西南交通大学2013大物参考答案NO8导体 介质中的静电场

二、选择题:
1．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放有一带电量为+Q
的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的电势UA 和导体B的电势UB 时，
B
可得以下结论：
+Q
[ C ] (A) U A = U B (C) U A < U B
者无法比较
(B) U A > U B
A
(D) 因空腔形状不是球形，两
把两个极板间距离增大至 n 倍时外力所作的功。
解：
解：断开电源后电容器极板上所带电荷 q = CU 将保持不变
而电容值由
C = ε 0S / d → C′ = ε 0 S /(nd ) = C / n
电容器储存的静电能(电场能量)由
W = 1 q 2 / C → W ′ = 1 q 2 / C′ = 1 (nq 2 ) / C
[ F ] 4．一个半径为R，表面(这两个字去掉)均匀带电Q的介质球，其电场能量等于
Q2 (8πε R)。 0
解：这个题目的是要大家搞清楚带相同电量的介质球和导体球的电场能量是不同的。
Q2
(8πε
)是带电量为Q的导体球的电场能量。
R
0
如果同学把题改为“一个半径为 R，表面均匀带电 Q 的导体球，其电场能量等于
者相连接，则它们的电势为：
[ B ] (A) U1
(B) U 2
(C) U1＋U 2
(D)
解：用导线将两者相连接，则由静电感应知两者成为一等势体，感应电荷只分布在
q + q R（2 R1 < R2 ) 的外表面，且为 1
，由金属球壳内、外区域电势分布规律有两者相
2
连接后电势为U 2 。
选B
S
3．在一点电荷的静电场中，一块电介质如图所示，以点电荷所在处为球心，
U=
2W =
2Fd / C
C
极板上的电荷为
Q = CU = 2FdC
四、计算题:
1．半径分别为 R1 和 R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳， 分别带有电荷 Q1 和 Q2，今将内球壳用细导线与远处半径为
O R1 R
r
r 的导体球相联，如图所示，导体球原来不带电，试求相联 2
后导体球所带电荷 q。
V12 = 100 V ，并联等效电容电荷总量为 Q = C12V = 100C12 ， C12 与 C3 串联， C3 上电
荷也为 Q = 100C12
，此时 C3 上电压降为V3
=
Q C3
= 100C12 C3
= 200 V ，故此电容器组
的耐压值为V = V12 + V3 = 100 + 200 = 300 V
解：由静电感应现象，空腔导体 A� 内表面带等量负电荷，A、B 间电场线如图所示，而电
场线总是指向电势降低的方向（ E = −∇U ），因此 UB>UA
选C
2．两个同心薄金属球壳，半径分别为 R1 和 R（2 R1 < R2 ) ，若分别带上电量为 q1 和 q2 的 电荷，则两者的电势分别为U1 和U 2 （设无穷远处为电势零点）。现用导线将两
R2 (R1 + r)
2．一圆柱形电容器，外柱的直径为 4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同
性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为 E0= 200 KV/cm。试求该电容器可能承 受的最高电压。 (自然对数的底 e = 2.7183)
解：
解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则由高斯定理有电容器两极板之间的场强
A 球电势 U A
= q1 4πε 0r1
+
q内 4πε 0r2
+
q外 4πε 0 r3
= 5400 V
B 球电势 U B
= q1 4πε 0r3
+
q内 4πε 0r3
+
q外 4πε 0 r3
=
q外 4πε 0r3
= 3600 V
4．一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的
选B
4．三个电容器连接如图，已知电容 C1 = C2 = C3 ，而 C1 , C2 , C3 的耐
C1
C3
压值分别为100 V， 200 V，300 V。则此电容器组的耐压值为：
[ C ] (A) 500 V (C) 300 V
(B) 400 V
C2
(D) 150 V
(E) 600 V
解： C1 , C2 并联，等效电容为 C12 = C1 + C2 ，最高耐压值为 C1 的耐压值 100 V，即
Q2 (8πε R)。”，那么答案是 T。 0
[ F ] 5．将电介质插入已断开电源的电容器极板之间，电场力做负功。 解：插入电介质，电容器的电容增加，而电容器已于电源断开，那么极板上的电量不变，
Q2 Q2
电源不做功。此时，电容器储能变化为： ∆W =
− < 0 ,即电容器储能是减
2C ' 2C
小的，而电场力做功等于电势能增量的负值，那么电场力应该做正功。
1 ( 4πε 0
= 9 ×109
N⋅ m 2 )
C2
解：由于静电感应，金属球 A 表面带净电荷 q1 = +2.0×10-8 C，金属球 B 内表面带净电荷 q 内 = -2.0×10-8 C ，外表面带净电荷 q 外 = q1 + q2= +6.0×10-8 C，则由金属球面内、外区
域电势分布规律和电势叠加原理得
为 F。则两极板间的电势差为______________，极板上的电荷为______________。
解：设两极板间的电势差为U ，则平行板电容器贮能为W = 1 CU 2 ，此能来源于两极 2
板间相互作用力 F 对电荷作的总功 A = Fd ，即W = A = Fd ，由功能原理知
两极板间的电势差为
作一球形闭合面，则对此球形闭合面：
q
电
[ B ] (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强
介
(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强
质
(C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立
(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立
解：根据高斯定理成立条件和能求解电场强度条件知B正确
选C
5．一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则 极板上的电荷 Q、电场强度的大小 E 和电场能量 W 将发生如下变化 [ B ] (A) Q 增大，E 增大，W 增大 (B) Q 减小，E 减小，W 减小
(C) Q 增大，E 减小，W 增大 (D) Q 增大，E 增大，W 减小
电场强度 E′ = σ ′ / ε 0ε r = Q′ / S / ε 0ε r = ε rQ / S / ε 0ε r = E
电场能量W ′
=
1 C′V 2 2
=
1 2 ε rCV
2
= ε rW
即分别为 ε r ，1， ε r 倍
5．一空气平行板电容器，电容为 C，两极板间距离为 d。充电后，两极板间相互作用力
解：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：设相联后导体球带电 q，取无穷远处为电势零点，则
导体球电势：
q U 0 = 4πε 0r
内球壳电势：
U1
=
Q1 − q 4πε 0 R1
+ Q2 4πε 0 R2
q
导体球和内球壳等电势，即
= Q1 − q +
Q2
4πε 0r 4πε 0 R1 4πε 0 R2
解得
q = r(R2Q1 + R1Q2 )
各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的___ ε r ___倍；电场强度是原来的
_1___倍；电场能量是原来的____ ε r ______倍。
解：充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质后，
电容为 C′ = ε 0ε r S / d = ε r C
电荷为 Q′ = C′V = ε 0ε r S / dV = ε r Q
2
2
2
∆W = W ′ − W = 1 (nq 2 ) / C − 1 q 2 / C > 0
2
2
能量增加来源于拉开极板间距离时外力所作之功
A = 1 (nq 2 ) / C − 1 q 2 / C = 1 (q 2 / C)(n −1)
2
2
2
= 1 CU 2 (n −1) 2
[ F ] 2．正电荷沿导体表面运动时，电场力做正功。 解：达到静电平衡的导体，表面场强与表面处处垂直，所以电场力做功为 0。 也可以这样理解：达到静电平衡的导体是个等势体，导体表面是个等势面，那么当电荷 在导体表面运动时，电场力不做功（因为电场力做功数值上等于电势能增量的负值）。
[ T ] 3．各向同性电介质在电场中的取向极化和位移极化产生相似的结果。 解：书上238页。
适当选择 r0 的值，可使 U 有极大值，即令
dU /d r0 = E0 ln(R / r0 ) − E0 = 0
得 显然有
r0 = R / e
d2 U
< 0， 故当
d r0 2
r0 = R / e
时电容器可承受最高的电压
U max = RE0 / e = 147 kV
3．一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开。试求
解：不断开电源使电容器两极板间距离拉大
极板上电势差 U 将保持不变
由 C = ε 0 S / d 得电容值减小 由 Q = CU 得极板上的电荷 Q 减小
由 E = U / d 得电场强度 E 减小大
由W = 1 CU 2 得电场能量 W 减小
选B
2
三、填空题: 1．将下列各命题的标号(a、b、c、…等)适当地填入下面的方框中，使之表达出它们之间
3．一半径 r1 = 5 cm 的金属球 A，带电荷 q1 = +2.0×10-8 C，另一内半径为 r2 = 10 cm、 外 半径为 r3 = 15 cm 的金属球壳 B， 带电荷 q2 = +4.0×10-8 C，两球同心放置，如图所示。
若以无穷远处为电势零点，则 A 球电势 UA = ___5400V______，B 球电势 UB = _____3600V。
的正确逻辑关系。
a．在静电平衡条件下，净电荷只能分布在均匀导体外表面上
b．导体内部含有大量自由电子，在电场力作用下，它们会作
宏观定向运动
c．处于静电平衡状态的导体是一个等势体
d．处于静电平衡状态的均匀导体内部场强处处为零
e．导体内部没有电荷的宏观定向运动的状态，称作静电平衡状态
解：由导体静电感应规律知正确逻辑关系如下图
b
c
a
e
d
2．在一个不带电的导体球壳内，先放进一电荷为+q 的点电荷，点电荷 不与球壳内壁接触。然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q 取走。
B
r2
A
O
r3 r1
此时，球壳的电荷为____-q _____，电场分布的范围是___球壳外的整个空间______。
解：由于静电感应，导体球壳内表面带等量异号电荷，外表面带等量同号电荷，在球壳 与地接触一下后，球壳外表面电荷消失，再将点电荷+q 取走，则球壳的电荷为球壳内表 面的电荷-q，由高斯定理知电场分布的范围是球壳外的整个空间。
©西南交大物理系_2013_02
《大学物理 AI》作业
No.08 导体 介质中的静电场
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：（用“T”和“F”表示）
[ F ] 1．静电平衡时，空腔导体上的电荷只能分布于导体外表面。 解：表述不全面，因为如果是腔内有电荷的空腔导体，内表面是有电荷的。 如果同学把题改为“静电平衡时，腔内无电荷的空腔导体上的电荷只能分布于导体外表 面”，那么答案是 T。
分布为
E = λ /(2πε r)
设电容器内外两极板半径分别为 r0，R，则极板间电压为
∫ ⋅ ∫ R � � R
U = E dr =
λ
λR d r = ln
r
r 2πε r
2πε r0
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到 E0 时电容器击穿，这时应有
λ = 2πε r0 E0
R U = r0 E0 ln r0