2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)
2020 年大连市高三第二次模拟考试数学(理)(含答案)
距离为 ，若对 x ( , ) ，不等式 f (x) 1 恒成立，则 的取值范围是(
)
24 3
2
（A）[ ， ] （B）（ ， ）
12 6
12 3
（C）[ ， ] 63
（D）（ ， ） 62
（12）已知三棱锥 P − ABC ,面 PAB ⊥ 面 ABC ， PA = PB = 4 ， AB = 4 3 ，
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第 22 题～ 第 23 题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答 题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
( ) （A） y = sin ex + e−x
( ) （B） y = sin ex − e−x
( ) （C） y = cos ex − e−x
( ) （D） y = cos ex + e−x
（8）已知关于某设备的使用年限 x （单位：年）和所支出的维修费用 y （单位：万元）
有如下的统计资料：
由上表可得线性回归方程 y = bx + 0.08 ，若规定当维修费用 y 12 时该设备必须报
废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ）
（A）7
（B）8
（C）9
（D）10
（9）已知点 P 在抛物线 C : y2 = 4x 上，过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线 C
于 A 、 B 两点，若直线 AB 的斜率为 −1，则点 P 坐标为（
）
（A）（1,2）
辽宁省2020版高考数学二模试卷(理科)(II)卷
辽宁省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知,i为虚数单位，且,则的值为（）A . 4B . -4C . 4+4iD . 2i2. （2分）(2017·白山模拟) 已知P={x|﹣4≤x≤2，x∈Z}，Q={x|﹣3＜x＜1}，则P∩Q=（）A . （﹣1，3）B . [﹣2，1）C . {0，1，2}D . {﹣2，﹣1，0}3. （2分）(2017·衡阳模拟) 曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A . 1B . ﹣1C . ﹣7D . ﹣114. （2分）某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的的值为（）A . 33B . 31C . 29D . 275. （2分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）设是等差数列，若,则数列前8项的和为（）A . 128B . 80C . 64D . 567. （2分） (2018高一下·榆林期中) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则方程实数根的个数为（）A . 7B . 6C . 5D . 49. （2分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 在平面内D . 异面10. （2分）随机变量的分布列为0123p0.1a b0.1且，则的值为（）A . -0.2B . 0.2C . 0.4D . 011. （2分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2,b=3,cosC=，则sinA=（）A .B .C .D . -12. （2分）如果f(x)为偶函数，且f(x)导数存在，则的值为（）A . 2B . 1C . 0D . -1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·正定期中) 对于数列{an}，定义为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值” ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立，则实数k的最大值为________．14. （1分）已知向量 =（1，0）， =（﹣，），则与的夹角为________．15. （1分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是________16. （1分） (2017高一上·淮安期末) 函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2019高三上·湘潭月考) 已知平面上两定点M（0，﹣2）、N（0，2），P为一动点，满足•| |•| |（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且λ .分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.18. （10分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如表的2×2列联表：优秀非优秀合计甲班10b50乙班c d50合计70（1）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到8号的概率；（2）请求出列联表中的数据b，c，d，并根据数据判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （10分） (2017高三上·嘉兴期中) 如图①，在矩形中，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面 .（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值.20. （10分）(2017·吕梁模拟) 如图，已知圆N：x2+（y+ ）2=36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0，）和DP上的点M，满足 =2 ，• =0．（1）当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（2）若斜率为的直线l与（1）中所求Q的轨迹交于不同两点A、B，又点C（，2），求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程．21. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1 ， x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证： + ＞．22. （10分）已知圆C的极坐标方程是ρ=2 •sin（θ+ ），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2 ．（提示：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ（1）求圆与直线的直角坐标方程．（2）判断直线l和圆C的位置关系．23. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知函数f（x）=|x+a|．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）﹣f（x+2）+4≥|1﹣3m|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷1 (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数z=3−4i，则|z|=()A. 3B. 4C. 1D. 52.已知全集U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|2−x≤0}，则A∩∁U B=()A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [1,2)D. [1,2]3.命题“”的否定是()A. ∀x∈R,x2+2x+2>0B. ∀x∈R,x2+2x+2≤0C. ∃x∈R,x2+2x+2>0D. ∃x∈R,x2+2x+2≥04.下列函数中既是奇函数，又在区间[−1,1]上单调递增的是()A. f(x)=ln2−x2+xB. f(x)=−|x+1|C. f(x)=12(a x+a−x) D. f(x)=sinx5.已知等比数列{a n}的公比q=12，a2=8，则其前3项和S3的值为()A. 24B. 28C. 32D. 166.已知椭圆x29+y225=1的两焦点为F1,F2，AB为过焦点F1的弦，则ΔABF2的周长为()A. 20B. 12C. 10D. 67.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为15，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为()A. 5个B. 8个C. 10个D. 15个8.已知圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为，则该圆锥的母线长为()A. √3B. √6C. 2√3D. 3√29.执行如图所示的程序框图，若输出的值在集合{y|0≤y≤1}中，则输入的实数x的取值集合是()A. [−1,10]B. [1,10]C. [−1,0)∪[1，10]D. [−1,0]∪[1,10]10. 已知函数f(x)是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0,+∞)，且f(1)=0，则(x −1)f(x −1)≤0的解集为( )A. [−2,0]B. [−1,1]C. (−∞,0]∪[1,2]D.11. 已知双曲线x 2a −y 2b =1的左、右焦点为F 1,F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限内的渐近线交于P 点，直线F 1P 的斜率为12，则双曲线的离心率为A. 53 B. 43 C. √5 D. 312. 函数f(x)=2e x −a(x −1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e4,1)B. (1,2√e]C. (0,e 32)D. (−∞,e 32)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在△ABC 中，满足sin 2A +sin 2B −sinAsinB =sin 2C ，则∠C = ______ ． 14. 若2a =5b =20，则4a +2b ______．15. 已知数列{a n }中a 1=12，其前n 项和S n 满足S n 2−a n S n +a n =0(n ≥2)，则a 2=________；S 2019=________．16. 已知点P 在圆M ：(x −a)2+(y −a +2)2=1上，A ，B 为圆C ：x 2+(y −4)2=4上两动点，且AB =2√3，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 已知函数f(x)=2sin(13x −π6)，x ∈R ．(1)求f(5π4)的值；(2)若α，β∈[0,π2]，f(3α+π2)=1013，f(3β+2π)=65，求cos(α+β)的值．18.某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者晋级成功，否则晋级失败．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥K0)0.400.250.150.100.050.025K00.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419.如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AC=BC，且PA⊥平面ABC，E是AC的中点，F是PB的中点，PA=√6，AB=2．(1)求异面直线EF与BC所成的角;(2)求点A到平面PBC的距离．20.已知点P在抛物线C：x2=2py(p>0)上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆(O为原点)，与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|=2．(l)求抛物线C的方程；(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|−|BF|的值．21.已知函数f(x)=ln x．(Ⅰ)试判断函数g(x)=f(x)+ax的单调性；(Ⅱ)若函数ℎ(x)=f−1(x)−f(x)−ax(a>0)在(0,+∞)上有且仅有一个零点，(ⅰ)求证：此零点是ℎ(x)的极值点；(ⅰ)求证：e−1<a<e32−23．(本题可能会用到的数据：√e≈1.65，e32≈4.48，ln2≈0.7，ln3≈1.1)22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+2cosθ,y=√3+2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2)，将直线l1绕极点O逆时针旋转π3个单位得到直线l2．(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O，A两点，直线l2和曲线C交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z=3−4i，则|z|=√32+(−4)2=5．故选：D．直接利用复数的求模公式求解即可．本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：解：B={x|x≥2}；∴∁U B={x|x<2}；∴A∩∁U B=[12)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．3.答案：A解析：【分析】本题考查了特称命题的否定，属于基础题．由特称命题的否定是全称命题直接写出即可．【解答】解：由题意得，命题“∃x∈R,x2+2x+2⩽0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.故选A．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=ln2−x2+x ，有f(−x)=ln2+x2−x=−ln2−x2+x=−f(x)，为奇函数，但f(−12)=ln3，f(12)=−ln3，不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=−|x+1|，f(−x)=−|x−1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=12(a x+a−x)，f(−x)=12(a−x+a x)=12(a x+a−x)=f(x)，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于D ，f(x)=sinx ，是正弦函数，既是奇函数，又在区间[−1,1]上单调递增，符合题意； 故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性的判断方法．5.答案：B解析：解：在等比数列{a n }中，∵公比q =12，a 2=8，∴a 1=a 2q=812=16，则S 3=a 1+a 2+a 3=16+8+4=28． 故选：B ．由已知求出等比数列的首项，进一步求出a 3，则S 3的值可求． 本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和，是基础题．6.答案：A解析： 【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键． 根据椭圆的标准方程，求出a 的值，由△ABF 2的周长是(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a +2a 求出结果． 【解答】 解：椭圆x 29+y 225=1，∴a =5，b =3．△ABF 2的周长是(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a +2a =4a =20， 故选A ．7.答案：D解析：解：设袋中的球共有m 个，其中有3个红球，则摸出红球的概率为3m ， 根据题意有3m =15， 解得：m =15． 故选：D ．根据古典概型的概率公式和摸出红球的概率，列出方程求解即可求出所求．本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查圆锥的结构特征和体积，属于基础题.先设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ，根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为，即可列出方程组，求出结果. 【解答】解：设圆锥底面圆半径为r ，圆锥母线长为l ， 则圆锥的高为√l 2−r 2，底面积为.由圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为，可得{13πr 2·√l 2−r 2=9πcos45°=r l,解得{l =3√2r =3，故选D .9.答案：D解析：解：根据题中程序框图的含义，是求分段函数y ={lgxx >0x 2x ≤0的值， 由于输出的值在集合{y|0≤y ≤1}中，做出图象如下：由图象可得实数x 的取值集合是：[−1,0]∪[1,10]． 故选：D ．根据题中程序框图的含义，是求分段函数y ={lgxx >0x2x ≤0的值，做出图象即可得解． 本题给出程序框图，求输出的值在集合{y|0≤y ≤1}中时可能输入x 的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.答案：C解析： 【分析】根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在区间[0,1]上，f(x)<0，在区间[1,+∞)上，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得在区间[−1,0]上，f(x)<0，在区间(−∞,−1]上，f(x)>0，综合可得：在区间[−1,1]上，f(x)<0，在区间(−∞,−1]和[1,+∞)上，f(x)>0，又由(x −1)f(x −1)≤0⇒{x −1≥0f(x −1)≤0或{x −1≤0f(x −1)≥0，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f(x)的函数值的正负情况，属于基础题． 【解答】解：根据题意，函数f(x)的单调增区间为[0,+∞)，且f(1)=0， 则在区间[0,1]上，f(x)<0，在区间[1,+∞)上，f(x)>0，又由函数f(x)为偶函数，在区间[−1,0]上，f(x)<0，在区间(−∞,−1]上，f(x)>0， 综合可得：在区间[−1,1]上，f(x)<0，在区间(−∞,−1]和[1,+∞)上，f(x)>0， (x −1)f(x −1)≤0⇒{x −1≥0f(x −1)≤0或{x −1≤0f(x −1)≥0，解可得：x ≤0或1≤x ≤2， 即不等式的解集为(−∞,0]∪[1,2]； 故选：C ．11.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了双曲线的性质和几何意义，双曲线与直线的位置关系，属于中档题; 根据题意求出F 1P 的方程，直线F 2P 的方程，联立可得P (35c,45c)，代入y =ba x ， 得ba =43，即可得出双曲线的离心率． 【解答】解：由题意，PF 1⊥PF 2， ∵直线F 1P 的斜率为12，， ∴直线F 2P 的斜率为−2，∴直线F 1P 的方程为y =12(x +c )，直线F 2P 的方程为y =−2(x −c )， 联立可得P (35c,45c)，代入y=ba x，得ba=43，∴e=√1+(ba )2=53，故选A．12.答案：C解析：解：f(x)=2e x−a(x−1)2=0，x=1时不成立，x≠1时，化为：a=2e x(x−1)2=g(x)(x≠1)．g′(x)=2e x(x−3)(x−1)3．可得：x<1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；1<x<3时，g′(x)<0时，函数g(x)单调递减；x>3时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．画出图象．g(3)=e32．可得：当且仅当0<a<e32时，函数y=a与函数y=g(x)由且仅有一个交点．即函数f(x)=2e x−a(x−1)2有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(0,e32).故选：C．f(x)=2e x−a(x−1)2=0，x=1时不成立，x≠1时，化为：a=2e x(x−1)2=g(x)(x≠1).利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象，转化为图象的交点个数即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.答案：π3解析：解：已知等式sin2A+sin2B−sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2−ab=c2，即a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，则C=π3，故答案为：π3已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cos C，将得出的关系式代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14.答案：2解析： 【分析】本题考查指数式和对数式的转换，对数公式的应用，属于基础题． 将指数式化为对数式，然后利用换底公式的推论运算即可． 【解答】解：由2a =5b =20可得a =log 220，b =log 520， 所以=log 20400=log 20202=2， 故答案为2．15.答案：−16；12020解析： 【分析】本题考查了数列的递推关系，等差数列的概念和等差数列的通项公式．直接利用数列的递推关系计算得a 2=−16，再利用数列的递推关系，结合等差数列的概念得数列{1S n}是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式，计算得结论． 【解答】解：因为a 1=12，S n 2−a n S n +a n =0(n ≥2)，所以(a 1+a 2)2−a 2(a 1+a 2)+a 2=0，即(12+a 2)2−a 2(12+a 2)+a 2=0，解得a 2=−16． 当n ≥2时，由S n 2−a n S n +a n =0得S n 2−(S n −S n−1)S n +S n −S n−1=0， 即1S n−1Sn−1=1，因此数列{1S n}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以1S n=2+(n −1)×1=n +1，即S n =1n+1，满足S 1=a 1=12，因此S 2019=12019+1=12020． 故答案为−16；12020．16.答案：19−12√2解析：【分析】本题考查数量积的运算及与圆有关的最值问题．由AB =2√3，圆C 的半径R =2，CD =√4−3=1，可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3，结合C 、M 的坐标，当点C ，D ，P ，M 在一条直线上时，|PD|最小，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，由此可进行计算． 【解答】解：取AB 的中点D ，因为AB =2√3，圆C 的半径R =2，CD =√4−3=1，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3，又C(0,4)，M(a,a −2)，当点C ，D ，P ，M 在一条直线上时，|PD|最小，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，此时，|PD|=|CM|−|CD|−|PM|=√a 2+(a −6)2−2=√2(a −3)2+18−2≥3√2−2，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3≥19−12√2，当且仅当a =3时，取到最小值19−12√2．17.答案：解：(1)f(5π4)=2sin(13×5π4−π6)=2sin π4=√2，(2)f(3α+π2)=2sin[13(3α+π2)−π6]=2sinα=1013，即sinα=513，f(3β+2π)=2sin[13(3β+2π)−π6]=2sin(β+π2)=65，即cosβ=35，∵α∈[0,π2],β∈[−π2,0]，∴cosα=√1−sin 2α=1213，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=1213⋅35−513(−45)=5665．解析：此题考查了两角和与差公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． (1)直接将x =5π4代入即可求得结果；(2)由函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．18.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1，解得a=0.005；(Ⅱ)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其中点分别为55，65，75，85，95，对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，计算平均分为x=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分)；(Ⅲ)由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25，故晋级成功的人数为100×0.25=25，填写2×2列联表如下，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(16×41−34×9)225×75×50×50≈2.613>2.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．解析：本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．(Ⅰ)由频率和为1，列方程求出a的值；(Ⅱ)利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；(Ⅲ)根据题意填写，计算观测值K2，对照临界值得出结论．19.答案：证明：(1)连接OE，OF．∵O是AB的中点，E是AC的中点，∴OE//BC，∴∠FEO是异面直线EF与BC所成的角．∵O是AB的中点，F是PB的中点，∴OF//PA，又PA⊥平面ABC，∴OF⊥平面ABC．∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵AC=BC，AB=2，∴BC=√2，OE=12BC=√22，又OF=12PA=√62，∴tan∠FEO=OFOE=√3，∴异面直线EF与BC所成的角为60∘．(2)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∵PC=√PA2+AC2=2√2，∴S△PBC=12PC⋅BC=2．设A到平面PBC的距离为h，则V A−PBC=13S△PBC⋅ℎ=2ℎ3．又V A−PBC=V P−ABC=13S△ABC⋅PA=13×12×√2×√2×√6=√63，∴ℎ=√62，即点A到平面PBC的距离为√62．解析：本题考查异面直线所成角的计算和利用“等体积”法求点到平面距离，属于中档题．(1)本小题考查异面直线所成角，连接OE，则OE//BC，故∠FEO是异面直线EF与BC所成的角，在△EOF中计算即可；(2)本小题考查利用“等体积”法求点到平面的距离，根据V A−PBC=V P−ABC即可求出答案．20.答案：解：(1)将点P横坐标x P=2代入x2=2py中，求得y P=2p，∴P(2,2p )，|OP|2=4p2+4，点P到准线的距离为d=2p+p2，∴|OP|2=(|MN|2)2+d2，∴22+(2p )2=12+(p2+2p)2，解得p2=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为：x2=4y；(2)抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，H(0,−1)；设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程可得x2−4kx−4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=−4，…①由AB⊥HB，可得k AB⋅k HB=−1，又k AB =k AF =y 1−1x 1，k HB =y 2+1x 2，∴y 1−1x 1⋅y 2+1x 2=−1，∴(y 1−1)(y 2+1)+x 1x 2=0，即(14x 12−1)(14x 22+1)+x 1x 2=0， ∴116x 12x 22+14(x 12−x 22)−1+x 1x 2=0，…②把①代入②得，x 12−x 22=16，则|AF|−|BF|=y 1+1−y 2−1=14(x 12−x 22)=14×16=4．解析：(1)将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标， 利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可； (2)设A 、B 的坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，再计算|AF|−|BF|的值．本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，也考查了转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)∵g (x )=lnx +ax ，∴g ′(x )=1x −ax 2=x−a x 2，∵x >0，∴a ≤0时，g′(x)>0恒成立． ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，没有单调减区间；a >0时，解不等式g′(x)>0得x >a ，解不等式g′(x)<0得0<x <a ， ∴g(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(0,a)，综上所述：当a ≤0时，g(x)的单调递增区间为(0,+∞)，没有单调减区间； 当a >0时，g(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(0,a)； (Ⅱ)(i)证明：∵ℎ(x)=f −1(x)−f(x)−ax =e x −lnx −ax(x >0)， ∴ℎ′(x )=e x −1x −a 在(0,+∞)上单调递增．又∵ℎ′(12)=e 12−2−a <0<0，ℎ′(ln (a +e ))=e ln (a+e )−1ln (a+e )−a =e −1ln (a+e )>0，且ln (a +e )>lne >12，∴∃x 0∈(12,ln (a +e ))，使得ℎ′(x 0)=0，且x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0，，∴ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， ∵ℎ(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点，∴此零点为极小值点x 0；(ii)由(i)得{ℎ′(x 0)=0ℎ(x 0)=0，即{e x 0−lnx 0−ax 0=0e x 0−1x−a =0, 解得：a =e x 0−1x 0，且(1−x 0)e x 0−lnx 0+1=0．设u (x )=(1−x )e x −lnx +1(x >0)，x ∈(0,ln (a +1))， 则u ′(x )=−xe x −1x <0，∴u(x)在(0,+∞)上单调递减，∵u (32)=−32e 32−ln 32+1<0，u (1)=0−0+1=1>0，∴x 0∈(1,32)．又v (x )=e x −1x 在(0,+∞)中单调递增，x 0∈(1,32)，v (32)=e 32−23，u (1)=e −1，∴e −1<v (x 0)<e 32−23，∴e −1<a <e 32−23．解析：本题考查了导数的应用，零点存在定理，属于中等题．(Ⅰ)首先求出g′(x)，再通过讨论a 的值判断出g′(x)的正负，进而得到函数的单调性； (Ⅱ)(i)求出ℎ′(x)，进而判断出ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，进而利用零点存在定理判断出∃x 0∈(12,ln (a +e ))，使得ℎ′(x 0)=0，且x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0，进而得到ℎ(x)单调性，则结论可证；(ii)由(i)可得{e x 0−lnx 0−ax 0=0e x 0−1x 0−a =0，解得a =e x 0−1x 0，且(1−x 0)e x 0−lnx 0+1=0.再构造新函数，利用导数判断出新函数u(x)在(0,+∞)上单调递减，进而利用零点存在定理求出u(x)的零点及零点范围x 0∈(1,32).又通过v (x )=e x −1x 在(1,32)中单调递增，得到v (32)=e 32−23，u (1)=e −1，则结论可证．22.答案：解：(1)将C 的参数方程化为普通方程得(x−12)2+(y−√32)2=1， 即(x −1)2+(y −√3)2=4， 将代入，并化简得C 的极坐标方程为ρ=2cosθ+2√3sinθ． l 2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)． (2)依题意可得A(2cosα+2√3sinα,α)，即，即．因为0<α<π2， 所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2,即α=π6时， |OA|+|OB|取得最大值4√3．解析：本题主要考查了曲线的参数方程和极坐标方程的知识，考查了学生的分析与计算能力，属中档题．(1)由题意将C 的参数方程化为普通方程，再由l 1的极坐标方程得出l 2的极坐标方程． (2)由题意得由α表示的A ，B 点的坐标，知α的取值范围再得出|OA|+|OB|的最大值．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)． (2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ， 当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=” 当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2； 当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题． (1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
2020届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学理科试题附答案
2020年大连市高三第二次模拟考试数 学（理科）本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B =U （ ） A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,42. 已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +为（ ） A. 54i -B. 54i +C. 34i -D. 34i +3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A. 3B. 6C. 9D. 126. 已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（ ） A. 16B. 32C. 64D. 2567. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ）A. ()sin x x y e e -=+ B. ()sin x x y e e --= C. ()cos x x y e e --=D. ()cos x x y e e -+=8. 已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程$0.08y bx=+$，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知点P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1，则点P 坐标为（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C. (2,D. (2,-10. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11. 已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式1()2f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =120ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ）A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 设向量()2,4a =r 与向量(),6b x =r共线，则实数x =______.14. 已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为30，则a 的值为______.15. 数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.16. 已知函数()ln 2exf x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19119()10k k f a b =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，则22a b +的最小值为______.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若1a =，b =ABC △的面积.18. 如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P DC B --，连接PA 、PB 、BD .。
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cosC=2√55．(1) 求sinA．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cosθOA→+sinθOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+lnx，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。
2020年6月辽宁省大连市普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前辽宁省大连市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题2020年6月第I 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)已知集合2{|430},{|24}A x x x B x x =-+<=<<则()A B =U()()()()()()()()1,42,32,41,3A B C D(2)已知,,i a b ∈R 为虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2为( )(A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i(3)双曲线2214x y -=的渐近线方程是( ) 1()()()2()4421A y x B y x C y x D y x =±=±=±=± (4)瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位)”,欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e 3i 表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(5)设函数()()21log 2,1,1x x x f x x e ⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…则()()2ln6f f -+=( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(6)已知各项均为正数的数列{a n }为等比数列153416,12,a a a a ⋅=+=则7()a =(A)16 (B)32 (C)64 (D)256(7)已知某函数的图象如图所示,则下列函数中,与图象最契合的函数是( )()()()sin ()sin x xx x A y e e B y e e --=+=- ()()()cos ()cos x x x x C y e e D y e e --=-=+ (8)已知关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程$0.08,y bx=+$,若规定当维修费用12y >时该设备必须报废,据此模型预报该设备使用的年限不超过为( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10(9)已知点P 在抛物线C ：24,y x =上过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点,若直线AB 的斜率为-1,则点P 坐标为( ) ())()(1,2)()1-2()2,22()(2,22)A B C D -，(10)下列四个正方体图形中,A 、B 为正方体的两个顶点,M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④(11)已知函数()()sin 0,||2f x x πϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π,若对,,243x ππ∀⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不等式()21f x >恒成立,则φ的取值范围是 ()()()()3 [,],,12612362[,]6A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）
2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）（有答案解析）2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）题号⼀⼆三总分得分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.复数z=-1+i（i是虚数单位），则z的模为（）A. 0B. 1C.D. 22.已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩（?U B）=（）A. {-1，0，1}B. {-1，0，1，2}C. {x|x＜2}D. {x|-1≤x＜2}3.命题“?α∈R，sinα=0”的否定是（）A. ?α∈R，sinα≠0B. ?α∈R，sinα≠0C. ?α∈R，sinα＜0D. ?α∈R，sinα＞04.下列函数中，既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增的是（）A. y=sin xB. y=|x|C. y=-x3D. y=ln（+x）5.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，则数列{a n}的公⽐q=（）A. -1B. 1C. ⼠1D. 26.过椭圆+=1的中⼼任作⼀直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的⼀个焦点，则△PQF周长的最⼩值是（）A. 14B. 16C. 18D. 207.把标号为1，2，3，4的四个⼩球分别放⼊标号为1，2，3，4的四个盒⼦中，每个盒⼦只放⼀个⼩球，则1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法共有（）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.9.执⾏如图所⽰的程序框图，若输出结果为1，则可输⼊的实数x值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.设a=log43，b=log52，c=log85，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b11.已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜⾓为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC 的斜率为（）A. -B.C. -3D. 312.函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，]B. （0，）C. （0，2]D. （0，2）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，则∠A=______．14.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x-1）＞f（x-2）的解集为______．15.已知各项都为正数的数列,其前n项和为,若,则______．16.A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上⼀动点，若=λ+（λ，µ∈R），则λ+µ的取值范围为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.已知函数f（x）=+（ω＞0），x1，x2是函数f（x）的零点，且|x2-x1|的最⼩值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）=，f（）=-，求cos（α-β）的值．18.某⼚包装⽩糖的⽣产线，正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g）．（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率约为多少？（Ⅱ）该⽣产线上的检测员某天随机抽取了两包⽩糖，称得其质量均⼩于485g，检测员根据抽检结果，判断出该⽣产线出现异常，要求⽴即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：X～N（µ，σ2），则P（µ-σ≤X≤µ+σ）=0.6826，P（µ-2σ≤X≤µ+2σ）=0.9544，P（µ-3σ≤X≤µ+3σ）=0.9974．19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点．（Ⅰ）若E为AB1上的⼀点，且DE与直线CD垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异⾯直线AB1与CD所成的⾓为45°，求直线DE与平⾯AB1C1成⾓的正弦值．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB⾯积的最⼩值．21.已知是函数的极值点．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ求证：函数存在唯⼀的极⼩值点,且参考数据：,其中e为⾃然对数的底数22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜⾓为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建⽴坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ=2cosθ．在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜⾓为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB⾯积的最⼤值．23.已知函数f（x）=|x+1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞2x的解集；（Ⅱ）当不等式f（x）＞1的解集为R时，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=-1+i，∴|z|=．故选：C．由已知直接利⽤复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：?U B={x|x＜2}；∴A∩（?U B）={-1，0，1}．故选：A．进⾏交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：特称命题的否定是全称命题，∴?α∈R，sinα=0的否定为：?α∈R，sinα≠0，故选：B．直接利⽤特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sin x，为正弦函数，在（-∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，y=-x3，是奇函数但在（-∞，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y=ln x（+x），既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.答案：C 解析：解：根据题意，等⽐数列{a n}中，S4=2S2，则（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得：q2=1，解可得q=±1，故选：C．根据题意，分析可得（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得q2=1，解可得q的值，即可得答案．本题考查等⽐数列的前n项的性质以及应⽤，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的简单⼏何性质，考查了椭圆定义的应⽤，体现了数学转化思想⽅法，是中档题．由题意画出图形，然后利⽤椭圆的对称性把△PFQ的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．【解答】解：如图，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a由椭圆的对称性知|QF|=|PF1|，∴有|PF|+|QF|=2a，⽽|PQ|的最⼩值是2b，∵+=1，∴a=5，b=4，∴△PFQ的周长的最⼩值为2a+2b=2（a+b）=18故选：C．7.答案：A解析：解：由于1号球不放⼊1号盒⼦，则1号盒⼦有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放⼊剩下的三个盒⼦中，则2号⼩球有3种选择，3号⼩球还剩2种选择，4号⼩球只有1种选择，根据分步计数原理可得1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法有?1=18种，故选：A．先确定1号盒⼦的选择情况，再确定2、3、4号盒⼦的选择情况，根据分步计数原理即可求解．本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．根据勾股定理得出圆锥的底⾯半径，代⼊侧⾯积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，∴圆锥的底⾯半径为3，⾼为．圆锥的体积为：π×9×3=9π．故选：B．9.答案：B解析：解：根据题意，该框图的含义是：当x≤2时，得到函数y=x2-1；当x＞2时，得到函数y=log2x，因此，若输出的结果为1时，（1）若x≤2，得到x2-1=1，解得x=，（2）若x＞2，得到log2x=1，解得x=2，（舍去），因此，可输⼊的实数x的值可能为-，，共有2个．故选：B．根据程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解出关于x的⽅程f（x）=1，即可得到可输⼊的实数x值的个数．本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：∵，；∴a＞c；⼜，；∴c＞b；∴a＞c＞b；∴b＜c＜a．故选：B．根据换底公式即可得出，从⽽得出a＞c，容易得出，从⽽得出c＞b，这样即可得出a，b，c的⼤⼩关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．设B（x0，），表⽰出A点坐标，代⼊渐近线⽅程得出x0=，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．【解答】解：F（-c，0），设B（x0，），则A（，），把A点坐标代⼊⽅程y=-x可得=-?，整理可得x0=，∴A（-，），B（，），∴C（，），故k OC=，⼜直线BF的斜率为=tan30°=，∴=，∴k OC=3．故选D．12.答案：A解析：解：函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于：函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，∵φ（1）=0，g（1）=0，∴函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），⼜∵g′（x）=-e1-x-e x-1，且e1-x＞0，e x-1＞0，∴g′（x）=-e1-x-e x-1在R上恒⼩于零，即g（x）=e1-x-e x-1在R上为单调递减函数，⼜∵φ（x）=a sinπx（a＞0）是最⼩正周期为2，最⼤值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1的⼤致图象如图：∴要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）=πa cosπ=-πa，g′（1）=-e1-1-e1-1=-2，∴-πa≥-2，解得a，⼜∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故选：A．函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，由φ（1）=0，g（1）=0，可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），g（x）的单调，根据单调性得到φ（x）与g（x）的⼤致图象，从图形上可得要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），即可解得实数a的取值范围．本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯⼀零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进⾏分析研究，属于难题．13.答案：解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊⾓的三⾓函数值，属于中档题．利⽤正弦定理化简已知的等式，再利⽤余弦定理表⽰出cos A，将化简后的式⼦整理后代⼊求出cos A 的值值，由A为三⾓形的内⾓，利⽤特殊⾓的三⾓函数值即可求出A的值．【解答】解：由正弦定理化简sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A===，⼜∠A为三⾓形的内⾓，则∠A=．故答案为.14.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运⽤，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进⾏转化是解决本题的关键，为中档题．根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得f（|2x-1|）＞f（|x-2|），进⽽可得|2x-1|＞|x-2|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意：当f（2x-1）＞f（x-2）时，即f（|2x-1|）＞f（|x-2|）?|2x-1|＞|x-2|，变形可得：4x2-4x+1＞x2-4x+4，解可得x＜-1或x＞1，即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；故答案是（-∞，-1）∪（1，+∞）．15.答案：2n-1解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列{a n}为单调递增的等差数列，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．n=1时，4a1=（a1+1）2，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，推导出（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，从⽽a n-a n-1=2，进⽽数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵各项都为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，4S n=（a n+1）2=，①∴n=1时，4a1=（a1+1）2=a12+2a1+1=0，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，②①-②，得：4a n=+2（a n-a n-1），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列各项都为正数，∴a n-a n-1=2，∴数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1，且验证n=1时也成⽴，故答案为：2n-1．16.答案：[1，]解析：解：如图以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，∵A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，∴点A（-，），点B（，），∴=（-，），=（，），即λ=（-，），µ=（，），∴=λ+µ=（，），⼜∵C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，设点C坐标为（x，y），∴，∵=λ+µ=（，）=（x，y），∴≤y=≤1，解得：1≤λ+µ≤，故λ+µ的取值范围为[1，]．以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，分别表⽰出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表⽰出向量，由于C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出λ+µ的取值范围．本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建⽴直⾓坐标系，表⽰出各点坐标，属于中档难度题．17.答案：解：（Ⅰ）f（x）=+=sin2ωx-cos2ωx=2in（2ωx-），∵|x2-x1|的最⼩值为．∴=，即T==π，得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x-），∴f（）=sin（α+-）=sin（α+）=cosα=，f（）=sin（β--）=sin（β-π）=-sinβ=-，则sinβ=，⼜α，β∈（0，），∴sinα=，cosβ=，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．解析：（Ⅰ）利⽤⼆倍⾓公式和辅助⾓公式整理出f（x）=sin（2ωx-），根据周期求得ω；（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利⽤同⾓三⾓函数关系求出sinα，cosβ；代⼊两⾓和差余弦公式求得结果．本题考查三⾓函数解析式的求解及应⽤问题，关键是考查学⽣对于⼆倍⾓公式、辅助⾓公式、同⾓三⾓函数关系以及两⾓和差公式的掌握情况，考查学⽣的运算能⼒，属于常规题型．18.答案：解：（Ⅰ）设正常情况下，该⽣产线上包装出来的⽩糖质量为Xg，由题意可知X～N（500，52）．由于485=500-3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：P（X＜485）=；（Ⅱ）检测员的判断是合理的．因为如果⽣产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率约为：0.0013×0.0013=1.69×10-6，⼏乎为零，但这样的事件竟然发⽣了，所以有理由认为⽣产线出现异常，检测员的判断是合理的．解析：（Ⅰ）由正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），要求得正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率，化为（µ-3σ，µ+3σ）的形式，然后求解即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率⼏乎为零，即可判定检测员的判断是合理的．本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查基本分析应⽤的能⼒，属于基础题．19.答案：（Ⅰ）证明：取AB中点M，连接CM，DM，有MD∥AB1，因为AC=BC，所以CM⊥AB，⼜因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以平⾯ABC⊥平⾯ABB1A1，⼜因为平⾯ABC∩平⾯ABB1A1=AB，所以CM⊥平⾯ABB1A1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，所以CM⊥DE，⼜因为DE⊥CD，CD∩DM=D，CD?平⾯CMD，CM?平⾯CMD，所以DE⊥平⾯CMD，⼜因为MD?平⾯CMD，所以DE⊥MD，因为MD∥AB1，所以DE⊥AB1，连接A1B交AB1于点O，因为ABB1A1为正⽅形，所以A1B⊥AB1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，A1B?平⾯AA1B1B，所以DE∥A1B，⼜因为D为BB1的中点，所以E为OB1的中点，所以=．（Ⅱ）如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=2a，由（Ⅰ）可知∠CDM=45°，所以AB1=2a，所以DM=CM=a，所以A（a，0，0），B1（-a，2a，0），C1（0，2a，a），D（-a，a，0），E（-a，a，0），所以=（-2a，2a，0），=（a，0，a），=（a，a，0），设平⾯AB1C1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=-1可得=（，，-1）．所以 cos＜＞===．所以直线DE与平⾯AB1C1所成⾓的正弦值为．解析：（Ⅰ）取AB中点M，连接CM，MD，证明DE⊥平⾯CMD，即可说明DE⊥AB1，由底⾯为正⽅形，可求得=；（Ⅱ）以M为坐标原点建⽴空间直⾓坐标系，求得各点的坐标，以及平⾯AB1C1的法向量为，根据线⾯所成⾓的正弦值的公式即可求解．本题主要考查线⾯垂直的证明、中位线定理以及利⽤空间向量求线⾯⾓的正弦值，考查了学⽣空间想象能⼒和计算能⼒，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意知，抛物线焦点为（0，），准线⽅程为y=-，焦点到准线的距离为2，即p=2；（Ⅱ）抛物线的⽅程为x2=4y，即y=x2，所以y′=x，设A（x1，y1），B（x2，y2），l1：y-=（x-x1），l2：y-=（x-x2），由于l1⊥l2，所以?=-1，即x1x2=-4，设直线l⽅程为y=kx+m，与抛物线⽅程联⽴，得x2-4kx-4m=0，△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4，所以m=1，即l：y=kx+1，联⽴⽅程得，即M（2k，-1），M点到直线l的距离d==，|AB|=?=4（1+k2），所以S=?4（1+k2）?=4（1+k2）≥4．当k=0时，△MAB⾯积取得最⼩值4．解析：（Ⅰ）根据抛物线的性质即可得到结果；（Ⅱ）由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=-4，通过直线与抛物线⽅程联⽴，根据根与系数关系求得m；联⽴两切线⽅程，可⽤k表⽰出M，代⼊点到直线距离公式，从⽽得到关于⾯积的函数关系式，求得所求最值．本题考查抛物线的性质的应⽤、抛物线中三⾓形⾯积最值的求解，关键是能够将所求⾯积表⽰为关于斜率的函数关系式，从⽽利⽤函数最值的求解⽅法求出最值．21.答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a=；此时，设g（x）=f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．⼜，所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极⼤值点x=1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）=，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）=0；当 2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0．⼜；所以，且满⾜；所以=；故函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0，且0＜f（x0）＜．解析：本题考查利⽤函数极值与导数关系的综合应⽤问题，解决本题的关键是能够利⽤零点存在定理确定零点处理问题，从⽽可将证明问题转化为某⼀个区间内⼆次函数值域问题的求解，考查了学⽣基本计算能⼒以及转化与划归思想，属于难题．（Ⅰ）根f′（1）=0，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点x=1，满⾜题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的极⼩点值位于（2，+∞），此时f′（x）的零点位于x0∈，且x0为f（x）的极⼩点值点，代⼊f（x），f′（x），化简即可得f（x0）关于x0的⼆次函数，求解⼆次函数在区间上的值域即可证明结论．22.答案：解：（Ⅰ）由题可知，C1的直⾓坐标⽅程为：x2+y2-2x=0，设曲线C2上任意⼀点（x，y）关于直线y=x对称点为（x0，y0），∴，⼜∵，即x2+y2-2y=0，∴曲线C2的极坐标⽅程为：ρ=2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标⽅程为：θ=α，直线l2的极坐标⽅程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1=2cosα，，解得．∴==．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）=1，S△AOB取得最⼤值为：．解析：（Ⅰ）将C1化为直⾓坐标⽅程，根据对称关系⽤C2上的点表⽰出C1上点的坐标，代⼊C1⽅程得到C2的直⾓坐标⽅程，再化为极坐标⽅程；（Ⅱ）利⽤l1和l2的极坐标⽅程与C1，C2的极坐标⽅程，把A，B坐标⽤α表⽰，将所求⾯积表⽰为与α有关的三⾓函数解析式，通过三⾓函数值域求解⽅法求出所求最值．本题考查轨迹⽅程的求解、三⾓形⾯积最值问题的求解，涉及到三⾓函数的化简、求值问题．求解⾯积的关键是能够明确极坐标中ρ的⼏何意义，从⽽将问题转化为三⾓函数最值的求解．23.答案：解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=当x＜-1时，f（x）=-2x＞2x，即x＜0，此时x＜-1，当-1≤x≤1时，f（x）=2＞2x，得x＜1，∴-1≤x＜1，当x＞1时，f（x）=2x＞2x，⽆解，综上，f（x）＞2x的解集为（-∞，1）．（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+a|≥|x+a-x-1|=|a-1|，即f（x）的最⼩值为|a-1|，要使f（x）＞1的解集为R，∴|a-1|＞1恒成⽴，即a-1＞1或a-1＜-1，得a＞2或a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．解析：（Ⅰ）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从⽽分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（Ⅱ）由绝对值三⾓不等式得到f（x）的最⼩值，则最⼩值⼤于1，得到不等式，解不等式求得结果．本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三⾓不等式的应⽤问题，属于常规题型．。
2019-2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)(有答案)
辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{an }为等差数列，3a4+a8=36，则{an}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC 内部（不含边界）的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．命题p ：“∃x 0∈[0，]，sin2x 0+cos2x 0＞a”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ＜C ．a ≥1D ．a ≥11．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M （﹣1，2），若•=0，则直线l 的斜率k=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1D ．212．函数f （x ）=e ax ﹣lnx （a ＞0）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ≤ B ．0＜a ≤C ．a ≥D ．a ≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|2<x <4}，则A ∪B =( ) A.(1, 4) B.(1, 3) C.(2, 3) D.(2, 4)2. 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a −i 与2+bi 互为共轭复数，则(a +bi)2＝（ ） A.5+4i B.5−4i C.3+4i D.3−4i3. 双曲线x 24−y 2＝1的渐近线方程为（ ）A.y ＝±xB.y ＝±x2C.y ＝±4xD.y ＝±2x4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x （i 为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 3i 表示的复数在复平面中位于（ ） A.第二象限 B.第一象限C.第四象限D.第三象限5. 设函数f(x)={1+log 2(2−x),x <1e x ,x ≥1 ，则f(−2)+f(ln 6)＝（ ）A.6B.3C.9D.126. 已知各项均为正数的数列{a n }为等比数列，a 1⋅a 5＝16，a 3+a 4＝12，则a 7＝（ ） A.32 B.16C.64D.2567. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A.y =sin (e x −e −x ) B .y =sin (e x +e −x ) C.y =cos (e x +e −x ) D.y =tan (e x −e −x )8. 已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如表的统计资料：由上表可得线性回归方程y =b x +0.08，若规定当维修费用y >12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过（ ） A.8 B.7C.9D.109. 已知点P 在抛物线C:y 2＝4x 上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为−1，则点P 坐标为（ ） A.(1, −2) B.(1, 2)C.(2, 2√2)D.(2, −2√2)10. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB // 平面MNP 的图形的序号是（ ）A.②③B.①③C.②④D.①④11. 已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为π，若对∀x ∈(π24,π3)，不等式f(x)>12恒成立，则φ的取值范围是（ ） A.(π12,π3) B.[π12, π6]C.[π6,π3]D.(π6,π2)12. 已知三棱锥P −ABC ，面PAB ⊥面ABC ，PA ＝PB ＝4，AB ＝4√3，∠ACB ＝120∘，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ） A.32π B.20πC.64πD.80π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）设向量a →=(2, 4)与向量b →=(x, 6)共线，则实数x ＝________．已知(x −ax )5的展开式中含x 3的项的系数为30，则a 的值为________．数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n ＝n ，则{a n }的前8项和为________．已知函数f(x)=ln ex2−x ，则f(x)+f(2−x)值为________；若∑ 19k=1f(k10)＝19(a +b)，则a 2+b 2的最小值为________12 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a −c)(a 2−b 2+c 2)＝2abc cos C ． 求角B 的大小；(Ⅱ)若a ＝1，b =√3，求△ABC 的面积．如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA ⊥AB ，CD // AB ，且PA ＝CD ＝2AB ＝4．将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P −DC −B ，连接PA 、PB 、BD ． (Ⅰ)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：10数据，统计结果如下表所示．人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5)； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： (i)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； (ii)每次赠送的随机话费和对应的概率为现市民小王要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．附：√210≈14.5，若X ∼N(μ, σ2)，则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)＝0.6827； ②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)＝0.9544；③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)＝0.9973．已知函数f(x)＝x ln x −(a −1)x +a +1． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x >1，不等式f(x)>1恒成立，求整数a 的最大值．已知离心率为e =√22的椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A(0, 1)、B(0, −1)，直线l:x ＝ty +m(m ≠0)与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M ． (Ⅰ)求椭圆Q 的标准方程；(Ⅱ)若OC ⊥OD ，求△OCD 面积的最大值； (Ⅲ)设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM →⋅ON →的值．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=3√2，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =√3sin θ （θ为参数）．(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −a|+|x +2b|，a ，b ∈R ． (Ⅰ)若a =1,b =−12，求f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若ab >0，且f(x)的最小值为2，求|2a+1b|的最小值．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】欧拉因式的京用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】三角表数抛图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积球内较多面绕棱锥于结构虫征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
辽宁省2020版高考数学二模试卷(理科)D卷
辽宁省2020版高考数学二模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·上饶模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高二上·淄川开学考) 已知向量 =（﹣1，2）， =（1，1），则• =（）A . 3B . 2C . 1D . 04. （2分）(2017·九江模拟) 已知a=21.3 ， b=40.7 ， c=ln6，则a，b，c的大小关系为（）A . a＜b＜cB . b＜c＜aC . c＜a＜bD . c＜b＜a5. （2分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二上·包头期中) 2020年4月24日下午，随着最后1例新冠肺炎重症患者治愈，武汉重症病例实现了清零，抗疫工作取得了阶段性重大胜利．某方舱医院从出院的新冠肺炎患者中随机抽取100人，将这些患者的治疗时间（都在天内）进行统计，制作出频率分布直方图如图所示，则估计该院新冠肺炎患者治疗时间的中位数是（）A . 16B . 17C . 18D . 197. （2分） (2015高二上·济宁期末) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F1（0，﹣c）（c＞0），离心率为e，过F1平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于另一点P，且点P在抛物线x2=4cy上，则e2=（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·长沙模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）B .C .D .9. （2分）函数的部分图象如图所示，若，且，则（）A . 1B .C .D .10. （2分）(2018·长安模拟) 如果实数满足条件，那么的最大值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·定州开学考) 已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱都相等，底面是边长为的正方形，底面中心为O，以PO为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（）B .C .D .12. （2分） (2018高二下·河北期末) 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·沈阳模拟) 二项式（x+ ）6的展开式中的常数项为________．14. （1分） (2016高二上·武邑期中) 抛物线y=4x2的准线方程为________15. （1分）已知连续2n+1（n∈N*）个正整数总和为a，且这些数中后n个数的平方和与前n个数的平方和之差为b．若，则n的值为________16. （1分） (2016高三上·金山期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分）(2020·镇江模拟) 已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．18. （5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1AC⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC=BC=AA1=A1C=2．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．19. （15分） (2019高二上·哈尔滨期末) 在某单位的职工食堂中，食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包，然后以元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了80个面包，以（单位：个，）表示面包的需求量，（单位：元）表示利润．（1）求关于的函数解析式；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求的分布列和数学期望．20. （10分） (2018高三上·荆门月考) 设椭圆：，为左、右焦点，为短轴端点，且，离心率为 , 为坐标原点．（1）求椭圆的方程，（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点 , ,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21. （10分） (2017高三上·长葛月考) 已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.（1）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.（2）设，证明：在上的最小值为定值.22. （10分）(2017·吕梁模拟) 已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A﹣（2，0）、B（﹣1，）（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点M，使点M到AB的距离最大，并求出些最大值．23. （10分）(2020·梧州模拟) 已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）当f（x）≤1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
辽宁省2020年高考数学二模试卷(理科)A卷
辽宁省2020年高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·山东模拟) 已知集合，集合N={y|y=|x|+1}，则M∩N=（）A . {x|﹣2≤x≤4}B . {x|x≥1}C . {x|1≤x≤4}D . {x|x≥﹣2}2. （2分）若，则复数的共轭复数为（）A . 0B . 1C . 2D . －23. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 设F1 ， F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A . 0B . 1C . 2D . 44. （2分） (2019高二下·宝安期末) 已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·温州模拟) “平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三下·赣州期中) 如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，﹣2，9，3，则输出x的值为（）A . ﹣29B . ﹣5C . 7D . 197. （2分） (2019高二下·牡丹江月考) 在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知直线⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥m α⊥β④l⊥mα∥β,其中正确命题的序号是（）A . ①②③B . ②③④C . ①③D . ②④9. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知随机变量ξ～N（3，a2），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f（x）的一条对称轴为（）A . x=B . x=C . x=D . x=10. （2分）某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（）A .B .C . 2D . 312. （2分） (2016高二上·茂名期中) 给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2 ，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2 ．其中正确的是（）A . ②④B . ①③C . ①②D . ②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若等比数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，a4=8，则S5=________14. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 若，满足约束条件，则的最小值为________.15. （1分） (2018高一上·深圳月考) 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________.16. （1分）(2016·德州模拟) 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是________（填空写所有正确选项的序号）①y= ；②y= ；③y= ；④y= ．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.18. （10分） (2019高三上·瓦房店月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，（1）求证：平面平面PAD；（2）若，求二面角的大小．19. （5分） (2016高三上·辽宁期中) 为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．20. （10分） (2019高三上·汕头期末) 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆：的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.21. （10分）(2016·浙江文) 设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：（1） f（x）≥1﹣x+x2（2）＜f（x）≤ ．22. （5分） (2018高二下·湛江期中) 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．23. （10分） (2019高三上·成都月考) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若证明：参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年辽宁省大连市高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.设a是实数，且是实数，则A. B. 1 C. D. 22.设集合，，，，则A. MB. NC. 空集D. R3.已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是A. B. C. D.4.设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则m的取值范围是A. B.C. D.5.的展开式中，常数项为15，则A. 3B. 4C. 5D. 66.在数列中，，，且，则A. 0B. 1300C. 2600D. 26027.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是A. B. C. D.8.已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是A. B. C. D.9.如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、、如表示身高单位：在内的学生人数图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在含160cm，不含的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. B. C. D.10.直线与圆相交于A、B两点其中a，b是实数，且是直角三角形是坐标原点，则点与点之间距离的最小值为A. 0B.C.D.11.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.12.抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线l上的射影为，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有______种．用数字作答14.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体的体积是______ ．15.若，我们把使乘积为整数的数n叫做“劣数”，则在区间内所有劣数的和为______ ．16.某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：函数在上单调递增；存在常数，使对一切实数x都成立；函数在上无最小值，但一定有最大值；点是函数图象的一个对称中心，其中正确的是______．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，在中，．求sin A；记BC的中点为D，求中线AD的长．18.某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．例如：算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为请你为其选择一条由A到B的最短路线即此人只选择从西向东和从南向北的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；若记路线中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望．19.在中，，，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、图一，沿DE将折起，使得平面平面图二．若F是AB的中点，求证：平面ADE．是AC上任意一点，求证：平面平面PBE．是AC上一点，且平面PBE，求二面角的大小．20.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．求直线为坐标原点的斜率；对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角使等式：成立．21.已知函数，．求函数的极值；对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点Q处的切线，则称l为弦的伴随直线，特别地，当时，又称l为的伴随直线．求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．22.已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是是参数．将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m的值．23.已知不等式的解集是．求实数a，b的值：解不等式．答案和解析1.【答案】B【解析】解．设a是实数，是实数，则，故选：B．复数分母实数化，化简为、的形式，虚部等于0，可求得结果．本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由题知：集合M可化简为或；而集合N等于函数的值域，所以集合故且或，所以故选：B．由题知集合M化简得到或；而集合N等于函数的值域为，求出即可．考查学生理解函数值域的能力，灵活运用交集及运算的能力，以及掌握绝对值不等式解法的能力．3.【答案】B【解析】解：由图象可得函数的周期，得，将代入可得，注意此点位于函数减区间上，由可得，点的坐标是，故选：B．先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得的值，再将点代入函数解析式，利用五点作图法则及的范围求得值，最后即可得点的坐标本题主要考查了型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用4.【答案】C【解析】解：若的最小正周期为3，且，而函数是定义在R上的奇函数则即则故选：C．先根据周期性可知，然后根据奇偶性可知，从而可得，最后解分式不等式即可求出所求．本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及分式不等式的解法，是一道综合题，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当时，，当时，，故选项为D利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6.【答案】C【解析】解：奇数项：，偶数项：所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，．故选：C．奇数项：，偶数项：，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S 奇数项：，故能求出．本题考查数列的递推式，解题时要注意分类思想的合理运用．7.【答案】C【解析】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：．所以．故选：C．欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法．8.【答案】B【解析】解：，，当时，，当时，，的取值范围是．故选B．先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．9.【答案】B【解析】解：现要统计的是身高在之间的学生的人数，即是要计算、、、的和，当时就会返回进行叠加运算，当将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故．故选：B．由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在含160cm，不含的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．把统计与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了新课标高考中对创新能力的考查要求．10.【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：过O作，因为为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又，根据勾股定理得：，，圆心到直线的距离为，即，即，，则点与点之间距离，设，此函数为对称轴为的开口向上的抛物线，当时，函数为减函数，，的最小值为．故选C根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由是直角三角形且，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为，可得此函数为开口向上，且对称轴为的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数为减函数是解本题的关键．11.【答案】B【解析】解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．12.【答案】D【解析】解：设，，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到．所以的最大值为故选：D．设，，由抛物线定义，再由余弦定理可得，进而根据，求得的范围，进而可得答案．本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．13.【答案】72【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况即方法数为种故答案为：72本题是一个分步计数问题，甲在A、B、C、D四个地方选一个，有4种选择乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，余下三人只能选择剩下的两个地方，总共有，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，得到结果．本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，再根据分步乘法原理得到结果．本题是一个典型的排列组合的实际应用．14.【答案】【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，面积是三棱锥的高是2，三棱锥的体积是故答案为：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出面积是，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．15.【答案】2026【解析】解：；；；则当为2的整数次幂时，为整数则在区间内所有劣数n，对应的构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，且满足条件的最后一项为1024则区间内所有劣数的和为：故答案为：2026由已知中，利用对数的运算性质换底公式的推论，我们可以得到乘积，则当为2的整数次幂时，n为劣数，即所有劣数n，对应的构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，易求出区间内所有劣数的和．本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的前n项和公式，其中根据对数的运算性质将化为，是解答本题的关键，解答时，要注意在区间内最小的劣数对应的为4，而不是2．16.【答案】【解析】解：，则是偶函数，因此在对称区间上不可能单调递增；即满足题意；，当时，，当时，令得，由与的图象可知，存在唯一使得，又因为，故在上为单调递增，在上为单调递减，故在处取得最大值，由于为开区间，所以无最小值；因为，，．故答案为：．通过判断奇偶性即可；找出一个常数M，使对一切实数x均成立即可；利用函数的单调性，判断函数在的最值即可；找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误；本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，最值和对称性等性质．17.【答案】解：由，C是三解形内角，得在中，由正弦定理，又在中，，由余弦定理得，【解析】根据同角三角函数基本关系，利用cos C求得sin C，进而利用两角和公式求得sin A．先根据正弦定理求得BC，则CD可求，进而在中，利用余弦定理根据AC和cos C的值求得AD．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强．18.【答案】解：记路段MN发生堵车事件为MN．各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，路线中遇到堵车的概率为；分同理：路线中遇到堵车的概率为小于路线中遇到堵车的概率为大于显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线，可使得途中发生堵车事件的概率最小路线中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．，答：路线中遇到堵车次数的数学期望为．【解析】各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线，可使得途中发生堵车事件的概率最小．由题意知路线中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值．本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．19.【答案】解：证明：取BD的中点为M，连续FM，CM为AB的中点，，由题知为等边三角形，，又，面面ADE，面CMF，面ADE证明：由平面几何知识：，，平面平面平面BDEC，，面面PBE，平面平面PBE由面ACD，设，由题意知，，为二面角的平面角，∽，二面角的大小为【解析】取BD的中点为M，连续FM，CM，根据中位线可知，而为等边三角形，则，又，所以，从而面面ADE，面CMF，根据面面平行的性质可知面ADE；由平面几何知识可知，，平面平面BDEC，则平面BDEC，从而，根据线面垂直的判定定理可知面ACD，而面PBE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面平面PBE；根据面ACD，设，则，，根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，以及二面角的度量，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．20.【答案】解：设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有从而椭圆C的方程可化为：易知右焦点F的坐标为，据题意有AB所在的直线方程为：由，有：设，，弦AB的中点，由及韦达定理有：．所以，即为所求．显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，，使得等式成立．设，由中各点的坐标有：，所以，．又点在椭圆C上，所以有整理为由有：．所以又在椭圆上，故有，将，代入可得：．对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然，．也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角使等式：成立．【解析】设出椭圆的焦距，利用离心率求得a和c的关系进而求得a和b的关系，把右焦点F的坐标代入直线AB的方程，利用韦达定理求得的表达式，进而求得ON的斜率．根据题意可知与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，，使得等式成立．设出M的坐标利用中各点的坐标整理求得，代入椭圆的方程整理求得利用中和的表达式代入整理求得，进而把A，B的坐标代入椭圆的方程，联立方程求得，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，则可推断出，进而判断出对于椭圆C上任意一点M，总存在角使等式：成立．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生综合分析问题，基础知识的综合运用以及基本的计算能力．21.【答案】解：，当时，，函数在内是增函数，函数没有极值．当时，令，得．当x变化时，与变化情况如下表：综上，当时，没有极值；当时，的极大值为，没有极小值．证明：设，是曲线上的任意两点，要证明，有伴随直线，只需证明存在点，，使得，且点Q不在上，，即证存在，使得，即成立，且点Q不在上．以下证明方程在内有解．设，．则．记，，，在内是增函数，．同理，，．方程在内有解．又对于函数，，，可知，即点Q不在上．又在内是增函数，方程在内有唯一解．综上，曲线上任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随直线，证明如下：设，，则，又，所以，即的任意一条弦均有伴随直线．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；问题转化为证存在，使得，即成立，且点Q不在上．设，根据函数的单调性证明即可；设，，求出RS的斜率，判断结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程是，所以，它的直角坐标方程是：，即：，分直线l的参数方程是是参数，直线l的直角坐标方程为分由题意，圆心到直线的距离，，或分【解析】利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，圆心到直线的距离，即可求实数m的值．本题考查三种方程的转化，考查直线与圆位置关系的运用，属于中档题．23.【答案】解：由，得，不等式的解集是，且，，；，即，或或，或或，，不等式的解集为．【解析】由，可得，根据不等式的解集为，可得且，解然后出a，b即可；，即，然后去绝对值解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属基础题．。
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2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为（）
A．y＝±B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x
4．（5分）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（5分）设函数，则f（﹣2）+f（ln6）＝（）A．3B．6C．9D．12
6．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}为等比数列，a1•a5＝16，a3+a4＝12，则a7＝（）A．16B．32C．64D．256
7．（5分）已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）
A．y＝sin（e x+e﹣x）B．y＝sin（e x﹣e﹣x）
C．y＝cos（e x﹣e﹣x）D．y＝cos（e x+e﹣x）
8．（5分）已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：
x23456
y 2.2 3.8 5.5 6.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（）
A．7B．8C．9D．10
9．（5分）已知点P在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点，若直线AB的斜率为﹣1，则点P坐标为（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣）10．（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）
A．①③B．②③C．①④D．②④
11．（5分）已知函数，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若对，不等式恒成立，则φ的取值范围是（）
A．[，]B．C．D．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，面P AB⊥面ABC，P A＝PB＝4，AB＝4，∠ACB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（）
A．20πB．32πC．64πD．80π
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝．
14．（5分）已知的展开式中含x3的项的系数为30，则a的值为．15．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝n，则{a n}的前8项和为．
16．（5分）已知函数，则f（x）+f（2﹣x）值为；若f（）＝
19（a+b），则a2+b2的最小值为．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．
（1）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，已知平面四边形ABCP中，D为P A的中点，P A⊥AB，CD∥AB，且P A ＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接P A、PB、BD．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
19．（12分）为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2515020025022510050
（Ⅰ）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.5）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为
赠送的随机话费（单位：元）2040。