利用数轴教学动点问题初探

利用数轴教学动点问题初探

桃花江镇中心学校罗公平在初中数学教学中，有一类重要的题型――动点问题的解答，近几年来，动点最值问题频频出现在各地中考、竞赛试卷中。这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助。但是这类题目学生解答起来具有一定的难度，不易理解，容易出错。为解决这一难点，桃江县教研室在七年级期末考试命题中就开始考查这一知识点，让学生尽早熟悉动点问题的解答方法。

数轴是数形结合的产物，点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。因此，在七年级数学教学中我们可以利用数轴来教学动点问题。

例1（桃江县2015七年级期末考试）如图，数轴上两个动点A、B开始时所表示的数分别为－8，4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为每秒2个单位.

（1）A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；

（2）A、B两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两点相距6个单位长度？

（3）A、B两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同

时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有CA＝2CB，求C点的运动速度.

分析：（1）易求得A点的运动时间为4秒，所以B点的运动速度为每秒1个单位.

（2）是一个追及问题，需分两种情况，A点在B点前面和A 点在B点后面。

⑶中先找出运动过程中C、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。解：（1）B点运动的速度为：

4=

÷

(

÷

单位

8

(1

)2

秒）

（2）设x秒时两点相距6个单位长度，根据题意得：

（a）A点在B点后面时，6

x，

+x

2

12=

-

解得：6

=

x

（b）A点在B点前面时，2ｘ－（１２＋ｘ）＝６

解得：ｘ＝１８

答：6秒或１８秒时，两点相距6个单位长度；

（3）设C点的运动速度为每秒v个单位长度，运动时间为t秒，当t＝0时，CA＝8，CB＝4，CA＝2CB，符合题意，

当0

t时，则)

≠

+

=

+，

t-

-

vt

(2

8

2t

vt

4

4，

即t

vt4

3 ，所以v＝

3

4个单位长度.

答：C点的运动速度是每秒

3

点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法

是解决本题的关键。

例2．（桃江县2012年八年级全能知识竞赛）电子跳蚤落在数轴上

的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2

个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个

单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点

K100所表示的数恰是20.04，试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数。

分析：易得每跳动2次，向右平移1个单位，跳动100次，相当于在

原数的基础上加了50，相应的等量关系为：原数字+50=２０.０４

解：k0点所对应的数为２０.０４-100+99-98+97-…-6+5-4+3-2+1=-

２９.９６

点评：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变

化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

例３．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

分析：⑴设AB中点M对应的数为x，由BM=MA

所以x—（—20）=100—x，解得 x=40 即AB中点M对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB距离，AB=140，设PQ相向而行t秒在C点相遇，

依题意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20+4t=100—6t，t=12）相遇C点表示的数为：—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100—6y，Q表示的数为—20—4y。P、Q为同向而行的追及问题。

依题意有，6y—4y=120，解得y=60

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20—4y=100—6y，y=60）D点表示的数为：—20—4y=—260 （或100—6y=—260）

点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

练习题：

1．已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？

（参考答案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

２．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。