四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期3月周测2数学试题 Word版含答案
【附20套高考模拟试题】2020届四川外语学院重庆第二外国语学校高高考数学模拟试卷含答案
2020届四川外语学院重庆第二外国语学校高高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z a bi =+(),a R b R ∈∈对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+,则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦ ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:()()cos sin cos sin n nr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦,则5132i ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ （ ）A ．1322i- B ．13i 22-- C ．132i + D ．132i -+ 2．定义在区间 (),-∞+∞ 上的奇函数 ()f x 为增函数；偶函数 ()g x 在 [)0,+∞ 上的图象与 ()f x 的图象重合．设 0a b >>，给出下列不等式：① ()()()()f b f a g a g b -->-- ② ()()()()f b f a g a g b --<-- ③ ()()()()f a f b g b g a -->-- ④ ()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是 ( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③3．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形4．设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )5．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦6．在ABC V 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222b c a +=，2bc =，则角C的大小是（ ）A ．6π或23πB ．3πC ．23πD ．6π7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =（ ）A ．149B ．169 C ．209 D ．738．己知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF 交抛物线C 于点D ，若AB 的中点纵坐标为|AB|-1，则当∠AFB 最大时，|AD|=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．1639．用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（ ） A ．1cm B． CD ．2cm 10．在V ABC中，sin B A =，BC =4C π=，则AB =（ ）A．5C．．11．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．812．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）． A ．1- B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川外国语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上学期半期期中模拟数学试题解析
四川外国语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上学期半期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．1122-++a b cC．11a b c --+由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．8．已知，在三棱柱ABC－AA1＝AC＝AB，则异面直线B．A．23【答案】B【分析】令M为AC的中点，以夹角的余弦值.【详解】令M为AC的中点，同理，A1M⊥AC，因为平面平面ABC，所以BM⊥平面AC，BM，A1M两两垂直，以轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设AA 1＝AC ＝AB ＝2，则A (1，0，所以1AC ＝(－3，0，3)，1A B uuu r ＝(0＝－24，故异面直线AC 1与A 1B 故选：B二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（A ．若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则B ．若非零向量a ，b ，c 满足a C ．若OA ，OB ，OC是空间的一组基底，且C ，D 四点共面；D ．若a ，b ，c是空间的一组基底，则向量三、填空题四、双空题五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知△ABCC(－2，3).(1)求BC边所在直线的一般方程；(2)求BC边的垂直平分线DE所在直线的一般方程【答案】(1)x＋2y－4＝0(2)2x－y＋2＝0【分析】（1）利用直线的两点式方程可得答案；（2）由中点坐标公式得到D的坐标，用直线点斜式方程可得答案.【详解】（1）因为直线BC经过B(2，由两点式得BC的方程为131y--＝2x---即x＋2y－4＝0.（2）设BC边的中点D的坐标为(x，则2202x-==，1322y+==，点D的坐标为(0，2)，由（1）知，直线BC的斜率11 2k=-则BC的垂直平分线DE的斜率2k=（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；在正方体1111ABCD A B C D -中，AB 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面AD [方法二]:空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.又∵向量()12,0,2BC = ,()1·2201220BC n =⨯+⨯+⨯-=,又1BC ⊄ 平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ，又∵11//BC AD ,∴1//AD EF ,所以平面1AD E 即平面1AD FE ,连接1D G ，作11C H DG ⊥,垂足为H ,连接FH ,∵1FC ⊥平面1111D C B A ,1D G ⊂平面1111D C B A ,∴11FC DG ⊥，又∵111FC C H C ⋂=,∴直线1D G ⊥平面1C FH ,又∵直线1D G ⊂平面1D GF ,∴平面1DGF ⊥平面1C FH ,[方法二]：向量法[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ，在1AED △中，115,22,3AE AD D E ===，22211119585cos 25235D E AE AD AED D E AE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以125sin 5AED ∠=，易得13AED S = ．由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ ，解得43h =，设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II ）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F AE P--的余弦值.【答案】(1)证明见解析；依题意，3PC PF = ，则(0,0,0),(0,1,1),A E 设平面AEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，则(1,1,1)n =-，显然平面AEP 的一个法向量(1,0,0)m = F AE P --的平面角为锐角，所以二面角F AE P --的余弦值33.22．已知圆心C 在第一象限，半径为点（A 在B 左侧），1OA OB ⋅=（O （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆2:O x。
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题
Aபைடு நூலகம்由复数相等知： ，有 ，正确；
B：若 ，有 ，错误；
C：若 时， ，错误；
D：令 ，则 为圆O： ，而 表示圆O上的点到 的最大距离，所以 ，正确.
故选：AD.
10．CD
【分析】
根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
【详解】
根据图象知当 ， 时， ，函数单调递减；当 ， 时， ，函数单调递增.故A错误，D正确；当 时， 取得极小值，C正确；当 时， 不是取得最小值，B错误.
8．C
【分析】
构函数 ，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.
【详解】
构造函数 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，∵ ，∴ ，
由 得 ，∴ ，
∵函数 在 上单调递减，∴ ，
故选：C.
9．AD
【分析】
A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据 的几何含义：以 为圆心2为半径的圆，求 为该圆上的点到 最大距离，判断正误.
则 ， ，
根据 的图象，当 趋近与0时， 趋近于1， 趋近于无穷大，此时 趋近于无穷大，故选项B错误；
对于选项D，由 ， ，可得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，
故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最值.
20．已知袋中装有大小､形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球．
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年下学期初2021级中考数学模拟试题(二)
3题图图1图2图3…重庆二外初2021级中考数学模拟试题（二）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线c bx x a y ++=2（0≠a ）的顶点坐标为 24(,)24b ac b a a--，对称轴公式为a b x 2-=． 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数中，最小的数是A ．4-B ．3-C ．0D ．1 2．如图所示是由几个相同小正方体组成的立体图形，其主视图是A ．B ．C ．D ．3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是A ．8B ．10 D ．14 4．抛物线2322y x x =++的对称轴是 A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =- 5．下列计算正确的是A ．32a a a ÷=B ．326a a a ⋅=C ．322a a a -=D ．2323a a a += 6．一元一次方程143x x-=的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．12x =- D ．12x =7．如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，点B ，C 是切点，点D 是⊙O 上一点，连结DC 和BD ．若∠A =50º，则∠D 的度数为A ．50°B ．65°C ．75°D ．130°2题图OCAB D7题图8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点坐标 分别为(3,2)A -，(3,2)B --，(3,2)C -，(3,2)D ，以原 点为位似中心，在矩形ABCD 的内部画矩形EFGH ， 使矩形ABCD 与矩形EFGH 成位似图形，且相似比为2:1，则矩形EFGH 的周长为 A ．20 B ．15C ．10D ．2039．如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC =20米，在距山脚点C 右侧水平距离为60 米的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，建筑 物AB 和山坡CE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)A ．32.4米B ．20.4米C ．16.4米D ．15.4米10．如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>--<+02),2(32m x x x 的解集为4>x ，且关于y 的分式方程24341-=-+--y y my 有整数解，则符合条件的整数m 的和是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．5 11．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将△ACD沿AD 翻折，得到△AED ，AE 交BD 于点F ．若BD =2DC ，AB =AD ，AF =2EF ，CD =2，△DFE 的面积为1，则点D 到AE 的距离为 A ．1 B ．65C D12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴上，对角线BD 平行于y 轴，反比例函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点D ，与CD边交于点H ，若2DH CH =，菱形ABCD 的面积为6， 则k 的值为A ．2B ．4C ．6D ．89题图8题图B CE AD F 11题图12题图二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上．132sin 45⋅°= ．14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380 000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380 000用科学记数法表示为 ．15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字1-，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k ，则正比例函数y kx =的图象经过一、三象限的概率为 ．16．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC=分别以点A ，B ，C 为圆心，以12AB 的长为半径画弧分别与△ABC 的边相交，则图中阴影部分的面积 为 ．（结果保留π）17．已知A 、B 两地相距200千米，货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B 地，货车甲以原速的25返回A 地．两辆货车之间的路程y （km ）与货车甲出发的时间 x （h ）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略 不计）．若点C 的坐标是（1.6120，），点D 的坐标 是 3.60（，），则点E 的坐标是 ．18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 ．yx17题图16题图三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19．计算：（1） ()()22x y x x y -++ ； （2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．20．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A: 0≤t ＜20，B: 20≤t ＜40，C: 40≤t ＜60，D: 60≤t ＜80，E: 80≤t ＜100），下面给出了部分信息．七年级抽取的学生在C 组的课外劳动时间为：40，40，50，55．八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a ，b ，m 的值；（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．七、八年级抽取的学生的 课外劳动时间的统计量 20题图A 10%B m %C 20%D 25%E 15%七年级抽取的学生的课外劳动时间的扇形统计图21．如图，在ABC∆中，D是BC边上一点，且BD BA=.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作ABC∠的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF，猜想EF和AC的关系，并说明理由.22．数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．例如：正整数24，因为246+=且661÷=，所以24是“六六大顺”数；正整数125，因为1258++=且86÷商1余2，所以125不是“六六大顺”数．（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．21题图23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数2||12y x =--的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；x… ﹣3 ﹣2 1- 0 132 52 3 4 5 6 7 …2||12y x =-- … 35- 12- 13- 1 33113- 35- … （2（3）已知函数y x =的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写 出不等式2||12x x -<-的解集 （保留1位小数，误差不超过0.224．某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A 款羽绒服1200件和B 款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A 款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4 640 000元． （1）求该专卖店11月份A 、B 两款羽绒服的销售单价分别是多少元？（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A 款羽绒服的销量比11月份增加了1%3a （0a >），单价在11月份的基础上不变；B 款羽绒服的销量比11月份增加了2%a ，单价在11月份的基础上降低了3%7a ．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加24%29a ，求a 的值．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与直线AB 交于点(45)A ，，(01)B ，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点C 为该抛物线的顶点，连接AC ，点P 为抛物线上点B ，C 之间的任意一点，连接BP ，CP ，过点P 作PE ∥AC 交直线AB 于点E ，连接CE ，求四边形CPBE 面积的最大值；（3）设该抛物线沿射线AB方向平移21111y a x b x c =++（10a ≠），平移后的抛物线与原抛物线交于点G ，连接AG 、BG ，将△ABG 沿直线AB 方向平移，平移后得到△A B G '''，其中点A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '，点G 的对应点为点G '．在平移过程中，是否存在点B '，使得△OG B ''为直角三角形，若存在，请直接写出点B '的坐标，若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 26．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 是边BC 延长线上一动点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 于点G ．连结AD ，点F 是AD 的中点，连结CF ， EF ． （1）如图1，连结CE ，求证：△CEF 是等边三角形；（2）如图2，在点D 的运动过程中，当GC =BC 时，猜想线段EA ，EF ，ED 之间的数量关系，并证明你的猜想结论；（3）如图3，作CP ∥DE 交AB 于点P ，在PC 延长线上取点Q ，使CQ =CP ，连结QF ．在点D 的运动过程中，当QF 取得最小值时，请直接写出tan ∠FCQ 的值．参考答案重庆二外初2021级中考数学模拟试题（二）A CDE F26题图2GA BDEF26题图1GBA C DE FG26题图3PQ一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AADBACBCCDBD二、填空题：13．32-； 14．53.810⨯； 15．59； 16．8－2π； 17．5.1150（，）； 18．83．三、解答题：19．解：（1）原式22222x xy y x xy =-+++………………………………………………（4分） 22=2x y +．………………………………………………………………（5分）（2）原式26(3)3(6)(6)m m m m m --=⋅--+…………………………………………………（9分） 36m m -=+．………………………………………………………………（10分）20．解：（1）45a =，50b =，30m =；…………………………………………………（3分）（2）八年级学生参加课外劳动的情况较好，理由如下：因为七、八年级被抽取的学生的课外劳动时间的平均数都是50，而八年级的中位数50高于七年级的中位数45，所以八年级学生参加课外劳动的情况较好；（用数据说明，合理即可）…………………………………………………（6分） （3）7400(15%25%)400=30020++⨯（人）． 答：估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为300人．……………………………………………………………（10分）21．（1）解：如图所示，ABC ∠的角平分线，MDC 的垂直平分线即为所求.…………………………………………………………（5分） （2）∴EF=12AC ，EF ∥AC ，理由如下：……………………………………（6分） ∵BD=BA ，BE 是∠ABC 的平分线∴AE=DE ．………………………………………（7分） ∵MF 是DC 垂直平分线，∴DF=CF ．………………………………………（8分） ∴EF 是△ADC 的中位线 ∴EF=12AC ，EF ∥AC ．…………………………………………（10分）22．解：（1）96不是“六六大顺”数，615是“六六大顺”数，理由如下：∵9615+=，156÷商2余3， ∴96不是“六六大顺”数； ∵61512++=，1262÷=，∴615是“六六大顺”数；………………………………………………………（4分） （2）设大于600且小于700的正整数N 的十位数字为a ，个位数字为b （09a ≤≤，09b ≤≤，a ，b 为整数，且a ，b 不同时为零）． ∴6624a b ++＜≤， ∴018a b +＜≤． ∵N 为“六六大顺”数， ∴6a b ++是6的倍数， 即a b +是6的倍数．∴61218a b +=，，…………………………………………………………………（6分） ①当6a b +=时，则有：06.a b =⎧⎨=⎩，15.a b =⎧⎨=⎩，24.a b =⎧⎨=⎩，33.a b =⎧⎨=⎩，42.a b =⎧⎨=⎩，51.a b =⎧⎨=⎩，60.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共7个；……………………………………（7分）②当12a b +=时，则有：39.a b =⎧⎨=⎩，48.a b =⎧⎨=⎩，57.a b =⎧⎨=⎩，66.a b =⎧⎨=⎩，75.a b =⎧⎨=⎩，84.a b =⎧⎨=⎩，93.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共7个；……………………………………（8分） ③当18a b +=时，则有： 99.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共1个；……………………………………（9分） ∴77+115+=（个）．所以大于600且小于700的“六六大顺”数有15个．………………………（10分）23．解：（1）0，12-；函数图象如图：……………………………………………………………………………… （6分） （2）写出符合的一条性质即可；…………………………………………………（8分） （3）01x ＜＜或 2.6x ＞．…………………………………………………………（10分） 24．解：（1）设该专卖店11月份A 款羽绒服销售单价为x 元，则B 款羽绒服销售单价为(800)x +元． ………………………………………………………………（1分） 由题意，得 1200800(800)4640000x x ++=．……………………………（3分） 解得 =2000x ．∴20008002800+=（元）．答：该专卖店11月份A 款羽绒服销售单价为2000元，B 款羽绒服销售单价为2800元．…………………………………………………………………（5分）（2）由题意，得132420001200(1%)2800(1%)800(12%)4640000(1%)3729a a a a ⨯++-⨯+=+．……………………………………………………………………………（8分） 解得 10a =（舍），225a =．答：a 的值为25 ．…………………………………………………………（10分）25．解：（1）把(45)A ，，(01)B ，代入抛物线212y x bx c =-++中，得21144 5.2c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得 13.c b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为21312y x x =-++；………………………………（3分）（2）连结PA ，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ．∵PE ∥AC ， ∴PEC PEA S S ∆∆=，∴++BPE PEC BPE PEA BPA CPBE S S S S S S ∆∆∆∆∆===四边形． 易得直线AB 的函数表达式为1y x =+．设点21(31)2P m m m -++，，则点(,1)F m m +．∴21(3+1)(1)2PF m m m =-+-+2122m m =-+．∴1=()2BPA A B CPBE S S PF x x ∆=-四边形211(2)(40)22m m =⋅-+⋅- 2(2)+4m =--．∴当2m =时，四边形CPBE 的面积取得最大值4．………………………（7分）（3）B '的坐标为：52,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，73,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3925,1414⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…（10分）四、解答题：26.解：（1）∵∠ACB =90°，∠B =60°，∴∠BAC =30°，∠ACD =90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∠AGE =60°. ∵点F 是AD 的中点， ∴CF = EF = AF =DF .∴∠FAE =∠FEA ，∠FCD =∠FDC .∴∠1=180°－2∠FAE ，∠2=180°－2∠FDC （如答图1）. ∴∠1+∠2=360°－2（∠FAE +∠FDC ）. ∵∠FAE +∠FDC =180°－∠B ，且∠B =60°， ∴∠FAE +∠FDC =120°， ∴∠1+∠2=120°. ∴∠EFC =60°.∴△CEF 是等边三角形. ………………………………………………………（3分） （2）猜想结论是：ED EA ，理由如下：连结CE ，过点C 作C M ⊥CE 交DE 于点M （如答图2）. ∴∠ECM =90°.∵∠CGD =∠AGE =60°，且∠B =60°， ∴∠CGD =∠B .∵GC =BC ，∠ACB =∠DCG =90°， ∴△ACB ≌△DCG . ∴AC =DC ，∠CAE =∠CDM . ∵∠ACD =90°，∠ECM =90°， 即∠ACE +∠GCM =∠DCM +∠GCM ， ∴∠ACE =∠DCM . ∴△ACE ≌△DCM . ∴EA =MD ，CE =CM .∴△ECM 是等腰直角三角形. ∴EM ， ∵△CEF 是等边三角形， ∴CE = EF ，BG ACDEF 26题答图2MACEF26题答图1G1 2∴=2EM EF ，∴=++2ED MD EM EA EF =．………………………………………………（6分）结论也可：.333624222EA EF ED DE AE EF +=+=或 理由略. （3）当QF 取得最小值时，tan ∠FCQ =33．……………………………………（8分）。
2021届重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高考模拟(三诊)(文科)数学试题
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ） 是 的左、右顶点， 是 上的两点，若 ，求四边形 面积的最大值.
21．已知函数 ，
（1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
3．D
【分析】
a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2,S11＝ =11a6进而得到结果.
6．A
【分析】
由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PD⊥底面ABC，垂足D在AC的延长线上，且BD⊥AD．由题中数据及锥体体积公式即可得出．
【详解】
由三视图可知：该几何体为三棱锥 （如图），
过点 作 底面 ，垂足 在 的延长线上，且 ， ， ， ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：集合 ，而 ，所以 ，故选C.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．C
【解析】
试题分析： ，故选C．
【考点】复数的运算、共轭复数．
4．D
【分析】
由已知向量的坐标求出 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期3月周测1数学试题 含答案
高2022级高二下期第一次周周清班级：姓名：一、单项选择题（本大题共7小题，共35分）1.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A. 1B. −1C. 2D. −22.已知函数f(x)=2x2−1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx))，则ΔyΔx等于()A. 4B. 4+2ΔxC. 4+2(Δx)2D. 4x3.若y=f(x)在(−∞,+∞)可导，且limΔx→0f(a+2Δx)−f(a)3Δ x=1，则f′(a)=()A. 23B. 2 C. 3 D. 324.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线平行于直线y=2x−1，则点P的坐标为()A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,3)和(−1,3)D. (1,−3)6.已知曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为()A. −34B. −1 C. 32D. 27.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分）8. 下列结论中正确的是( )A. 若y =log 2x ，则y ′=xln2B. 若y =2x −cosx ，则y ′=2x ln2+sinxC. 若y =x 3e x ，则y ′=(3x 2+x 3)e xD. 若y =xsin2x ，则y ′=sin2x +cos2x9. 以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )A. (1x )′=1x 2B. (cos2x)′=−2sin2xC. (3x ln3)′=3xD. (lg x)′=−1xln10 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 10. 已知曲线f(x)=2x 2+1在点M(x 0,y 0)处的瞬时变化率为−8，则点M 的坐标为______．11. 如图，函数y =f(x)的图象在点P 处的切线方程是y =−x +5，则f(3)+f′(3)=______12. 曲线f(x)=2lnx −1在点(e,1)处的切线方程为______．13. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________．四、解答题（本大题共3小题，共35.0分）14. 求以下函数的导函数；(1)y =1x (2)y =√x (3)y =x 2lnx (4)y =(3x +2)315. 已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程．16.已知函数f(x)=e x．x(1)求函数f(x)的导函数；(2)若曲线f(x)在某处切线平行于x轴，求切线方程答案BBDBCBB BC BC10.【答案】(−2,9)11.【答案】112.【答案】2x−ey−e=013.【答案】2−2ln2．15.【答案】解：，对f(x)求导，得f′(x)=3x2−4x+1，代入x=2，f′(2)=5，f(2)=2，切线方程为y−2=5∗(x−2)∴y=x03−2x02+x0,f′(x0)=3x02−4x0+1∴切线为y-x03−2x02+x0=3x02−4x0+1(x−x0)∵过原点，∴代入（0，0）则切线为y=x或y=016.【答案】解：(1)f′(x)=e x⋅x−1；x2(2)故曲线f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为y−e=0；。
2020-2021学年重庆外国语学校高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆外国语学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A. 23B. 12C. 14D. 162.若函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.已知圆锥的高为2√5，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为()A. √6B. √3C. √2D. 24.下列判断正确的是()A. 若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为11B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则m=4C. 用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件5.在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，则异面直线AB与PC所成角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(ln2)x+e x(其中e为自然对数的底数)，则f(ln2)=()A. 2+4ln2B. 2−4ln2C. 2D. −27.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花.其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是()A. 240B. 126C. 78D. 728.已知函数f(x)=a−lnx，g(x)=x2e x.若对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是()A. [1,e]B. (1e ,1+e]C. (1+1e ,e]D. (1+1e ,e +1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内10. 纵观重庆市主城九区2020年GDP 数据，整体受疫情影响轻微，重庆市全市GDP 在全国排名第5位，主城九区GDP 具体数据如表，则下列说法正确的是( )A. 重庆市主城九区2020年GDP 名义增速的众数是5%B. 重庆市主城九区2020年GDP 的极差为1743.06亿元C. 重庆市主城九区2020年GDP 的同比增量的中位数为70.28亿元D. 北碚区2020年GDP 的数值高于主城九区2020年GDP 的平均值11. 在三棱锥T −ABC 中，TA ，TB ，TC 两两垂直，T 在平面ABC 上的投影为D ，O 为三棱锥T −ABC 内任意一点，则下列选项中正确的是( )A. TA ⊥BC ，TB ⊥AC ，TC ⊥ABB. △ABC 可能是直角三角形C. 1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2D. S △ABC2=13(S △TAB 2+S △TAC 2+S △TBC 2)12. 已知f(x)=2m(x 2+1)e x−1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2.若φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x有唯一的零点，则m 的值可能为( )A. 2B. 3C. −3D. −4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为______14. 随着移动支付的逐步普及，可供人们选择的第三方支付方式也越来越多，日益进步的支付技术让支付收款变得非常方便.如图是一张微信二维码的收款码，该收款码是边长为4的正方形，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个，据此可估计黑色部分的面积为______ ．15. 在空间直角坐标系O −xyz 中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为A(2,2，1)，B(2,2，−1)，C(0,2，1)，D(0,0，1)，则该四面体外接球的体积是______ ．16. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2−f(−x).当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<3x.若f(a +3)−f(1−a)≤12a +12，则实数a 的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，tanC =sinA+sinBcosA+cosB ．(1)求角C ；(2)若c =2，求a +b 的取值范围．18. 已知在数列{a n }中，a 1=12，a n+1=12a n +n+12n+1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．19.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=6，AD=2√2，E，F分别是CD的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图2．(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；(2)求平面PAF与平面PBE所成锐二面角的大小．20.2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.重庆市奉节县盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200,500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上的概率；(2)根据频率分布直方图，估计这100个脐橙质量的中位数；(3)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元仟千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购．请你通过计算为该村选择收益较好的方案．参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05=354.5．21.已知函数f(x)=2x+ksinx+1(a∈R)．(1)试讨论函数f(x)在区间(0,2π)上的极值点的个数；]上有唯一解，求实数k(2)设g(x)=xsinx+f′(x)+x−2，当k>2时，若方程g(x)=3在区间[0,π2的取值范围．22.已知点A(−1,0)，B(1,0)，动点P满足k PA⋅k PB=a，其中k PA，k PB分别为直线PA，PB的斜率，a为时，P的轨迹记为C2．常数，且当a=−1时，点P的轨迹记为C1，当a=−14(1)求曲线C1，C2的方程；(2)过点M(−√3,0)的直线l与曲线C1，C2交于四点P1，P2，P3，P4(其中P1，P2在x轴上方，P3，P4在x2轴下方，P1，P4∈C1，P2，P3∈C2).问：是否存在这样的直线l，使得|P1P2|，|P2P3|，|P3P4|称等差数列？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色，利用列举法能求出所选颜色中含有白色的概率．【解答】解：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有：黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共6种．其中包含白色的有3种，∴所选颜色中含有白色的概率为p=36=12．故选：B．2.【答案】B【解析】解：根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，其导数f′(x)=√3x2+1x−1，则f′(1)=√3，有tanθ=√3，则θ=60°，故选：B．根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，求出函数的导数，进而求出f′(1)的值，由导数的几何意义可得tanθ=√3，分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵圆锥的底面半径r=4，高ℎ=2√5，∴圆锥的母线l=√42+(2√5)2=6，∴圆锥侧面积S=πrl=24π，设球的半径为R，则4πR2=24π，∴r=√6．故选：A．由已知圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径．本题考查圆锥侧面积与球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为22×3=12，故A错误；对于B：根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则−2.8=0.3m−m，解得：m=4，故B正确；对于C：用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球包含1黑1红和2红2个基本事件，至少有一个红球包含1黑1红和2红2个基本事件，不是两个互斥而不对立的事件，故D错误；故选：B．根据方差的性质判断A，根据线性相关判断B，代入样本点的中心求出m，判断C，根据互斥，对立事件判断D．本题考查了方差的性质，考查线性相关，线性回归方程以及互斥，对立事件，是基础题．5.【答案】D【解析】解：取PB中点D，连接ED、FD，∵在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，AB=2，∴ED//AB，且ED=12PC=2，DF//PC，且DF=12∴∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，∵cos∠EDF=ED2+DF2−EF22×ED×DF =4+4−82×2×2=0．∴异面直线AB与PC所成角为90°．故选：D．取PB中点D，连接ED、FD，则∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线AB与PC所成角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=2f′(ln2)+e x，∴f′(ln2)=2f′(ln2)+e ln2，∴f′(ln2)=−2，∴f(x)=−4x+e x，f(ln2)=−4ln2+e ln2=2−4ln2．故选：B．可求出：f′(x)=2f′(ln2)+e x，然后即可求出f′(ln2)=−2，然后即可得出f(x)的解析式，从而得出f(ln2)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A22=36种安排方法，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A33=36种安排方法，③D、E两人分到同一组，有A33=6种安排方法，则有36+36+6=78种安排方法．故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，③D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：g′(x)=2xe x+x2e x=x(x+2)e x，当x∈(−1,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(−1)=1e,g(1)=e,g(0)=0，又对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，∴f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，又x1∈[1,e]，故a−1≤f(x1)≤a，∴{a−1>1 ea≤e ，解得1e+1<a≤e．故选：C．先利用导数可求得g(x)的单调性及在[−1,1]上的取值情况，再根据题意可得f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，由此建立关于a的不等式组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，显然成立，故选项A正确；因为任意三个不共线的点可以确定一个平面，那么空间中任意四个不共面的点连线可构成一个三棱锥，只能确定一个外切球，故选项B错误；根据线面垂直的判定，可知一条线垂直一个平面内的两条相交直线，则这条线和平面垂直，故选项C正确；过A点作直线a的垂线可作出无数条，这无数条直线都相交于A点，则这无数条直线共面，这个平面垂直a，故选项D正确．故选：ACD．由线面垂直的判定和空间中点的位置关系，逐一判断各个选项即可．本题考查了空间中线面垂直的判定以及空间中点的位置关系．10.【答案】AB【解析】解：重庆市主城九区2020年GDP名义增速分别为：4%，7%，9%，4%，5%，6%，5%，−1%，5%，故重庆市主城九区2020年GDP名义增速的众数是5%，故选项A正确；重庆市主城九区2020年GDP的最大值为2009.52，最小值为266.46，故重庆市主城九区2020年GDP的极差为2009.52−266.46=1743.06亿元，故选项B正确；重庆市主城九区2020年GDP的同比增量分别为：−9.34，12.90，30.47，37.12，42.67，57.12，70.28，85.33，161.28，故重庆市主城九区2020年GDP的同比增量的中位数为42.67亿元，故选项C错误；×(1358.47+1325.40+2009.52+1013.90+1533.16+813.25+主城九区2020年GDP的平均值为19266.46+865.48+636.41)=1091.34亿元，北碚区2020年GDP的数值为636.41亿元，所以北碚区2020年GDP的数值低于主城九区2020年GDP的平均值，故选项D错误．故选：AB．利用题中给出的统计数表中的数据，对四个选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了统计数表的应用，读懂统计数表并能从统计数表中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：如图：∵TA⊥TB，TA⊥TC⇒TA⊥面TBC⇒TA⊥BC，同理TB⊥AC，TC⊥AB，故选项A正确；设TA=a，TB=b，TC=c，则AB2=a2+b2，BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在△ABC 中，由余弦定理得cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=a 2√a 2+b 2√a 2+c 2>0，同理可得cosB >0，cosC >0，∴△ABC 是锐角三角形，故选项B 错误； 过T 作TE ⊥BC 于E ，连AE ，过T 作TD ⊥AE 于D ，在RT △TBC 中，得：TE =bc√b 2+c 2，在△ABC 中，有AE =√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2，由于AE ⋅TD =TA ⋅TE ，∴√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2×TD =a ×bc √b 2+c 2，∴a 2b 2c 2=(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)TD 2， ∴1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2，故选项C 正确；由图S △ABC2=14BC 2⋅AE 2=14BC 2(AT 2+TE 2) =14(TB 2+TC 2)(AT 2+TE 2) =14(TB 2TC 2+TA 2TC 2+TA 2TB 2) =S △TBC 2+S △ACT 2+S △TAB 2，故选项D 错误；故选：AC ．由题可知TA ，TB ，TC 两两垂直可求出线面垂直，进而可判断A 选项； 利用余弦定理可判断B 选项；根据面积公式作辅助线求解，即可判断C 选项． 利用等量代换关系求解可判断D 选项；本题考查了三棱锥的综合应用，考查了学生的空间想象能力，及灵活运用所学知识来分析问题和解决问题的能力．12.【答案】ACD【解析】解：f(x)=2m(x 2+1)e x −1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2．∵φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，∴2m(x 2+1)−e x −(m+2)(x 2+1)2e x =0只有一个实数根，即(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，则t′=(x 2+1)′e x −(x 2+1)e x(e x )2=−(x−1)2e x≤0，∴函数t =x 2+1e x在R 上单调递减，且x →+∞时，t →0，∴函数t =x 2+1e x的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m +2)t 2−2mt +1=0(∗)有且只有一个正实根． ①当m =2时，方程(∗)为4t 2−4t +1=0，解得t =12，符合题意；②当m =3时，方程(∗)为5t 2−6t +1=0，解得t =15或t =1，不符合题意；③当m =−3时，方程(∗)为t 2−6t −1=0，得t =3±√10，只有3+√10>0，符合题意． ④当m =−4时，方程(∗)为2t 2−8t −1=0，得t =4±3√22，只有4+3√22>0，符合题意．故选：ACD ． 通过φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，化为(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当m =2时，②当m =3时，③当m =−3时，④当m =−4时，验证函数的零点个数，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．13.【答案】20【解析】解：令x =1，可得(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为2n =64，∴n =6，故(1x +x 2)n =(1x +x 2)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅x 3r−6，令3r −6=3，可得r =3， 故展开式中x 3的系数为C 63=20， 故答案为：20．先利用二项式系数的性质求得n =6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于，3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：正方形的面积S =16，若在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个， 据此可估计黑色部分的面积S 满足S16=7501600，即S =7510=152，故答案为：152求出正方形的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据几何概型的公式转化为面积之比是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】4√3π【解析】解：如图，设正方体的棱长为2，O为所在棱的中点，在空间直角坐标系O−xyz下，A，B，C，D四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体有同的外接球，其半径为体对角线的一半，√22+22+22=√3，等于12π×(√3)3=4√3π．故其外接球的体积为V=43故答案为：4√3π．由点的坐标确定四面体ABCD各顶点恰是正方体的四个顶点，求出正方体的对角线长，可得外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，是基础题．16.【答案】[−1,+∞)【解析】解：∵f(x)=3x2−f(−x)，∴f(−x)=3x2−f(x)①x2，令g(x)=f(x)−32将①代入g(−x)，可得g(−x)=f(−x)−32(−x)2=[3x2−f(x)]−32x2=−[f(x)−32x2]=−g(x)，∴g(x)为R上的奇函数；又当x∈(−∞,0)时，f′(x)<3x，∴当x∈(−∞,0)时，g′(x)=f′(x)−3x<0，∴g(x)在(−∞,0)上单调递减，∴奇函数g(x)=f(x)−32x2在R上单调递减；②∵f(a+3)−f(1−a)≤12a+12，∴f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)−g(1−a)=[f(a+3)−32(a+3)2]−[f(1−a)−32(1−a)2]=f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)≤g(1−a)，③由②③得a+3≥1−a，解得a≥−1，即实数a的取值范围是[−1,+∞)，故答案为：[−1,+∞)．令g(x)=f(x)−32x2，结合已知可分析得到g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数，于是f(a+3)−f(1−a)≤12a+12可等价转化为g(a+3)≤g(1−a)，脱“g”可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)−32x2，分析得g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数是关键，也是难点，考查逻辑推理与数学运算能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为tanC=sinCcosC =sinA+sinBcosA+cosB，所以sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinB)；即sinCcosA−cosCsinA=cosCsinB−sinCcosB，所以sin(C−A)=sin(B−C)，故C−A=B−C或C−A=π−(B−C)，解得A+B=2C或B−A=π(舍)又因为在△ABC中，A+B+C=π，所以C=60°．(2)(法一)由余弦定理知c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，所以4=c2=(a+b)2−3ab≥(a+b)2−34(a+b)2=14(a+b)2，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立．又因为a，b，c是△ABC的三条边，所以2<a+b≤4，所以2<a+b≤4．(2)(法二)因为c=2，C=60°，由正弦定理，csinC =4√33，所以a=4√33sinA,b=4√33sinB．所以a+b=4√33(sinA+sinB)，=4√33(sinA+sin(120°−A))=4×(√32sinA+12cosA)=4sin(A+30°)，因为A，B，C是△ABC的三个内角，且C=60°．所以A∈(0°,120°)，所以A+30°∈(30°,150°)，所以12<sin(A+30°)≤1，所以2<a+b≤4．【解析】(1)由已知结合同角基本关系及核查角公式可求A，B，C的关系，然后结合三角形内角和定理可求C；(2)法一：结合余弦定理及基本不等式，三角形两边之和大于第三边可求；法二：由正弦定理表示a，b，然后几何核查角，辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，同角基本关系，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为a n+1=12a n+n+12n+1，所以2n+1a n+1=2n a n+(n+1)，所以2n+1a n+1−2n a n=n+1，所以2n a n=(2n a n−2n−1a n−1)+(2n−1a n−1−2n−2a n−2)+⋯+(22a2−2a1)+2a1=1+2+⋯+n=n(n+1)2，所以a n=n(n+1)2n+1．(2)记b n=a nn =n+12n+1，所以S n =b 1+b 2+b 3+⋯b n−1+b n =222+323+...+n 2n +n+12n+1，①12S n=223+324+...+n 2n+1+n+12n+2，② ①−②得：12S n =12+18+116+...+12n+1−n+12n+2=12+18(1−12n−1)1−12−n+12n+2，所以S n =32−n+32n+1．【解析】(1)由已知递推式可得2n+1a n+1−2n a n =n +1，再由累加法和等差数列的求和公式，可得所求通项公式；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和，注意运用累加法和错位相减法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为E ，F 分别是CD 的两个三等分点，所以四边形ABEF 是正方形；(2分) 所以BE ⊥EF ，(2分)又因为BE ⊥PE ，且PE ∩EF =E ， 所以BF ⊥平面PEF.(4分) 又因为BF ⊂平面ABEF ， 所以平面PEF ⊥平面ABEF.(6分)(2)解：过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ， 则PO ⊥面ABEF ，又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 易知A(2,−1,0),B(2,1,0),F(0,−1,0),P(0,0,√3),E(0,1,0)， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，(8分) 设平面PAF 的法向量为a⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{a ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0a ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 1−y 1−√3z 1=0y 1+√3z 1=0， 取y 1=√3，则a ⃗ =(0,√3,−1)(9分) 同理PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 设平面PBE 的法向量为b ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{b ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0b ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 2+y 2−√3z 2=0y 2−√3z 2=0， 取y 2=√3，则b ⃗ =(0,√3,1)，(10分) 所以cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=12，(11分)所以平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°，(12分)【解析】(1)证明BE ⊥EF ，结合BE ⊥PE ，推出BF ⊥平面PEF ，即可证明平面PEF ⊥平面ABEF ． (2)过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 的法向量，平面PBE 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题设知，脐橙质量在[350,400)，[400,450)的比例为3：2，由分层抽样知，应分别抽取3个和2个， 记抽取质量在[350,400)的脐橙为A 1，A 2，A 3， 质量在[400,450)的脐橙为B 1，B 2，则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 2B 1，A 3B 1，A 1B 2，A 2B 2，A 3B 2，B 1B 2， 设“这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上”为事件A ， 则P(A)=610=35；(2)由直方图可知，脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05，同理质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为： 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05．可得中位数落在区间(350,400)内，设中位数为x ，则(x −350)×0.006+0.45=0.5， 解得：x =358.3．故估计这100个脐橙质量的中位数为358.3；(3)若按方案A 收购，各段脐橙的个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000， 于是总收益为：(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150元；若按方案B收购，质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000个，则收益为45000×2+55000×3=255000元．∵248150<255000，∴方案B比方案A收益高．故应选择方案B．【解析】(1)由分层抽样得到抽取质量在[350,400)的脐橙与在[400,450)的脐橙个数，再由枚举法列出基本事件，由随机事件的概率公式求概率；(2)设中位数为x，则(x−350)×0.006+0.45=0.5，求解x值得答案；(3)分别计算出两种方案该村的收益，比较大小得结论．本题考查随机事件及其概率，考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=kcosx+2，①当−2≤k≤2时，因为|cosx|≤1，所以|kcosx|≤2，f′(x)=kcosx+2≥0，所以f(x)单调递增，在(0,2π)上无极值点；(1分)②当k>2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递减，f′(0)=k+2>0，f′(π)=−k+2<0，所以存在x1∈(0,π)，使得f′(x1)=0，则x1为f(x)的极大值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递增，f′(π)=−k+2<0，f′(2π)=k+2>0，所以存在x2∈(π,2π)使得f′(x2)=0，则x2为f(x)的极小值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(3分)③当k<−2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递增，f′(0)=k+2<0，f′(π)=−k+2>0，所以存在x3∈(0,π)，使得f′(x3)=0，则x3为f(x)的极小值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递减，f′(π)=−k+2>0，f′(2π)=k+2<0，所以存在x4∈(π,2π)使得f′(x4)=0，则x4为f(x)的极大值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(5分)综上所述，当−2≤k≤2时，f(x)在(0,2π)上无极值点；当k<−2或k>2时，f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(6分)(2)当k>2时，g(x)=xsinx+kcosx+x，则g′(x)=(1−k)sinx+xcosx+1，(7分)设ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=(2−k)cosx −xsinx ． 因为k >2,x ∈[0,π2]，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，(8分) 因为ℎ(0)=1>0,ℎ(π2)=1−k +1=2−k <0．所以存在唯一的x 0∈[0,π2]，使得ℎ(x 0)=0，即g′(x 0)=0，(9分) 所以g(x)在区间[0,x 0]上单调递增， 在区间[x 0,π2]上单调递减，(10分) 因为g(0)=k,g(π2)=π，又因为方程g(x)=3在区间[0,π2]上有唯一解，(11分) 所以2<k ≤3，即实数k 的取值范围是(2,3].(12分)【解析】(1)求出f(x)的导函数，对k 分类讨论，利用导数求出函数的单调性，从而可判断函数极值点的个数；(2)对g(x)求导，利用导数及零点存在定理即可求得g(x)的单调性，结合条件可得k 的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查方程有解求参数问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，由yx+1⋅yx−1=−1，化简得C 1：x 2+y 2=1(x ≠±1)；(2分) 由yx+1⋅yx−1=−14，化简得C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)；(4分) (2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)则由题可知|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|， 所以|P 1P 4|=3|P 2P 3|，(5分)由{x 2+4y 2=1x =my −√32，得(m 2+4)y 2−√3my −14=0．第21页，共21页 所以y 2+y 3=√3m m 2+4,y 2y 3=−14(m 2+4)．故|P 2P 3|=√1+m 2⋅|y 2−y 3|=2(1+m 2)4+m 2，(6分) 易知|P 1P 4|=2√1−34(m 2+1)=√4m 2+1m 2+1，(7分) 故√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2.(8分) 令t =m 2+1≥1，则有(4t −3)(t +3)2=36t 3，令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，(10分)则f′(t)=96t 2−42t −18>0，故f(t)≥f(1)=20>0，因此(4t −3)(t +3)2=36t 3无解，(11分)所以不存在这样的直线l 满足条件．(12分)另解：由(4t −3)(t +3)2=36t 3，故(8−6t )(1+3t )(1+3t )=72≤(8+1+13)3，矛盾． 所以不存在这样的直线l 满足条件．【解析】(1)设P(x,y)，通过斜率乘积，求解切线方程即可．(2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)，|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|，推出|P 1P 4|=3|P 2P 3|，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式，推出√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2，令t =m 2+1≥1，构造函数令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，利用函数的导数推出函数的单调性，说明(4t −3)(t +3)2=36t 3无解推出结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，函数导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
重庆第二外国语学校2020年高二数学文下学期期末试卷含解析
重庆第二外国语学校2020年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．2. 已知在半径为4的球面上有A、 B、 C、 D四个点，且AB=CD=4，则四面体ABCD体积最大值为（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是（）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确参考答案：C分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.或”的否定应是“且”②的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3D．0参考答案：C5. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．B．C．D．参考答案：【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可．【解答】解：取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=，∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=，故选：B．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，根据三棱锥的结构得到三棱锥的侧视图是解决本题的关键．6. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A. 61.5万元B. 62.5万元C. 63.5万元D. 65.0万元参考答案：【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。
重庆第二外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
重庆第二外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）不同的排列A ．36B ．54C ．60D ．727．若函数()()2e xf x x a =+在[]22-,上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．(),8-∞-C ．(],8-∞-D ．[)0,∞+8．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-二、多选题三、填空题13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选四、解答题参考答案：所以2eln e a <，解得1e a <<综上所述，a 的取值范围为⎛ ⎝[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x '=⋅-=0的两个根为因为12,x x 分别是函数()2f x =所以函数()f x 在()1,x -∞和(设函数()()(g 2ln xx f x a a '==若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0-,x ∞上单调递减，在(0,x +∞()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若。
2020-2021学年重庆实验外国语学校高二(下)月考数学试卷(3月份) (解析版)
2020-2021学年重庆实验外国语学校高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（共6小题）.1．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（）A．B．C．D．2．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（）A．B．C．D．3．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位．其中说法正确的是（）A．①②④B．②③④C．①③④D．②④4．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（）A．B．C．D．5．已知椭圆C1与双曲线C2的焦点相同，离心率分别为e1，e2，且满足，F1，F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2＝120°，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．2D．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a﹣b|的取值，则ξ的数学期望E（ξ）＝（）A．B．C．D．二、多选题7．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2＝σ3B．σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＞μ3D．μ1＜μ2＝μ38．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有（）A．EF∥平面AA1B1BB．若D是B1C1上的中点，则BD⊥EFC．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为三、填空题9．一批电池（一节）用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30个小时的概率．（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544）10．（x+）（2x﹣）5展开式中的常数项为．四、解答题11．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数89101112频数1020303010以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示1台机器三年内共需维修的次数，n表示购买1台机器的同时购买的维修次数．（1）求X的分布列；（2）若要求P（X≤n）≥0.8，确定n的最小值；（3）以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在n＝10与n＝11之中选其一，应选用哪个？12．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在曲线x2+y2﹣4y+3＝0外，且对C1上任意一点P，P到直线y＝﹣1的距离等于该点与曲线C2上点的距离的最小值．（1）求动点P的轨迹C1的方程；（2）过点A（0，﹣2）的直线与曲线C1交于不同的两点M、N，过点M的直线与曲线C1交于另一点Q，且直线MQ过点B（2，2），求证：直线NQ过定点．参考答案一、单选题（共6小题）.1．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（）A．B．C．D．解：某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．设事件A表示“电子元件用满3000小时不坏”，事件B表示“电子元件用满8000小时不坏”，则P（A）＝，P（AB）＝，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为：P（B|A）＝＝＝．故选：B．2．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（）A．B．C．D．解：X的可能取值有0，1，2，且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列如下：X012PE（X）＝0×+1×+2×＝．故选：D．3．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位．其中说法正确的是（）A．①②④B．②③④C．①③④D．②④解：对于①，回归直线恒过样本点的中心（，），可以不过任一个样本点，故①错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程＝2﹣0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；其中正确命题②③④．故选：B．4．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（）A．B．C．D．解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率：．故选：D．5．已知椭圆C1与双曲线C2的焦点相同，离心率分别为e1，e2，且满足，F1，F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2＝120°，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．2D．解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在x轴上，设椭圆的方程+＝1，双曲线的方程为：﹣＝1，由题意可得a22+b22＝a12﹣b12＝c2，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理cos∠F1PF2＝＝﹣，在双曲线中，r1﹣r2＝2a2，椭圆中，r1+r2＝2a1，所以⇒⇒4（a12﹣c2）＝（c2﹣a22），可得3a12+a22＝4c2，因为足，F1，所以＝5•，可得a12＝5a22，所以3×5a22+a22＝4c2，所以e2＝＝＝2，故选：C．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a﹣b|的取值，则ξ的数学期望E（ξ）＝（）A．B．C．D．解：∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b与a同符号，且a≠0，b≠0，当a＝﹣3时，b可取﹣1，﹣2，﹣3，|a﹣b|对应的值为：2，1，0，当a＝﹣2时，b可取﹣1，﹣2，﹣3，|a﹣b|对应的值为：1，0，1，当a＝﹣1时，b可取﹣1，﹣2，﹣3，|a﹣b|对应的值为：0，1，2，当a＝1时，b可取1，2，3，|a﹣b|对应的值为：0，1，2，当a＝2时，b可取1，2，3，|a﹣b|对应的值为：1，0，1，当a＝3时，b可取1，2，3，|a﹣b|对应的值为：2，1，0，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴E（ξ）＝0×＝．故选：A．二、多选题7．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2＝σ3B．σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＞μ3D．μ1＜μ2＝μ3解：因为x＝μ是对称轴，观察图象可知：μ1＜μ2＝μ3，而y＝φ1（x）与y＝φ2（x）的图象可以相互平移得到，且y＝φ3（x）的图象显得更“矮胖”，故σ1＝σ2＜σ3．故选：BD．8．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有（）A．EF∥平面AA1B1BB．若D是B1C1上的中点，则BD⊥EFC．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F（0，1，2），设D（x，2﹣x，2），故，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，所以为平面AA1B1B的一个法向量，是平面ABC的一个法向量，对于A，，所以，即EF⊥AC，又EF⊄平面AA1B1B，所以EF∥AA1B1B，故选项A正确；对于B，若D是B1C1上的中点，则，所以，所以EF与BD不垂直，故选项B错误；对于C，因为是平面ABC的一个法向量，，设直线EF与平面ABC所成的角为α，则sinα＝＝，故选项C正确；对于D，设，故，所以，所以＝，故当，即时，取得最大值，即直线BD与直线EF所成的角最小，此时，所以，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题9．一批电池（一节）用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30个小时的概率0.8413．（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544）解：设电池（一节）用于无线麦克风的寿命为随机变量X，由题意知X～N（34.3，4.32）．所以P（X≥30）＝1﹣＝＝0.8413．故答案为：0.8413．10．（x+）（2x﹣）5展开式中的常数项为200．解：根据题意，（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝C5r（2x）5﹣r×（﹣）r＝（﹣1）r C5r25﹣r×x5﹣2r，令r＝2，有T3＝（﹣1）2C5223×x1＝80x，令r＝3，有T4＝（﹣1）3C5322×＝，（x+）（2x﹣）5展开式中的常数项为x×（）+（）×80x＝200；即其展开式中的常数项为200；故答案为：200四、解答题11．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数89101112频数1020303010以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示1台机器三年内共需维修的次数，n表示购买1台机器的同时购买的维修次数．（1）求X的分布列；（2）若要求P（X≤n）≥0.8，确定n的最小值；（3）以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在n＝10与n＝11之中选其一，应选用哪个？解：（1）由统计表并以频率代替概率可得，X的可能取值为8，9，10，11，12，P（X＝8）＝＝0.1，P（X＝9）＝＝0.2，P（X＝10）＝＝0.3，P（X＝11）＝＝0.3，P（X＝12）＝＝0.1，∴X的分布列为：X89101112P0.10.20.30.30.1（2）因为P（X≤10）＝0.1+0.2+0.3＝0.6＜0.8，P（X≤11）＝0.1+0.2+0.3+0.3＝0.9≥0.8，所以P（X≤n）≥0.8的最小值为11．（3）记当n＝10时，在维修上所需费用为Y1元，则Y1的分布列为：Y124002450250030003500P0.10.20.30.30.1所以E（Y1）＝2400×0.1+2450×0.2+2500×0.3+3000×0.3+3500×0.1＝2730（元）记当n＝11时，在维修上所需费用为Y2元，则Y2的分布列为：Y226002650270027503250P0.10.20.30.30.1所以E（Y2）＝2600×0.1+2650×0.2+2700×0.3+2750×0.3+3250×0.1＝2750（元）因为E（Y1）＜E（Y2），所以应选择n＝10．12．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在曲线x2+y2﹣4y+3＝0外，且对C1上任意一点P，P到直线y＝﹣1的距离等于该点与曲线C2上点的距离的最小值．（1）求动点P的轨迹C1的方程；（2）过点A（0，﹣2）的直线与曲线C1交于不同的两点M、N，过点M的直线与曲线C1交于另一点Q，且直线MQ过点B（2，2），求证：直线NQ过定点．解：（1）由已知得曲线C2是以C2（0，2）为圆心，1为半径的圆．（1分）设P（x，y），则P到直线y＝﹣1的距离等于|y+1|，又P到圆C2上的点的距离的最小值为|PC2|﹣1＝﹣1，所以由已知可得|y+1|＝﹣1，化简得x2＝8y，所以曲线C1的方程为x2＝8y．证明：（2）设点M（t，），N（），Q（），由题意得直线MQ，NQ的斜率均存在，从而直线MN的斜率k＝＝（t1+t2），所以直线MN的方程是y﹣＝（t1+t2）（x﹣t），即（t+t1）x﹣8y﹣tt1＝0，同理直线MQ的方程为（t+t2）x﹣8y﹣tt2＝0，直线NQ的方程为（t1+t2）x﹣8y﹣t1t2＝0，点（0，﹣2）在直线MN上，所以tt1＝16，即t＝，点B（2，2）在直线MQ上，2（t+t2）﹣16﹣tt2＝0，即2（+t2）﹣16﹣＝0，化简得t1t2＝8（t1+t2）﹣16，代入直线NQ的方程得（t1+t2）x﹣8y﹣8（t1+t2）+16＝0，即（t1+t2）（x﹣8）﹣8（y﹣2）＝0，∴直线NQ过定点（8，2）．。
2023-2024学年重庆实验外国语学校高二(下)月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆实验外国语学校高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二项式(2x 2−1x )7的展开式中第5项的系数是( )A. 280B. −280C. 35D. −352.若随机变量X ∼N(2,σ2)，且P(X ≤6)=0.7，那么P(X ≤−2)=( )A. 0.7B. 0.8C. 0.2D. 0.33.若f(x)=x 2−2lnx ，则f′(x)>0的解集为( )A. (0,1)B. (−1,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)4.下列说法正确的序号是( )A. 在回归直线方程y =1.2x−2中，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量y 会增加1.2个单位B. 利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得∑i =1n (y i −bx i −a )2最小的原理C. 已知X ，Y 是两个分类变量，若随机变量χ2的观测值越大，则结论“X 与Y 有关系”的犯错概率越大D. 若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为r A >r B ，则A 组数据的相关性更强5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a ，b ，m(m >0)为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b(bmodm).若a =C 120⋅2+C 220⋅22+⋯+C 2020⋅220，a ≡b(modm)，则b 的值可以是( )A. 2022B. 2023C. 2024D. 20256.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有( )种．A. 10B. 20C. 60D. 1207.已知0<P(B)<1，P(A|B)=13，P(A|−B )=12，若P(−A )=35，则P(B)=( )A. 310B. 35C. 12D. 138.已知函数f(x)=ln xx −mx 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,12e )B. (0,1e )C. (−∞,12e )D. (−∞,1e )二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
重庆市四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个函数，在0x =处取得极值的函数是（ ）A ．3y x =B ．y x =C ．2(1)y x =-D ．e x y x =+2．已知函数()f x 满足()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） ABC．D． 3．设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ） A ．19 B ．13 C ．3 D ．94．已知12,F F 分别为双曲线22:145x y C -=的左､右焦点，P 为C 的右支上一点，且122F F PF =，则2F 到直线1PF 的距离为（ ）AB．CD5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2 B．C ．3 D．6．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有()()0f x f x '->，则不等式4e (1)e (23)x f x f x +>-的解集是（ ）A ．{}4x x <B ．{}3x x <C ．{}2x x <D ．{}1x x < 7．已知函数()cos sin f x x x x x =--的定义域为[2π,2π]-，则（ ）A ．()f x 在(0,0)的切线方程为0y =B ．()f x 在[0,π)上单调递增C ．()f x 恰有2个极值点D ．()f x 有且仅有2个极大值点8．已知函数()()21e R 2x f x a x a =-∈，若()f x 有两个极值点1x 、2x 且212x x ≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,ln 22⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,ln 2C ．(]0,2ln 2D ．(]0,3ln 2二、多选题9．对于函数321()23f x x x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 有两个极值点B ．过()0,2作函数的切线只有1条C ．3()3(2)8f x f x +-=D ．若函数()f x 在区间(2,1)a -+上存在最大值，则(1,2)a ∈-10．已知函数ln ()x x f x e =，则（ ） A ．0(1)(1)1lim 2ex f x f x ∆→+∆-=∆ B ．函数()f x 有极大值，且极大值点0(1,2)x ∈C ．(2)(3)f f <D ．函数()f x 只有1个零点11．已知函数()()()222e 22e 0x x f x a x a x a =--->，则（ ）A ．当e a =时，函数()f x 恰有1个零点B ．当e a >时，函数()f x 恰有2个极值点C ．当2e a =时，函数()f x 恰有2个零点D ．当函数()f x 恰有2个零点时，必有一个零点为2三、填空题12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．13．函数2()e x f x x =在区间3,2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上不单调，则实数k 的取值范围是． 14．已知函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，则b a的取值范围是.四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,22N n n n S S a n =-∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()**2,2,N log ,21,N n n n a n k k b a n k k ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩，求数列{}n b 的前21n +项的和． 16．如图，已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面SAB ⊥底面ABCD ，23SA AB AD ==，M 是SB 的中点.(1)证明：AM MC ⊥；(2)若SA BD ⊥，2SA =，求平面AMC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.17．已知函数32()2f x x ax b =-+，()f x 的导函数为()f x '．(1)若()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，()3(1)ln g x x x x =+，求证：当1x >，()g x 的图象在()f x '的图象上方；(2)是否存在正实数a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．18．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，过左焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于D ，E 两点，1DE =．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两个动点，设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，APQ △和BPQ V 的面积分别为1S ，2S ，若213k k =，求12S S -的最大值．19．已知函数e ()ln ()x a f x a x a x-=-∈R ． (1)求()f x 的单调区间；(2)当e a ≥时，判断()f x 的零点个数，并证明结论；(3)不等式21()ln ln 1af x a x x x x ⎛⎫++≤-+ ⎪⎝⎭在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围．。
四川省成都市四川师范学院第二外国语学校(高中部)2020-2021学年高二数学理联考试题含解析
四川省成都市四川师范学院第二外国语学校(高中部)2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙、丙、丁四们同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级. 老师说:“你们四人中有2人A等,1人B等,1人C等,我现在给甲看乙、丙的成绩等级,给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说:“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息,则（）A.甲、乙的成绩等级相同B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同D.乙可以知道四人的成绩等级参考答案：D2.参考答案：C3. 方程的两个根可分别作为的离心率。
A ．椭圆和双曲线B ．两条抛物线 C．椭圆和抛物线 D ．两个椭圆参考答案：A4. 命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（）A．若＞1，则lnx≤0B．若≤1，则lnx＞0C．若≤1，则lnx≤0D．若lnx＞0，则＞1参考答案：C【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为命题：“若≤1，则lnx≤0”，故选：C5. 直线的夹角是（）A． B． C． D．参考答案：B6. 极坐标方程表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆B 两条直线C 一条直线和一个圆D 一个圆参考答案：C7. 函数和在同一直角坐标系下的图像大致是（）参考答案：D8. 在△ABC中，若BC=2，A=120°，则?的最大值为（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由，?4=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA?4=AC2+AB2+AC?AB≥2A?CAB+AC?AB=3AC?AB?AC?AB， ?=AC?ABcos120°即可【解答】解：∵，∴?4=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA?4=AC2+AB2+AC?AB≥2A?CAB+AC?AB=3AC?AB?AC?AB≤∴?=AC?ABcos120°≤，则?的最大值为，故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a2+b2≥2ab的应用，属于基础题．9. 已知函数，且.为的导函数，的图像如右图所示.若正数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 4.已知函数，则（）A．2 B．4 C.5 D．6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列的通项公式为，它的前项和为，则等于。
【精选试卷】重庆第二外国语学校数学高二下期末经典习题
一、选择题1．(0分)[ID ：13882]在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形2．(0分)[ID ：13881]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f -<< B ．()()()220f f f <-< C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<3．(0分)[ID ：13875]已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）A B ．±C D ．±4．(0分)[ID ：13856]已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．(0分)[ID ：13866]若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BC D ．26．(0分)[ID ：13865]在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 7．(0分)[ID ：13848]已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ8．(0分)[ID ：13847]若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π6(k ∈Z )x C ．x =kπ2−π12(k ∈Z ) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z )9．(0分)[ID ：13917]若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．以上答案均错10．(0分)[ID ：13906]已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称11．(0分)[ID ：13905]已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ）A ．310B ．35 C ．65-D ．125-13．(0分)[ID ：13897]在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形14．(0分)[ID ：13835]已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．2515．(0分)[ID ：13833]设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．34B ．23C ．43D ．32二、填空题16．(0分)[ID ：14022]如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值为_________ .17．(0分)[ID ：14019]已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____．18．(0分)[ID ：14016]函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________.19．(0分)[ID ：14012]已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()PA PB PC +⋅=__________．20．(0分)[ID ：14008]已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.21．(0分)[ID ：14005]已知函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2A πωϕ>><图象上一个最高点P 的横坐标为13，与P 相邻的两个最低点分别为Q ，R .若PQR ∆是面积为43边三角形，则函数解析式为y =__________.22．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则·AC BD =_______．23．(0分)[ID ：13995]点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，1AP =，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为___.24．(0分)[ID ：13944]若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 25．(0分)[ID ：13931]已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=____________ .三、解答题26．(0分)[ID ：14123]已知3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求3tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 27．(0分)[ID ：14110]已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（I ）求()f x 的解析式及对称中心坐标； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移6π个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数()g x 的图象,求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间及最值．28．(0分)[ID ：14030]已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++(,0,0,A b ωϕπ><<为常数）一段图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）在ABC ∆中，7()2f B =，求22sin sin A C +的取值范围.29．(0分)[ID ：14063]已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．30．(0分)[ID ：14043]（1）化简求值：222cos 12tan sin 44x x x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2000cos40sin501+++000sin20sin40cos20cos40--【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的18．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就19．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义20．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量21．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案22．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型23．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+224．【解析】由题意得25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三三、解答题26．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AB DC=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵AB DC=，∴AB与DC平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形．又0⋅=，AC BD⊥，∴AC BD即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．2．B【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．3．C解析：C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=，∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．D【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+ 对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()321266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x 2,故|MN|2,故选B6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点、、A B C 必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误 故选D.7．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π12,k ∈Z ，即平移后的函数的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z )，故选C ．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.10．A解析：A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数2111()cos cos2cos2sin(2)22262f x x x x x x xπ=+=++=++，当6xπ=时，113()sin(2)sin6662222fππππ=⨯++=+=，所以6xπ=函数()f x的对称轴，故A正确；由sin(2)[1,1]6xπ+∈-，所以函数()f x的最大值为32，最小值为12-，所以B、C不正确；又由12xπ=时，11()sin(2)6126222fπππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x的对称中心，故D不正确，故选A．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx bϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2)CAαα=．∴(2,2)C、(2,2)Aαα+．∴点A在以(2,2)的圆上．∴OA与OB的夹角为直线OA的倾斜角．设:OAl ykx=∴d r=≤=即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．12．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.13．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF 交BC 的中点于O ，则：S △ABC ＝222124a b c +-=，b=c ；∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算14．D解析：D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+ 221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．D解析：D 【解析】 【分析】由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.【详解】 由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，则()423k k N ππω*=∈， 即32k ω=，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值32，故选D. 【点睛】本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.二、填空题16．【解析】【分析】将用表示出来注意的数量关系再根据的二次函数求最值【详解】设因为所以；所以故当时有最小值【点睛】图形中向量的数量积问题主要是将未知的向量用已知的向量表示这样可以方便计算解析：18【解析】 【分析】将PA PC ⋅用AB ，AC 表示出来，注意AB ，AC 的数量关系，再根据λ的二次函数求最值. 【详解】设AC a =，因为90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，所以3AB a =，2BC a =；22()()PA PC PC CA PC BC CA BC BC BC CA λλλλ⋅=+⋅=+⋅=+⋅，所以22222142cos1204()816a PA PC a a a a λλλ⋅=+⋅⋅⋅︒=--，故当18λ=时，PA PC⋅有最小值. 【点睛】图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.18．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就. 【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos 533522f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()15sin cos 1010x x x ϕ++=+=+，其中5tan 10ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.19．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义 解析：2-【解析】 【分析】先用中点公式的向量式求出PA PB +，再用数量积的定义求出()PA PB PC +⋅的值． 【详解】2PA PB PO +=，()2211cos1802PA PB PC PO PC ο∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义．20．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量解析：【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】∵()()123a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()13a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c⋅=.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．21．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案解析：23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和A ，即可得到结论． 【详解】不妨设P 是距离原点最近的最高点， 由题意知||T RQ =，PQR ∆是面积为∴213432T =216T =， 则周期4T=，即24πω=，则2πω=，三角形的高2h A ==A =则()3sin()2f x x πϕ+，由题得3sin()=36πϕ+，所以()2,62k k Z ππϕπ+=+∈又2πϕ<所以263πππϕ=-=，即()3sin()23f x x ππ=+， 故答案为3sin 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．22．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型解析：0 【解析】 【分析】由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】因为()()()······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+()()222222211··22AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--()()()2222222221111122222BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()()222222111811219490222BC AB AD DC AB BC ++=--+=--+=. 故答案为0本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.23．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2解析：(12 【解析】 【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对AP =λAB +μAD 两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λ+μ的最大值． 【详解】解：依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，1AP =2＝λ2AB 2+2λμAB •AD +μ2AD 2＝4λ2+4μ2．令λ12cos θ=，μ＝12sin θ,θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴λ+μ＝12cos θ12+sin θ＝2sin （θ4π+）；θ3,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, sin （θ4π+）∈]∴λμ+的取值范围为(1,22] 故答案为（122，]． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．24．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 32ππαααπα-==∈∴== 25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三【解析】 【分析】由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin ααααααααα+++=- 22tan 2tan 11tan ααα++=-1114114++=-3=. 【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26．（1）2425-；（2）17- 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求出4cos 5α==，根据二倍角公式即可得解；（2）结合（1）求出3tan 4α=-，利用两角差的正切公式求解. 【详解】 （1）3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以24sin 22sin cos 25ααα==-； （2）由（1）可得3tan 4α=-， 3131tan 14tan 341tan 714πααα-+--⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭+ 【点睛】此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.27．(Ⅰ) ()2sin(2)13f x x π=+-；对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫--⎪⎝⎭(k Z ∈) (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】（I ）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图像上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心.（II ）求得图像变换之后的解析式()2sing x x =，通过求出()g x 的单调区间求得()g x 在区间7π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】解：（I ）由图像可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩,可得：2,1A B ==-又由于721212T ππ=-,可得：T π=,所以22T πω==由图像知()112f π=,sin(2)112πϕ⨯+=,又因为2363πππϕ-<+<所以2122ππϕ⨯+=,3πϕ=.所以()2sin(2)13f x x π=+-令23x k ππ+=(k Z ∈),得：26k x ππ=-(k Z ∈) 所以()f x 的对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫--⎪⎝⎭(k Z ∈) （II ）由已知的图像变换过程可得：()2sin g x x =由()2sin g x x =的图像知函数在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调减区间7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当2x π=时,()g x 取得最大值2；当76x π=时,()g x 取得最小值1-． 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.28．（1）()3sin(2)26f x x π=++（2）33(,]42【解析】【分析】 （1）由图中数据列方程即可求出周期及振幅A ，由6x π=时，函数取得最大值求得ϕ，问题得解．（2）由()sin sin C A B =+化简22sin sin A C +为11sin 226A π⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭ 20,3A π⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用三角函数的性质求解．【详解】(1)523A =-=，()5122b +-== 54126T πππ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭ 2ω∴=由262ππϕ⋅+=得6πϕ=()3sin 226f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ （2）()72f B =可知()73sin 2262f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 266B ππ∴+=或5266B ππ+= 0B ∴=（舍去）或3B π=22sin sin A C ∴+=()2222sin sin sin sin A C A A B +=++=2253sin cos cos 44A A A A ++=231sin cos 42A A A ++=311cos24224A A -+⨯+ 11sin 226A π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭ 3B π=20,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭即72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 1331sin 2,2642A π⎛⎫⎛⎤∴+⋅-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 22sin sin A C ∴+的取值范围为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像及性质，还考查了二倍角公式，考查计算能力及转化能力，属于基础题．29．（1）1a =-，（2）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 试题分析：（1）()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos 6666f x x x x x x a ππππ=++-++cos x x a =++2sin()6x a π=++ ∴max ()21f x a =+=，∴1a =-（2）∵()2sin()16f x x π=+-，∴2sin()106x π+-≥，∴1sin()62x π+≥， ∴522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得222,3k x k k πππ≤≤+∈Z ，∴使()0f x ≥成立的x 的取值集合为2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 考点：本题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法 点评：，对三角函数性质和图象的综合考查主要体现为一个题目中考查三角函数的多种性质及图象的变换、作法等.在其具体的解题过程中，一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角(ωx ＋Φ)的形式，再根据题目具体的要求进行求解.30．(1)1，(2)【解析】【分析】（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积化简求值．【详解】（1）2221244cos x tan x sin x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=224244cos x sin x cos x cos x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭=2244cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=221222cos x cos x cos x sin x π==⎛⎫- ⎪⎝⎭； （24050110cos sin ︒+︒+︒+20402040sin sin cos cos ︒-︒︒-︒10104050cos cos sin ︒+︒︒+︒⋅+()()2301023010cos sin sin sin ︒-︒-︒-︒ 24040403030sin cos cos cos sin ︒︒︒+︒︒+2【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．。
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高2022级高二下期第二次周周清一、单项选择题（本大题共6小题，共30分）
1.曲线f(x)=sinxcosx在点(π
6,f(π
6
))处的切线斜率为()
A. −√3
2B. −1
4
C. 1
4
D. 1
2
2.函数f(x)=x3−3x+1的递减区间为()
A. (−∞,−1)
B. (−1,1)
C. (1,+∞)
D. (−∞,−1),(1,+∞)
3.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()
A.函数f(x)在(−2,−1)上单调递减
B.B. 函数f(x)在x=3处取得极大值
C. 函数f(x)在(−1,1)上单调递减
C.D. 函数f(x)共有4个极值点
4.函数f(x)=lnx
x
的极大值为
A. −e
B. 1
e
C. 1
D. 0
5.当x在(−∞,+∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：
x(−∞,1)1(1,4)4(4,+∞)
f′(x)−0+0−
则函数f(x)的图象的大致形状为()
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=1
3
ax3+ax2+x+1在R上为增函数，则实数a的取值范围是
A. [0,+∞)
B. (0,1)
C. [0,1]
D. [0,1)
二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分）
7. 以下函数求导正确的是( )
A. 若f (x )=x 2−1x 2+1，则f′(x )=4x
(x 2+1)2 B. 若f (x )=e 2x ，则f′(x )=e 2x
C. 若f (x )=√2x −1，则f′(x )=
1√2x−1 D. 若f (x )=cos (2x −π3)，则f′(x )=−sin (2x −π3)
8. 已知函数f(x)的定义域为[−1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y =f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的说法正确的是( )． A. 函数f(x)的值域为[1,2]
B. 函数f(x)在[0,2]上是减函数
C. 如果当x ∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4
D. 当1<a <2时，函数y =f(x)−a 最多有3个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
9. 若曲线f(x)=2ax 3−a 在点(1,a)处的切线与直线2x −y +1=0平行，则实数a 的值为________． 10. 已知函数f(x)的定义域是[−1,5]，部分对应值如下表所示．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小
值为________．
x
−1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1
11. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2，当x =1时，有极大值3，则a +b 的值为________．
12. 已知函数f(x)=x −1−lnx ，对定义域内任意x 都有f(x)≥kx −2，则实数k 的取值范围是________．
四、解答题（本大题共3小题，共36分）
x
−1 0 2 4 5 f(x) 1 2 1.5 2 1
13.已知函数f(x)=x3−3x2+1．
(1)求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间以及极值；
14.已知函数f(x)=xe x，e为自然对数的底数．
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)的单调区间．
(3)若方程f(x)=k有两个根，求k的取值范围。
15.设函数f(x)=lnx+x2−2ax+a2，a∈R．
(1)当a=0时，曲线y=f(x)与直线y=3x+m相切，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[1,3]上存在单调递增区间，求a的取值范围．
参考答案
DBCBCC AC AB
9. 1
3
10. 0 11. 3
12. (−∞,1−1
e2
]
13.【答案】解(1)f′(x)=3x2−6x，∴f′(1)=3⋅12−6⋅1=−3，而f(1)=13−3⋅12+1=−1，
∴f(x)在x=1处的切线方程：y+1=−3(x−1)，即3x+y−2=0；
所以f(x)在x=1处的切线方程：3x+y−2=0；
(2)，由(1)得，f′(x)=0，x=0，或x=2，x∈(−∞,0)和(2,+∞)，f′(x)>0，x∈(0,2)，f′(x)<0，所以极大值f(0)=1，极小值f(2)=−3，
所以函数的极大值为1，极小值−3；
14.【答案】解：(1)f’(x)=(x)’⋅e x+x⋅(e x)’=e x⋅(1+x)，
k=f’(1)=e1⋅(1+1)=2e，f(1)=1×e1=e，
曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．
(2)由f(x)的导数可得：
y=f(x)的减区间为(−∞,−1)；
函数y=f(x)的增区间为(−1,+∞)；
(3)−1
e
<k<0
15.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=lnx+x2，x∈(0,+∞)，
f′(x)=1
x
+2x>0，
令f′(x)=3，解得：x=1或x=1
2
，
代入f(x)得切点坐标为(1,1)，或(1
2,1
4
−ln2)，
将切点坐标代入直线y=3x+m，解得：m=−2或m=−5
4
−ln2；
(2)f′(x)=1x +2x −2a =2x 2−2ax+1x ，x ∈[1,3]，
设g(x)=2x 2−2ax +1，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，
于是{g(1)=3−2a ≤0g(3)=19−6a ≤0
，解得：a ≥196， 故要使函数f(x)在[1,3]上存在单调递增区间，
则a 的范围是(−∞,196).。