概率论与数理统计第四章自测题

《概率论与数理统计》第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数ρXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。

2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2，则X与Y的相关系数ρXY= 。

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。

4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210 ()200xe xf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，，，，如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为ρXZ= 。

5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪<⎩，，，，，，则方差D(Y)= 。

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤。

二、单选题：（每题2分，共12分）得分1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。

2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

(A) X与Y一定相互独立；(B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。

3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。

(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。

4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。

(A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)≠D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)≠D(X-Y)。

5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为( )。

(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。

6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。

(A)1； (B)12； (C)12-； (D)1-。

三、判断题：（每题2分，共12分） 得分1.( )设随机变量X 和Y 相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。

2.( )设随机变量X ，Y ，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差D(2X-3Y)=35。

3. ( )设随机变量X 和Y 的联合分布律为可知X 与Y 不相互独立，因此X 与Y 不相关。

4. ( )设随机变量X 的概率密度为1,0,2()1,0,2x x e x f x e x -⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩ 则X 的数学期望为0011,0,22()11,0,22x x xe dx x E X xe dx x ∞--∞⎧=>⎪⎪=⎨⎪=-<⎪⎩⎰⎰ 5. ( )设二维随机变量X 与Y 的联合概率密度为sin sin ,0,,(,)20,x y x y f x y π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则数学期望0/2()sin sin sin E X x x ydx y π==⎰。

6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为01, 01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩，，其他， 则随机变量X 与Y 不是不相关，因而X 与Y 不相互独立。

四、计算题（共34分）1．(8分)设随机变量ξ, η是相互独立且服从同一分布，已知ξ的分布律为P{ξ=i}=1/3，i =1, 2, 3，又设X=max(ξ, η)，Y=min(ξ, η)，求(1)随机变量X 的数学期望E(X)，(2) X 与Y 的相关系数ρXY 。

得分2．(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为201, 01(,)0x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩，，，其他， (1)判别X 与Y 是否相互独立？是否相关？(2)求 D(X+Y)。

得分3．(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为1, 0<<1(,)0y x x f x y ⎧<=⎨⎩，，，其他，求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，ρXY 。

得分4. (8分)设随机变量X 1, X 2, …, X n 相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求随机变量Z=min{ X 1, X 2, …, X n }的数学期望与方差。

得分五、应用题（共16分）1.(8分)某系某班共有n 名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X 的数学期望与方差。

得分2. (8分) 设某种商品每周需求量X 是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，求最优进货量。

得分六、综合题（14分）设随机变量X 1, X 2, …, X n (n >2)为独立同分布，均服从N (0, 1)，记n11X=X n i i =∑，Y i =X i -X ，i =1, 2, …, n ， (1)求Y i 的方差D (Y i )，i =1, 2, …, n ；(2)求Y 1与Y n 的协方差Cov(Y 1, Y n )；(3)求P {Y 1+Y n ≤0}；(4)证明Y 1与Y n 的相关系数为111n Y Y n ρ=--。

得分《概率论与数理统计》第四单元自测题参考答案一、填空题：1．28.8；2. 1/4；3. 2；4. -1, 4；5. 8/9；6. 1/8。

二、选择题：1．C ；2. B ；3. A ；4. B ；5. C ；6. D 。

三、判断题：1．错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。

四、计算题1．【答】E(X)=22/9，ρXY =8/19。

【解】X 与Y 的联合分布律为：E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X 2)=58/9，E(Y 2)=26/9，E(XY)=4。

2．【答】(1) 不独立，相关。

(2) D(X+Y)=5/36。

【解】 1X 03,01,()(,)(2)20,x x f x f x y dy x y dy +∞-∞⎧-<<⎪==--=⎨⎪⎩⎰⎰其他,， 同理 Y 3,01,()(,)20,y y f y f x y dx +∞-∞⎧-<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他,在0<x <1, 0<y <1内，f (x , y )≠f X (x )⋅f Y (y )，所以X 与Y 不相互独立。

1035E(X)(,)()212xf x y dxdy x x dx +∞+∞-∞-∞==-=⎰⎰⎰，由x 与y 的对称性知E(Y)=512，11100021E(XY)(,)(2)()336x xyf x y dxdy xdx y x y dy x dx +∞+∞-∞-∞==--=-=⎰⎰⎰⎰⎰，12222X 031E(X )()()E(Y )24x f x dx x x dx +∞-∞==-==⎰⎰，D(X)=E(X 2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，XY 1ρ011==-≠，故X 与Y 相关。

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。

3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，ρXY =0。

方法同上例，略。

4.【答】E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。

【解】随机变量X 1, X 2, …, X n 的分布函数为 1,0,()0,0,z X e z F z z -⎧->=⎨≤⎩则1,0,()1(1())0,0,nz n Z X e z F z F z z -⎧->=--=⎨≤⎩即Z 服从参数为1/n 的指数分布，故E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。

五、应用题1.【答】E(X)=1，D(X)=1。

【解】设随机变量1,X 1, 2, , 0,i i i i n ⎧==⎨⎩ 若第名学生拿到自己的学生证,若第名学生没拿到自己的学生证,，1E(X )i n =，211D(X )i n n =-， 1, 2, , i n = ，又1X=X ++X n ，注意X 1, X 2, …, X n 不相互独立，1n 1n E(X)=E(X ++X )=E(X )++E(X )=1 ，又{}{}{}11P X X 1P X 1P X 1X 11i j i j i n n ======⨯-，于是 1E(X X )(1)i j n n =-，21(X ,X )E(X X )E(X )E(X )(1)i j i j i j Cov n n =-=-，)(j i ≠111D(X)=D(X ++X )=D(X )++D(X )2(X ,X )n n i j i j nCov ≤<≤+∑ 222111()21(1)n n C n n n n =-+=-。

2.【答】约23单位商品。

【解】(1)由题设，X 的概率密度为1,1030,()200,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，设进货量为a ，则利润为500X (X)100,10X ,M (X)500(X )300,X 30,a a a g a a a--⨯≤≤⎧==⎨+-⨯<≤⎩600X 100,10X ,300X 200,X 30,a a a a -≤≤⎧=⎨+<≤⎩30101E(M )()20a g x dx =⋅⎰30101((600100)(300200))20a ax a dx x a dx =-++⎰⎰ = -7.5a 2+350a +5250，求最优进货量，即求使E(M a )达到最大值的a ，E(M a )= -7.5(a -(350/15))2+… ，从而 a =350/15=23.33，即进23单位该种商品为最佳。