第三章 杆件的强度、刚度和稳定性计算
施工员通用及基础知识建筑力学之三构件的强度刚度及稳定性
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4
弹性变形、塑性变形
对变形固体来讲，受到外力作用发生变形， 而变形发生在一定限度内。
当外力解除后，随外力的解除而消失的变形， 称为弹性变形。
但也有一部分变形随外力的解除而不随之消 失的变形，称为塑性变形。
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5
强度要求：强度，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
1907年，加拿大跨长548米的奎拜克大桥倒塌，研究发现是受压杆件失 稳引起的。
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8
构件变形的基本形式 杆件 ：指长度远大于横向尺寸的构件，简称杆。
等截面的直杆简称为等直杆。
杆件变形的4种基本形式： 1.轴向拉伸或压缩
F
F
在一对方向相反、作用线与杆轴线重合的外力 作用下，杆件将发生长度的改变（伸长或缩短）
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12
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2
变形固体的基本假设
均匀假设 假设固体内部各部分之间的力学性质都相同
连
变形固体的基本假设
各向同性假设 假设变形固体在各个方向的力学性质完全相同
小变形假设
假设固体在外力作用下的变形与原始尺寸相比是 微小的，这样的变形称为小变形。
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9
2.剪切
F
F
在一对相距很近，大小相等、方向相反的横 向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发 生相对错动。
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10
3.扭转
Me
Me
在一对大小相等、方向相反、位于垂 直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的 相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
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11
4.弯曲
M
M
在一对大小相等、方向相反、位于杆 的纵向平面内的力偶作用下，杆将在纵向 平面内发生弯曲。
杆件受力变形及其应力分析
第三章 杆件受力变形及其应力分析§３－１ 概 述一、构件正常工作的基本要求为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。
为此，构件必须满足下列基本要求。
１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。
可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力。
它是构件首先应满足的要求。
图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，也会使机械不能正常工作。
图３－１所示的传动轴，由于变形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，从而引起振动和噪声，影响传动精度。
因此，所谓足够的刚度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。
应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。
３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。
这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。
因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。
上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。
所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。
二、变形固体及其基本假设自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。
在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。
而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。
因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。
因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。
在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的·75·一些影响不大的次要性质。
杆件的强度计算公式
杆件的强度计算公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力应力的单位如何表示答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
应力的单位为Pa。
1Pa=1N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1MPa=106Pa1GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变什么是横向应变什么是泊松比答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为横向应变ε/为 a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
钢结构设计原理刘智敏第三章课后题答案
钢结构设计原理刘智敏第三章课后题答案第3章钢结构的连接12. 如图3-57所⽰的对接焊缝，钢材为Q235，焊条为E43型，采⽤焊条电弧焊，焊缝质量为三级，施焊时加引弧板和引出板。
已知，试求此连接能承受的最⼤荷载。
解：因有引弧板和引出板，故焊缝计算长度l w=500mm，则焊缝正应⼒应满⾜：其中，故有，故此连接能承受的最⼤荷载为。
13. 图3-58所⽰为⾓钢2∟140×10构件的节点⾓焊鏠连接，构件重⼼⾄⾓钢肢背距离，钢材为Q235BF，采⽤⼿⼯焊，焊条为E43型，，构件承受静⼒荷载产⽣的轴⼼拉⼒设计值为N=1100kN，若采⽤三⾯围焊，试设计此焊缝连接。
解:正⾯⾓焊缝且故可取，此时焊缝的计算长度正⾯焊缝的作⽤：则由平衡条件得：所以它们的焊缝长度为，取370mm，，取95mm。
17. 如图3-61所⽰的焊接⼯字形梁在腹板上设⼀道拼接的对接焊缝，拼接处作⽤有弯矩，剪⼒，钢材为Q235B钢，焊条⽤E43型，半⾃动焊，三级检验标准，试验算该焊缝的强度。
解：（1）确定焊缝计算截⾯的⼏何特征x轴惯性矩：中性轴以上截⾯静矩：单个翼缘截⾯静矩：（2）验算焊缝强度焊缝最⼤拉应⼒（翼缘腹板交接处）：查表知，，所以焊缝强度不满⾜要求。
19. 按⾼强度螺栓摩擦型连接和承压型连接设计习题18中的钢板的拼接，采⽤8.8级M20(=21.5mm)的⾼强度螺栓，接触⾯采⽤喷吵处理。
（1）确定连接盖板的截⾯尺⼨。
（2）计算需要的螺栓数⽬并确定如何布置。
（3）验算被连接钢板的强度。
解：（1）摩擦型设计查表得每个8.8级的M20⾼强度螺栓的预拉⼒，对于Q235钢材接触⾯做喷砂处理时。
单个螺栓的承载⼒设计值：所需螺栓数：（2）承压型设计查表知，。
单个螺栓的承载⼒设计值：所需螺栓数：螺栓排列图如下所⽰验算被连接钢板的强度a.承压型设计查表可知，当满⾜要求。
b.摩擦型设计净截⾯强度验算：满⾜要求；⽑截⾯强度验算：满⾜要求。
20. 如图3-62所⽰的连接节点，斜杆承受轴⼼拉⼒设计值，端板与柱翼缘采⽤10个8.8级摩擦型⾼强度螺栓连接，抗滑移系数，求最⼩螺栓直径。
831-材料力学考试大纲及参考书目
2020年硕士研究生招生专业考试大纲学院代码：021学院名称：建筑工程学院专业代码及专业名称：087100 管理科学与工程初试科目代码及名称：831材料力学考试大纲：一、考试目标及要求通过笔试，全面衡量和考核考生掌握杆件的强度、刚度和稳定性计算的基本理论的程度；着重观察其基本概念和分析方法熟练程度；也注意辨析其计算能力和掌握的实验分析能力的情况。
本大纲在专家相应考试命题和考生复习应考中提供一个关于内容、重点等等方面的参考。
二、考试形式与考卷结构考试形式：闭卷，笔试，卷面总分150分，考试时间180分钟三、考试范围第一章基本概念材料力学的任务，可变形固体的性质及其基本假设，杆件的几何特征，杆件变形的基本形式。
第二章轴向拉伸和压缩内力，截面法，轴力及轴力图，应力，拉（压）杆的变形，拉（压）杆的应变能，材料在拉伸和压缩时的力学性能，强度条件及安全因数、许用应力，应力集中的概念。
第三章扭转薄壁圆筒的扭转，传动轴的外力偶矩，扭矩及扭矩图，等直圆杆扭转时的应力及强度条件，等直圆杆扭转时的变形及刚度条件，等直圆杆扭转时的应变能。
第四章弯曲应力对称弯曲的概念，梁的剪力和弯矩、剪力图和弯矩图，平面刚架和曲杆的内力图，梁横截面上的正应力及正应力强度条件，梁横截面上的切应力及切应力强度条件，梁的合理设计。
第五章梁弯曲时的位移挠度及转角，梁的挠曲线近似微分方程及其积分，按叠加原理计算梁的挠度和转角，梁的刚度校核，提高梁的刚度的措施，梁内的弯曲应变能。
第六章简单的超静定问题超静定问题及其解法，拉压超静定问题，扭转超静定问题，简单超静定梁。
第七章应力状态和强度理论平面应力状态的应力分析，主应力，空间应力状态的概念，应力与应变间的关系，强度理论及其相当应力，各种强度理论的应用。
第八章组合变形及连接部分的计算两相互垂直平面内的弯曲，拉伸（压缩）与弯曲，扭转与弯曲，连接件的实用计算法，铆钉连接计算。
第九章压杆稳定压杆稳定性的概念，细长中心受压直杆临界力的欧拉公式，不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式及压杆的长度因数，欧拉公式的应用范围，临界应力总图，压杆的稳定计算，压杆的合理截面。
第3章杆件的强度分析总结
S＝1.5～2.0；对脆性材料取S＝2.0～5.0，若材质均匀性差，
且杆件很重要也可取S＝3.0～9.0。
二.杆件的强度条件 为使杆件在工作中安全可靠(即强度足够)，必须使其所受的 最大工作正应力s max 小于或等于其在拉伸(压缩)时的许用正 应力 s ，即
s max
FN s A
A
s
FN
FN As
第三章 拉压杆件的承载能力
第一讲：构件承载能力概述；轴向拉伸与压 缩的概念；轴向拉伸与压缩时截面上的内力 第二讲：轴向拉伸（或压缩）的强度计算 第三讲：轴向拉伸（或压缩）的变形
一、材料力学的任务
解决构件在外力（其它物体对构件的作用
力）作用下产生变形和破坏的问题（安全问 题）。在实验的基础上，提供一种理论依据和
本章重点：
轴力图的画法； 金属材料拉伸和压缩时的力学性能分析； 拉压杆件的强度计算
本章难点：
拉压杆件的强度计算 拉压杆件的变形
第一节 杆件的轴向拉伸及压缩
一.轴向拉伸及压缩的概念 P P
轴向拉伸：在力的作用下杆件产生轴向伸长的变形。对 应的外力称为拉力。 P P
轴向压缩：在力的作用下杆件产生轴向缩短的变形。对 应的外力称为压力。 产生轴向拉伸(或压缩)变形的杆件，简称为拉(压)杆。
材料力学的研究对象——变形固体
材 料 模 型
变形体模型
刚体模型
三、杆件变形的基本形式
四种：拉伸（或压缩）、剪切、扭转、弯曲
a) F F c) F
b) F
F
F
材料力学主要研究杆件尤其是直杆的基本变形和组 合变形。
杆件的强度分析实验介绍
《工程力学》第三章 杆件基本变形时的内力分析
CD段 FN3 4kN
（2）绘制轴力图。
2
3
2
3
思考题：作用于杆件上的外力（载荷）沿其作用线移动时，其 轴力图有否改变？支座约束力有否改变？
练习： 由一高度为H的正方形截面石柱，顶部作用有轴心压
力FP。已知材料的容重为g，作柱的轴力图。
FP
FP
FN
FP
x
n
n
H
G(x) rAx
-
FN x
FP rAx
m
根据平衡条件，其任
一截面上分布内力系的合 F
力也必与杆的轴线重合，
这种与杆件轴线重合的内
力称为轴力，用FN表示。
轴力的大小由平衡方程求解，若取左段 FN
为研究对象，由
Fx 0 , FN F 0 可得 FN F
FN 观看动画
F F
2. 轴力的正负号规定： 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
构件承载能力分析研究的内容和方法:
内容
1.外力
内力
2.材料的力学性质
破坏（失效）的规律 变形的规律
方法
3.截面形状和尺寸与承载关系
1.实验手段 几何方面 2.理论分析 物理方面
静力方面
第三章 杆件基本变形时的内力分析
内力的大小及其分布规律与杆件的变形与失效密切相关，因此 内力分析是解决构件承载能力的基础。本章主要研究杆件的内力及 其沿杆件轴线的变化规律，以便为杆件的强度、刚度和稳定性计算 提供基础。
§3-1 内力与截面法 §3-2 拉压杆的内力与内力图 §3-3 平面弯曲梁的内力与内力图 习题课 §3-4 受扭圆轴的内力与内力图
一、外力及其分类 §3-1 内力与截面法
材料力学考试大纲
材料力学一、课程的性质与设置目的和要求材料力学是由基础理论课向设计课程过渡的技术基础课。
该课程对后续专业课及工程应用都有深远的影响。
通过对材料力学课程的学习，要求学生对杆件的强度、刚度和稳定性问题具有明确的基本概念、必要的基础理论知识、比较熟练的计算能力、一定的分析能力和实验能力。
二、课程内容与考核目标本课程主要讲述杆件的强度、刚度和稳定性理论及其应用，包括四种基本变形与组合变形的应力和变形，强度和刚度计算，能量方法与超静定问题，压杆稳定，动载荷与交变应力。
第一章拉伸与压缩1.学习目的与要求：本章介绍杆件在拉伸或压缩时的应力和变形计算。
通过学习，要求能熟练绘制杆件的轴力图；能熟练进行杆件强度计算和变形计算。
2.课程内容：轴向拉、压的概念；外力、内力、应力、应变、变形、位移等概念；拉（压）杆的内力、内力图；应力和强度计算、材料的拉、压力学性能、杆件的变形计算；简单的超静定问题。
3.考核知识点：轴力、轴力图；轴向拉压时截面上的应力；轴向拉压时的变形、虎克定律；材料的力学性能（低碳钢、铸铁的拉伸试验的应力应变图；低碳钢和铸铁的压缩试验及两类材料的比较）；轴向拉压的强度条件及强度计算；4.考核要求：能熟练运用截面法计算杆件的轴力，正确绘制轴力图；掌握杆件拉、压时的强度计算；掌握杆件的变形计算；了解材料的基本力学性能以及试件拉、压破坏时的现象和原因；掌握求解简单超静定问题的方法。
第二章剪切1.学习目的与要求：本章介绍连接件的实用计算。
通过学习，要求会计算简单的连接件的强度问题。
2.课程内容：剪切构件的受力和变形特点，连接处可能的破坏形式，剪切和挤压的实用计算。
3.考核知识点：剪切和挤压的概念，剪切和挤压的应力计算。
4.考核要求：了解剪切和挤压的概念，会计算简单的连接件的强度问题。
第三章扭转1.学习目的与要求：本章介绍杆件扭转时的应力和变形，通过学习，要求能熟练绘制杆件的扭矩图；掌握应力和变形的计算公式，能熟练进行轴类零件的强度和刚度计算2.课程内容：纯剪切概念、剪切胡克定律、切应力互等定理；功率、转速与外力偶矩的关系；扭矩和扭矩图、应力和变形的计算、强度条件和刚度条件；弹簧的应力和变形计算；简单扭转超静定问题的计算；非圆截面杆扭转的应力和变形简介。
第3章杆件的强度刚度与稳定性介绍
正方形截面边长 ：a3 A3 2.27 1.5m 1，取 a3 1.6m，则 A3 2.56m2。
3.等直柱与阶梯柱用材比较 设等直柱和梯形柱体积为 V 1 、V 2
V 1 A l 3 .2 4 2 4 7.7 7 m 6 3 阶梯柱省材
V 2 ( A 1 A 2 A 3 ) 3 l ( 1 .4 1 4 .9 2 6 .5 ) 8 6 4 .6 7 m 3 8
【解】 1.计算轴力
用横截面 n—n ，在距顶端为 x 处截杆，并取
x
上部分为对象。由平衡方程：
n
n
N (x ) [P W (x ) ] (P A x ) （A）
由（A）式可得轴力图。
自 重
l = 24 m
2.设计横截面 （1）等直杆的柱 由（A）式知，当 x＝l 时，
Nmax(PAl。) 根据强度条件有
易断 难断
（有关）
杆之材料
杆之截面 形状大小
截面 应力
杆之 材料
材料 强度
3.1.1 应力的概念
截面分成同样大小（共25个）的单位正方形
N
N
内力在各正方形的分布 应力
max
（如
、…、
V
（1）若内力 N 垂直于截面且过形心，则从 1 到 25 皆相等，即 25 个单位面积力是
均匀分布的。
力为 。
讨论
M y Iz
I z —— 截面的惯性矩。
① 当 y＝0 时，即在中性轴上， 0 ；当 y ymax 时，即在梁的上下 边缘，
压（拉）应力的绝对值皆为最大。
② 梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩 M 为一常数。
③ 沿梁宽 b 的各点正应力 ，其 y 值若相同，则 值就不变。
杆件的强度计算公式
杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
??? (2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
??? (3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
? ??应力的单位为Pa 。
??? ?????????????????1 Pa =1 N ／m 2工程实际中应力数值较大，常用MPa 或GPa 作单位??? ?????????????????1 MPa =106Pa??? ?????????????1 GPa =109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 ? ????????????????l l ∆=ε????????????????????????????????????????????????（4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为横向应变ε/为 ??????????????????????????a a ∆=/ε?????????????????????????????????????（4-3） 杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
杆件强度与刚度计算课件
通过强度计算案例的学习，可以深入了解杆件 强度的计算方法和应用技巧，提高解决实际工 程问题的能力。
03
杆件刚度计算
Hale Waihona Puke 刚度定义与分类刚度定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能力。
刚度分类
根据受力情况，刚度可分为静刚度和动刚度；根据变形性质，刚度可分为弹性刚 度和塑性刚度。
复合材料
复合材料如碳纤维、玻璃纤维等具有轻质、高强、抗腐蚀等 优点，可以替代传统金属材料用于制造高强度杆件。
新的计算方法
有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，可 以模拟杆件的受力、变形和破坏过程 ，为杆件设计提供更精确的计算结果 。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术可以用于优 化设计过程，自动识别和预测杆件的 性能，提高设计效率和准确性。
杆件强度与刚度计 算课件
目 录
• 杆件强度与刚度概述 • 杆件强度计算 • 杆件刚度计算 • 杆件强度与刚度的实际应用 • 杆件强度与刚度的未来发展
01
杆件强度与刚度概述
定义与概念
杆件强度
指杆件在受力条件下，抵抗破坏 的能力。
杆件刚度
指杆件在受力条件下，抵抗变形 的能力。
强度与刚度的重要性
保证结构安全
优化设计
通过计算强度和刚度，可以对机械零件进行优化设计，以减小重量、降低成本和提高性 能。
航空航天中的应用
01 02
飞行器结构
在航空航天领域中，杆件广泛应用于飞行器的各种结构中，如机身、机 翼、尾翼等。计算强度和刚度是确保飞行器在各种工作状态下都能够保 持稳定性和安全性的基础。
第三章 杆件的基本变形
第三章杆件的基本变形这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。
在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如柱、梁和传动轴等。
杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。
横截面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下列四种基本形式：（1）轴向拉压变形；（2）剪切变形；（3）扭转变形，（4）弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第一节拉伸和压缩在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。
本节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
一、内力与截面法1、内力的概念杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。
显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超过这个限度，物体就会破坏。
所以，内力与强度是密切相关的。
设一直杆，两端受轴向拉力F作用。
为了求出此杆任一截面m-m上的内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m 将杆截断，把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。
在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用着内力，其合力为F N。
F N是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。
对Ⅰ段建立平衡方程：F N-F=0 得F N＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
所以求杆件内力的方法—截面法可概述如下：截取代平二、拉伸与压缩的受力、变形特点构件一般都为直杆，因此在计算中都可以简化为图3－2所示的受力简图。
2.杆件的强度、刚度和稳定性
第二章杆件强度、刚度和稳定的基本概念1．我们在计算或者验算结构构件时，一定要从三个方面来计算或者验算，即杆件的强度、刚度和稳定性。
2．杆件强度的基本概念：结构杆件在规定的荷载作用下，保证不因材料强度发生破坏的要求，称为强度要求。
即必须保证杆件内的工作应力不超过杆件的许用应力，满足公式σ＝N/A≤[σ]3. 刚度的基本概念：结构杆件在规定的荷载作用下，虽有足够的强度，但其变形不能过大，超过了允许的范围，也会影响正常的使用，限制过大变形的要求即为刚度要求。
即必须保证杆件的工作变形不超过许用变形，满足公式 f≤[f]。
梁的挠度变形主要由弯矩引起，叫弯曲变形，通常我们都是计算梁的最大挠度，简支梁在均布荷载作用下梁的最大挠度作用在梁中，且fmax＝5ql4/384EI。
由上述公式可以看出，影响弯曲变形（位移）的因素为：（1）材料性能：与材料的弹性模量E成反比。
（2）构件的截面大小和形状：与截面惯性矩I成反比。
（3）构件的跨度：与构件的跨度L的2、3或4次方成正比，该因素影响最大。
4. 杆件稳定的基本概念：在工程结构中，有些受压杆件比较细长，受力达到一定的数值时，杆件突然发生弯曲以致引起整个结构的破坏，这种现象称为失稳，也称丧失稳定性。
因此受压杆件要有稳定的要求。
两端铰接的压杆，临界力的计算公式：临界力的大小与下列因素有关：1)压杆的材料：同样大的截面，钢柱的 Pij 比混凝土大，混凝土柱的Pij 比木柱大，因为钢的弹性模量比混凝土的弹性模量大，混凝土的弹性模量比木材大。
2)压杆的截面形状与大小：截面大而导致惯性矩I大的不易失稳。
3)压杆的长度l0越大，临界力越小，越容易失稳。
4)压杆的支撑情况：当柱的一端固定，一端自由时：l0=2l当柱的一端固定，一端铰接时：l0=0.7l当柱的两端铰接时： l0=l当柱的两端固定时： l0=0.5l。
有限元方法第三章杆系结构有限元
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构 的边界条件，如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组，然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元，每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于大规模问题求解，计算精度可 调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型， 计算量大，需要较高的计算机资源， 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
土木工程力学
土木工程力学目录前绪第一篇：静力学基础………………………………………………第一章：力与力系的基本概念……………………………第二章：土木工程结构计算简图和受力图………………第三章：平面体系的几何组成分析………………………第四章：平面力系的平衡条件……………………………. 第二篇：静定结构的内力分析…………………………………第三篇：杆件强度、刚度与稳定性的计算……………………第四篇：超静定结构的内力分析………………………………看后记得评分谢谢了(ˇˍˇ) ～前绪一、土木工程力学研究的对象：抽象来说，土木工程力学研究的对象为质点，刚体，质点系和变形固体。
具体来说，土木工程力学研究的对象为土木工程结构和构件。
1、当物体在力的作用下产生变形时，如果这种变形在所研究的问题中可以不考虑或暂时不考虑，则可以把它看做不发生变形的刚体。
2、当物体的变形在研究的问题中不能忽略时，就要将物体看做变形固体，简称变形体。
3、任何物体都可以看做是由若干质点组成的，这种质点的集合称为质点系。
4、土木工程结构是指建筑物能承受荷载，维持平衡，并起骨架作用的整体或部分，简称结构。
5、构件是指构成结构的零部件，亦称杆件。
二、土木工程力学研究的任务：土木工程力学是研究结构的受力分析，几何组成规律，又研究构件的强度，刚度和稳定性条件的一门基础课。
三、土木工程力学的基础研究方法：1、受力分析法：分析力与力的内在联系，画出受力图。
2、平衡条件和剖析法：1)、平衡条件是指物体处于平衡状态时，作用在物体上的力系所应满足的条件。
2)、由物体的剖析原理可知，如果一个物体或物系处于平衡状态，那么它所剖分成的任一部分皆处于平衡状态。
（任取一部分（简单的一部分）为研究对象，画出受力图，利用平衡条件算出未知力，这是求解未知量的一种普遍方法，叫做截面法。
）3、变形连续假设分析法：土木工程力学研究的对象都是假设为均匀连续，各向同性的变形固体4、力与变形的物理关系分析法：变形固体受力作用后要发生变形，根据小变形假设可以证明，力与变形成正比（即力与变形为线性关心）。
杆件的强度刚度和稳定性计算(“平面”相关文档)共8张
n
I z y 2 d A i1
n
I y z 2 d A i1
用积分精确
表示为
Iz
y2dA
A
Iy
z2dA
A
。
(2) 计算矩形截面对Z1轴的静矩。
1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微面积dA与坐
静矩等于零，即 。 标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。
1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积. 静矩
如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面 图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处 取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积 dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。即
dSz ydA dS y zdA
二、惯性矩、惯性积和惯性半径
1. 惯性矩
如图所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标 系zoy。微面积dA与坐标y(或坐标z)平方的乘积y2dA 或(Z2dA)称为微面积dA对z轴(或对y轴)的惯性矩。整 个平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的惯性矩之 和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的惯性矩，用Iz(或
1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微面积dA与坐
标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。
如图所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。
强度、刚度、稳定性
提高弯曲强度的措施
一、 合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从 而提高梁的强度
1、使集中力分散
2、减小跨度
二、 合理选择截面
当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越 小，梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz y max
D4(14)/64 D3 (14)
D/2
32
弯曲切应力
1. 矩形截面梁的弯曲切应力109
y h， 2
即横截面上、下边缘各点处：
0
y =0，即中性轴上各点处：
max
3 2
FQ bh3 2F来自 A2. 工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力
EI
F M(x) C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下，
x w w(x) 边界条件为
Oy
y
w(0)w(l)0
O
F
(a)
(b)
C 20 , C 1sikn l0
x F
EI Oy (a)
x F M(x)
x w w(x) y
O F (b)
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s C 20 , C 1sikn l0
强度、刚度、稳定性
梁的弯曲应力与强度计算
1 梁弯曲时横截面上的正应力 2 弯曲切应力 3 梁的强度计算 4 提高弯曲强度的措施
梁弯曲时横截面上的正应力
横弯曲和纯弯曲102
平面弯曲时梁的横截面上有两 个内力分量：弯矩和剪力。
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N
3．桁架中杆的内力 只有轴力，拉力为正，压力为负。
N
第二节 内力
平面静定桁架的内力计算
4．桁架的特点及各部分的名称 同梁和刚架比较，桁架各杆只有轴力，截面上 的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用，具有重 量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种形式。
上弦杆 斜杆
竖杆
桁高
下弦杆
节间 l 跨度
第二节
10kN
20kN
1
A
2 2 1.5m
3 3
V1 10kN
B
M 1 10kN m V2 10 20 30kN M 2 10kN m
作法；理解三铰拱的受力特点、合理拱轴的概念；掌握截面的形心、
第一节
平面体系的几何组成分析
一、几何不可变体系、几何可变体系、几何瞬变体系
几何不变体系：体系受到任 意荷载作用后，在不考虑材 料变形的条件下，几何形状 和位置保持不变的体系。
几何可变体系：体系受到 任意荷载作用后，在不考 虑材料变形的条件下，几 何形状和位置可以改变的 体系。
Ⅱ
F 1
F
F
F
F
F
F/2
2 3
A
4
B
8 3m 24 m
Ⅱ
再取Ⅱ—Ⅱ截面左边为研究对象
F/2
F
F 1 N1
2 3
A
4
N4 N
F Y 0 ，N 4 4F F F 2 0 N 4 1.5F压
4F
第三节 梁的内力计算与内力图 一、静定梁的形式
静定梁分为单跨静定梁和多跨静定 梁
+
m
-
mVV来自m mdx (a) (b)
第三节 梁的内力计算与内力图 弯矩符号 使梁段的下部纤维受拉时为正，反之为负。
+
M
M
_
（受拉）
（受压）
第三节 梁的内力计算与内力图 【例2-7 】如图所示外伸梁，求1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。
F1=3kN F2=20kN
解： 1) 求支座反力
B 2 2 1.5m
P
N1
N2=P N2=N1 N3=0 P
(3)三杆结点无外力 作用且有两杆共线
第二节 内力
平面静定桁架的内力计算
2、截面法：研究对象是桁架的某一部分
【例2-6 】用截面法计算图示桁架1、2、3、4杆的内力。
F/2 F F 1 4
B
F
F
F
F
F
F/2
A
3 4F
8 3m 24 m
4F
解： 1) 求支座反力 2)求各杆内力
二、几何组成分析的目的
（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。 （2）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构 能承受荷载而维持平衡。 （3）区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下 必要的基础。
第一节
平面体系的几何组成分析
三、刚片、自由度和约束的概念 1、刚片 在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球或 体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平 面刚片。
多跨静定梁：由若干单跨梁用中间铰按照无多余约束的几 何不变体系组合规则组成的。
除一跨无铰外，其余各跨均有一铰
无铰跨与两铰跨交互排列 静定多跨梁由基本部分和附属部分组成 基本部分：能独立承受外载。附属部分：不能独立承受外载。
第三节 梁的内力计算与内力图
A B C D E F G G E C A B
H
C为截面形心（下同）
第三节 梁的内力计算与内力图
F1=3kN F2=20kN
1
A
1 1m 3m
B 2 2 1.5m
V2 RB 0 Y 0 ，
V2 RB 9kN mC Fi 0 ，
2m
3m
V2 B
RB 1.5 M 2 0 M 2 RB 1.5 13.5kN m
m
轴力N 的正负号规定为：
P Ⅰ
N
拉伸时，轴力N 为正； 压缩时，轴力N 为负。
第二节 内力
平面静定桁架的内力计算
二、静定平面桁架的内力计算 (一)概述 1．桁架 由直杆通过铰连接而成的结构
2．理想桁架假设
（1）各结点都是无摩擦的理想铰； （2）各杆轴线都是直线, 且通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上。
X 0 ，N
25
N12 0 ，N25 3P拉
第二节 内力 结点3：
F
3 N13 0 N35 N34
平面静定桁架的内力计算
N Y 0 ，
35
sin2 P cos 0 ,
5 N35 P压 2 X 0 ，N34 N13－Psin N 35 cos2 0,
第二章 静定结构内力分析
第二章 静定结构的内力计算 教学内容：﹡平面体系的几何组成分析
﹡内力
平面静定桁架的内力计算
﹡梁的内力计算与内力图 ﹡静定平面刚架的内力计算与内力图
﹡三铰拱的内力
﹡截面的几何性质
基本要求：掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，并能 熟练运用规则分析常见体系的几何组成；熟练掌握静定平面桁架内 力的计算方法，熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的 惯性矩的计算；熟练掌握惯性矩的平行移轴公式。
A
C
B
图a 图b
B
第一节 平面体系的几何组成分析 3、二元体规则 二元体： 是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。
在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几 何构造性质。
第一节
平面体系的几何组成分析
Ⅰ Ⅰ Ⅰ
Ⅱ 三杆既不完全平行， 也不完全交于一点。 (几何不变）
Ⅱ 三杆交于一实铰。 (几何可变） Ⅰ
第一节 平面体系的几何组成分析
瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移 后成为几何不变体系。
∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生 很大的内力，故几何瞬变 体系不能作为建筑结构使 用。
β
P
P
A
N
P
A A
N
β
只有几何不变 体系才能作为建筑 结构使用！！
发生微量位移 P
Δ是微量
N
N
第一节 平面体系的几何组成分析
内力
平面静定桁架的内力计算
5．桁架按几何组成分类 简单桁架、联合桁架、复杂桁架
简单桁架 ——由基 础或一个基本铰结 三角形开始，依此 增加二元体所组成 的桁架
第二节
内力
平面静定桁架的内力计算
联合桁架：由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的。
复杂桁架：不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。 复杂桁架不仅分析计算麻 烦，而且施工也不大方便。 工 程 上 较 少 使 用 。
能形成虚铰的是链杆 ( 2，3 )
第一节 平面体系的几何组成分析 三、无多余约束几何不变体系的组成规则 1、三刚片规则 三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联, 则组成无多余约束的几何不变体系。 A
C
B
第一节
平面体系的几何组成分析
2、两刚片规则 两刚片之间，用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆联结，或用一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
y
O
x
增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。 必要约束： 能减少体系自由度的约束。 多余约束： 不减少体系自由度的约束称为多余约束。
第一节
平面体系的几何组成分析
(2)单铰： 连接两个刚片的铰。 y
O
x
增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。 一个单铰相当于两根链杆。
第一节
平面体系的几何组成分析
Ⅱ 三杆交于一虚铰。 (几何瞬变） Ⅰ
Ⅱ 三杆平行等长。 (几何可变）
Ⅱ 三杆平行不等长。 (几何瞬变）
第一节
平面体系的几何组成分析
三个规则可归结为一个三角形法则。 A A C （a） C A A C （b） B
（ e）
B
B
C （ c）
B
（d）
B
第一节
平面体系的几何组成分析
【例题】试对图示体系作几何组成分析。
第一节
平面体系的几何组成分析
2、自由度 完全确定物体位置所需要的独立坐标数。
平面内一点 平面内一刚片
y
x A y O W=2 x
y x A
B
θ
y O W=3 x
第一节 平面体系的几何组成分析 3、约束（联系） 能减少自由度的装置或连接。 常见的约束 ： (1)链杆： 两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
有一个多余约束的几何不变体系 无多余约束的几何不变体系
第一节
平面体系的几何组成分析
无多余约束的几何不变体系
几何可变体系
第二节 一、内力
内力
平面静定桁架的内力计算
截面法求内力
内力：物体内部各质点间的相互作用力。 计算内力的方法：截面法
P Ⅰ
m
Ⅱ
P
当外力沿着杆件轴 线作用时，杆件截面上 只有一个与轴线重合的 内力分量，称为轴力， 用N 表示。
4m
2
第二节
F/2
内力
F
平面静定桁架的内力计算
F Ⅰ F 1
F
F
F
F
F/2
2 3
A
4
B Ⅰ
4F F/2 F