衍射线方向的确定
X射线衍射方向材料分析
X射线衍射⽅向材料分析第⼆章X射线衍射⽅向X射线照射晶体，电⼦受迫振动产⽣相⼲散射；同⼀原⼦内各电⼦散射波相互⼲涉形成原⼦散射波。
由于晶体内各原⼦呈周期排列，因此各原⼦散射波间也存在固定的位相关系⽽产⽣⼲涉作⽤，在某些⽅向上发⽣相长⼲涉，即形成了衍射波。
由此，可知衍射的本质是晶体中各原⼦相⼲散射波叠加（合成）的结果。
衍射波的两个基本特征—衍射线（束）在空间分布的⽅位（衍射⽅向）和强度，与晶体内原⼦分布规律（晶体结构）密切相关。
X射线衍射分析是以X射线在晶体中的衍射现象作为基础的。
衍射可归结为两⽅⾯的问题，即衍射⽅向及衍射强度。
布拉格⽅程是阐明衍射⽅向的基本理论，⽽倒易点阵与爱⽡尔德图解则是解决衍射⽅向的有⼒⼯具。
晶体⼏何结构是更为基础的知识，在讨论上述内容之前应该有所了解。
有关点阵、晶胞、晶系以及晶向指数、晶⾯指数等在某些课程中可能已涉及，为适应衍射分析的需要，⼤家课前应该有所准备，这⾥不在重复。
⼀、劳厄⽅程：波长为λ的⼀束X射线，以⼊射⾓α投射到晶体中原⼦间距为a的原⼦列上（图1）。
假设⼊射线和衍射线均为平⾯波，且晶胞中只有⼀个原⼦，原⼦的尺⼨忽略不计，原⼦中各电⼦产⽣的相⼲散射由原⼦中⼼点发出，那么由图1可知，相邻两原⼦的散射线光程差为：若各原⼦的散射波互相⼲涉加强，形成衍射，则光程差必须等于⼊射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。
⼊射X射线的⽅向S0确定后，则决定各级衍射⽅向α/⾓可由下式求得：由于只要α/⾓满⾜上式就能产⽣衍射，因此，衍射线将分布在以原⼦列为轴，以α/⾓为半顶⾓的⼀系列圆锥⾯上，每⼀个H值对应于⼀个圆锥。
在三维空间中，设⼊射X射线单位⽮量S0与三个晶轴a，b，c的交⾓分别为α，β，γ。
若产⽣衍射，则衍射⽅向的单位⽮量S 与三个晶轴的交⾓α/，β/，γ/必须满⾜：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴⽅向的晶体点阵常数。
X射线的衍射方向
44
(3) 衍射线方向与晶体结构的关系
将立方、四方及斜方晶系的面间距公式代入布拉 格方程，得出以下公式：
立方晶系：sin2θ=λ2/4a2 (h2+k2+l2) 四方晶系： sin2θ= λ2/4[(h2+k2)/ a2+l2/c2] 斜方晶系： sin2θ= λ2/4(h2/ a2+k2/b2+l2/c2) 由以上三个公式可看出： ①波长选定后，不同晶系或同一晶系而晶胞大小 不同的晶体，其衍射线束的方向不同。因此，研究衍 射线束的方向，可以确定晶胞的形状和大小; ②衍射线束的方向与原子在晶胞中的位置和原子 种类无关。
第4章 X射线的衍射方向
§4.1 X射线衍射的概念 §4.2 劳埃方程式 §4.3 布拉格方程式 §4.4 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
§4.1 X射线衍射的概念
光 栅 对 可 见 光 的 衍 射
2
X射线在晶体中的衍射
X 射线通过晶体时会发生衍射现象，形成衍射花样。
X射线在晶体中产生的衍射示意图
3
αh。h称为劳埃第一干涉指数， αh为衍射线束与原子列 或行列的夹角。
7
衍射条件： a0（ cosαh－ cosα0）= h
该式称为劳埃第一方程式，可求出散射加强的 方向αh。h称为劳埃第一干涉指数， αh衍射线束与 原子列或行列的夹角。
劳埃第一干涉指数可取 0，1， 2， 3等整数， 但不是无限的。
劳埃方程从理论上解决了X射线在晶 体中衍射的方向。
20
劳埃方程的缺陷： 用劳埃方程描述X射线被晶体衍射的现象
时，入射线、衍射线与晶轴的6个夹角不易确 定，三个劳埃方程在使用上也不方便，即从实 用的角度来说，该理论有简化的必要。
X射线衍射方向(4)Ewald图解—雨课堂课件
k'
k
k
因此，O'B是一衍射线方向。B点为(hkl)面的倒易点。
第二章 X射线衍射
三、埃瓦尔德(Ewald)图解
由此可见，当X射线沿O'O方向入射的情况下，所有能发生衍射的晶面， 其倒易点都应落在以O'为球心，以1/λ为半径的球面上，从球心O'指向倒易 点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍射线方向的作图法称爱瓦尔 德图解，它是解释各种衍射花样（包括电子衍射）的有力工具。
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单选题 1分
在下面的Ewald球中，(hkl)晶面衍射线方向是 ( )。 A AB B OB C O’B D O’O
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单选题 1分
若某立方系晶体的(111)、(220)、(311)、(222)面对应的倒易 点均落在爱瓦尔德球上。则这些面对应的衍射角(2θ)hkl大小 顺序为( )。
A (2θ)111 > (2θ)220 > (2θ)311 > (2θ)222
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The end
B (2θ)220 > (2θ)111 > (2θ)311 > (2θ)222 C (2θ)111< (2θ)220 < (2θ)222 < (2θ)311 D (2θ)111 < (2θ)220 < (2θ)311 < (2θ)222
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单选题 1分
立方系晶体的(111)、(220)、(311)、(222)面对应的倒易球半 径大小Rhkl大小顺序为( )。
4）连接爱瓦尔德球心与落在球 面上的倒易点方向，即为(hkl)晶 面衍射线方向。
第二章 X射线衍射
三、埃瓦尔德(Ewald)图解
思考： 如果是静置的单晶材料，某个(hkl)晶面的倒易点是否必然落到爱瓦尔
XRD衍射方向和强度
材料研究方法
x 射线衍射分析
特征X射线的波长
莫塞莱 (H. G. Moseley) 发现，特征 X 射线的波长与 原子序数 Z 的平方成反比关 系。
特征X射线的波长与管电 压无关，但其强度则与管电 压有关：
= I 标 K 3i (U − U K ) n
K3 均为常数。特征X射线的 UK 为临界激发电压，n、
二、布拉格方程的讨论
将衍射看成反射是布拉格方程的基础。但衍射是本质， 反射仅是为了使用方便的描述方式。 X射线只有在满足布拉格方程的θ角上才能发生反 射，亦称选择反射。 布拉格方程在解决衍射方向时是极其简单而明确的。 波长为λ的X射线，以角θ投射到晶体中间距为d的晶面 时，有可能在晶面的反射方向上产生反射（衍射）线， 其条件是相邻晶面的反射线的程差为波长的整数倍。但 是布拉格方程只是获得衍射的必要条件而非充分条件。 布拉格方程联系了晶面间距d、掠射角θ 、反射级 数n和X射线波长λ四个量。
1 1 1 − 2 )( Z − σ ) 2 n2 n1
λ
=
R(
强度：相对强度决定于电子在不同能级间的跃迁几率； 绝对强度随管电流和管电压的增大而增大。
= I 标 K 3i (U − U K ) n
用途：X射线衍射分析的主要光源；元素成分分析。
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40
材料研究方法
x 射线衍射分析
X射线滤波片
在X射线衍射分析中常常要采用单色X光，因Kα 的强度较高，故一般是选择 Kα 作光源。但在 X 射线 管发出的X射线中有Kα时，必定伴有Kβ和连续X射线。 这对衍射分析是不利的。必须设法把 Kβ 和连续 X 射 线除去或将其减弱到最小程度。通常是用滤波片来 实现这一目的。
x射线衍射原理
s0 、 s 及R*HKL构成等 腰三角形， s0 的终点 是倒易原点， s 的终点
是R*HKL的终点，即倒 易点， s0 与 s 夹角为 2，为衍射角。
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－ X射线衍射原理 第一节 衍射方向
厄瓦尔德图解步骤
具体步骤见书P.71。下图为某晶体(001)*倒易面 上倒易点与反射球相交截情形
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的各种问题，必须在 衍射现象与晶体结构之间建立关系。
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－ X射线衍射原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程
反射线光程差： ＝ ML +LN= 2dsin
干涉一致加强的条件为： ＝ n
得到了“选择反射”的结 果
3、产生衍射的极限条件：由布拉格方程可知，晶体中只有满足d> /2的晶面才产生衍射，所以产生的衍射线时有限的，利用此条件可判 断出现衍射线条的数目。
4、布拉格方程反映晶体结构中晶胞大小及形状，而对晶胞中原子的 品种和位置并未反映，d相同， 相同。
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－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度
根据汤姆逊的工作，一个电子对入射
强度为I0的偏振X射线（电场矢量E0只沿 一个固定方向振动）的散射强度Ie为：
Ie
I0
e4 R 2m 2c4
sin2φ
对于非偏振X射线，将其电场矢量E0分解为垂直的两束偏振光，如 图，E0x和E0z，且 I0 = E02 = E0x2 + E0z2。对于完全非偏振光有： E＝ E0z，所以E0x2 ＝ E0z2＝ E02 /2 ，即I0x=I0z= I0 /2。因而有：
第3节 X射线衍射原理
(a) 体心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
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Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40
1,1,0 (44.68,100.0)
b（cosβ2-cosα2）= Kλ 也可写成 a · （ S－S0）＝ Hλ b· （ S－S0）＝ Kλ
• 这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才是衍射方向。
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• 三维劳厄方程——考虑三维晶体的衍射方向 劳厄方程 • 只有同时满 足三个方程 的方向上才 会出现衍射 a（cosβ1-cosα1）= Hλ b（cosβ2-cosα2）= Kλ c（cosβ3-cosα3）= Lλ 也可写成 a · （S －S0）= Hλ b· （S －S0）= Kλ c· （S －S0）= Lλ • 三个方向直线 点阵的衍射圆 锥交成衍射线 S ，衍射方向 由衍射指标 hkl表征。
任选两相邻面，反射线光程差
δ＝ML+LN＝ 2dsinӨ 干涉一致加强的条件为： δ＝nλ 即 2dsinӨ ＝nλ （布拉格方程）
式中：n-任意正整数，称反射级数。
布拉格方程 的导出
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布拉格方程（ 2dsinӨ=nλ）的讨论
① 选择反射 • 衍射线的方向恰好是原子面 对入射线的反射，类似可见光镜 面反射的入射及反射束、反射 面法线均处于同一平面的特点。• 故借用镜面反射几何描述 X 射线 的衍射。
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•
衍射方向理论小结
材料现代分析技术-2X射线衍射方向
±1，±2共5个值。用Mo Kα 线（λ = 0.711Α） H 可取0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5共11个值。
劳埃第二方程
二维衍射 原子的二维排列称为原子网，可视为由一系 列周期为b的平行的原子列所组成。与一维衍 射时类同，这些原子列产生的衍射束要能加 强，也须满足以下条件：
x射线有强的穿透能力，在x射线作用下晶体的散射线来自若 干层原子面，除同一层原子面的散射线互相干涉外，各原子 面的散射线之间还要互相干涉。这里只讨论两相邻原子面的 散射波的干涉。过A点分别向入射线和反射线作垂线，则SA 之前和TA之后两束射线的光程相同，它们的光程差为：
d = QA′Q′ -PAP′=SA′+A′ T= 2dsinθ
首先作晶体的倒易点阵，O*为倒易原点。入射线沿OO*方向 入射，且令OO* =S0/λ=K0。 以0为球心，以1/λ为半径画 一 球 ， 称 反 射 球 。 若 球 面 与 倒 易 点 G 相 交 ， 连 OG 则 有 OGS0/λ =O*G，这里O*G为一倒易矢量。因OO* =OG=1/λ，故 △OO*G为等腰三角形，OG是一衍射线方向。由此可见，当x 射线沿OO*方向入射的情况下，所有能发生反射的晶面，其 倒易点都应落在以O为球心。以1/λ为半径的球面上，从球 心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍 射线方向的作图法称爱瓦尔德图解，它是解释各种衍射花样 的有力工具。
复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除占 据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。
复杂点阵单胞的散射波振幅应为单胞中各原子的散射振幅的 矢量合成。由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会加 强，而某些方向的强度将会减弱甚至消失。这种规律称为系 统消光。
X射线衍射图谱的分析
X射线衍射图谱的分析----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A 衍射峰的有无、位置B 衍射峰的强度C 衍射峰的峰形E 衍射测试实验条件选择F 其他相关知识----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A 衍射峰的有无、位置1、衍射方向取决于晶体的周期或晶胞的大小。
2、X射线入射到结晶物质上，产生衍射的充分必要条件是3、第一个公式确定了衍射方向。
在一定的实验条件下衍射方向取决于晶面间距d。
而d是晶胞参数的函数，；第二个公式示出衍射强度与结构因子F(hkl)的关系，衍射强度正比于F(hkl)模的平方，4、F(hkl)的数值取决于物质的结构，即晶胞中原子的种类、数目和排列方式，因此决定X射线衍射谱中衍射方向和衍射强度的一套d和I的数值是与一个确定的结构相对应的。
这就是说，任何一个物相都有一套d-I特征值，两种不同物相的结构稍有差异其衍射谱中的d和I将有区别。
这就是应用X射线衍射分析和鉴定物相的依据。
5、若某一种物质包含有多种物相时，每个物相产生的衍射将独立存在，互不相干。
该物质衍射实验的结果是各个单相衍射图谱的简单叠加。
因此应用X射线衍射可以对多种物相共存的体系进行全分析。
6、一种物相衍射谱中的(是衍射图谱中最强峰的强度值) 的数值取决于该物质的组成与结构，其中称为相对强度。
当两个样品的数值都对应相等时，这两个样品就是组成与结构相同的同一种物相。
X射线衍射方向
1、选择反射：X 射线在晶体中的衍射实质是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。
只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的发射，所以可以借用镜面发射规律来描述X 射线的衍射，即将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。
但衍射是本质，反射仅是为了使用方便的描述方式。
X 射线的晶面反射与可见光的镜画反射亦有所不同。
一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，但X 射线只有在满足布拉格方程的θ角上才能发生反射，是具有选择性的而非任意的，只有当d 、θ和λ满足布拉格方程时才能发生反射，。
因此，这种反射亦称选择反射。
一组面网只能在一定的角度上反射X 射线，级次越高，衍射角越大。
人们经常用“反射”这个术语来描述一些衍射问题，有时也把“衍射”和“反射”作为同义语混合使用，但其实质都是说明衍射问题；有两种几何学的关系必须牢记：①入射光束、反射面的法线和衍射光束一定共面；②衍射光束与透射光束之间的夹角等于2θ，这个角称为衍射角。
例1： Al ,面心立方,已知a=0.405nm用nm CuK 15416.0=α线照射,问(111)面网组能产生几条衍射线。
解: nm d 234.03405.0==04.315418.0234.02=⨯≤n n=1,2,3 能产生三条衍射线n=1 329.021sin 1==d λθ,12191︒=θ’n=2 659.022sin 2==d λθ，13412︒=θ’ n=3 988.023sin 3==dλθ,07813︒=θ’ 例2、Lu 2O 3，立方晶系，已知a=1.0390 nm 用nm CoK 17980.01=α线照射,问(400)面网组能产生几条衍射线。
解：2598.04039.1==d 89.21798.02598.02=⨯≤n 2,1=n2、反射级数：公式中的n称为反射级数。
由相邻两个平行晶面反射出的X射线束，其波程差用波长去量度所得的整份数在数值上就等于n。
在使用布喇格方程时，并不直接赋予n 以1、2、3等数值，而是采用另一种方式。
05-X射线衍射分析原理
布拉格方程是X射线在晶体中衍射必须满
足的基本条件。它反映了衍射线的方向（用θ表 示）与晶体结构（用d代表）之间的关系。可通 过θ的测定，在λ已知的情况下，解出d。或者d已 ）选择反射 X射线从原子面的反射与可见光的镜面反射 不同，前者是有选择的反射，其选择条件为布拉格 定律；而一束可见光以任意角度投射到镜面上时都 可以产生反射，即反射不受条件限制。 因此，X射线的晶面反射称为选择反射。
衍射方向决定于：
晶胞大小、形状及位向等因素。 衍射强度决定于： 晶胞中的原子种类、数量及其具体分布排列。 X射线的衍射方向描述方法：
劳埃方程、布拉格方程和衍射矢量方程。
二、布拉格方程式(Bragg) 晶体对X射线的衍射在形式上可看成是在 特定条件下晶体的面网对X射线的“反射”。 将衍射成反射，是导出布拉格方程的基 础。1912年，由英国物理学家布拉格提出。
C
O
1/λ
O*
可将上述描述拓宽至三维空间，假设存在 一个半径为1/λ的球面，令X射线沿球面的直径 方向入射，则球面上所有点均满足布拉格条件， 该球被命名为反射球。
该法由厄瓦尔德提出，故称为厄瓦尔德球， 该作图方法被称为厄瓦尔德图解。
四、劳埃方程式(Laue)
1、一维原子列对X射线的衍射 一维原子列的衍射线可看成一个行列对 X射线的衍射。如下图，点阵周期为a0
满足劳埃第一方程式，即可产生衍射， 衍射线与行列成αh角，即与行列夹角为αh的 方向都可产生衍射，因此衍射线的分布是 以原子列为轴、以αh为半径角的圆锥母线。
h每等于一个整数值(0,1, 2……)，即形成一 个圆锥状衍射面。 因此一维原子列对X射线的的衍射为一套 圆锥。
如果用单色X射线垂直照射原子列 (α0=90)时： a0 cosα h = h， cosα h = h / a0
04 第三章 X射线衍射原理-衍射方向
3.3.2 布拉格方程
布拉格公式的推导
首先讨论一个 晶面的衍射： P
Q
P' Q'
q
q'
A
B
1 d(h k l) 2 d(h k l) 3
入射线在波阵面PQ处位相相同，它射向晶面1时，被原子散 射。如果原子A,B的散射线在波阵面P′Q′处是同位相的话， 便产生相干加强，形成衍射光束。 这要求：
PA AP QB BQ
材料分析测试技术
Materials Characterization
湘潭大学 材料科学与工程学院
第三章 X射线衍射分析原理
1. 概述
2. X射线物理学基础 3. X射线衍射方向 4. X射线衍射强度
2015/10/22
2
3.3 X射线的衍射方向
3.3.1 劳埃方程 3.3.2 布拉格方程 3.3.3 布拉格方程的讨论 3.3.4 衍射矢量方程 3.3.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解 3.3.6 常见的衍射方法
cos 2 a cos 2 cos 2 1
四个方程解三个 未知数？
用单色X射线照射不 动的单晶体，一般 不能获得衍射！
必须增加一个变量： 1. 利用连续X射线，使波长为变量，晶体固定不动－劳埃法； 2. 利用单色的X射线，单晶体围绕某一主要晶轴转动，周转晶 体法。
2015/10/22
3.3.1 劳埃方程
Laue方程的讨论
测量时若晶体不动: a0,0,0一定; 用单色光: l一定;
a cos a cos a 0 H l b cos cos 0 K l c cos cos 0 Ll
对于特定的晶体和特定的方向: a,b,c,H,K,L一定. Laue 方程中只有 a ,, 是变量 , 又由于 a ,, 不是独立的变量 , 因此 一般得不到衍射图(三个变量四个方程)。
02 X射线的方向和强度
ra x Ia <ZIe
即电子波合成有所损耗 定义
Aa Ia 1 2 f＝ ＝（ ） Ae Ie
即为原子对X射线散射 大小atomic scattering factor，称散射因子
i
-i
i 2
＝ Ae i Ae -i＝A 2
• 晶胞中N个原子1，2，3……的坐标为u1v1w1， u2v2w2，u3v3w3…… unvnwn • 散射因子为f1，f2，f3……位相差：φ1 ，φ 2，φ3 ……φn • 合成振幅 n
i1 i2 in A b＝A （ f e + f e +......+ f e ）＝A e f je e 1 2 n j＝1
e
0 0
温度因子＝
加热振动IT f ＝e－2m或 ＝e－m 静止振动I f0
6n 2 ( x) 1 sin 2 m＝ [ ] 2 m a k x 4
( x)德拜函数 查表
x＝/T －特征温度平均值
粉末法的衍射线强度
3 e2 2 V 2 －2M I＝I0 （ ） P F （ ） A （ ） e 32 R mc2 Vc2 R为观察试样距离， Vc－晶胞体积 V被照射体积
＝f[1 eLeabharlann i（h+k）]
h，k同性数（都是奇数或者偶数）时：F＝2f F2＝4f2 h，k异性数（一个奇数一个偶数）时：F＝0 消光
3）体心立方
F＝fe
2 i（0）
fe
h k l 2 i（ + + ） 2 2 2
衍射花样的标定步骤及技巧
1. 一般的物质衍射花样都是已知的物质，顶多也就是已知的几种里面的一个。
所以在确定哪几个物种之后，去找一下相关物质的PDF卡片，网上有一个软件PCPDFWIN，可以方便查讯电子版的PDF卡。
2. 找到了相应的PDF卡，那么就是要测量衍射花样了。
衍射花样的拍摄要严格按照操作规程来，尤其要注意在拍摄时样品聚焦尽量准确。
另外，无论底片拍摄还是CCD拍摄，一定要保证用标准样品做了校正。
3. 接下来就是测量衍射点对应的d值。
对于底片来说就是测量衍射点到中心透射斑的实际距离R，然后根据d = （L×电子波长）/R，其中L是相机常数，底片上写着，单位是cm，电子波长一般的电镜书上都有，200 kV电镜是0.00251 nm。
代入计算即可得到相应的d值。
选取两个相邻且最靠近中心斑点的衍射点，二衍射斑点以夹角接近或者等于90度为好。
选取测量d值之后，二者同中心斑点连线的夹角也要测量一下。
对于CCD相机拍摄的衍射花样，对应的都有标尺，d值测量就是量取衍射点到透射斑的距离后取倒数即可。
角度测量可以通过量取衍射点到中心斑连线对应control对话框的R值（角度），二者相减即得。
4. 将计算的d值和PDF卡相对应，看最接近哪个面的数值。
这个测量会有一定的误差，有相近值时，需要通过夹角来确定。
方法是，选取两个比较可能的面，然后代入相应晶系对应的公式，计算夹角，如果和测量值很接近，就算是找对了。
Ustb版主说过，计算值和测量值应该相差很小，0.1-0.2度的范围。
至于计算两个面夹角的公式，可以去找郭可信先生写的那本《电子衍射图在晶体学中的应用》，Page104-105上有具体的公式，其中的hkl值都是你要计算的面对应的值，abc是你确定晶相的晶胞参数，PDF卡上都有，r1*r2*分别指的是两个面的d值倒数。
5. 确定了两个方向的衍射点，那么接下来就是确定投射方向，也就是面的法线方向是什么带轴，这个querida朋友已经写了，我这里引用一下：“FFT后的一个斑点对应这正空间一族晶面，这一族晶面和这个斑点的矢量方向垂直，当一张图片上任意不在同一直线上的2个斑点知道后，那么入射电子束也就是带轴的方向就知道了，具体可用h1 | k1 l1 h1 k1 | l1h2 | k2 l2 h2 k2 | l2u v wu=k1l2-l1k2v=l1h2-h1l2w=h1k2-k1h2你可以适当化简达到互质的3个数。
晶体衍射原理
(4) 如需具体数学计算，仍要使用Bragg方程。
练习Exercise
•1) 试解释Bragg 方程。
explain the physical meaning of Bragg’s law
2 H
1/ C S0/
O
Sphere of reflection
Direction of direct beam
极限球
Limiting sphere
增大晶体产生衍射机率的方法
(3)改变波长， 使 Ewald球的数量增加， 球壁增厚（Laue法）
1/ C
hkl S/
S0/
O
增大晶体产生衍射机率的方法
而衍射则是一定厚度内
许多间距相同晶面共同
作用的结果。
1
2
A
C
B
1’ hkl
2’ dhkl
(2)入射线波长与面间距关系
sin /d1
2
所以要产生衍射，必须有
d > /2
这规定了X衍射分析的下限：
对于一定波长的X射线而言，晶体中能产生衍射 的晶面数是有限的。
对于一定晶体而言，在不同波长的X射线下，能 产生衍射的晶面数是不同的。
•2) 试简述X射线照射到固体物质上所产生 的物理信息。
explain the physical information occurring in solid struck by X-ray
• 3) 试解释下列术语：白色X射线；特征X 射线；段波限； Ewald 球；衍射矢量； 倒易球。
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如图AS、BT为A、B两个原子为中 心所产生的衍射方向，在S、T处 为同相，AS、BT与点阵轴呈α角， 这时它们的程差应满足： δ=AD-BC=Hλ
式中H为整数（0，±1，±2……），即衍射级数 AD=acosα，BC=acosα0 δ=acosα-acosα0=a(cosα-cosα0)=Hλ
a(cos cos0 ) H
因此当掠射角α0一定时，在适合于下列 条件的方向，都可以找到衍射线束：
cos
cos0
H
a
衍射线的轨迹系在一个以点阵轴为轴，
ω≠0
r1
r2
r3
ω=0
R
当λ及α0一定时，衍射线级数有一定限制。因为cosα的绝对值不能大于1。Hλ/a 为最大的条件是cosa0＝-1（a0＝180°）及cosa＝1（a＝0°），这时Hλ/a=2。如果 λ/a＞2，则不可能有衍射线产生（除去H为0，a＝a0的情况，这时衍射线实际上是 入射线的继续）。倘使希望能发生衍射现象，则λ/a必须小于或等2 。下面举一个例
一系列不同α作为其半圆锥角。 当单色的X射线由与点阵轴(即衍射圆锥
的轴)垂直的方向射入，照相底片放在原子
列的后面和点阵轴平行时，由图可取看出，
其衍射花样为一系列双曲线(包括若干对双 曲线)，即一系列衍射线圆锥和底片所成的
交线；如果照相底片和点阵轴垂直，则衍 射花样为一系列的同心圆。
式中的H必须为整数，否则将不会得到衍射线条(衍射线强度为0)，可以证明如
X射线受二维点阵（原子平面，原子网）衍射的条件
如图所示，X及Y为二维点阵的两个晶轴，两者之间的夹角为γ，点阵常数为a 及b。入射的X射线自任何方向射入，与此二维点阵相遇，与X轴成a0角，与Y轴 成β0角。依上节所述加以推衍，由于X及Y两个原于列所发生的H级及K级衍射线 的轨迹分别是两个圆锥面，它们和X及Y轴分别成a及β角，当a+β＞Y时，这两个 圆锥面相交于两个直线方向（衍射方向）。此时可以用下式表示二维点阵的衍射 条件：
晶体衍射的几何理论
在实验上观测到晶体的衍射花样之后，劳厄就面临着理论解释的问题。实 际所要求的就是将物理光学中的一维光栅理论公式推广到三维。在这方面劳 厄可算是驾轻就熟。他的博士论文是普朗克指导的，题目就是“平行平板干 涉现象的理论”，前两年又应索末非之邀，为《数理百科全书》第五卷撰写 了一篇“波动力学”的专论，其中包括将一维光栅的理论推广到二维光栅， 而现在面临的问题就是将二维光栅的衍射推广到三维。这样，就得到描述晶 体X射线衍射的劳厄方程。
子看看，当λ、a0及a为已知值时，究竟有多少级的衍射线条能够发生。 如果入射的X射是单色的，其波长为1.54Å（Cu-Kα辐射），原子列的点阵常数
a=5Å，入射X射线与原子列的夹角为α=90°，则衍射线与原子列的夹角α为：
cos
H
a
cos0
H
1.54 5
0.308H
因为|cosα| ≤1，所以H可以等于0，±1，±2及±3
以α角为半圆锥角的圆锥面上。同样，满 足此式的入射X射线可以由任何方向与点 阵相遇，只要其夹角等于α0可，这时入射 线的轨迹是在以点阵轴为轴，取α0为半圆 锥角的圆锥面上，而0级衍射线系在一个
共顶相对的同样圆锥面上。适合上式条件
的其他衍射线轨迹圆锥面都和入射线轨迹
圆锥共轴线及顶点，但以符合上式要求的
平行于原射线波前的公切线称为0极衍射线束的波前，顺次相差一个波长的球 面波前的公切线形成1极级衍射束波前.以此类推，可以得到2级、3级、4级……以 及-1、-2、-3、-4、……等级衍射线束的波前及其他传播方向。
劳厄方程的推导
X射线受一维点阵（原子列）衍射的条件 一列等距离排列的原子可以构成一个一一束X射线照射到晶体上时，被组成晶体的原子的电子所散射，电子的
散射波可近似地看作由原子中心发出。在入射X射线的照射下，可以把晶体中 的每个原子看成是一个新的散射源，它们都向空间辐射出与入射波同频率的 电磁波。由于这些散射波的相干作用，使得空间某些方向上的波始终保持互 相叠加，在这些方向上可以观察到强的衍射线条；而在另一些方向上由于始 终保持相互抵消，在这些方向不能观察到衍射线。
当H=1时，cosα=0.308，α=72.06° 当H=-1时，cosα= -0.308，α=107.94°
当H=2时，cosα=0.616，α=51.98° 当H=-2时，cosα= -0.616，α=128.02°
当H=3时，cosα=0.921，α=22.5° 当H=-3时，cosα= -0.921，α=157.07°
下：
如果由相邻两个原子1、2为中心所产生散射线的程差δ1-2，不是λ的整数倍，而 是： a(cosα-cosα0)＝(H+ω)λ 其中的值为1＞ω＞0，那么由这些散射波所引的相差为：
1-2＝2π(H+ω）＝2πH+2πω=2πω 对于由1原子和3原子为中心所产生散射线的程差δ1-3为δ1-2的两倍，其相应的相差也 是两倍，即： 1-3=4πω
因此，X射线在晶体中的衍射现象的实质是大量原子散射波相互干 涉的结果。
如图表示当X射线束与一列等距离排列的质点相遇时，其相互平行的波前将在 每一个质点处产生一系列球面散射波，它们都和原X射线具有同样的波长和频率。 如果沿着这些球面波前作公切线，则这些公切线的法线方向即为散射波相互加强的 方向，这样就产生了衍射。
依同理推衍，
1-n=2(n-1)πω 一般点阵中原子数目极多，团此，纵然
ω极小，但只要它不等于零，出图可见看出， 共振幅的合成矢量R的长度与每一个单独振 幅矢量r的长度仍在同一数量级，如果这个 原子列上有一万个原子，而ω为零时，则R 的长度将为r长度的一万倍，因此可以认为 只有当H为整数时方能发生衍射。