专题6第33课时统计
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2．分层抽样也是等比例抽样，即按同 一个比例在不同的层中抽取样本．解题时 关键是找准比例．
3．茎叶图的问题不难，只要会作图看 图，计算平均数、众数、中位数即可．
变式1(改编题)某单位有技工18人，技术员12人，工程师 6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采 用系统抽样和分层抽样方法抽取，则都不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在
1补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
2从40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法
抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领
队，记选取的3名领队中年龄在40,45岁的人数为X，
求X的分布列和期望EX.
切 入 点 ： 1频 率 小 长 方 形 的 面 积 ； 2用 超 几 何 分 布 解 决 ．
总体中剔除一个个体，则样本容量n的值为__6___.
解析 由单位总人数为36人，工程师、技术员与技工人 数 之 比 为1∶2∶3， 则 由 题 意 知 采 用 系 统 抽 样 和 分 层 抽 样 都 不 用 剔 除 个 体 ． 设 工 程 师 应 抽 取 x人 ， 所 以 36 Z， 且 x 2x 3x n，
解析 1第二组的频率为 10.040.040.030.020.0150.3，
所以高为0.30.06.频率直方图如下： 5
第一组的人数为120 200，频率为0.04 5 0.2， 0.6
所以n 200 1000. 0.2
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
1000 0.3 300，所以p 195 0.65. 300
解决此类问题时应明确图表中各个量的意义，通过
识图掌握信息是解题的关键．频率分布指的是一个样本
数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分
布 直 方 图 反 映 样 本 的 频 率 分 布 ． 其 中 ，1 频 率 分 布 直 方
图
中
纵
轴
表
示
频 组
率 距
，频
率
样
频 本
数 容
量
； 2
频
率
分
布
直
方
图
536 538 537， 2
乙学生的高考备考成绩的中位数为
532 536 534. 2
甲学生的高考备考成绩的平均分为 50012222834363841495456 537；
10 乙学生的高考备考成绩的平均分为 50015212731323643485859 537.
10
1．三种抽样方法：简单随机抽样、分 层抽样、系统抽样都是等概率抽样，具体 问题中要根据抽样方法的特点及其适用范 围恰当选择．
量X服从超几何分布．
PX
0
C102C36 C138
5 ，P X
204
1
C112C62 C138
15， 68
PX
2
C122C16 C138
33，P X
68
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C132C60 C138
55 . 204
所以随机变量X的分布列为 所以数学期望EX 0 5 115 233 3 55 2.
204 68 68 204
所以高中部的总人数是600 450 300 1350.
2 ① 两 学 生 的 高 考 备 考 成 绩 的 茎 叶 图 如 图 所 示 .
甲
乙
2 51 5
2 8 8 52 7 8 4 6 466 1
1 9 9 54 8
6 4 4 55 9
②将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为： 甲 ：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙 ：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知 甲学生的高考备考成绩的中位数为
n 所以n可取6,12,18, 36. 又样本容量增加一个，系统抽样时需要在总体中剔除一 个个体，故 Z. 经 验 证 ： n 12,18, 36时 ，35 Z， 所 以 n 6.
n 1
考点2 频率分布直方图
例2(2011韶关一模)某班同学进行社会实践，对25,55
岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低 碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳 族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄 段人数频率分布直方图：
变式2 某校高三理科分为四个班，高三数学调研测试 后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计， 各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的 班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统 计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包 括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人 数为5.
中 ， 各 小 长 方 形 的 面 积 之 和 为1.在 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 组
距 是 一 个 固 定 值 ， 所 以 长 方 形 的 高 的 比 即 为 频 率 之 比 ； 3
众 数 为 最 高 矩 形 的 中 点 ； 4 中 位 数 为 平 分 频 率 分 布 直 方 图
面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
切入点：第1题确定抽取比例为201，再按
600 30
比例在各层中计算人数；第2题，先按要求作图，
再计算即可．
解析 1依题意，高三年级抽取451510 20人，
抽取比例是 20 1 . 600 30
设高一、高二年级的人数分别为x、y，
则15 1 ，10 1 ，解得x 450，y 300. x 30 y 30
第四组的频率为0.03 5 0.15，所以第四组的人数为 1000 0.15 150，所以a 150 0.4 60.
2因为40, 45岁年龄段的“低碳族”与45, 50 岁年龄段
的“低碳族”的比值为60∶30 2∶1，所以采用分层抽样法
抽取18人，40, 45岁中有12人，45, 50岁中有6人．随机变
1各班被抽取的学生人数各为多少？ 2在抽取的所有学生中，任取一名学生，
求分数不小于 90分的概率．
解 析 1由 频 率 分 布 条 形 图 知 ， 抽 取 的 学 生 总 数 为
5 100. 0.05 因为各班被抽取的学生人数成等差数列，故设其 公差为d. 由4 22 6d 100， 解 得 d 2. 所 以 各 班 被 抽 取 的 学 生 人 数 分 别 是 22, 24, 26, 28.
3．茎叶图的问题不难，只要会作图看 图，计算平均数、众数、中位数即可．
变式1(改编题)某单位有技工18人，技术员12人，工程师 6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采 用系统抽样和分层抽样方法抽取，则都不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在
1补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
2从40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法
抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领
队，记选取的3名领队中年龄在40,45岁的人数为X，
求X的分布列和期望EX.
切 入 点 ： 1频 率 小 长 方 形 的 面 积 ； 2用 超 几 何 分 布 解 决 ．
总体中剔除一个个体，则样本容量n的值为__6___.
解析 由单位总人数为36人，工程师、技术员与技工人 数 之 比 为1∶2∶3， 则 由 题 意 知 采 用 系 统 抽 样 和 分 层 抽 样 都 不 用 剔 除 个 体 ． 设 工 程 师 应 抽 取 x人 ， 所 以 36 Z， 且 x 2x 3x n，
解析 1第二组的频率为 10.040.040.030.020.0150.3，
所以高为0.30.06.频率直方图如下： 5
第一组的人数为120 200，频率为0.04 5 0.2， 0.6
所以n 200 1000. 0.2
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
1000 0.3 300，所以p 195 0.65. 300
解决此类问题时应明确图表中各个量的意义，通过
识图掌握信息是解题的关键．频率分布指的是一个样本
数据在各个小范围内所占的比例的大小，一般用频率分
布 直 方 图 反 映 样 本 的 频 率 分 布 ． 其 中 ，1 频 率 分 布 直 方
图
中
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轴
表
示
频 组
率 距
，频
率
样
频 本
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量
； 2
频
率
分
布
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方
图
536 538 537， 2
乙学生的高考备考成绩的中位数为
532 536 534. 2
甲学生的高考备考成绩的平均分为 50012222834363841495456 537；
10 乙学生的高考备考成绩的平均分为 50015212731323643485859 537.
10
1．三种抽样方法：简单随机抽样、分 层抽样、系统抽样都是等概率抽样，具体 问题中要根据抽样方法的特点及其适用范 围恰当选择．
量X服从超几何分布．
PX
0
C102C36 C138
5 ，P X
204
1
C112C62 C138
15， 68
PX
2
C122C16 C138
33，P X
68
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C132C60 C138
55 . 204
所以随机变量X的分布列为 所以数学期望EX 0 5 115 233 3 55 2.
204 68 68 204
所以高中部的总人数是600 450 300 1350.
2 ① 两 学 生 的 高 考 备 考 成 绩 的 茎 叶 图 如 图 所 示 .
甲
乙
2 51 5
2 8 8 52 7 8 4 6 466 1
1 9 9 54 8
6 4 4 55 9
②将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为： 甲 ：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙 ：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知 甲学生的高考备考成绩的中位数为
n 所以n可取6,12,18, 36. 又样本容量增加一个，系统抽样时需要在总体中剔除一 个个体，故 Z. 经 验 证 ： n 12,18, 36时 ，35 Z， 所 以 n 6.
n 1
考点2 频率分布直方图
例2(2011韶关一模)某班同学进行社会实践，对25,55
岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低 碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳 族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄 段人数频率分布直方图：
变式2 某校高三理科分为四个班，高三数学调研测试 后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计， 各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的 班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统 计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包 括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人 数为5.
中 ， 各 小 长 方 形 的 面 积 之 和 为1.在 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 组
距 是 一 个 固 定 值 ， 所 以 长 方 形 的 高 的 比 即 为 频 率 之 比 ； 3
众 数 为 最 高 矩 形 的 中 点 ； 4 中 位 数 为 平 分 频 率 分 布 直 方 图
面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
切入点：第1题确定抽取比例为201，再按
600 30
比例在各层中计算人数；第2题，先按要求作图，
再计算即可．
解析 1依题意，高三年级抽取451510 20人，
抽取比例是 20 1 . 600 30
设高一、高二年级的人数分别为x、y，
则15 1 ，10 1 ，解得x 450，y 300. x 30 y 30
第四组的频率为0.03 5 0.15，所以第四组的人数为 1000 0.15 150，所以a 150 0.4 60.
2因为40, 45岁年龄段的“低碳族”与45, 50 岁年龄段
的“低碳族”的比值为60∶30 2∶1，所以采用分层抽样法
抽取18人，40, 45岁中有12人，45, 50岁中有6人．随机变
1各班被抽取的学生人数各为多少？ 2在抽取的所有学生中，任取一名学生，
求分数不小于 90分的概率．
解 析 1由 频 率 分 布 条 形 图 知 ， 抽 取 的 学 生 总 数 为
5 100. 0.05 因为各班被抽取的学生人数成等差数列，故设其 公差为d. 由4 22 6d 100， 解 得 d 2. 所 以 各 班 被 抽 取 的 学 生 人 数 分 别 是 22, 24, 26, 28.