高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3

2

1(2)(2)3

f x a x bx a x =-+-+-。

（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过

22sin cos t t t -+t 的取值范围；

（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。

1. （1）由()3

2

1(2)(2)3

f x a x bx a x =-+-+-，则

()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-

因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根

22

1(2)121(2)02

(2)323(2)0a a b a b a b a ⎧=--+⋅-⋅+-=⎧⇒⎨⎨=--+⋅-⋅+-=⎩⎩()2

'43f x x x ∴=-+-

因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2

2sin cos t t t -+

所以()2

'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，

而()()2

'21f x x =--+，其最大值为1．

故2

2sin cos 1t t t -≥

72sin 21,3412t k t k k Z πππππ⎛

⎫⇒-≥⇒+≤≤+∈ ⎪⎝

⎭

（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =

当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2

'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，

2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤

从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为

4S π=

2. 函数cx bx ax x f ++=2

3

)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))(,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若m

m x f x 6

)(],1,2[->-∈恒成立，求实数m 的取值范围. 2. （Ⅰ） b =0

（Ⅱ）

3'2()()30,f x ax cx

f x ax c αβ

=+∴=+=的两实根是

则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩

|AB|＝22

2

2

()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-=

34232

c c a a -⋅

=⇒=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-⇒+--=-

222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ⇒+++=-⇒+-+=-

233

()11122

c a c c ac a a a ∴-+=-⇒-+=-⇒-=-

又01a a >∴=3

()32

x f x x =-

（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-5

6(6)(1)50m m m m m

+-->-

⇒< 106<<-

（2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？若

存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；

3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，

∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ， 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0） ∴()a b d d b a 24,048+-==++即

令()0'=x f ，则a

b x x bx ax 32,0,023212-===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性

∴4322≤-

≤a b ， ∴36-≤≤-a

b

假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'= 即 032302

=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222a b ab ab b b a b

又36-≤≤-a

b

， ∴△＜0

∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为

4. 已知函数x x f ln )(=

（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证2

2)

(2)()(b

a a

b a a f b f +->

-； 4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(

)1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11

1

)(-+=

'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)(

∴当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0

（2）)1ln(ln ln

ln ln )()(b

b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由（1）知b

a

b b b a a f b f x x -=

--≥-≤+)()()1ln( 又2

2

222

2)(2212,0b

a a

b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<< 2

2

)

(2)()(b a a b a a f b f +->-∴ 5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0 ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，2

1

2)(x ax x f +=（a 为实数）．

（1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式；

（2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，21

2)(x

ax x f +

-=-，)(x f 是奇函数，则2

1

2)(x ax x f -

=，0(∈x ，]1；