x + 6y = 22
接下来，将第二个方程的两倍减去第一个方程，得到：
{9x + 6y = 21
{2x = 1
最后，解方程得到：
{x = 0.5
{y = 2
3. ...
...
50. ...
...
这是前面五道解二元一次方程的练习题，你可以根据相同的方法解答剩下的题目。
希望这些练习题对你有帮助！。
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北师大版初中数学八年级(上)5-2 求解二元一次方程组(第2课时)(学案+练习)
2 求解二元一次方程组(第2课时)学习目标1. 会用加减消元法解二元一次方程组.(重点)2. 进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.(难点)自主学习学习任务一 探究加减法解二元一次方程组 3521,2511.x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩①② 发现方程①和②中的5y 和-5y 互为 ，将方程①和②的左右两边分别相加，然后根据等式的基本性质消去未知数 ，得到一个关于 的一元一次方程，从而实现化“二元”为“一元”的目的.解：①+②，得 ， 解得 .把 代入①，解得 . 所以原方程组的解为 . 学习任务二 用加减法解二元一次方程组解二元一次方程组257,23 1.x y x y -=⎧⎨+=-⎩解：②-①，得 ，解得 .把 代入①，得 ， 解得 .所以方程组的解为 .归纳：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别 ，消去这个未知数，若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别 ，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.合作探究用加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？例1解方程组2312, 3417.x yx y+=⎧⎨+=⎩例2用加减消元法解方程组：4,4333(4)4(2). x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=+⎩当堂达标1.用加减法解方程组324,233,x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②下列解法正确的是()A.①×2-②×3，消去yB.①×3+②×2，消去yC.①×3+②×2，消去xD.①×3-②×2，消去x2.由方程组223,224,x y mx y m-=+⎧⎨+=+⎩可得x与y的关系式是()A.3x＝7+3mB.5x-2y＝10C.-3x+6y＝2D.3x-6y＝23.已知二元一次方程组23,24,m nm n-=⎧⎨-=⎩则m+n的值是.4.解下列方程组：(1)3,1;x yx y-=⎧⎨+=⎩(2)3415,2410;x yx y+=⎧⎨-=⎩(3)133,2223 3.x yx y⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩课后提升1.对于非零的两个实数m，n，定义一种新运算，规定m*n＝am-bn，若2*(-3)＝8，5*3＝-1，则(-3)*(-2)的值为.2.已知实数a，b满足方程组327,238,a ba b+=⎧⎨+=⎩则a2-b2的值是.反思感悟我的收获：我的易错点：参考答案当堂达标1.B2.D3.-14.解：(1)3,1.x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②①+②，得2x＝4，解得x＝2.把x＝2代入①，得2-y＝3，解得y＝-1.所以原方程组的解是2,1. xy=⎧⎨=-⎩(2)3415, 2410. x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②①+②，得5x＝25，解得x＝5.把x＝5代入②，得2×5-4 y＝10，解得y＝0.所以原方程组的解是5,0. xy=⎧⎨=⎩(3)133, 2223 3.x yx y⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩①②由①，得x-3y＝-6，③②+③，得3x＝-3，解得x＝-1.把x＝-1代入③，得y＝5 3 .所以原方程组的解是1,5.3 xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩课后提升1.1 2.-3。
5.2.1 求解二元一次方程组
5.2.1 求解二元一次方程组学习目标：1.会用代入消元法解二元一次方程组；2.了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.一、复述回顾：（二人小组完成）1. 已知x+3y-6=0，用含x的代数式表示y，即y= ，用含y的代数式表示x,即x= .哪种更简单?2.在上一节课的“包裹问题”中，是怎样设未知数并列方程组的？3.你能用一元一次方程解决“包裹问题”吗？假如设老牛驮了x个包裹，则小马驮了_________个包裹.根据题意列一元一次方程为：________________________________. 解这个方程：二、设问导读：阅读课本P108-109完成下列问题：1.在P108“包裹问题”的解决过程中，方程③中的x-2其实就是______驮的包裹数，而方程④与上面的一元一次方程有什么关系？说明解二元一次方程组只要将它转化为_________方程.2.阅读例1和2.在例1中“将y=1代入②，得x=4”可不可以将y=1代入①，怎样简便？在例2中，可不可以这样解：“由②，得 y=413x-③将③代入①………”你认为怎样解简便？为什么？3. 解方程组的基本思路是“_______”，把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个_______，化二元一次方程组为__________方程;③解这个一元一次方程;④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解.这种解方程组的方法称为_________________，简称___________.三、自学检测：1.用代入法解方程组：⎩⎨⎧=-=+1472yxyx解：由②得y=______________③,把③代入①，得________________，解得x=________,再把求得的x值代入②得，y=________.原方程组的解为_______.2.用代入法解方程组：⎩⎨⎧=+-=-33225yxyx四、巩固训练：1.填空题：①将x=－23y－1代入4x－9y=8,可得到一元一次方程_____________________________.②用代入法解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+46365yxyx最为简单的方法是将_____式中的______表示为______________，再代入______式.③⎩⎨⎧==1-1yx和⎩⎨⎧==22yx是二元一次方程y=ax+b的两个解，则a= ,b= .2.选择题：①四名学生解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-32543yxyx提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（）A.由①得x=345y+,代入②B.由①得y=453-x,代入②C.由②得y=－23-x,代入①D.由②得x=3+2y,代入①②用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+52243yxyx使得代入后化简比较容易的变形是（）A.由①得x=342y-B.由①得y=432x-C.由②得x=25+xD.由②得y=2x－53. 用代入法解方程组：（1）⎩⎨⎧=-=+52243yxyx（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1132yxyx⎪⎨=-32五、拓展延伸：小明和小华同时解方程组：⎩⎨⎧=-=+1325nyxymx,小明看错了m，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227yx,小华看错了n，解得⎩⎨⎧-==73yx,你能知道原方程组正确的解吗？六、我的收获（反思静悟、体验成功）八年级数学（上）导学案班级姓名学号①②①②①②①②—1——2—。
二元一次方程组的概念和解法要点精析
二元一次方程组的概念和解法要点精析二元一次方程组是初中代数的重要内容之一，它的应用很广泛.一方面在进一步学习高中数学如平面解析几何时要用它们；另一方面在国防、科技、工、农、商业和生活的实际问题中也要用到它们.同学们必须把它学好，在学习时要注意以下几个问题：一、正确理解四个概念1. 二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.如x + y =6.必须注意：同时具备下列三个条件的方程才能叫做二元一次方程.（1）二元一次方程必须是整式方程.即等号两边的代数式必须是整式（单项式，多项式）.如x+ 1y =1, 14x+ 2y = 6都不是二元一次方程，而是分式方程（分母中含有未知数）. （2）二元一次方程中必须含有两个未知数.如2x+3=0含有一个未知数，x+4y+z=5含有三个未知数，因而，它们都不是二元一次方程.（3）二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数.即未知项的次数必须是“一次”.如xy+3=0就不是二元一次方程，尽管x 、y 的次数都是一次，但单项式xy 的次数为二，所以，它不是二元一次方程，而是二元二次方程. 例1.下列方程中，二元一次方程是（ ）.(A)xy=1 (B)y=3x － 1 (C)x+1y=2 (D)x 2＋y －3=0 （上海市中考题）解析：本题可利用二元一次方程的概念进行检验.显然，方程xy=1,x 2＋y －3=0都不满足“未知项的次数是1的条件”，而方程 x ＋1y =2的左边 x +1y 不是整式.故只有方程y=3x －1符合二元一次方程的概念.选(B).例2.若220a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（ ）.(A)1,0 (B)0,－1 (C) (D)2,－3（陕西省中考题）解析：根据二元一次方程的意义，即含未知数的项的次数是1，得12 1.a b a b -=⎧⎨+-=⎩， 即 13.a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得21.a b =⎧⎨=⎩，故选(C). 2. 二元一次方程的解 能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.如11.x y =⎧⎨=⎩， 能使方程x+y=2的左右两边的值相等，所以11.x y =⎧⎨=⎩，就叫做方程x+y=2的一个解.但是，能使该方程的左右两边的值相等的未知数的值有无数对，如20.xy=⎧⎨=⎩，31.xy=⎧⎨=-⎩，……所以，任何一个二元一次方程都有无数个解.例3.二元一次方程x －2y=1有______个解.（上海市中考题）解：无数.例4.已知12.xy=⎧⎨=⎩，是方程ax－3y=5的一个解，则a=___.（苏州市中考题）解析：根据二元一次方程的解的意义，将12.xy=⎧⎨=⎩，代入方程，解关于a的一元一次方程.得a=11.3. 二元一次方程组两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组必须具备以下三个条件：（1）有两个或两个以上的整式方程组成，常用“{”把这些方程联合在一起.（2）方程组中含有两个不同未知数，且方程组中，同一未知数代表同一数量.（3）方程组中每个方程经过整理后，都是一次方程.但要注意：二元一次方程组里一共含有两个未知数，而不是一定要每个方程都含有两个未知数.例如，211.x yy+=⎧⎨=⎩，也是二元一次方程组.同样，方程组21062.x yx yy x+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，，，虽然是由三个二元一次方程组成，但整个方程组中只有两个未知数，所以它仍然是二元一次方程组,而方程组3050.x zx y+=⎧⎨+=⎩，中，虽然，每个方程中都只含有两个未知数，但整个方程组中却有三个未知数，因此它不是二元一次方程组，而是三元一次方程组.4. 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的两个未知数的值，即方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.如12.xy=-⎧⎨=⎩，是方程组31.y xx y-=⎧⎨+=⎩，的一个解（其实是一对数），但不能叫两个解.要注意：解方程组时，原方程组中每个方程都至少要用到一次.方程组的解满足方程组中的每个方程，反之，方程组中任何一个方程的解不一定是方程组的解.例5.已知12xy=⎧⎨=⎩是方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，的解，则a+b=( ).(A)2 (B)-2 (C)4 (D) - 4（浙江省绍兴市中考题）解析：根据二元一次方程组的解的概念.12xy=⎧⎨=⎩满足方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，于是代入得21,220.ab+=-⎧⎨-=⎩解得3,1ab=-⎧⎨=⎩所以a+b=-3+1=－2.故选(B).二、注意领会一个思想有一位著名数学家曾经指出：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”.由此可知，解数学题时，要自觉地把题目变型转化，归结为“已经解过的问题”来处理，这种关于解题的思想称为“化归”，它体现了“在一定条件下，不同的事物可以互相转化”的唯物辨证观点，是解数学题的一盏指路名灯.在本章内容中，蕴涵的一个重要化归思想就是“消元”.即把“三元”通过消去一个未知数转化为“二元”，“二元”再通过消去一个未知数转化为“一元”.转化为一元一次方程就会解了，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，充满了辨证思维，希望同学们好好领会.三、熟练掌握两种方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的常规解法.1.代入消元法的主要步骤；（1）求表达式从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用含另一个未知数(x)的代数式表示出来，写成y=ax+b的形式；（2）代入消元将表达式y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程，求出x的值；（4）回代得解把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解.2.加减消元法的主要步骤：（1）变换系数方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）加减消元把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程；（4）回代得解将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.在解方程组时，应根据题中的系数构成情况灵活选用两种方法，一般说来：①当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1；②当方程组中有一个方程的常数项是0，此时用代入法较简捷.又，①当方程组中两个方程的某一个未知数的系数绝对值相等；②当方程组中两个方程的某一个未知数的系数成整数倍，此时用加减法较简捷.。
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.例1．解方程〔1〕(3x+1)2=7〔2〕9x2-24x+16=11分析：〔1〕此方程显然用直接开平方法好做，〔2〕方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
〔1〕解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=〔2〕解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方〕解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
70道二元一次方程组及其答案
70道二元一次方程组及其答案1) 66x+17y=396725x+y=1200答案：x=48 y=47(2) 18x+23y=230374x-y=1998答案：x=27 y=79(3) 44x+90y=779644x+y=3476答案：x=79 y=48(4) 76x-66y=408230x-y=2940答案：x=98 y=51(5) 67x+54y=854671x-y=5680答案：x=80 y=59(6) 42x-95y=-141021x-y=1575答案：x=75 y=48(7) 47x-40y=85334x-y=2006答案：x=59 y=48(8) 19x-32y=-1786 75x+y=4950答案：x=66 y=95 (9) 97x+24y=7202 58x-y=2900答案：x=50 y=98 (10) 42x+85y=6362 63x-y=1638答案：x=26 y=62 (11) 85x-92y=-2518 27x-y=486答案：x=18 y=44 (12) 79x+40y=2419 56x-y=1176答案：x=21 y=19 (13) 80x-87y=2156 22x-y=880答案：x=40 y=12 (14) 32x+62y=5134 57x+y=2850答案：x=50 y=57 (15) 83x-49y=8259x+y=2183答案：x=37 y=61 (16) 91x+70y=5845 95x-y=4275答案：x=45 y=25 (17) 29x+44y=5281 88x-y=3608答案：x=41 y=93 (18) 25x-95y=-4355 40x-y=2000答案：x=50 y=59 (19) 54x+68y=3284 78x+y=1404答案：x=18 y=34 (20) 70x+13y=3520 52x+y=2132答案：x=41 y=50 (21) 48x-54y=-3186 24x+y=1080答案：x=45 y=99 (22) 36x+77y=7619 47x-y=799答案：x=17 y=91 (23) 13x-42y=-2717 31x-y=1333答案：x=43 y=78 (24) 28x+28y=3332 52x-y=4628答案：x=89 y=30 (25) 62x-98y=-2564 46x-y=2024答案：x=44 y=54 (26) 79x-76y=-4388 26x-y=832答案：x=32 y=91 (27) 63x-40y=-821 42x-y=546答案：x=13 y=41 (28) 69x-96y=-1209 42x+y=3822答案：x=91 y=78 (29) 85x+67y=7338 11x+y=308答案：x=28 y=74(30) 78x+74y=12928 14x+y=1218答案：x=87 y=83 (31) 39x+42y=5331 59x-y=5841答案：x=99 y=35 (32) 29x+18y=1916 58x+y=2320答案：x=40 y=42 (33) 40x+31y=6043 45x-y=3555答案：x=79 y=93 (34) 47x+50y=8598 45x+y=3780答案：x=84 y=93 (35) 45x-30y=-1455 29x-y=725答案：x=25 y=86 (36) 11x-43y=-1361 47x+y=799答案：x=17 y=36 (37) 33x+59y=325494x+y=1034答案：x=11 y=49 (38) 89x-74y=-2735 68x+y=1020答案：x=15 y=55 (39) 94x+71y=7517 78x+y=3822答案：x=49 y=41 (40) 28x-62y=-4934 46x+y=552答案：x=12 y=85 (41) 75x+43y=8472 17x-y=1394答案：x=82 y=54 (42) 41x-38y=-1180 29x+y=1450答案：x=50 y=85 (43) 22x-59y=824 63x+y=4725答案：x=75 y=14 (44) 95x-56y=-401 90x+y=1530(45) 93x-52y=-852 29x+y=464答案：x=16 y=45 (46) 93x+12y=8823 54x+y=4914答案：x=91 y=30 (47) 21x-63y=84 20x+y=1880答案：x=94 y=30 (48) 48x+93y=9756 38x-y=950答案：x=25 y=92 (49) 99x-67y=4011 75x-y=5475答案：x=73 y=48 (50) 83x+64y=9291 90x-y=3690答案：x=41 y=92(51) 17x+62y=3216 75x-y=7350(52) 77x+67y=2739 14x-y=364答案：x=26 y=11 (53) 20x-68y=-4596 14x-y=924答案：x=66 y=87 (54) 23x+87y=4110 83x-y=5727答案：x=69 y=29 (55) 22x-38y=804 86x+y=6708答案：x=78 y=24 (56) 20x-45y=-3520 56x+y=728答案：x=13 y=84 (57) 46x+37y=7085 61x-y=4636答案：x=76 y=97 (58) 17x+61y=4088 71x+y=5609答案：x=79 y=45(59) 51x-61y=-1907 89x-y=2314答案：x=26 y=53 (60) 69x-98y=-2404 21x+y=1386答案：x=66 y=71 (61) 15x-41y=754 74x-y=6956答案：x=94 y=16 (62) 78x-55y=656 89x+y=5518答案：x=62 y=76 (63) 29x+21y=1633 31x-y=713答案：x=23 y=46 (64) 58x-28y=2724 35x+y=3080答案：x=88 y=85 (65) 28x-63y=-2254 88x-y=2024答案：x=23 y=46(66) 43x+50y=7064 85x+y=8330答案：x=98 y=57 (67) 58x-77y=1170 38x-y=2280答案：x=60 y=30 (68) 92x+83y=11586 43x+y=3010答案：x=70 y=62 (69) 99x+82y=6055 52x-y=1716答案：x=33 y=34 (70) 15x+26y=1729 94x+y=8554答案：x=91 y=14 (71) 64x+32y=3552 56x-y=2296答案：x=41 y=29 (72) 94x+66y=10524 84x-y=7812答案：x=93 y=27 (73) 65x-79y=-581589x+y=2314答案：x=26 y=95 (74) 96x+54y=6216 63x-y=1953答案：x=31 y=60 (75) 60x-44y=-352 33x-y=1452答案：x=44 y=68 (76) 79x-45y=510 14x-y=840答案：x=60 y=94 (77) 29x-35y=-218 59x-y=4897答案：x=83 y=75 (78) 33x-24y=1905 30x+y=2670答案：x=89 y=43 (79) 61x+94y=11800 93x+y=5952答案：x=64 y=84 (80) 61x+90y=5001 48x+y=2448答案：x=51 y=21 (81) 93x-19y=286x-y=1548答案：x=18 y=88 (82) 19x-96y=-5910 30x-y=2340答案：x=78 y=77 (83) 80x+74y=8088 96x-y=8640答案：x=90 y=12 (84) 53x-94y=1946 45x+y=2610答案：x=58 y=12 (85) 93x+12y=9117 28x-y=2492答案：x=89 y=70 (86) 66x-71y=-1673 99x-y=7821答案：x=79 y=97 (87) 43x-52y=-1742 76x+y=1976答案：x=26 y=55(88) 70x+35y=8295 40x+y=2920答案：x=73 y=91 (89) 43x+82y=4757 11x+y=231答案：x=21 y=47 (90) 12x-19y=236 95x-y=7885答案：x=83 y=40 (91) 51x+99y=8031 71x-y=2911答案：x=41 y=60 (92) 37x+74y=4403 69x-y=6003答案：x=87 y=16 (93) 46x+34y=4820 71x-y=5183答案：x=73 y=43 (94) 47x+98y=5861 55x-y=4565答案：x=83 y=20 (95) 30x-17y=23928x+y=1064答案：x=38 y=53 (96) 55x-12y=4112 79x-y=7268答案：x=92 y=79 (97) 27x-24y=-450 67x-y=3886答案：x=58 y=84 (98) 97x+23y=8119 14x+y=966答案：x=69 y=62 (99) 84x+53y=11275 70x+y=6790答案：x=97 y=59 (100) 51x-97y=297 19x-y=1520答案：x=80 y=39。
人教版七年级数学下册：消元——解二元一次方程组【精品课件】
巩固练习
用代入法解下列方程组：
y 2x 3 ① （1） 3x 2 y 8 ②
解：把①代入②，得
3x+2（ 2x-3）=_8 解这个方程，得x＝ 2 . 把x＝ 2 代入①，得y= 1__
∴原方程组的解是
x 2
y
1
巩固练习
（2） 2x y 5 ① 3x 4y 2 ②
解：由①，得y= 2x-5 … ③ 把③代入②，得3x+4（ 2x-5 ）= 2 解这个方程，得x＝ 2 把x＝ 2 代入③，得y= -1
探究新知
y＝
x + 10
x + y ＝200
x + x +10 ＝200
探究新知
y = x + 10
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做
消元思想.
∴方程组 y = x + 10 的解是 x = 95，
y 3
1, ① y 9.②
由①得，x＝y+1 . ③
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2.
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3,
y
2.
课堂检测
基础巩固题
1.二元一次方程组
x y 4, x y 2
的解是（
D）
A．
x y
3 7
B．
x y
1 1
C．
x
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法, 简称加减法.
八年级数学上册教学课件《求解二元一次方程组(第2课时)》
解得:y＝0.1
x=0.6
所以这个方程组的解是
y=0.1
同一未知数的 系数互为相反数_ 时，把两个方程 的两边分别相加！
巩固练习
5.2 求解二元一次方程组
变式训练
解二元一次方程组:
4x 2y 6 3x 2y 1
① ②
解:由①+②得: 7x=7
x=1
把x＝1代入①，得： y=-1
所以原方程组的解是
能否使两个方 程中x(或y） 的系数相等 （或相反）呢？
所以原方程组的解是｛xy
＝3 ＝2
探究新知
5.2 求解二元一次方程组
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时，利用等 式的性质，使得未知数的系数 相等或互为相反数 .
找系数的最小公倍数
巩固练习
变式训练 用加减法解方程组:
4x 3y 18 ① 6x 2y 22 ②
把x＝2代入①，得y＝3，
所以
3x 5 y 2x 5 y
21 -11
的解是
x 2,
y
3.
探究新知
5.2 求解二元一次方程组
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？ 2x-3y=7，① 2x+y=3. ②
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相 等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就 可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．
① ②
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
解由③④组成的方程组
x x
y y
9 4
解得
x 6.5
y
北师大版数学八上 5.2 求解二元一次方程组--代入消元 课件
解得：x = 5.
x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为：
x
y
5, 3.
典 例 分 析 例1：解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3
②
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
代
3y+9+2y=14
求
y=1
将y=1代入②，得 x=4
所以原方程组的解是 x=4
写
y=1
想一想：怎样检验
x=4 y=1
是不是方程组的解？
典例分析
例2 解方程组
2x+3y=16 x+4y=13
① ②
解：由② ，得 x=13 - 4y
③
变
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 代
求
所以原方程组的解是 x=5
写
y=2
归纳总结
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示 出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一 次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元 法，简称代入法.
解方程组得： .
x=14 y=5.8
课 堂 练 习 【综合实践类作业】
对于平面直角坐标系 中的点 ( , ) ，若点 ' 的坐标为 ( + , + ) （其
中 k 为常数， ≠ 0 ）则称点 ' 为点 P 的“k 属派生点”，例如： (1,4) 的“2 属派生
点”为 '(1+ 2 × 4,2 × 1+ 4) ，即 '(9,6) .
第五章
5.2 求解二元一次方程组
定襄县二中七年级数学下册第八章二元一次方程组8.2消元__解二元一次方程组第1课时用代入法解二元一次
8．如下图的两个天平保持平衡 , 且每块巧克力的质量相等 , 每个果 冻的质量也相等 , 那么一块巧克力的质量是__2_0_g.
9．某夏令营的组成人员中有男、女学生共52人 , 其中男生人数的一 半比女生人数少4人 , 那么男生有3_2___人 , 女生有2_0___人．
易错点：不理解方程组无解的意义 10．已知二元一次方程组a2xx＋－3yy＝＝12，无解，则 a 的值是( D ) A．a＝2 B．a＝6 C．a＝－2 D．a＝－6
第八章 二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 用代入法解二元一次方程组
知识点 1：用代入法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组32xx＋－4yy＝＝52，，②①使得代入后化简比较容易的变 形是( D ) A．由①得 x＝2－34y B．由①得 y＝2－43x
C．由②得 x＝y＋2 5 D．由②得 y＝2x－5
∴原方程组的解是xy＝ ＝71， .
19．(导学号09124086)如下图 , 在东北大秧歌的踩高跷表演中 , 已知演员 身高是高跷长的2倍 , 高跷与腿重合部分的长度是28 cm , 演员踩在高跷上 时 , 头顶距离地面的高度为224 cm , 设演员的身高为x cm , 高跷的长度为 y cm , 求x , y的值．
1x2y2axay;
解 x2 y2 ax ay
x 2 y 2 ax ay
x yx y ax y x yx y a
2a22abb2c2.
【分析】在〔2〕式中 , 把第前三项作为 一组 , 它是一个完全平方式(a+b)2;把第 四项-c2作为另一组 , 那么(a+b)2 -c2是 平方差形式的多项式 , 可再次利用公式 分解因式.
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组第一二节练习题
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组第一二节练习题一、选择题1、方程x+1=0，x+y+z=3，x-2y=6，，4xy=5，，4x+y=3+4x中，是二元一次方程的有【】A、2个B、1个C、3个D、4个2、二元一次方程组的解是【】A、B、C、D、3、已知是二元一次方程组的解，则a-b的值为【】A、1B、-1C、2D、34、下列方程组中是二元一次方程组的是【】A、B、C、D、5、若是二元一次方程，那么a、b的值分别是【】A、1，0B、0，-1C、2，1D、2，-36、以下哪个不是方程2x-y=0的解【】A、B、C、D、7、若4x+1=m(x-2)+n(x-5)，则m、n的值是【】A、B、C、D、8、若关于x、y的方程组和的解相同，则a、b分别为【】A、-2，5B、2，5C、-2，-5D、2，-59、若x=2y，则2x:3y=【】A、4:3 B、3:4C、1:2D、3:210、若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a-b=【】A、B、C、D、11、方程组的解满足方程x+y+a=0，那么a的值是【】A、5B、-5C、3D、-312、已知二元一次方程下列说法正确的个数是【】(1)适合方程①的x、y的值是方程组的解；(2)适合方程②的x、y的值不一定是方程组的解；(3)只有适合方程①、②的x、y的值才是方程组的解；(4)方程组的解一定是适合方程①、②的x、y的值.A、1个B、2个C、3个D、4个13、若P点为y轴上一点，且P到A(3，4)、B(2，-1)的距离之和最小，则P点坐标为【】A、(0，)B、(0，1)C、(0，)D、(0，0)14、现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C 三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有【】A、3种B、4种C、5种D、6种15、若与的和仍是一个单项式，则m与n的值分别为【】A、1，2B、2，1C、1，1D、1，3二、填空题16、用代入法解方程组时，如果先消去y，那么应该先将方程___变形比较简便.17、已知二元一次方程3x-2y=5，若y=2，则x=_________________.18、用代入法解方程组时，如果用y的代数式表示x，那么将方程___进行变形比较方便.19、当a=_____________时，方程组的解为20、已知，则x，y的值分别为_________.21、方程组的解是___________；方程组的解是________.22、一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________________________(用a、b的代数式表示).23、已知方程ax+by=2005有两个解是和则a-b=_________，_____________.24、若m-n=2，m-p=3，则的值为______________.25、若方程组是关于x、y的二元一次方程组，则a=_____________.26、若实数x、y、m适合关系式：．则m的值为_________．27、三个同学对问题“若方程组的解是求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________三、解答题28、已知直线y=kx+b经过点(9,0)和点(24,20)，求k,b的值.29、将下列各式变形为用x的代数式表示y，再表示成用y的代数式表示x.3x+5y=1.30、31、试用两种方法解题：32、和都是方程ax-y=b的解，求a与b的值.33、解方程组：34、将方程4x-5y=2变形为用含x的式子表示y的形式，并求x分别取，时相应的y的值.35、解方程组36、用代入法解方程组：37、解方程组：．38、解方程组39、解方程组40、下列各对数值中，哪一组是方程x-2y=4的解？(1)(2)(3)(4)41、下列各对数值中，哪一组是方程2x+3y=-6的解？(1)(2)(3)(4)42、已知代数式kx+b，当x=2时，该代数式的值是-3；当x=4时，该代数式的值是-7.求这个代数式.43、方程组有多少个解？为什么？44、当m为何值时，方程.(1)是一元一次方程；(2)是二元一次方程.45、用加减法解方程组：46、解方程组：47、解二元一次方程组：48、解方程组：49、一辆汽车从A驶往B，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A到B一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．50、已知和都是二元一次方程ax+by=5的解，求a、b的值.51、已知二元一次方程3x+2y=6.(1)用含x的代数式表示y；(2)任意写出方程的3个解.52、解方程组：53、解方程组54、正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点P的坐标是(4，3)，点Q在y轴的负半轴上，且OQ=OP，求：这两个函数的关系式．55、已知方程组是二元一次方程组，求m的值.56、已知方程组的解恰是方程6x-5y=7-3k的一个解，求k的值.57、已知方程组与有相同的解，求a与b的值.58、已知y+m与x-n成正比例(其中m,n是常数).(1)求证：y是x的一次函数；(2)如果y=-15时，x=-1；x=7时，y=1，求这个一次函数的关系式.59、解方程组60、解方程组：61、甲、乙二人共同解方程组由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为试求代数式的值.62、已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(0，)，B(1，)，C(c,c+4)．(1)求c；(2)求的值．63、已知对于任意有理数m，n，关于x，y的二元一次方程(m-n)x-(m+n)·y=m+n都有一组公共解，试求出这组公共解.64、用代入法解方程组：65、解方程组：66、解方程组67、解方程组：68、若x-y=3，x-z=1，求的值.69、列方程或方程组解应用题.甲乙两地相距24千米，如果轿车和卡车同时从甲乙两地相向开出，那么经过16分钟相遇；如果轿车比卡车晚5分钟开出，那么轿车开出后14分钟与卡车相遇.轿车和卡车的速度分别是每小时多少千米？70、99名同学去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘5人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船和小船分别租多少只?71、甲乙两车同时相向而行，且甲从A地去B地，乙从B地去A地.1.5小时后两车相遇；相遇时，甲车还需要2小时到达B地，乙车还需要小时到达A地.若A、B两地相距210千米，求甲乙两车各自的速度.72、某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛(每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛).比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得-1分.(1)如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？(2)假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场.73、如果关于x、y的方程组的解是求a、b的值.74、根据题意，列出二元一次方程：某国家级风景区门票价格：成人票60元/张，儿童票(120cm以下)10元/张.(1)如果某团体购买了70张门票，那么成人票与儿童票分别是多少张？(2)如果某团队购买门票花了750元，那么成人票与儿童票分别是多少张？75、七年级(1)班为了奖励优秀学生，花60元购买钢笔和笔记本，每枝钢笔为5元，每本笔记本为3元，设买钢笔x枝、笔记本y本.(1)列出关于x、y的方程；(2)用列表格的方式，列出所买的钢笔枝数、笔记本本数的所有可能情况.76、小明从邮局买了面值50分和80分的邮票若干枚，共花了6.3元，问小明买了这两种邮票各多少枚？请你列出方程并写出这个方程所有的解.77、某工厂甲车间每天能生产零件300个，乙车间每天能生产零件500个，现甲、乙两车间共生产零件5000个，其中甲车间生产了x天，乙车间生产了y天，请你列出关于x、y的二元一次方程，并求出所有符合条件的解.78、如图所示，这是用8块相同的长方形的瓷砖拼成的一个矩形墙面，求每块长方形瓷砖的长和宽分别是多少？79、某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款.(1)问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？(2)由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法.80、李明与王云分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经过80min两人相遇；若李明出发1h后王云再出发，则经过40min两人相遇.问李明与王云单独走完AB全程各需多少小时？81、张明沿公路匀速前进，每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他，假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200米，求张明前进的速度和公共汽车的速度．。
二元一次方程组含参题型-例题解析
含字母系数的一次方程组一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念注意：（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（） 由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（）当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解．B ．二元一次方程组有无数个解．C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D ．二元一次方程组一定有解．【解析】略 【答案】C 例题精讲【例2】 不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x y x y -=⎧⎨-=⎩；②23423x y x y -=⎧⎨-=⎩；③351351x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】如果在此我们仍然使用上面的结论判断，会不太方便，对于上面的结论，我们还可以这样记忆：1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均不为0，那么上结论可这样记忆：当1122a b a b ≠时，方程组有唯一一组解（这个解可用加减消元法求得）； 当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多组解（因为两个方程等效）； 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解（因为两个方程是矛盾的）． 这个公式很常用！利用此结论会很快判断出结果：①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③35≠-方程组有唯一解． 【答案】①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③3535≠-方程组有唯一解．二、含字母系数的一次方程组1．根据方程解的具体数值来确定 【例3】 已知12x y =⎧⎨=⎩与3x y m =⎧⎨=⎩都是方程x y n +=的解，求m 与n 的值．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =． 【答案】0m =，3n =．【例4】 方程6ax by +=有两组解是22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩，求2a b +的值．【解析】将22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩代入6ax by +=可得22686a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，20a b +=【答案】0【例5】 如果二元一次方程20mx ny ++=有两个解是22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（ ） A ．35x y =⎧⎨=⎩B ．62x y =⎧⎨=⎩C ．53x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解析】将22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩代入20mx ny ++=可得3212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原方程为312022x y -++=，检验选A ．【答案】A【例6】 写出一个以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】此题答案不唯一，满足条件即可． 【答案】13x y x y +=⎧⎨-=-⎩【例7】 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】本题答案不唯一，满足条件即可．【答案】51x y y x +=⎧⎨-=⎩【例8】 已知43x y =-⎧⎨=⎩是方程组12ax y x by +=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b += ．【解析】根据题意可得：431432a b -+=-⎧⎨--=⎩，由431a -+=-得：1a =，由432b --=得：2b =-，6()1a b +=．【答案】1【例9】 已知12x y =-⎧⎨=⎩是方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b += ．【解析】将12x y =-⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩可得0a =，4b =-，那么0(4)4a b +=+-=-．【答案】4-【例10】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n +的值．【解析】把2,1x y ==代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得()22112211m n ⎧⨯+-⨯=⎪⎨+=⎪⎩ 由①得1m =- 由②得0n =所以当1m =-，0n =时，1m n +=-．【答案】1-【例11】 已知方程组2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩，求m 、n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩可得2421m nn m -=⎧⎨+=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．【答案】31m n =⎧⎨=⎩【例12】 关于x ，y 的方程组3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求m ，n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩可得3205319m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩【答案】23m n =⎧⎨=⎩【例13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【解析】略【答案】0a b+=【例14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【解析】略【答案】1【例15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2 【解析】略【答案】D【例16】明明和亮亮二人解关于x、y的方程组278mx bycx y+=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32xy=⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c看错了，解得22xy=-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c看成了多少？【解析】根据题意，分别把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入方程2mx by+=，得322222m bm b-=⎧⎨-+=⎩，解得45mb=⎧⎨=⎩把3x=，2y=-代入方程78cx y-=，得2c=-．假设亮亮把c看成了d，把2x=-，2y=代入方程78dx y-=，得11d=-．【答案】11-【例17】已知方程组278ax bymx y+=⎧⎨-=⎩的解应为32xy=⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m看错后，解方程组得22xy=-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是．【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩，22xy=-⎧⎨=⎩代入2ax by+=可得222322a ba b-+=⎧⎨-=⎩，解得45ab=⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=-⎩代入78mx y-=可得2m=-，45(2)40a b m⋅⋅=⨯⨯-=-【例18】 孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【解析】把12x y =-⎧⎨=⎩代入6y kx =+可得4k =把4k =代入得11b =-【答案】11-【例19】 已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值． 【解析】把31x y =-⎧⎨=⎩代入42x by -=-,可得10b =-把54x y =⎧⎨=⎩代入515ax y +=可得1a =-把1a =-， 10b =-代入20082009()2a += 【答案】2【例20】 甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值． 【解析】由题意得：425258m n m n -=⎧⎨+=-⎩解方程组可得：382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例21】 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【解析】由题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩解得：45a b =⎧⎨=⎩把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程78cx y -=得：2c =-∴7a b c ++=【答案】72．根据方程解的数量关系来确定【例22】 关于x ，y 的二元一次方程组42132x y mx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x 与y 的值相等，试求m 的值．【解析】根据题意可得x y =，代入方程组可得42132x x mx x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【答案】2【例23】 若方程组435(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，求k 的值．【解析】根据题意可得1x y =-+，代入方程组可得4(1)35(1)(1)8y y k y k y -++=⎧⎨-+--=⎩，解得13y k =-⎧⎨=⎩．【答案】3【例24】 若关于x y ，的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，求m 的值．【解析】解方程组2351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解为：3221x m y m =--⎧⎨=+⎩代入7x y -=得：2m =-【例25】 当1x =时，关于x ，y 的二元一次方程组331ax y x by -=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a ，b ．【解析】x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =-，代入方程组可得2a =，4b =-． 【答案】2a =，4b =-．【例26】 二元一次方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 互为相反数，求a 的值．【解析】∵x 与y 互为相反数 ∴0x y +=解0312x y x y +=⎧⎨+=⎩得：66x y =⎧⎨=-⎩把方程组的解代入412x ay +=得2a =【答案】2【例27】 k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【解析】这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解：解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．【答案】10【例28】 已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x y ，，其和1x y +=，求k 的值． 【解析】解3251x y x y -=⎧⎨+=⎩得：25y =-因为(1)7kx k y +-=，所以7kx ky y +-= 所以()7k x y y +-= 把21,5x y y +==-代入()7k x y y +-=得：335k =【答案】335【例29】 已知方程组3542x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m = ．【解析】方程组可以简化为3241y m y m -+=-⎧⎨-+=⎩；解之得到3m =-．【答案】3-3．根据方程解的个数情况来确定【例30】 m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？ 【解析】由①可得253x y =-③，代入②可得(6)10m y n -=-④当60m -≠时，④有惟一解，进而原方程组有惟一一组解；当60m -=时，100n -≠时，④无解，进而原方程组无解；当60m -=时，100n -=时，④无穷个解，进而原方程有无穷组解．【答案】（1）当60m -≠时，原方程组有惟一一组解；（2）当60m -=时，100n -≠时，原方程组无解； （3）当60m -=时，100n -=时，原方程有无穷组解．【例31】 已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解析】由已知方程组可得：(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩，（1）当(2)(1)0a a -+≠，即2a ≠且1a ≠-时，方程有惟一解，方程组也有惟一解；（2）当(2)(1)0a a -+=，且(2)(2)a a -+与2a -中至少有一个不为零时，方程无解，因此当1a =-时，原方程无解；（3）当(2)(1)(2)(2)20a a a a a -+=-+=-=，即2a =时，原方程组有无穷多组解．【答案】（1）当2a ≠且1a ≠-时，方程组有惟一解；（2）当1a =-时，原方程无解；（3）当2a =时，原方程组有无穷多组解．【例32】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【解析】略【答案】①当10a =，14c =时，方程组有无数多解；②当10a =，14c ≠时，方程组无解； ③当10a ≠时，方程组有唯一的解．【例33】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【解析】②－①，得(1)4m x n -=-（1）当1040m n -=-≠，，即14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当10m -≠，即1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当10m -=，40n -=时，即14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【答案】（1）当14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【例34】 当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【解析】（1）由223m ≠-，得：43m ≠-． ∴当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）由2235m n n =-=+，得4,23m n =-=-． ∴当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）由2235m n n =-≠+，得4,23m n =-≠-． ∴当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【答案】（1）当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【例35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【解析】根据12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解，所以32k =- 【答案】32-【例36】 若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【解析】∵方程组有无穷多组解 ∴2m =31m -=2m 解得：2m =（舍），2m =- ∴m 的值是2-．【答案】2-【例37】 已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【解析】因为方程组无解，所以3m n =，45m n ≠．因为||3||10m n =<，所以101033n -<<，即3n =-，2-，1-，0，1，2，3；相应的9m =-，6-，3-，0，3，6，9，所以（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【答案】（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【例38】 如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【解析】注意方程组无解的条件，根据111222a b c a b c =≠时，方程组无解可得出a 的值． 【答案】6-【例39】 m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？ 【解析】由方程组可得：(6)10m y n -=-，当60m -=，100n -=时，即6m =，10n =方程组有无穷多组解；当60m -=，100n -≠时，即6m =，10n ≠方程组无解； 当60m -≠，100n -≠时，即6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．【答案】6m =，10n =方程组有无穷多组解；6m =，10n ≠方程组无解； 6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．4．根据方程同解的情况来确定【例40】 已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】由已知，两个方程组有相同的解，所以方程256x y +=-和3516x y -=有相同的解，故将此两个方程联立，通过解此方程组就可求出两个方程组的解，又因为此解满足方程4ax by -=-和8bx ay +=-，故可得关于,a b 的二元一次方程组，通过解该方程组就可求出,a b 的值，从而可求3(2)a b +的值．解：将256x y +=-和3516x y -=联立，得2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩①+②，得510x =，∴2x =把2x =代入①，得2256y ⨯+=-，∴2y =-． ∴22x y =⎧⎨=-⎩．将22x y =⎧⎨=-⎩．代入方程4ax by -=-和8bx ay +=-，得224228a b b a +=-⎧⎨-=-⎩，即24a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．当1,3a b ==-时，333(2)(23)(1)1a b +=-=-=-故代数式3(2)a b +的值为－1．解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．【答案】1-【例41】 关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【解析】本题注意方程组的重新组合，把只含有x y ，的方程放在一起组成方程组可解出x y ，的值．再把x y ，的值代入含有a b ，的方程可得到关于a b ，的方程组．可求得12x y =⎧⎨=-⎩，进而求得23a b =⎧⎨=⎩．所以()8b a -=-．【答案】8-【例42】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值． 【解析】解方程组5325x y x y +=⎧⎨-=⎩得：12x y =⎧⎨=-⎩把12x y ==-，分别代入方程5451ax y x by +=+=，可得：142a b ==， 【答案】142a b ==，【例43】 已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【解析】联立1x y +=与3x y -=可得21x y =⎧⎨=-⎩，将其代入其它两个方程24(1)3ax by bx a y +=⎧⎨+-=⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩．【答案】64a b =⎧⎨=⎩【例44】 如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【解析】解方程组⎧⎨⎩2a =【答案】2【例45】 已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【解析】解方程组23,9x y m x y m +=⎧⎨-=⎩得：72x my m =⎧⎨=-⎩把72x my m =⎧⎨=-⎩代入3217x y +=得：1m =【答案】1【例46】 若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【解析】由方程①+②可得：7x k =①-②可得：2y k =-把7x k =，2y k =-代入方程236x y +=得：34k =【答案】34【例47】 已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【解析】解法一：由于a 取不同的值，方程都有一个相同的解，所以可以取1a =，1a =-代入原方程，可以得到方程组：330270y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩；解法二：方程有一个公共解，说明方程有一种形式，关于a 的方程有无数解，将方程变形得：(2)(25)0a x y x y +----=，此方程有无数解，故：20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩． 【答案】31x y =⎧⎨=-⎩5【例48】 a 【解析】把a 作为已知数，解这个方程组得31325312a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵00x y >⎧⎨>⎩，∴3130253102aa -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解不等式组得313315a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解集是6111053a <<【答案】111053a <<【例49】 m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？ 【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，． 经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数． 【答案】97106m =，，，【例50】 已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【解析】消去x 得到方程(1)6m y +=，解得61y m =+． 因此12m +=或13m +=；故1m =或2m =．【答案】1m =或2m =【例51】 要使方程组⎧⎨⎩有正整数解，求整数a 的值．【解析】解方程组2x x ⎧⎨-⎩∵∴4a +的值可以为：124816，，，，∴a 的值为：320412--，，，，． 【答案】320412--，，，，【例52】 已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【解析】消去y 得到(3)10m x +=；因为方程有整数解，故10(3)3x m m =≠-+，代入第二个方程得到153y m =+； 为使103m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或7； 为使153m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或12； 为使103m +和153m +都是整数，且m 是正整数，取2m =，则24m =． 【答案】4【例53】 已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=． 【答案】由①＋②×b ，得(1)1ab x b -=+，由①×a ＋②，得(1)1ab y a -=+．当1ab =时，(1)1ab y a -=+无解，即方程组无解；当1ab ≠时，则11bx ab +=-，11a y ab+=-，代入③化简即可得到221a b ab a b ++++=．。
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第五章 二元一次方程组
课题
5.1 认识二元一次方程组
教学
目标
1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元 一次方程组的解。
2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学 生良好的数学应用意识。
教学重点 二元一次方程组的含义
教学难点 判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
教学课时 第1课时 教学方法
探索归纳法
教学过程
教学内容
活动设计 备注
一、引入、实物投影（P215图）
1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)
师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）
师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：这个定义有两个地方要注意
①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次 练习：（投影）
下列方程有哪些是二元一次方程
x 1+2y=1 xy+x=1 3x-2
y =5 x 2
-2=3x
学生讨论：用数学知识帮助小马解决问题
让学生归纳出二元一次方程组的概念
xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0
二、议一议、
师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？
（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同。
）
师：由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
x-y=2
x+1=2(y-1)
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
如： 2x+3y=3 5x+3y=8
x-3y=0 x+y=8
三、做一做、
1、x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能
找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？
2、X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？
3、你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？各小
组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并
帮助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方
程的解
x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作 x=6 同样， x=5
y=2 y=3
也是方程x+y=8的一个解，同时又是方程5x+3y=34的一个解，
二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
小结：
板书设计：
课后反思：。