函数的性质奇偶性
函数的性质之奇偶性
函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-7设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x xx f +=1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数的奇偶性及单调性
函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断（1）、定义法：①先求出函数的定义域，若函数定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．定义域关于原点对称．．．．．．．．．，②再判断f(x)与f(－x)关系：若f(－x)= f(x) 则是偶函数；若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数。
（判断时可用等价形式）（2）、图象法：图象关于y 轴对称⇔此函数是偶函数。
图象关于原点对称⇔函数是奇函数。
注：★①函数的奇偶性是函数整体的性质。
★②若奇函数的定义域中含有0，则f(0)=0.★ ③我们通常利用函数的奇偶性来简化作图的过程。
④多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性:多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零.四、以下命题的判断命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性，指的是一个函数图象关于坐标系原点或y轴的对称性。
判断函数奇偶性的方法主要有图象法、定义法、奇偶函数的四则运算性质、奇偶函数的复合函数性质等。
1、图象法（1）若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。
（2）若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。
【注意事项】（1）若奇函数()y f x=在0x=处有定义，则其函数图象必定过原点，即必有()00f=。
（2）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
2、定义法（1）若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=-，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x-+=，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()1f xf x-=-（分母不为0），那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
（2）若函数()y g x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x--=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x 都有()()1f x f x -=（分母不为0），那么函数()y f x =为定义域上的偶函数。
3、奇偶函数的四则运算性质（1）两个奇函数的和或差仍为奇函数。
【例】sin y x x =+，3sin y x x =-等。
（2）两个偶函数的和或差仍为偶函数。
【例】1cos y x =+，2cos y x x =-等（3）两个奇函数的积或商（除数不为0）奇函数为偶函数。
函数奇偶性总结
函数奇偶性总结一、函数的奇偶性概念在数学中，我们经常研究函数的性质，其中一个重要的性质就是奇偶性。
函数的奇偶性描述了函数的对称性质。
一个函数$f(x)$被称为奇函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。
换句话说，奇函数在原点处对称，图像关于坐标原点对称。
一个函数$f(x)$被称为偶函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=f(x)$成立。
换句话说，偶函数在原点处对称，图像关于$y$轴对称。
二、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性有以下几种方法：1. 使用函数表达式对于多项式函数或已知函数表达式，可以通过观察函数表达式中的各项系数来快速判断函数的奇偶性。
- 对于多项式函数，如果函数的各项次数都是偶数，则函数是偶函数；如果函数的各项次数都是奇数，则函数是奇函数。
- 对于已知函数表达式，如果函数表达式中只包含偶数次幂或只包含奇数次幂的项，则函数是奇函数或偶函数。
2. 使用图像对称性通过观察函数的图像可以判断函数的奇偶性。
- 如果函数图像关于$y$轴对称，则函数是偶函数。
- 如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数。
3. 使用微积分方法利用微积分的性质可以判断函数的奇偶性。
- 奇函数的导函数是偶函数。
- 偶函数的导函数是奇函数。
通过求导函数，可以判断函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的应用函数的奇偶性在数学和物理中具有广泛的应用。
- 在函数的图像对称性的研究中，奇函数和偶函数是常见的对象。
- 在积分计算中，奇函数在对称区间上的积分为零，只需要计算一个半区间的积分即可。
- 在物理学中，奇函数和偶函数经常用于描述对称性问题，如电荷分布的对称性等。
四、总结函数的奇偶性是函数的重要性质，可以通过函数表达式、图像对称性和微积分方法等多种方法来判断函数的奇偶性。
了解函数的奇偶性对于解决数学问题和物理问题都具有重要的意义。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、定义1、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是偶函数。
2、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是奇函数。
二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个x 都必须成立；3、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f5、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇7、一次函数为奇函数⇔ ；二次函数为奇函数⇔8、奇偶性与单调性 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有 。
（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。
（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。
（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。
（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。
（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。
（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。
例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
1、 若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。
（ ）2、 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
函数的奇偶性知识点
函数的奇偶性知识点函数的奇偶性是函数的一种特殊性质。
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
因此，判断函数的奇偶性需要确定函数的定义域是否关于原点对称，并判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系。
奇函数具有一些特殊的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图像关于原点对称，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，以及在函数的定义域内，一定有f(0)=0.而偶函数也有类似的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，图像关于y轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，以及如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)=0.判断函数的奇偶性需要判断定义域是否关于原点对称。
这是因为，如果x是定义域内的一个元素，那么－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称。
如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，那么这个函数一定不具有奇偶性。
因此，判断函数的奇偶性需要先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，再根据奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断。
如果首先求得定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数。
判断函数的奇偶性一般按照定义严格进行。
步骤如下：首先考查定义域是否关于原点对称；其次考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x)。
如果f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；如果f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；如果f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；如果f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。
函数的奇偶性(精辟讲解)
， ①
解得－1≤m≤ 3.
又 f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1， 即－2<m<1. 综合①②可知，－1≤m<1. ②
探究提高 (1)奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图 象关于 y 轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (3)奇函数 f(x)在 x＝0 处有意义，一定有 f(0)＝0.但是在 用 f(0)＝0 求出参数后，要注意验证． (4)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 在应用特殊值求参数时，求出参数后要注意验证．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性， 则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数， 都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是： “内偶则偶， 内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
x 2 x 1 ( x 0) f ( x) 0 ( x 0). 2 x x 1 ( x 0)
(2)方法一 ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)在 R 上恒成立． e－x a ex a 即 a ＋ －x＝ a ＋ x， e e (a2－1)e2x＋1－a2＝0 对任意的 x 恒成立， a2－1＝0 ∴ ，解得 a＝1. a>0
函数的奇偶性
函数的奇偶性知识体系一、函数奇偶性的定义已知函数f(x)，对定义域中任意一个自变量x，若都有，则称f(x)为奇函数；若都有，则称f(x)为偶函数。
变式：奇函数；偶函数；二、奇、偶函数的性质1. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；反之，若一个函数表示的曲线关于原点(y轴对称)，则此函数必为奇(偶)函数；2. 奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇3. 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0方法体系例2. f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x+lgx，求f(x)在x＜0时的解析式解：当x＜0时，一般地，给出奇、偶函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式常用f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)常见的偶函数:二、奇偶性的应用例3.解：设f(-2)=g(-2)+7=-g(2)+7=10例4. 为奇函数，则a=____解：∵f(0)=0，∴log22+a=0 ∴a=-1例5. 为偶函数，则a=_____解：∵f(x)为偶函数，，若改成，则只能根据定义。
例6. 奇函数f(x)在定义域[-4,4]上单增且满足：f(a2-1)+f(a-4)＞0，求a的取值范围解：∵f(a2-1)+f(a-4)＞0，∴f(a2-1)＞-f(a-4)=f(4-a)∴例7. 证明：可导的偶函数其导函数为奇函数，可导的奇函数其导函数为偶函数。
证明：设偶函数为y=f(x)，则有f(-x)=f(x)对上式两边求导，得由奇函数定义知，为奇函数。
同理可证可导的奇函数其导函数为偶函数。
练习题：1. 已知2. 已知f(x)(x∈R，x≠1)，f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2-x+1，则当x＞1时，f(x)的递减区间是_____3. f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点对称，则f(x)在[-4,4]上的单调性____4. 已知f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，。
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法1．函数：⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：(),y f x x A =∈其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。
⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。
⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。
2．函数的简单性质：⑴单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ＜那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有12()()f x f x ＞那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。
⑵最大值及最小值：一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有0()()f x f x ≥那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =⑶奇偶性：①对于函数2()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
奇偶性知识点
函数的性质之奇偶性知识梳理要点一：函数奇偶性定义：如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数（通常可以用特殊值来证明）；如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数。
要点二：函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定)(x f -与)(x f 的关系；③作出相应结论：若)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是奇函数。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，要点三：简单性质：设)(x f ，)(x g 的定义域分别是，1D 2D ，那么在它们的公共定义域（21D D ）上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇要点四：复合函数的奇偶性：已知)(x f ，)(x g 的奇偶性，求))((x g f 的奇偶性，只有当)(),(x g x f 都是奇函数时，))((x g f 才是奇函数；其他情形是偶函数，即)(),(x g x f 中只要一个是偶函数那么))((x g f 就是偶函数。
具体可以看下面的例题。
典型例题类型一：一般函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：1x x x x f -+-=11)1()(，②349)(2-++-=x x x x f ，③⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ，④2211)(x x x f --=。
函数奇偶性
函数奇偶性一、主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．二、主要方法：1. 判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； 图象法；性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，奇±偶＝非奇非偶；（同不变，异为非。
） 奇×÷奇＝偶，偶⨯÷偶=偶，奇⨯÷偶=奇；（奇为负，偶为正。
） 复合函数奇偶性；（一偶则偶，同奇则奇。
）②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．例1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R)B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.例2.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.例3.(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.例4.(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.例5.(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.例6.(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．例7.(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0 B．2C．4 D．不能确定[答案] C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.例8.定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗x(x⊕2)－2() A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.例9.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∴b <a <c .故选C.例10.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析]由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，例11.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析]∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x <1，∴－1<x <0，故选A.例12.(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A [解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x＋log 22＋x2－x ＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例13.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析] ∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.例14.(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2 [解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2.例15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.例16.(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.例17.(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.例18.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析]∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.例19.(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析]∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg(a ＋2)x ＋a1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．例19.(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.例20.(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1.∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3.(2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2.∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13. ∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值． 又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.例21.(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2，∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0.例22.(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析](1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a ＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y， 由2x >0知1＋y 1－y>0， ∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0.例23.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .①因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3.由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c＝a (m ＋n )(m －n )>0.若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.例24.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1),试证明：(1) f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121x x x x --)∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴12121x x x x -->0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x x x --)<0即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.例25.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).。
函数的性质
函数的单调性与奇偶性1、单调性的定义：如果y ＝f (x)对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，①都有f(x 1）<f(x 2)，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个增区间；②都有f(x 2)<f(x 1），则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个减区间.2、在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．3、复合函数的单调性：设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。
例1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________例 2. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7提升：已知y=log a (2− ax )在[0,1]上是减函数,则a 的范围是____六．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数。
2.关于函数奇偶性的几个常见特征：3.性质：[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇4．奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系5.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·x x -+11；（3）2|2|1)(2-+-=x x x f ； 练．判断下列函数的奇偶性（1）11log )(2+-=x x x f （2）11)(-+-=x x x f （3）11)(22-+-=x x x f （4）)21121()(+-=x x x f 例2．已知函数是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程的所有实根之和是 （ ）(A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在[)+∞,0上为增函数，则其在(]0,∞-上单调性如何？奇函数呢？（2）设)(x f 为偶函数，且在[)+∞,0上存在最大值，则在(]0,∞-上有最大值吗？奇函数呢？例 4.已知)(x f 为奇函数，且当0＞x 时，x x x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） 2.1.0.2.D C B A -练：已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝例5．已知)(x f 是奇函数，且0>x 当时，),2()(-=x x x f 求0<x 时，)(x f 的表达式。
6函数的奇偶性
a
1
为奇函数，则实数
1
a
值
x1 xa
(4)若 f x ax2 b 1 x 3, x a2 2,a
为偶函数，则实数 a __1___,b __1___ .
注：函数的奇偶性给出了等量关系
Ex：已知 f x是R上的偶函数,当 x 0 时,
f x x2 x,则 x 0 时,f x __x_2___x______. Ex：定义在R上奇函数 f x ,在 x 0 时
f x x2 x 1 ,求函数解析式. x2 x 1 x 0
f x 2x 2x , g x 2x 2x
2 f x 1 0有五个不同的实根x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,,
则x1 x5 __0___ .可利用示意图帮助判断
问：如果是R上关于直线 x 2对称的函数呢？ 10
Ex：设 f x 是连续的偶函数，且当x 0时，
f
x是单调函数,则满足
x2 2x
x
2
2
x
x0 x0
奇
奇偶性的证明方法一般是定义法： ①.看定义域是否关于原点对称
②.若满足①，再看f(x)与f(-x)的关系
对复杂函数的奇偶性判断，不要轻易下结论，应 先化简
Ex：判断下列函数的奇偶性
1
f
x
x 2
x 1 2x
2 f x log2 1 x2 x5 5
f
x
f
x3 x 4
的所有
的 x 之和___8___.
Ex：设函数 f x是定义在R上奇函数,当x 0
函数的性质-奇偶性
对于奇函数在对称区间上的定积分为0，而偶函数在对称区间上的定积分为两倍于 半个区间的定积分，利用这一性质可以简化计算。
周期性问题中的奇偶性应用
判断周期性
如果一个函数具有周期性，且周期为T， 则f(x+T)=f(x)。对于奇函数和偶函数， 其周期性判断可以转化为判断f(x+T) 与f(x)的关系。
03
2. 偶函数与偶函数相加或相减
仍为偶函数。
04
3. 偶函数与奇函数相乘得到奇 函数。
05
4. 若一个函数的导数是偶函数， 则原函数是奇函数加上一个常数。
06
奇偶性判断方法
代数法
图像法
通过代入$-x$，比较$f(-x)$与$f(x)$或$f(x)$的关系来判断。
观察函数的图像是否关于原点或y轴对称来 判断。
拓展：复变函数中的奇偶性
01
复变函数的奇偶性定义
类似于实函数，复变函数也有奇偶性的概念。若复变函数f(z)满 足f(-z)=-f(z)，则称其为奇函数；若满足f(-z)=f(z)，则称其为 偶函数。
02 03
奇偶性与共轭复数
在复变函数中，共轭复数与奇偶性密切相关。若f(z)为奇函数， 则其共轭复数函数f*(z)也为奇函数；若f(z)为偶函数，则f*(z) 也为偶函数。
拓展应用
复变函数的奇偶性在复数域的分析和计算中具有广泛应用，如求 解复变函数的积分、判断复变函数的解析性等。
THANKS
感谢观看
指数函数$y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$）既不是奇函数也不是偶函数，因为$a^{-x} neq a^x$且 $a^{-x} neq -a^x$。
其他典型函数的奇偶性
常见函数的奇偶性
3.判断函数奇偶性的步骤：
⑴.判断 f (x)定义域是否关于原点对称，若定
义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数； 若定义域关于原点对称，则进行第⑵步；
⑵.判断f (x)与f (-x) 的关系；
① f (-x) f (x) ，且f (-x) f (x) 奇函数 ② f (-x) f (x) ，且f (-x) f (x) 偶函数 ③ f (-x) f (x) ，且f (-x) f (x) 非奇非偶函数 ④ f (-x) f (x) ，且f (-x) f (x) 既奇又偶函数
f (x) 0
常见函数的奇偶性
1.正比例函数 f (x) kx(k 0) 奇函数
2.一次函数 f (x) kx b(k 0) b=0时， 奇函数
b≠0时，非奇非偶函数
3.反比例函数f (x) k (k 0) 奇函数 x
a 4.指数函数f (x) x (a 0且a 1) 非奇非偶函数
常见函数的奇偶性
复习 1.奇函数
对f (x)定义域内的任意x, 都有 f (-x) f (x)
奇函数性质：① f (-x) f (x) ②图象关于原点对称；
③若在x=0处有意义，则 f (0) 0
2.偶函数
对f (x)定义域内的任意x, 都有 f (-x) f (x)
偶函数性质：① f (-x) f (x) ②图象关于y轴对称；
综上，当 b 0时，二次函数 y ax2 bx c（a 0）为偶函数；
当b 0时，为非奇非偶函数；
7.三角函数
⑴.正弦函数 f (x) sin x
奇函数
⑵.余弦函数 f (x) cosx 偶函数
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第二章函数（奇偶性）
1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）
A ．y ＝x （x －2）
B ．y ＝x （｜x ｜－1）
C ．y ＝｜x ｜（x －2）
D ．y ＝x （｜x ｜－2）
4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10
5．函数1111)(22
+++-++=x x x x x f 是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
7．函数212
2)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．
9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11
)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．
10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．
12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（x R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．
函数的奇偶性练习参考答案
1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3
1=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2
＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,
,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A 5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数 8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=
+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 。
12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）
＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(120
12)(,,2323
<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 。
14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2
≥－5． 因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。