奥数教程百分数专题

学习好资料欢迎下载

尹老师奥数教程---小升初培优班

应用题综合百分数专题

本讲主要是较复杂的利润问题

【例1】“新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额的3％作为服务费，代客户购买物品收取商品定价的2％作为服务费．今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡．问所购置的新设备花费了多少元?

答案 5121.6元

分析“该客户恰好收支平衡”，这表明该客户出售物品的销售额的1－3％=97％，恰好用来支付了设备与代为购买设备的服务费，即等于所购置新设备的费用为(1+2％)=102％．从而求得出售商品所得与新设备价格之比；再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，从而可解得新设备价格．

详解1 出售商品所得的1－3％=97％等于新设备价格的1+2％=102％．设新设备价格为

“1”，则出售商品所得相当于

故而新设备花费了该公司的服务费为

详解2 设出售的商品价值为x元，所购置的新设备花费了y元，依题意，有

式，得由(1) ，得代入(2)将(3)

即出售物品的销售额支付了两次服, 解这道题的关键在于要弄清“收支平衡”的含义评注务费及新设备的费用，该客户只是用物品“换来了”新设备．，售价以元有一位精明的老板对某商品

用下列办法来确定售价：设商品件数是N】例【2

的整5的结果，然后取大于此数的最小的为单位，先得出算式

学习好资料欢迎下载

倍数作为N件商品一起购买的售价．按这一定价方法得到：1件50元，2件95元，3件140元，4件185元……已知每件商品的成本是整数元，问这个整数是多少?

答案 38元．

分析由“1件50元”，可推知该商品的成本×(1+20％)后多于45元；又由后来每增一件多45元，当四件时才185元．这说明，每件成本×(1+20％)×4少于185元，即每件185元．少于成本×(1+20％)4详解由1件50元，知每件成本×(1+20％)× 1多于45元，但少

于50元．即有每件成本多于

但少于

又由4件185元，知每件成本×(1+20％)×4多于180元，但少于185元．即每件成本

少于从而每件成本多于37.5元，少于38.54元．因它为整数元，所以每件成本38元．

经验证，每件成本38元满足已知条件．

评注此题是通过确定每件商品的成本的范围找出符合题设的答案．有时候，满足两个条件的可能有很多答案，那么只有经过对其他条件进行检验来确定最终的结果该是哪个．

【例3】有3个一样大的桶，一个装有浓度60％的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要配置成浓度为36％的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果每一种量具最多用4次，那么最多能配置成36％的酒精多少升?

答案20升．

分析若想配出100升36％的酒精溶液，就需要由浓度为60％的100升酒桶中取出溶液(100×60％－100×36％)÷60％=40(升)．然而只用5升与3升桶最多各4次，最多只能量出32升，因而配置浓度36％的酒精是在空桶中完成的．由浓度36％的酒精中纯酒精来自于浓度为60％的酒精，可知若配得36％的酒精若干升，需60％的酒精：浓度36％的酒精总量3．从而根据整数性质可求得答案．浓度36％的酒精总量××36％÷60％=5详解若想配置100升36％的酒精，需要量较少溶液的办法是由第一个桶中量出若干升，再由第二个桶给之添满水；至少要量出：

只用5升与3升量具最多各4次，至多能量32升，因此配置浓度为36％的酒精是在空桶中进行的．

设配置了n升36％的酒精，这就需用到60％的酒精：

因而所用量具为5升与3升，因此咒能被5整除才能保证从60％的酒精量出的是整数量．5升与3升可能量得溶液量为：32升、29升、27升、26升、24升、23升、22升、21 升．20％的酒精最后配置了36升等等；所以浓度20升、．

学习好资料欢迎下载

配置方法如下：

第一桶中先取两个5升放入空桶，再取一个5升时用3升桶去量出3升倒回原桶，剩下2升倒入已有10升溶液的桶，最后由装水的桶取一个5升与一个3升倒入乘有12升溶液的桶

中得到浓度36％的溶液20升，共用了5升量具4次、3升量具2次．

评注解浓度问题我们必须知道：

浓度=溶质质量／溶液质量× 100％

在本题解决过程中5升与3升桶的使用是至关重要的，求出可能的最多量是20升后，给出一配比方法才算完整．

【例4】在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水，1号杯中溶有100克1倒入2号杯，糖，3号杯中溶有100克盐．先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的412号杯．问1号杯，接着倒出所余液体的到3号杯倒出所盛液体的然后搅匀；再从2到77这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少?

答案 1号杯1：9，2号杯1：2，3号杯76：5．

分析解此题的出发点是：每次倒出液体的几分之几，那么随之倒出的糖或盐也是原液体糖或盐含量的几分之几．

1的液体给2号杯后， 1号杯倒一半，3号杯倒详解4

1号杯中有糖：

号杯中有糖：2

有盐：

号杯中有盐：321给2号杯中倒1号杯，再倒给3号杯后，77号杯中有糖： 1有盐：

含盐量与含糖量之比为：

号杯中有糖：3

有盐：含盐量与含糖量之

比为号杯中有糖：2

学习好资料欢迎下载

有盐：含盐量与含糖量之比为：

评注在解题中我们可以得出如下关系：同浓度的溶液，溶液质量的比值与对应的溶质质量的比值相同．

【例4】北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499．99元者优惠5％，每次买书500元以上者(包含500元)优惠10％．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并在一起比分开买便宜13.5元,如果三次合并在一起买比三次分开买便宜39.4元，5．问这位顾客第二次买多少钱的书已经知道第一次的书价是第三次书价的? 8答案 115元．

分析解题突破口为“不同购款的优惠不同”．我们可以通过第一次与第二次合并在一起买便宜13.5元，探索这两次购书的书价，然后与后两个条件合并，寻找符合题意的正确书价．

详解前两次合并在一起比分开买便宜13.5元，可能由如下几种情况产生：

(1) 两次书款，其中一次在500元以上，另一次不足500元．

不足500元的这一次在合买时可得到10％的优惠，分开买时可得5％或得不到优惠，所以这一次的价格为：13.5÷(10％－5％)=270(元)或13.5÷10％=135(元)．无论对哪一种情况而言，三次合买时，它都只能多得到13.5元的优惠，而第三次买书就应多得了

39.4－13.5=25.9(元)

的优惠．第三次购书款应不多于500元，但25.9÷5％=518(元)，且25.9÷10％=259(元)，259元的购书款又只能再多得5％优惠．故不存在符合题意的解．

(2) 两次书款均在200～499.99元之间，但总额多于 500元．

这两次总款为13.5÷(10％－5％)=270(元)，与总款多于500元矛盾．，

(3) 两次书款，其中一次不足200元，另一次在200～499.99元之间．

若两次总额不足500元，则不足200元的一次花了13.5÷5％=270(元)，矛盾．

若两次总额高于500元，则不足200元的一次多得了10％的优惠款．另一次多得了5％的优惠款，两次都按5％的优惠算，总款才

13.5÷5％=270(元)．

因此两次总款必须低于270元，与总额高于500元矛盾．

情况4：两次均不足200元．

这两次总款为：13.5÷5％=270(元)．

三次总款若低于500元，则第三次在合买时可多得优惠额为39．4－13．5=25．9(元)．这样一来，第三次购书款必多于

25.9÷5％=518(元)．

与三次总款低于500元矛盾．

因此三次总款在500元以上，前两次在合买时比单买可多得270 ×10％=27(元)优惠.第三次多得39.4－27=12.4(元)．又因为第三次购书款必多于500－270=230(元)，所以第三，第二次购书款为：)元)=248(％54÷(10％－12.次购书款为

学习好资料欢迎下载

5=115(元)－248×． 2708评注本题是一道较难的分类讨论题目，同学们务必注意分类时要做到完全且不重．

【例6】某一出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元．现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行800米，然后再乘车也要35元．问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?