2020高中数学---特殊值法解决二项式展开系数问题

第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题

一、基础知识：

1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质

2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式

3、常用赋值举例：

（1）设()011

222

n

n

n n r n r r

n n

n n n n n a b C a C a

b C a b C a b C b ---+=+++

+++，

①令1a b ==，可得：01

2n n

n n n C C C =++

+

②令1,1a b ==-，可得： ()0123

01n

n

n n n n

n

C C C C C =-+-+-，即： 0213

1

n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++

+=++

+=

（2）设()()2

01221n

n n f x x a a x a x a x =+=+++

+

① 令1x =，则有：()()0122111n

n a a a a f +++

+=⨯+=，即展开式系数和

② 令0x =，则有：()()02010n

a f =⨯+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n

n a a a a a f -+-++=-⨯+=-

()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=-，

即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值

二、典型例题：

例1：已知()8

2

8012831x a a x a x a x -=+++

+，则1357a a a a +++的值为________

思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值

解：令1x =可得：8

0182a a a =++

+ ①

令1x =-可得：8

01284a a a a =-+-

+ ②

①-②可得：()881357242a a a a -=+++

()8

813571242

a a a a ∴+++=

- 答案：()8

81242

- 例

2：已知

()()

()()()9

2

11

2

0121112111x

x a

a

x a x a x +-=+-+-

++

-

，则121

a a a +++的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 255 D. 2- 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a ++

+=，只需再求出0a 即可。令1x =可得

02a =-，所以12112a a a ++

+=

答案：B

例3：设(

4

234012342x a a x a x a x a x +=++++，则()()22

02413a a a a a ++-+的值

为（ ）

A. 16

B. 16-

C. 1

D. 1-

思路：所求()()()()2

2

024130123401234a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+，

在恒等式中令1x =可得：(

4

012342a a a a a ++++=+

，令1x =-时

(4

012342a a a a a -+-+=-，所

以

()()((

4

4

2

2

024132216a a a a a ++-+=+-=

答案：A 例

4

：

若

()

5

23

4

5

01234

5

23x a a x a x a x a x a x

-=+++++，

则

012345

a a a a a a +

++++等于（ ） A. 5

5 B. 1- C. 52 D. 5

2-

思路：虽然()523x -展开式的系数有正有负，但()523x -与()5

23x +对应系数的绝对值相同，且()5

23x +均为正数。所以只需计算()5

23x +展开的系数和即可。令1x =，可得系

数和为5

5，所以50123455a a a a a a +++++=

答案：A 例

5

：

若

()

2014

2014

01201412x a a x a x -=++

+，

则

()()()01

020

2

1

4

a a a a a a ++

++++=

__________ 思路：所求表达式可变形为：()00120142013a a a a ++++，从而只需求出0a 和系数和即

可。令0x =可得：01a =，令1x =可得：0120141a a a ++

+=，所以

()001201420132014a a a a +++

+=

答案：2014 例

6：若()262

2020n n C C n N ++=∈，且()

20122n

n n x a a x a x a x -=++++，则

()0121n

n a a a a -+-

+-等于（ ）

A. 81

B. 27

C. 243

D. 729 思路：由26

2

20

20n n C C ++=可得262n n +=+或()()26220n n +++=，解得4n =，所求表

达式只需令1x =-，可得()()4

4012412181a a a a -+-+-=--=⎡⎤⎣⎦

答案：A 例

7

：

若

()

()

2013

22013012201321x a a x a x a x x R -=+++

+∈，则

232013

23201311

1

12222a a

a a a a ++++

=（ ）

A. 12013-

B. 12013

C. 14026-

D. 14026

思路：所求表达式中的项呈现2的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令1

2

x =，可得：

22013012201310222a a a a ++++=，令0x =可得：01a =-，所以220131

22013

1222

a a a ++=-，所以所求表达式变形为：

111

111122a a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而()()20121

12013214026a x C x x =⋅⋅-=，所以14026a =，从而表达式的值为1

4026

答案：D