高考数学小题如何考满分：小题提速练(一)

小题提速练(一)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]

D ．[－1，2)

解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.

2．如果复数m 2＋i

1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )

A ．－1

B ．0

C ．0或1

D ．0或－1

通解：选D.m 2＋i

1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）

（1＋m i ）（1－m i ）

＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩

⎪⎨⎪⎧m 2

＋m ＝0，

1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.

优解：设m 2＋i

1＋m i

＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以

⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2

，b ＝1，

解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.

优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.

4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为

(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( )

A ．0.045 6

B ．0.135 9

C ．0.271 8

D ．0.317 4

解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝

1

2(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B.

5．设a ＝⎝⎛⎭⎫121

3

，b ＝⎝⎛⎭⎫131

2，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c

D ．b ＜a ＜c

通解：选B.因为a ＝⎝⎛⎭⎫121

3＞⎝⎛⎭⎫121

2

＞b ＝⎝⎛⎭⎫131

2＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 优解：因为a 3＝1

2＞b 3＝

127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3

π

＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.

6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－

x

D ．y ＝2x ＋2－

x

解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.

7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )

A ．13π

B ．16π

C ．25π

D ．27π

解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为2 2，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，

则2R ＝

（2 2）2＋（2 2）2＋32＝5，解得R ＝5

2

，所以该几何体的外接球的表面

积S ＝4πR 2＝4π×25

4

＝25π，故选C.

8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π

6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )

A ．关于点⎝⎛⎭⎫

π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π

6对称

D ．关于直线x ＝π

3

对称

解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π

6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋

φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π

2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π

3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－3

2，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π

3

对称，故B 、D 错误．故选A.

9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π

3

，