八年级专题培优讲义： 等腰三角形的性质的综合运用
等腰三角形的性质及应用讲义
初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用等腰三角形的性质：性质1▲等腰三角形的两个底角相等。
（简写成: 等边对等角. ）性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。
（简写成:等腰三角形的“三线合一”）性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．用几何符号语言表达：性质1性质2注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ）等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm3.若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C （等边对等角）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”）∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠CBD的度数．【例2】在ABC∆中，AB AC=，BC BD ED EA===．求A∠的度数．【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．【例4】如图所示，已知ABC∆中，D、E为BC边上的点，且AD AE=，BD EC=，求证：AB AC=．AB CD E例题精讲【例5】ABC ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ． 求证：EG EC =．1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数．2. 如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=，DE 垂直平分AC ，求BCD ∠的度数.3. 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE 。
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
人教版八年级数学上册 等腰三角形的性质 讲义
等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
13.3等腰三角形培优讲义华东师大版数学八年级上册
华师培优第10课等腰三角形知识点一、等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称：三线合一）。
【例1】一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（）A．13，10，10B．13，10，12C．13，12，12D．13，10，11【变式】在等腰ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11 D．7或10【例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1=∠2，CD=BE．CD 与BE相交于点O．求证：（1）AB=AC；（2）OB=OC．【变式】（1）如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC 于E，求证：△DBE是等腰三角形．（2）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD.知识点二、等腰三角形的判定判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【例3】已知：如图，BE 和CF 是ABC 的高线，BE=CF ，H 是CF 、BE 的交点． 求证：HB=HC【例4】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.【变式】（1）如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD ．（2）已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD=AC 。
人教版数学八年级上册教研专题讲义： 等腰三角形的一条重要性质及应用
人教版数学八年级上册等腰三角形的一条重要性质及其应用等腰三角形是一种特殊的三角形，独特的性质是其特殊性的明显变现.下面的这条性质就是一个重要佐证.性质：平行于等腰三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等腰三角形. 推论：平行于等边三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等边三角形. 下面给出性质的证明：已知：如图1，△ABC中，AB=AC，DE∥AB，交AC边于点D，交BC边于点E.求证：△DEC是等腰三角形.分析：只要证明三角形中有两条边相等即可.证明:因为AB=AC，所以∠B=∠C.因为DE∥AB，所以∠B=∠DEC，所以∠DEC=∠C，所以DE=DC，所以△DEC是等腰三角形.当截延长线时，如图2，请你自己给出证明吧.比较容易的.推论的证明在这里不详细给出了.下面我们重要的是谈谈性质在解题中的应用.注意，构造平行线将是应用的主要辅助线.1.证明线段的相等例1 已知：如图3，△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，点F是底边BC上一点，DF 的延长线于AC的延长线交于点E，若DF=EF.求证：BD=CE.分析：△ABC是等腰三角形，根据性质，我们有两种构造辅助线的方法：一是过点F作平行线，一是过点D作平行线，通过与已知条件的对接，发现方式1效果不明显，于是我们采用第二种方式，这样再利用三角形的全等，我们就可以顺利实现目标.证明：过点D作 DG∥AC，交BC于点G，因为AB=AC，所以∠B=∠ACB.因为DG∥AB，所以∠ACB=∠DGB，所以∠DGB=∠B，所以DB=DG.因为DG∥AB，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=DB，所以DB=CE.例2 已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=AD，所以AD=CE.当平行线截三角形的两边延长线时，可以得到如下证明方法：证明：作E G∥AB交AC的延长线于G，如图5所示：则∠A=∠G，∠ACB=∠ECG，因为△ABC 是等边三角形，所以△ECG是等边三角形，所以EG=CE.因为EG∥AB，所以∠G=∠A，∠ADF=∠GEF，在△ADF和△GEF中因为G AGEF ADFEF DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADF≌△GEF，所以GE=AD，因为GE=CE，所以AD=CE.当我们学习了三角形的中位线定理后，还可以用如下的方法：证明：作E G∥AC交BA的延长线于G，如图6所示：则∠G=∠BAC，∠BEG=∠BCA，因为△ABC 是等边三角形，所以△BEG是等边三角形，所以BG=BE，所以BE-BC=BG-BC=BG-BA，所以CE=AG. 因为EG∥AC，DF=EF,所以AD=AG，因为AG=CE，所以AD=CE.此题也给我们还多的启示：保持其它条件不变，两组相等的线段互换一下，鄂伦当条件，条件当结论，能成立吗？不妨试一下：变式题：已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，AD=CE．求证：EF=FD．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，得出GD=CE，再证明△DFG≌△EFC，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为AD=CE，所以GD=CE.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDG CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以DF=EF.你还有更好的变式题吗？想一想.2.证明三角形全等，判定三角形的形状例3 已知，如图7，点D在等边三角形ABC的边AB上，将线段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，延长ED交AC于点F.（1）连接AE,CD，求证：△ADE≌△DFC；（2）作EH∥DC交AB于G点,交BC于点H，判定△AEH的形状．分析：旋转60°，就是说∠EDG=∠ADF=∠B=60°，从而得到EF∥BC，可以利用性质了. 证明：（1）因为段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，△ABC是等边三角形，所以∠EDG=∠ADF=∠B=60°，所以EF∥BC，所以△ADF是等边三角形，所以AD=DF.所以AB-AD=AC-AF，所以DB=CF，所以DE=CF.因为∠ADF=∠AFD=60°，所以∠ADE=∠DFC=120°.在△ADE和△DFC中因为AD DFADE DFCDE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△DFC.(2) △AEH是等边三角形.理由可能要用到平行四边形的性质，可以先试着理解.因为EF∥BC，EH∥DC，所以四边形EHCD是平行四边形，所以EH=CD，∠DEH=∠DCH.所以EH=AE, ∠AEH=∠AED+∠DEH=∠DCH+∠DCF=∠ACB=60°，所以△AEH是等边三角形.3.求三角形的周长例4 已知，如图8，△ABC中，BD平分∠ABC，且BD⊥AC，DE∥BC与AB交于点，BC=5,AC=4.求△ADE的周长.分析：条件：BD平分∠ABC，且BD⊥AC，可以断定三角形ABC是等腰三角形，结合条件DE∥BC可以判定三角形AED是等腰三角形，BED是等腰三角形，这样问题就解决了.解：因为BD平分∠ABC，且BD⊥AC，所以AB=BC，AD=CD.因为DE∥BC，所以AE=ED=EB，所以△ADE的周长为：AE+ED+AD=AE+EB=AD=AB+AD=BC+AD=BC+12AC=5+2=7.通过应用足以见证性质的重要性，请同学们要努力学习并熟练掌握.。
八年级数学培优竞赛专题17 等腰三角形的判定
专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．ABCMD EEA BDCF能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）BCA D图2B CA D图1O ADBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BCAD7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）B ACDBACBCABCADFG E12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′ABC(第1题)(第2题)ABD E CENMBD5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=12DC=12DE，则∠D=（）A．300 B．450 C．600 D．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6C．A7D．A87．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，P A=3，PC=4，则PB的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=P A+PB+PC．（湖州市中考试题）8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．（全国初中数学联赛试题）AB P QCABPACBB′图1 图2AB D CEF PQS(第4题) A BCED第5题AA1NMA2A3(第6题)9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）11．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：12y x m =-+与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10．⑴求直线l 的解析式；⑵求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．（宁波市江东区模拟题）ABD CFE12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3八年级数学培优竞赛专题。
专题训练(三) 等腰三角形的性质和判定的综合
解：(1)PD＝PE.连接 CP，则 CP⊥AB，CP 平分∠ACB，∴∠BPC＝90°， ∠PCD＝∠PCB＝∠B＝45°，∴PC＝PB，又∠DPE＝90°，易证∠DPC ＝∠EPB，∴△PCD≌△PBE(ASA)，∴PD＝PE (2)能，当点 E 在 CB 上 时，分三种情况：①若 PB＝PE，则∠PEB＝∠ABC＝45°，此时，∠BPE ＝90°，点 D 与点 A 重合，点 E 与点 C 重合；②若 PE＝BE，则∠EPB 1 ＝∠ABC＝45°，∠PEB＝90°；③若 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE＝ × 2 (180°－∠ABC)＝67.5°；当点 E 在 CB 的延长线上时，∠PBE＝135°， 是钝角，只能做顶角，故只有一种情况，即 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE 1 ＝ ×(180°－135°)＝22.5°.综上可知，∠PEB 为 45°，90°，67.5°， 2 22.5°时，△PBE 能构成等腰三角形
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放 在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交 射线AC，CB于点D，E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察图①，②，③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为 例，加以说明； (2)△PBE是否能构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请 说明理由．
解：(1)∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∴BD ＝CD， 又∠BDF＝∠CDA＝90°， BE⊥AC， ∴∠DBF＋∠A＝∠ACD ＋∠ A＝ 90 ° ，∴∠ DBF ＝∠ ACD ， ∴△ BDF ≌△ CDA(ASA) ， ∴ BF ＝AC (2)∵在△ABC 中，BE⊥AC，BE 平分∠ABC，∴∠BCE＝∠ 1 1 BAE，∴BA＝BC，∴CE＝ AC，又 AC＝BF，∴CE＝ BF (3)BG＞ 2 2 CE.证明：连接 CG，∵BD＝CD，H 为 BC 的中点，∴DH⊥BC，即 DH 为 BC 的垂直平分线，∴BG＝CG.在 Rt△CEG 中，CG＞CE，∴ BG＞CE
13.3.1 等腰三角形综合运用(等腰三角形性质典型例题)教案 人教版八年级数学上册
13.3.1 等腰三角形综合运用（等腰三角形性质典型例题）教案人教版八年级数学上册教学目标：1.通过典型例题讲解学习，充分掌握运用等腰三角形的性质，灵活运用知识点。
2.掌握了解分类讨论的解题思想，在运用中还要进行适当的检验。
利用三角形内角和180°，三角形三边关系来检验。
3.通过学习激发学生的求知欲，在解决过程中的到成就感，增强学生对数学的学习兴趣。
教学重点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。
教学难点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。
灵活的运用。
教具：多媒体一体机，PPT演示文稿。
教学过程：一、复习引入：等腰三角形的边和角分别分为哪两类？边：腰、底边角：顶角、底角本节课讲解一些典型例题二、PPT 展示例题1例1.等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长。
问：已知边长是底边还是腰？不确定的话，我们应该怎么做？对已知条件进行分类讨论并且要检验。
问：当等腰三角形腰为12cm时，怎么求另外两边长？当等腰三角形底边为12cm时，怎么求另外两边长？学生思考讨论。
师生一起解题。
解：当腰长为12 cm时，设底边长为xcm，由题意得：x＋2×12＝50x＝26.此时三边分别是12、12、26，不符合三角形三边关系，故舍去。
当底边长为12 cm时，设腰长为ycm，由题意得：2y＋12＝50y＝19∴该三角形另外两边长分别19cm,19cm.三、课堂小结通过这道题学到哪些知识？如果边换成角，又该怎么去分类讨论和检验？四、课后练习1.已知等腰三角形两边分别为4,8，则该等腰三角形的周长为2.已知等腰三角形的一个外角是40°，则该等腰三角形另外两个角的度数为。
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC 的周长是.4.已知等腰三角形周长为40，一边长为10，则该三角形另外两边分别是答案解析：1. 20 2.20°，20° 3.20 4.15，15五：板书设计等腰三角形：边：腰、底边角：顶角、底角分类讨论并检验。
人教版 八年级数学讲义 等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)
第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
八年级数学上册《等腰三角形的性质和判定》讲义
等腰三角形的性质和判定知识点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ .知识点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.1802A ︒-∠类型一、等腰三角形的性质1. 已知：如图，AD 、BE 相交于点C ，AB AC =，EC ED =，M 、F 、G 分别是AE 、BC 、CD 的中点．求证：（1）2AE M F =；（2）MF MG =．类型二、等腰三角形的判定2. 已知：ABC ∆是等边三角形，点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD CE =，BE 与CD 交于点F ．若BFD ∆是等腰三角形，求FBD ∠的度数．类型三、等腰三角形的构造方法知识点① 依据平行线构造等腰三角形3.若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D 在AB 边上，CD CB =，则ABC ∆和ACD ∆就是友好三角形．（1）两个友好三角形 全等．（从下面选择一个正确的填入）A ．一定B ．不一定C ．一定不（2）如图2，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AB 上，点E 在AC 延长线上，连接DE 交BC 于其中BD BF ≠，若BDF ∆和CEF ∆是友好三角形，求证：DF EF =．知识点② 依据“三线合一”构造等腰三角形4. 如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，且AB BD DC +=，那么C ∠= 20 度．5.已知：如图，在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．知识点③ 依据倍角关系构造等腰三角形6.在ABC ∆中，2B C ∠=∠，则AC 与2AB 之间的大小关系是( )A ．2AC AB >B ．2AC AB = C ．2AC ABD ．2AC AB <举一反三：【变式1】如图，在ABC ∆中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ABC=2∠C ，求证：AB+BD=AC【复习巩固】1．下列命题中正确的是( )A ．有两条边分别相等的两个等腰三角形全等B ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C ．有两条边分别相等的两个直角三角形全等D ．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 做//DE BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若ADE ∆的周长为18，则AB 的长是( )A ．8B ．9C ．10D ．123．如图，ABC ∆的面积为28cm ，AP 垂直B ∠的平分线BP 于P ，则PBC ∆的面积为( )A ．23cmB ．24cmC ．25cmD ．26cm 4．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC BC BD ==，AD AE =，DE CE =，则B ∠的度数为 度．5．一个等腰三角形的三边长分别为x ，23x -，46x -，求这个三角形的周长．6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，且BE=CF ，EF 交BC 于点N ，EM⊥BC于点M，求证：MN=BM+CN.。
人教版八年级数学上册 第13章 等腰三角形的性质和判定 专题复习讲义
等腰三角形考点与实例分析讲点1等腰三角形的性质与判定【例1】如图，△在ABC,AC=BC,∠BAC=50°,延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE求∠D，∠E的度数.题意分析：等腰三角形“等边对等角”，由此求角度。
解答过程：解题后的思考：【练1.1】如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A.70°B.110°C.140°D.150°【练 1.2】如图已知等腰△A BC的周长为34cm，AD是底边上的高，△A BD的周长为24cm，则AD的长为().A.12cmB.10cmC.8cmD.7cm【例2】如图已知CE是△ABC的角平分线，D为BC上一点，AD交CE于F，若∠BAC=∠ADC=90°，求证：AE=AF.题意分析利用角平分线及垂直得到角相等，推出等腰三角形，对于等腰三角形的性质定理和判定定理，两者的条件和结论正好相反。
解答过程：解题后的思考：【练1.3】在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF平行AD，交AC于E，交BA的延长线F，求证：△AEF为等腰三角形.讲点2等腰三角形分类讨论问题【例3】等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角等于50°，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为a，则a的度数为______。
题意分析三角形形状不确定时，需要分类讨论.解答过程：解题后的思考：【练2.1】（1）等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为。
（2）等腰三角形两边的长分别为4和9，则其周长为。
【练2.2】已知等腰三角形两边之差为7cm，这两边之和为17cm，求等腰三角形的周长。
讲点3等腰三角形中“三线合一”【例4】如图，△ABC中，已知AB=AC，BD=DC，则∠ADB=______.（2013，江汉区期中）题意分析：在解决有关等腰三角形的问题时，一般可以坐三种辅助线：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线，从而可以运用“三线合一”。
专题等腰三角形的性质与运用（三）
专题 等腰三角形的性质与运用（三）教学目标： 知识与技能：（1） 能从矩形、菱形、正方形、等腰梯形等图形中分解出等腰三角形，并运用等腰三角形的性质解决相关问题； （2） 建立等腰三角形与图形的旋转之间的联系，能从旋转的角度看含有两个等腰三角形的组合图形。
过程与方法：通过对图形的拆分，认识图形结构，建立图形间的有效关系，初步找到解决问题的通法。
情感态度与价值观：经历从简单到复杂的过程，发展学生思维的全面性和深刻性。
教学重难点：建立等腰三角形与特殊四边形及图形的旋转之间的联系，通过对图形的拆分认识图形结构，建立图形间的有效关系，解决较复杂的问题。
教学过程：引入：（设疑）上节课介绍了一些特有的图形关系中隐含的等腰三角形，一旦识别出其中的等腰三角形，则应用相关的性质可解决问题。
除上述图形关系可形成等腰三角形，圆中存在等腰三角形，还有哪些图形中隐含着等腰三角形？引例：如图1，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE =15°。
解读矩形ABCD 的隐含信息。
例1.如图1-1,菱形ABCD,E 、F 分别为BC 、CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF 的度数． 分析：由菱形定义知，菱形中隐含了4个等腰三角形，结合已知∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形。
又∠EAF=60°，可证△ABE ≌△ACF,故△AEF 也是等边三角形，问题得以解决。
解：如图1-2，连结AC. ∵ 在菱形ABCD 中, ∴ AB=BC,AB //CD. ∵ ∠B=60°, ∴ ∠BCD=120°. ∴ △ABC 为等边三角形. ∴ ∠1=∠BAC=60°,AB=AC. ∴ ∠2=60°. ∴ ∠B=∠2. ∵ ∠EAF=60°,∴ ∠3=∠4.∵ 在△ABE 和△ACF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠34AC,AB 2B ∴ △ABE ≌△ACF.B图1图1-1C图1-2∴ AE=AF. ∴ △AEF 是等边三角形. ∴ ∠5=60°.∵ ∠AEC=∠B+∠4, ∴∠CEF=∠BAE=20°.点拨：矩形、菱形、正方形、等腰梯形等图形也都是轴对称图形，从这些图形中都可以分解出等腰三角形，进而应用等腰三角形的性质解决问题。
人教版八年级上册13.3等腰三角形的综合运用(教案)
-等腰三角形底角和顶角的计算：掌握底角和顶角的计算方法，能够根据已知条件求解未知角度。
-实际问题中的应用：将等腰三角形的性质应用于解决实际问题，如计算等腰三角形在建筑、艺术等领域的应用问题。
举例解释：
-通过具体的等腰三角形图形，强调两边相等和两角相等的关系，引导学生理解等腰三角形的稳定性。
-等腰三角形的证明：学生在进行几何证明时，往往难以找到合适的证明方法，需要指导学生如何运用已知条件和几何定理。
-实际问题的建模：将现实问题转化为数学模型是学生的一个难点，需要培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。
-综合应用等腰三角形的性质解决问题：在复杂的几何问题中，学生需要综合运用多个几何知识点，这对他们来说是一个挑战。
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
举例解释：
-通过对比等腰三角形、等边三角形和一般三角形的性质，帮助学生理解等腰三角形的独特之处。
-在进行等腰三角形证明时，引导学生利用等腰三角形的性质，如等角对等边、等边对等角，以及角平分线定理等。
-针对实际问题，如房屋屋顶的设计，指导学生如何将实际问题简化为等腰三角形的计算问题，并建立相应的数学模型。
在讲授过程中，我尽量用生动的例子和生活中的实际情境来引导学生，让他们感受到几何学的魅力和实用性。但我也发现，有些学生对这些例子还是感到有些距离，可能是因为他们对这些实际情境不够熟悉。因此，我考虑在下一节课中，尝试引入更多贴近学生生活的案例，帮助他们更好地理解和接受。
八年级上册 专题05 等腰三角形的性质(知识点串讲)(教师版含解析)
专题05 等腰三角形的性质知识网络重难突破知识点一图形的轴对称1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．图形的轴对称的定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．3．轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．4．图形的轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．成轴对称的两个图形是全等图形．【典例1】2．(2019秋•诸暨市期中)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为()A．118°B．121°C．120°D．90°【点拨】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为【解析】解：如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2(∠AA′M+∠A″)＝2×59°＝118°．故选：A．【点睛】本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．【变式训练】1．(2019秋•杭州期中)下列APP图标中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据轴对称图形图形的概念求解．【解析】解：A．此图案不是轴对称图形，不符合题意；B．此图案不是轴对称图形，不符合题意；C．此图案不是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．(2019秋•武清区期中)下列说法正确的是()A．任何一个图形都有对称轴B．两个全等三角形一定关于某直线对称C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称【点拨】根据轴对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】解：A、轴对称图形才有对称轴，故错误；B、两个全等三角形一定关于某直线对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误；C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则对应的线段、角都相等，则△ABC≌△A′B′C′，故正确；D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误．故选：C．【点睛】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．3．(2019秋•吴兴区期中)如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是()A．1 B．1.5 C．D．【点拨】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，∵AB＝2，∠BAC＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝2×＝．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．知识点二等腰三角形的性质1.两腰相等2.两个底角相等3.三线合一4.轴对称图形，至少有一条对称轴【典例2】(2018秋•三门县期中)如图：△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，DE⊥AB．(1)求证：∠BAC＝2∠EDB；(2)若AC＝4，DE＝3，求△ABC的面积．【点拨】(1)根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC根据余角的性质即可得到结论；(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】(1)证明：∵AC＝BA，CD＝BD，∴∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠DAB＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠BDE；(2)解：∵AB＝AC＝4，DE＝3，∴S△ABD＝6，∵CD＝BD，∴S△ACD＝6，∴S△ABC＝12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．(2018秋•德清县期末)如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是() A．55°B．70°C．55°或70°D．不确定【点拨】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．【解析】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：(180°﹣70°)÷2＝55°；若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴其一个底角的度数是55°或70°．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意等边对等角的性质的应用，注意分类讨论思想的应用．2．(2018秋•余杭区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是()A．64°B．42°C．32°D．26°【点拨】根据直角三角形的性质可求∠B的度数，再根据等腰三角形的性质可求∠BCD的度数，根据角的和差关系可求∠ACD的度数．【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝(180°﹣64°)÷2＝58°，∴∠ACD＝90°﹣58°＝32°．故选：C．【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求出∠BCD的度数．3．(2019•泉山区校级二模)如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为() A．9 B．12 C．15 D．12或15【点拨】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3＝15；②当腰为3时，3+3＝6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．知识点三等边三角形的性质1.三边相等2.三个角都是60°3.三线合一4.轴对称图形，有三条对称轴【典例3】(2016秋•德清县期末)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为()A．B．C．D．【点拨】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．【变式训练】1．(2018秋•温岭市期中)以下叙述中不正确的是()A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等【点拨】根据等边三角形的性质及判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【解析】解：A，正确，符合等边三角形三线合一性质；B，正确，符合等边三角形的判定；C，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；D，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用能力．2．(2017秋•金东区期末)如图，等边△OAB边长为2，顶点O在平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，则点B的坐标为()A．(1，1) B．(，1) C．(1，) D．(，)【点拨】根据等边三角形的性质解答即可．【解析】解：过B作BD⊥OA，∵等边△OAB边长为2，∴OD＝1，BD＝，即点B的坐标为(1，)，故选：C．【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)已知，在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠B不可能等于() A．70°B．40°C．55°D．45°【点拨】等腰三角形△ABC可能有三种情况，①当∠A为顶角时，②当∠B为顶角时，③当∠C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可．【解析】解：根据题意，当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝55°；当∠B为顶角时，∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°；当∠C为顶角时，∠A＝∠B＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中，已知没有明确具体名称时要分类讨论，这是解答本题的关键．2．(2018秋•下城区期末)若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是()A．7 B．8 C．9 D．8或9【点拨】分以4为腰和以4为底两种情况即可．【解析】解：当4是等腰三角形的腰时，周长大于8，当4是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，所以这个等腰三角形的周长可能是9，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．(2019•鹿城区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，在边AB上取点D，使得BD＝BC，连结CD，若∠A ＝36°，则∠BDC等于()A．36°B．54°C．72°D．126°【点拨】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝＝72°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝＝54°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．(2019•秀洲区一模)如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝67°，则∠1＝()A．23°B．46°C．67°D．78°【点拨】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数．【解析】解：根据题意得：AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝67°，∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠ABC＝67°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠ACB＝180°﹣67°﹣67°＝46°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．5．(2018秋•裕华区校级期末)若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是()A．6 B．8 C．10 D．8或10【点拨】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解析】解：∵|m﹣2|+＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．6．(2019秋•温岭市期中)等腰△ABC周长为18cm，其中两边长的差为3cm，则腰长为7cm或5cm．【点拨】设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x+3)cm或(x﹣3)cm，根据三角形的周长列出方程，解方程即可得到结论．【解析】解：设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x+3)cm，∴2x+x+3＝18，∴x＝5，x+2＝7，且5，5，7能构成三角形，∴腰长为5cm，设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x﹣3)cm，∴2x+x﹣3＝18，∴x＝7，x﹣3＝4，且7，7，4能构成三角形，∴腰长为7cm，综合以上可得腰长为7cm或5cm．故答案为：7cm或5cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解答本题的关键是掌握三角形的性质．7．(2019秋•龙湾区期中)如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AC的中点，则DE的长为2．【点拨】由等边三角形的性质证得BD＝DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，∴AB＝AC＝4，BD⊥DC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×4＝2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的中线，熟练掌握直角三角形的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．8．(2019秋•萧山区期中)如图钢架中，∠A＝x度，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架，若P1A＝P1P2，这样的钢条至多需要6根，那么x的取值范围是≤x＜15．【点拨】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P5P7P6与∠A 之间的关系，从而不难求解．【解析】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，P4P5＝P5P6，P5P6＝P6P7，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∠P5P4P6＝∠P5P6P4，∠P6P5P5＝∠P6P7P5，∴∠P5P7P6＝6∠A，∵要使得这样的钢条只能焊上6根，∴∠P7P6C＝7∠A，由题意，∴≤x＜15．故答案为：≤x＜15．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．(2018秋•江干区期末)如图，有6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1)，按要求作图并计算：(1)在网络中画出平面直角坐标系，使点A(2，3)，B(3，2)，并写出点C的坐标；(2)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【点拨】(1)先根据A的坐标确定两坐标轴，交写出点C的坐标；(2)直接作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【解析】解：(1)如图所示，点C(1，0)；(2)△A1B1C1即为所求．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的性质，坐标与图形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作图．10．(2018秋•台州期中)如图，点B、C、D在同一直线上，AB＝AD＝CD，∠C＝36°．求∠BAD的度数．【点拨】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．【解析】解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝36°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═72°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝72°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝36°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．(2018秋•西湖区校级月考)已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG ⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论．【解析】证明：如图，连结DE，∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴DE＝AB＝AE＝CD，∵DG⊥CE于G，由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．12．(2018秋•长兴县期末)数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰△ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数(答案：40°)例2：等腰△ABC中，∠A＝50°，求∠B的度数(答案：50°或65°或80°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰△ABC中，∠A＝70°，求∠B的度数(1)请你解答小敏编的变式题；(2)解第(1)小题后小敏发现，∠A的度数不同得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【点拨】(1)由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；(2)分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解析】解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°﹣∠A)÷2＝55°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；故∠B＝55°或40°或70°；(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝()°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180﹣2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．。
八年级上专题讲义：等腰三角形综合专题
专题讲义 等腰三角形综合【例1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 是AB 上的两点，且AE ＝AC ，BD ＝BC ，EF ⊥CD 于点F ，求证：CF ＝EF.【例2】如图1、图2、图3中，点E 、D 分别是正△ABC 、正方形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE ＝CD ，DB 交AE 于点P. ⑴求图①中的∠APD 的度数；⑵在图②中，∠APD 的度数为________，在图③中，∠APD 的度数为________；⑶根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，DE 垂直平分斜边AB 于D ，且点E 在AB 的下方，DE ＝12AB ，⑴求证：∠ACE ＝45°;⑵若点E 在AB 的上方，其他条件不变，则⑴的结论是否还成立？若 成立，请证明；若不成立，请说明理由.DCBAEDCA图1B P E D C A 图2B P ME D C A 图3BP N M ED C A BFEDC A〖练〗在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，M 是BC 中点，且DM ⊥BC 。
⑴求证：BC ＝2 MD 。
⑵延长BA 至E ，若AD 平分∠EAC ，其它条件不变，则⑴的结论 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【例4】（1）如图，已知：△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD 。
求证：CE ＝DE.（2）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在△ABC 外，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB.（3）如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC 上的任意一点，∠ADE ＝60°，边DE 与∠ACB 的外角平分线相交于点E 。
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专题讲义 等腰三角形的性质运用
夯实基础
1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100°
2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（ ） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定
3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16
4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ， （1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。
例题剖析
遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等
【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________
【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ，
GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。
（1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。
（2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。
G
F E D
C
B
A
C '
G D C B A
【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ，
试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E
（1）求∠BCD 的度数； （2）求证：CD=2BE ；
（3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系．
【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。
【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。
【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。
G E
D C
B A M
C
B
D
A
F
B
E
D
A F
E D
C
B
A
课后练习：
1.如图，在∠ABA 1中，∠B ＝52°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ，……，按此做法进行下去，A 7的度数为____________度
2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝36°，在直线AC 或BC 上取点M ，使得△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有___________个
3. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，顶角∠A ＝20°，在AB 上取点D ，使AD ＝BC ，则∠BDC______。
4.如图所示DE 是三角形ABC 的BC 边上的两点，并且BD=DE=EC=AD=AE ，则∠BAC 的度数为________ 。
第1题图 第3题图 第4题图
5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 为过点A 的任一直线， CF ⊥BC ，BE ⊥BC ，求证：AE ＝AF 。
6.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，在
BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证：EF ⊥BC 。
7.如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝BE ，求∠A 的度数
F
E
C
B
A
F E C B A D C
B A
E
D C B A
8．已知，如图，三角形ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=2
1
BC ，你能找出图中所有的等腰三角形吗？试试看，并说明理由。
9．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们 定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设
CD BE ， 相交于点O ，若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．请
你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（2）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
E D
B A
B
A
D
E
C O。