经济数学课件3.4 微分及其计算
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经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
《微分及其计算》课件
投入产出分析中的微分方程建模
微分方程：描述经 济系统中的动态变 化
投入产出模型：描 述经济系统中的生 产和消费关系
微分方程建模：将 投入产出模型转化 为微分方程形式
求解微分方程：得 到经济系统的动态 变化规律
微分在社会科学中 的应用
社会学中的演化模型
社会演化模型：描 述社会变迁的动态 过程
微分方程：描述社 会演化模型的数学 工具
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微分及其计算
汇报人：
目录
PART One添加目录标题PAR Three微分的计算方法
PART Two
微分的定义
PART Four
微分的应用
PART Five
微分在物理中的应 用
PART Six
微分在经济学中的 应用
单击添加章节标题
微分的定义
微分的概念
微分是函数在某一点的切线斜率 微分是函数在某一点的增量 微分是函数在某一点的变化率 微分是函数在某一点的导数
社会演化模型的应 用：预测社会变迁 、分析社会现象
微分方程在社会演 化模型中的应用： 求解社会演化模型 的动态过程
心理学中的认知过程建模
微分在认知心理学中的应用：用于描述认知过程的动态变化
微分在认知心理学中的作用：帮助理解认知过程的复杂性和动态性
微分在认知心理学中的具体应用：用于建模认知过程中的信息处理、决 策制定等过程 微分在认知心理学中的挑战：如何将微分方法与心理学理论相结合，以 更好地描述认知过程
微分在物理、工程等领域中的应用
误差估计
微分在误差估计中的应用 误差估计的方法和步骤 误差估计的准确性和可靠性 误差估计在实际问题中的应用
函数的单调性判断
微分定义：函数在某点处的微分是函数在该点处的切线斜率
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
经济数学课件PPT课件
80%
极限的四则运算
极限的四则运算包括加减乘除， 以及复合函数的极限运算。这些 运算法则是微积分中处理函数极 限的重要手段。
导数与微分
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点的切 线斜率，是函数局部变化快慢 的量度。导数的几何意义是切 线的斜率。
微分的概念与运算
微分是函数增量的线性部分， 即函数在某一点附近的小变化 。微分的运算包括基本初等函 数的微分公式和微分法则。
最简形式，从而得到方程组的解。
线性方程组的解的性质
线性方程组的解具有一些重要的性质，如唯一解、无穷多解等 。这些性质可以通过对方程组进行分类和讨论来得到。
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念之一。对于给定的 矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ 为矩阵A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量。
定积分的计算方法
定积分的计算方法包括直接法、 换元法和分部积分法等。这些方 法可以帮助我们解决各种复杂的 定积分问题。
03
线性代数
向量与矩阵
01
02
03
04
向量
向量是具有大小和方向的几何 对象，可以表示为有序数列。 在数学中，向量通常用黑体字 母表示，如$mathbf{a}$。
矩阵
矩阵是一个由数字组成的矩形 阵列，可以表示为二维数组。 矩阵的行和列都有明确的数量 和顺序。
导数与微分的应用
导数和微分在经济、工程和科 学等领域有广泛的应用，如边 际分析、优化问题、近似计算 等。
积分
定积分的概念与性
质
定积分是积分的一种，它描述了 函数在某个区间上的面积。定积 分有严格的定义和性质，是微积 分的重要组成部分。
经济数学微积分课件
f(x ) A x x 0成立, xl ixm 0 xx0.
例4 证明 limx212. x1 x1
证 函数在点x=1处没有定义. f(x)Axx2112 x1 任给 0, 要f(使 x )A , 只要取 ,
当 0xx 0 时 ,就有xx2112,
x2 1 lim 2.
x1 x1
例5 证 :当 x 明 0 0 时 ,x l x i0 m x x 0 .
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
① 定 义 1 设 函 数 f (x) 在 点 x0的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么
小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 当 x 满 足 不 等 式
记 作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x ) x
"X"定义limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
2. 另两种情形:
10.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
定 : x l x 0 if 理 ( m x ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A .
例6 验证limx 不存.在 x0 x
y
证 limxlimx
x x x0
x0
lim (1)1 x 0
1
o
x
1
x lim
limx
lim11
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
例4 证明 limx212. x1 x1
证 函数在点x=1处没有定义. f(x)Axx2112 x1 任给 0, 要f(使 x )A , 只要取 ,
当 0xx 0 时 ,就有xx2112,
x2 1 lim 2.
x1 x1
例5 证 :当 x 明 0 0 时 ,x l x i0 m x x 0 .
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
① 定 义 1 设 函 数 f (x) 在 点 x0的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么
小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 当 x 满 足 不 等 式
记 作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x ) x
"X"定义limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
2. 另两种情形:
10.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
定 : x l x 0 if 理 ( m x ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A .
例6 验证limx 不存.在 x0 x
y
证 limxlimx
x x x0
x0
lim (1)1 x 0
1
o
x
1
x lim
limx
lim11
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
经济数学微分方程
1 0.04
1 0.1
逆矩阵V
1
0.1/ 0.14 0.04 / 0.14
1/ 0.14
1/ 0.14
定义z
V
1
y，即
z1 z2
V
1
y1 y2
原系统变为：
求解微分方程得到：
z&(t)=Dz(t)+V-1x(t) z&1 0.1z1 10 /14 z&2 0.04z2 9.6 /14
因此，方程有两个 0 稳态。稳态0是不 稳定的，稳态y*是 稳定的。
y*
y
2020/6/1
6
微分方程稳定性总结
❖ 对于微分方程： y& f y t
❖ 当 y&0时，可以找出稳态值y*。
❖若
y &
0
y y y*
，即函数在稳态处的
斜率为正，则y是局部不稳定的。
❖ 若斜率为yy& 负y， 则y *y是0局，部即稳函定数的在。稳态处的
2020/6/1
微分方程是研究动态经济 学的基本工具。通过计算微分 方程来分析变量的具体时间路 径，以及能否收敛于均衡。
1
❖ 一、导论
❖ 变量为导数的方程称为微分方程。
❖ 例如： y&(t) f [ y(t)] y&是 dy 的简写 dt
如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。 常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。 宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。
的导数，因此，y&为正时，意味着y随着时间 的变化而增加；y&为负则减少。
2020/6/1
4
❖ 图形为直线。
❖ 在纵轴的截距为-x，在 横轴的截距为-x/a。
《经济数学》课件 第三章 导数与微分
定 义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲 线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
第 15 页
第二节 函数的求导法则和基本求导公式
• 一、 函数求导的四则运算法则 • 二、 复合函数的求导法则 • 三、 基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对 的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式 函
数复
的合
求函
导 法 则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概 念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
3.4 函数的微分 课件 《高等数学》(高教版)
解： 因为 所以
在，
时的增量、微分及
，且
由此例看出，当 很小时，
,且精确度较高.
例2 求下列函数的微分． 解：
由
可知，求微分 只要计算出函数的导数
再乘以自变量的微分 即可.
随堂练习
1、求函数
在，
2、求下列函数的微分.
时的改变量与微分.
3.4 函数的微分
三、微分的几何意义
点
是曲线
上一点，
当自变量 有微小改变量 时，得到
定义1 如果函数
在点 处可导，并且函数增量
能表示成
其中 与 无关， 为
的高阶无穷小，则称函
数
在点 处可微，并称其线性函数的微分
二、微分与导数的关系
若函数
在点 处可导，根据导数的定义
由于函数与无穷小的关系，得
则
称
为函数
在点 处的微分.
定义1' 如果函数
面积大约增大了多少？
2、计算
的近似值.
曲线上另一点
，于是
过点 作曲线的切线 ，其倾角
为 ，则
，
即
．
由此可知，微分
是当 处有改变量 时，曲
线
在点
处的切线的纵坐标的改变量．用 近
似代替 就是用点
处的切线的纵坐标的改变量
来近似代替曲线
的纵坐标的改变量 ，并且有
3.4 函数的微分 四、微分的运算法则
因为函数
的微分
，所以根据导数公式
和导数运算法则，就能直接得到相应的微分公式和微分运算
由微分的定义可知，当
且 很小时，用 近似代
替 所引起的误差是 的高阶无穷小量，从而有近似公式
或 上式中，若令
在，
时的增量、微分及
，且
由此例看出，当 很小时，
,且精确度较高.
例2 求下列函数的微分． 解：
由
可知，求微分 只要计算出函数的导数
再乘以自变量的微分 即可.
随堂练习
1、求函数
在，
2、求下列函数的微分.
时的改变量与微分.
3.4 函数的微分
三、微分的几何意义
点
是曲线
上一点，
当自变量 有微小改变量 时，得到
定义1 如果函数
在点 处可导，并且函数增量
能表示成
其中 与 无关， 为
的高阶无穷小，则称函
数
在点 处可微，并称其线性函数的微分
二、微分与导数的关系
若函数
在点 处可导，根据导数的定义
由于函数与无穷小的关系，得
则
称
为函数
在点 处的微分.
定义1' 如果函数
面积大约增大了多少？
2、计算
的近似值.
曲线上另一点
，于是
过点 作曲线的切线 ，其倾角
为 ，则
，
即
．
由此可知，微分
是当 处有改变量 时，曲
线
在点
处的切线的纵坐标的改变量．用 近
似代替 就是用点
处的切线的纵坐标的改变量
来近似代替曲线
的纵坐标的改变量 ，并且有
3.4 函数的微分 四、微分的运算法则
因为函数
的微分
，所以根据导数公式
和导数运算法则，就能直接得到相应的微分公式和微分运算
由微分的定义可知，当
且 很小时，用 近似代
替 所引起的误差是 的高阶无穷小量，从而有近似公式
或 上式中，若令
《经济数学》-第二章导数与微分
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例1 求函数 y 的x2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:
(1 )u [ (x ) v (x )'] u '(x ) v '(x ); ( 2 )u ( [ x ) v ( x )' ]u '( x ) v ( x ) u ( x ) v '( x ),
特,别 v(x )C 地 (C 为 常 ,则 (C 数 )u C u ）
第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分
结束
2.1 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 yf(x 0 x )f(x 0),
若 lim y lim f(x0x)f(x0)
x0 x x 0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
例7 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
e yy (2 x y x 2y ) e x 0
即
y
dy 2xyex
dx ey x2
(ey x2 0)
前页 后页 结束
例8 设 yarctxa2ny)(求 , dy
dx
解： 两边对x求导得
y 1 (12y) 1(x2y)2
上式两端同除以自变量的微分，得
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例1 求函数 y 的x2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:
(1 )u [ (x ) v (x )'] u '(x ) v '(x ); ( 2 )u ( [ x ) v ( x )' ]u '( x ) v ( x ) u ( x ) v '( x ),
特,别 v(x )C 地 (C 为 常 ,则 (C 数 )u C u ）
第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分
结束
2.1 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 yf(x 0 x )f(x 0),
若 lim y lim f(x0x)f(x0)
x0 x x 0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
例7 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
e yy (2 x y x 2y ) e x 0
即
y
dy 2xyex
dx ey x2
(ey x2 0)
前页 后页 结束
例8 设 yarctxa2ny)(求 , dy
dx
解： 两边对x求导得
y 1 (12y) 1(x2y)2
上式两端同除以自变量的微分，得
经济数学 微分中值定理课件
五、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1 ）.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1 ）.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
微分及其运算ppt课件
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
解 (1) 3 1.06 3 1 0.06
1 1 0.06 3
1.02.
(2) e0.02 1 0.02 0.98.
四、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 解1
设 y x2e x , 求dy.
y ( x2e x ) 2xe x x2e x xe x (2 x)
dy ydx xe x (2 x)dx
解2 dy e xd( x2 ) x2d(e x )
点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,而微分 dy f ( x0 )
( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量.
★ 近似计算的基本公式 当x 很小时, y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), 当x 0时, f ( x) f (0) f (0) x.
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
解 (1) 3 1.06 3 1 0.06
1 1 0.06 3
1.02.
(2) e0.02 1 0.02 0.98.
四、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 解1
设 y x2e x , 求dy.
y ( x2e x ) 2xe x x2e x xe x (2 x)
dy ydx xe x (2 x)dx
解2 dy e xd( x2 ) x2d(e x )
点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,而微分 dy f ( x0 )
( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量.
★ 近似计算的基本公式 当x 很小时, y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), 当x 0时, f ( x) f (0) f (0) x.
经济数学第四章ppt课件
第一 lim ln(cot x) . x0 ln x
解
lim
ln(cot
x)
lim
1 cot
x
( csc2
x)
lim
x
( lim x )( lim 1 ) 1
x0 ln x
x0
1
x0 sin x cos x
x0 sin x x0 cos x
x
关于 x→∞时的未定式 型，上述洛比达法则同样适合.
f (x x) f (x) f / (x x)x. 这里 是介于 0 与 1 之间的一个数，也就是说，函数 f(x)在 x 处的改变量 y f / (x x)x ， 0＜ ＜1.（微分中值定理.）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
页码：11
例 3 求 lim sin mx . x0 sin nx
解 lim sin mx lim m cos mx m . x0 sin nx x0 n cos nx n
上述关于
x
x0
时未定式
0 0
型的洛比达法则，对于
x→∞时未定式
0 0
型同样适合.
关于
x
x0
时未定式
型的情形，有如下定理.
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
(3) f (a) f (b) .
那么在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得 f / ( ) 0 图 4-1
证明从略.
页码：1
罗尔定理的几何意义：如果函数 y f (x) 在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在曲线段 AB 两端点的纵坐标相等，即 f (a) f (b) ，那么在曲线段 AB 上至少有一点 C( ， f / ( ) )，使得过该点的 切线平行于 x 轴(如图 4－1).
《微分概念及其计算》PPT课件
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
15
例5 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
3(1
2
1
)5
243
(1 x) 1 x
3 (1 1 2 )
5 243
3.0048
16
内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
8
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
11
三、基本的微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式 (参看课本)
2．函数和、差、积、商的微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
12
3．复合函数的微分法则
的微分为
分别可微 , 则复合函数
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f (x0 )x o( x)
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dy df (x) A(x)x
二、可微与可导的关系
1、结论 f (x)在x0可微 f (x)在x0可导,且有A f (x0 )
2、证明 : f (x)在x0可微 y Ax o(x)(x 0)
y A o(x) (x 0)
x
x
f
(x0 )
lim
x0
y x
A
: f (x)在x0可导
四、微分运算法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
5.d
f (x)
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
dy x1 2dx, dy x0 0
2xf (x2 1)dx
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
★ 例5 求适合下列微分关系式的原函数 f (x)
y f (x0 )x o(x)(有限增量公式)
f (x)在x0可微
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f (x)只与x有关,而df (x)则与x和x都有关
(2)df (x) f (x)x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令y f (x) x,则有y f (x) 1,
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程 x x(t) t [, ] y y(t)
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
解： dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0 dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
(1)2xdx d( ) (2)exdx d ( ) (3)sin xdx d( )
(4) cos 2xdx d( )
3.4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分及其计算
一、概念 1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02
2x0x (x)2
x0 S
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
2x0x为S的主部
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
dy xx0 df xx0 Ax
若f (x)在(a,b)内处处可微,则称f (x)在(a,b)内可微,此时有
g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) [ g ( x)]2
(g(x)
0)
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
dx x(t)dt x(t)
例4 设y f (u)可微,求下列函数的微分
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
dx df (x) f (x)x x dy f (x)dx
dy f (x)也称为微商,即是微分的商 dx
三、微分近似计算
1、公式
y f (x0 x) f (x0) f (x0)x o(x)(x 0)
当 x 1时有f (x0 x) f (x0) f (x0)x
例1 求 5 0.99的近似值
二、可微与可导的关系
1、结论 f (x)在x0可微 f (x)在x0可导,且有A f (x0 )
2、证明 : f (x)在x0可微 y Ax o(x)(x 0)
y A o(x) (x 0)
x
x
f
(x0 )
lim
x0
y x
A
: f (x)在x0可导
四、微分运算法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
5.d
f (x)
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
dy x1 2dx, dy x0 0
2xf (x2 1)dx
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
★ 例5 求适合下列微分关系式的原函数 f (x)
y f (x0 )x o(x)(有限增量公式)
f (x)在x0可微
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f (x)只与x有关,而df (x)则与x和x都有关
(2)df (x) f (x)x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令y f (x) x,则有y f (x) 1,
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程 x x(t) t [, ] y y(t)
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
解： dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0 dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
(1)2xdx d( ) (2)exdx d ( ) (3)sin xdx d( )
(4) cos 2xdx d( )
3.4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分及其计算
一、概念 1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02
2x0x (x)2
x0 S
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
2x0x为S的主部
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
dy xx0 df xx0 Ax
若f (x)在(a,b)内处处可微,则称f (x)在(a,b)内可微,此时有
g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) [ g ( x)]2
(g(x)
0)
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
dx x(t)dt x(t)
例4 设y f (u)可微,求下列函数的微分
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
dx df (x) f (x)x x dy f (x)dx
dy f (x)也称为微商,即是微分的商 dx
三、微分近似计算
1、公式
y f (x0 x) f (x0) f (x0)x o(x)(x 0)
当 x 1时有f (x0 x) f (x0) f (x0)x
例1 求 5 0.99的近似值