初二数学图形辅助线常见做法

八年级数学培优训练题

补形法的应用

班级_________ 姓名_______________________________ 分数_______________________ 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1. 补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD勺腰CD的中点；

证明：△ ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证：

2. 补成等腰三角形

例2 如图2.已知/ A= 90°，AB= AC, / 1 = / 2, CEL BD

求证：BD= 2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称

性作出辅助线，不难发现CF= 2CE,再证BD= CF即可。

略证：

3. 补成直角三角形

例3.如图3,在梯形ABCD中, AD// BC, / B+Z C= 90°

F、G分别是AD BC的中点，若BC= 18, AD= 8,求FG的长

分析：从Z B、Z C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，

故延长BA、CD要求FG 需求PF、PG

略解：

4. 补成等边三角形

例4.图4,A ABC是等边三角形，延长BC至D,延长BA至E,使AE= BD

连结CE ED

证明：EC= ED

分析：要证明EC= ED,通常要证Z ECD=Z EDC但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F,使BF= BE,连结EF。

略证：

、补成特殊的四边形

1. 补成平行四边形

例5.如图5,四边形ABCD中，E、F、G H分别是AB CD AC BD的中点，并且E、F、G H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF

是平行四边形。

略证：

2. 补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，/ A= 60°，/ B=/D= 90°，AB= 200m, CD

=100m 求AD BC的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解：

3. 补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE中/ A=/ B= 120°，E心AB= BC

=2，CD= DE= 4，求其面积

分析：延长EA CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形略解：

4. 补成正方形

例8.如图8，在厶ABC中，AD丄BC于D,/ BAC= 45°，BD

=3，DC= 2。求厶ABC的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，

如果从题设/ BAC= 45°，AD丄BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质

构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。

略解：

5. 补成梯形

例9.如图9，已知：G是厶ABC中BC边上的中线的中

点，L是△ ABC外的一条直线，自A B、C、G向L作垂线，垂足

分别为A、B、G、G。求证：GG= 4(2AA1 + BB + CG)。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角

梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD丄L于D，则

DD既是梯形BBCC的中位线，又是梯形DDAA的一条底边，因

而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出

来，从而使问题快速获证。

略证: A

A

图9

三、练习1、在厶ABC 中，AC=BC D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线 于

E ,又AE^BD,求证：BE 平分/ ABC

2

2、 如图，已知：在△ ABC 内，/ BAC=60，/ ACB=40 , P 、Q 分别在 BC CA 上，并且 AP BQ 分别是/ BAC / ABC 的角平分 线，求证：BQ+AQ 二AB+BP

3、 已知：/ BAC=90，AB 二AC AD=DC AE± BD,

求证：/ ADB=/ CDE 4、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边 上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为 S 和，求：S 2 — 值。

A

P

B

C

D

B

A

B

M

C

t 2

的