专题2.6二次函数的应用(1)抛物型问题-2020-2021学年九年级数学上册(原卷版)【人教版】
专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人
专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1d2．（填“＞”“＜”“＝”）20．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为米，点A到地面距离OA＝6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点A的水平距离是多少？（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/个）…5055…月销售量y（个）…10090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1218日销售量y（件）164请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（元/件）12131415y（件）1000900800700（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数关系式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．。
九年级二次函数的应用(全面!经典!)
二次函数应用专题训练【基础题型】1.如图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB ∥x 轴，且AB ＝4，OC ＝1，则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； 代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
2.飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是：25.160t t s -=.飞机着陆后滑行 (m)后才能停下来.例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m ，河面距拱顶4m ，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不例题0.5m 时：（1）求水面的宽度CD （2例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为211040y x =-+，并且BD=12CD.（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长；（3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式.例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示）, 拱高6m , 跨度20m , 相邻两支柱间的距离均为5m ．(1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度；(3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？图1 图2例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x的取值范围）；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．例题6：4米时到达最大高度4⑴问此球能否投中？例题7.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）求此抛物线的解析式．（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？（3）若网球可以落入桶内，则竖直摆放圆柱形桶的个数为___________________．例题8．面的距离线AB (1)(2)t例题9（硚口2013模拟二）如图，足球场上守门员在离地面1米的处开出一高球，球的运动轨迹AMC看作一条抛物线的一部分，运动员乙在离守门员站立地点的水平距离6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式;（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再笔直向前跑多少米？（取）例题10、在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面3625米的P点处击球，求的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高A时，其高度为4米，离甲运动员站立点O的水平距离为4米，球网BC离点O的水平距离为4.5米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）.(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）（2）羽毛球边距离点C的水平距离为5.18米，此次发球是否会出界？（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为3米，若乙因为直接高度不够而失球，求m的取值范围。
完整二次函数的实际应用题
完整二次函数的实际应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的实际应用价值。
完整二次函数是指二次函数的导数为零的函数，其图像是一个开口向上或向下的抛物线。
本文将通过几个实际题例，来探讨完整二次函数的应用。
例一：火箭发射假设一个火箭发射到离地面 h 米的高度时，其速度为 v 米/秒。
已知此火箭发射的过程可以用一个完整二次函数来描述，其中 h 是时间 t 的函数。
试找到这个函数表示的抛物线的顶点、开口方向和最大高度。
解：由于抛物线的顶点在 t = -b/2a 处，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数。
而开口方向则取决于二次项系数的正负。
假设这个函数为 h(t) = at^2 + bt + c。
要找到顶点，即求解 t = -b/2a。
根据解析几何的知识，顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 -(b^2 - 4ac)/4a。
因此，顶点的坐标为 (-b/2a, -(b^2 - 4ac)/4a)。
根据问题描述，火箭发射的过程中速度为 v 米/秒，即 h'(t) = v。
由于 h(t) = at^2 + bt + c，我们可以求导，得到 h'(t) = 2at + b。
将 h'(t) = v 代入，得到 2at + b = v。
通过这个方程求解 t 的值，就可以得到对应的时间。
最后，要求出抛物线的开口方向，只需判断 a 的正负即可。
如果 a > 0，则抛物线开口向上；如果 a < 0，则抛物线开口向下。
例二：炮弹的弹道现有一艘炮艇，需要向距离 x 米的目标射击，并且保证炮弹击中的高度为 y 米。
已知炮艇大炮的射击速度为 v 米/秒，角度为α 弧度。
试找到一个二次函数，可以描述炮弹的弹道轨迹。
解：炮弹的弹道轨迹可以用一个二次函数来描述，其中 x 是时间 t 的函数。
假设这个函数为 x(t) = a t^2 + b t + c。
根据物理学原理，炮弹的水平速度始终保持不变，即 dx(t)/dt =v*cos(α)。
【挑战压轴题】2023学年九年级数学上册精选汇编题(人教版)二次函数的实际应用—抛球问题(解析版)
2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编二次函数的实际应用—抛球问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2022九上·萧山期末）竖直向上发射的小球的高度()mh关于运动时间()s t的函数表达式为2h at bt=+其图象如图所示若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第3秒B．第3.5秒C．第4秒D．第4.5秒【答案】C【完整解答】解：因为2h at bt=+且小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等所以此抛物线的对称轴为直线2642t+==又因为此抛物线的开口向下所以当4t=时h取得最大值即小球发射后第4秒的高度最高故答案为：C.【分析】根据题中已知条件可以求出函数2h at bt=+的对称轴4t=所给四个选项中的时间越接近4 小球就越高.2．（2分）（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮球运行路线可看作抛物线当球离开运动员的水平距离为1m时它与篮筐同高球运行中的最大高度为3.5m 最后准确落入篮筐已知篮筐到地面的距离为3.05m 该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）A ．1.5mB ．2mC ．2.25mD ．2.5m【答案】C【完整解答】解：如图 以地面为横轴 距离运动员右侧2.5米处的点O 画纵轴 建立平面直角坐标系由题意可知 点C 的坐标为（0 3.5） 点B 的坐标为（1.5 3.05） 设函数解析式为y=ax 2+3.5代入B （1.5 3.05）得 2.25a+3.5=3.05 解得 a=-0.2因此函数解析式为：y=-0.2x 2+3.5当x=-2.5时 y= 20.2( 2.5) 3.5= 1.25+3.5-⨯-+- =2.25； 所以 球出手时离地面2.25米时才能投中. 故答案为：C.【分析】以地面为横轴 距离运动员右侧2.5米处的点O 画纵轴 建立平面直角坐标系 利用已知条件可得到点C B 的坐标 设函数解析式为y=ax 2+3.5 将点B 代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y 的值 即可求解.3．（2分）（2021九上·鄞州期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒 经过t 秒时球的高度为h 米 h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度 g 表示重力系数 取 10g = 米/秒 2) 则球不低于3米的持续时间是（ ） A ．0.4 秒 B ．0.6 秒 C ．0.8 秒D ．1秒【答案】A【完整解答】解：由题意得221810852h t t t t =-⨯=- 当h=3时 2853t t -= 解得 120.61t t ==，∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒）. 故答案为：A.【分析】根据h 与t 满足的公式可得h=8t-5t 2令h=3 求出t 的值 据此解答.4．（2分）（2021九上·中山期中）如图 若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）具有函数关系为 2205h t t =- 则小球从飞出到落地的所用时间为 ( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B【完整解答】解：依题意 令 0h = 得 20205t t =- 得 (205)0t t -=解得 0t = （舍去）或 4t = 即小球从飞出到落地所用的时间为 4s 故答案为：B ．【分析】将h=0代入函数解析式求出t 的值即可得到答案。
九年级数学上册第21章二次函数的应用第2课时二次函数在抛物线形问题中的应用习题课件新版沪科版ppt
(2)当水面上升0.5 m时,求水面宽度．
(2)∵水面上升0.5 m,∴y＝－1.5,故－0.5x2＝－1.5,解得x1＝ 3 ,x2＝ 3 ,则 水面宽度为 3 －( 3)＝2 3 (m)． 答：水面上升0.5 m时,水面宽度为2 3 m.
知识点二 二次函数在抛物线形运动问题中的应用
3.烟花厂为国庆观礼设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行
8.如图,有网球从斜坡OA的点O处抛出,网球的路线的函数表达式是y＝4x－1 x2, 斜坡的函数表达式是y＝ 1 x，其中y是垂直高度,x是与点O的水平距离． 2 2 (1)求网球到达的最高点的坐标；
解：(1)∵y＝4x－ 1 x2＝－ 1 (x－4)2＋8,∴网球到达的最高点的坐标为
2
2
(4,8)．
5
的函数表达式为y＝ -
1
x2＋bx＋
5 16
.∵该函数图象过点(16,0),∴0＝
-
1×162＋
16b＋16 ,解得b＝3,∴5改造后水柱5所在抛物线(第一象限部分)的函数表5 达式为
y＝
289
-
1
5
x2＋3x＋
5
米．
16 5
＝
-
1 5
x- 15 2
2
289,∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
3
2.(2018～2019·安庆桐城二中月考)镇海桥是屯溪历史重要的建筑标志,是安徽 省不可多得的明代大型石拱桥之一,具有很高的历史、文化、科学价值．如 图1是镇海桥的截面图(其桥洞上沿近似于抛物线),当水面宽AB为4 m时,拱 顶与水面距离为2 m. (1)请你在图2中,建立适当的平面直角坐标系,使该抛物线拱桥的函数关系
第六讲 二次函数的实际应用-2021年新九年级数学(浙教版)(解析版)
第六讲二次函数的实际应用1.4二次函数的应用（1）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是现实世界一个有效的数学模型．【基础知识】一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【考点剖析】考点一：二次函数与投篮、掷铅球等实际问题结合例1．1．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高是2.44m ，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ） A ．10m B ．8mC ．6mD ．5m【答案】A 【解析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y =2(6)a x -+3将（0，0）代入解析式得a ＝112-， ∴抛物线解析式为y =21(6)312x --+， 当x ＝10时，y ＝215(106)3123--+=， ∵53＜2.44，满足题意， 故选：A ．例2．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ） A ．85米 B ．8米 C ．10米 D ．2米【答案】B 【解析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x 轴交点的横坐标，即当y ＝0时，求x 的值即可．解：当y ＝0时，即＝0，解得：x 1＝﹣2（舍去），x 2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故选：B ．考点二：二次函数与抛物线形建筑问题结合例3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【解析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．故选：B．例4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为x m，占地面积为y2m，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣12x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣12x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣12x2+27x﹣52（2≤x＜52）【答案】A 【解析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．解：y 关于x 的函数表达式为：y 12=（50+2﹣x ）x 12=-x 2+26x （2≤x ＜52）．故选：A ．考点三：二次函数与实际问题的图像相结合问题例5．2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】由题意可知点A 坐标为（-5，0.5），点B 坐标为（0，2.5），点C 坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax 2+bx+c ，将点A 、B 、C 的坐标代入得关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解得a 、b 、c 的值，则函数解析式可得，从而问题得解．解：由题意可知点A 坐标为（-5，0.5），点B 坐标为（0，2.5），点C 坐标为（2.5，0）设排球运动路线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵排球经过A 、B 、C 三点，220.5(5)52.50 2.5 2.5a b c c a b c ⎧=--+⎪∴=⎨⎪=⨯++⎩， 解得： ，∴排球运动路线的函数解析式为， 故选：A ．例6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③【答案】A【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝409 -，∴h＝409-（t﹣3）2+40．①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；③令h＝20，则20＝409-（t﹣3）2+40，解得t＝3±322，故③错误；④令t＝2，则h＝409-（2﹣3）2+40＝m，故④错误．综上，正确的有①②．故选：A．例7．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A ．水流运行轨迹满足函数y ＝﹣140x 2﹣x +1 B ．水流喷射的最远水平距离是40米C ．喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1米D ．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌 【答案】D 【解析】A 、设石块运行的函数关系式为y =a （x -20）2+11，用待定系数法求得a 的值即可求得答案；B 、把y =0代入函数y ＝﹣140x 2+x +1即可水流喷射的最远水平距离 C 、当x =20时y =11，减去2即可； D 、向后平移后的解析式为21(27)1140=--+y x ，把x =37代入解析式求得y 的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．解：A 、设石块运行的函数关系式为y =a （x -20）2+11， 把（0，1）代入解析式得：400a +11=1， 解得：140a =-， ∴解析式为； 故A 不符合题意； B 、当y =0时，21(20)11040--+=x ；解得x =± +20，∴水流喷射的最远水平距离是+20米；故B 不符合题意； C 、当x =20时，y =11， ∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9米 故C 不符合题意；D 、向后平移后的解析式为21(27)1140=--+y x ， 当x =37时，y =8.5 8.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D考点四：二次函数与其他实际问题相结合问题例8．如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y 1（单位：m ）和滑行的时间t 1（单位：s ）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 01234滑行距离4.514 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y 2（单位：m ），和在缓冲带上滑行时间t 2（单位：s ）满足：y 2=56t 2-2t 22滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了26s ，则滑坡AB 的长度为（ ）A ．374米B ．384米C ．375米D ．385米【答案】B 【解析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c =0，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在BC 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC 段的滑行时间，即可得出在AB 段的滑行时间，最后代入函数解析式求出AB 段的长度即可．由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c =0， 设，取两组数据代入可得：， 解得：， ，滑雪者在缓冲带BC 上滑行时间为：2142bt a=-=s ， 滑雪者在滑坡AB 上滑行时间为：26－14=12s ， 令t 1=12，212.512212384y =⨯+⨯=，滑坡AB 的长度为384米． 故选：B ．例9．如图，将长度为1的线段分为,x y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 三条边，构成闭“曲边形”，则该曲边形面积的最大值为_________________． 【答案】128π+【解析】先表示出半圆的半径，从而得到AE 的长，进而根据圆的面积公式和矩形的面积公式，得到曲边形面积的二次函数表达式，再利用二次函数的性质，即可求解．∵半圆的弧长为x ，（01x <<）， ∴半圆的半径为：， ∴AB=，AE=22122xxy x ππ---=，设该曲边形面积为S ， ∴S= ∙212xx π--+= 22211()2x x πππ--+， ∵＜0，∴当x=141π+时，S 最大值=2210214()2πππ---=128π+．故答案是：128π+．例10．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM 上有一喷水头A ，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M 的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C ，现将喷水头A 向上移动1.5米至点B （其余条件均不变），若此时水柱最高处D 与A ，C 在同一直线上，则水柱最远落点到中心M 的距离增加了_____米．【答案】 【解析】以地面为x 轴，中心立柱为y 轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为2(3)(0)y a x b a =-+<，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为2(3)36 1.5y a x a =--+，即可知D 点坐标．由点A 和点C 坐标利用待定系数法可求出经过点A 、C 的直线的解析式，又由于点D 也在直线上，即可求出a 的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y =0，解出x 的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M 的距离增加的量．解：如图，以地面为x 轴，中心立柱为y 轴建立平面直角坐标系．根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）． 由题意可知C 点坐标为(-4，0)．∵喷水头A 喷出的水柱距池中心3米处达到最高， 故该抛物线的对称轴为3x =． ∴设该抛物线解析式为2(3)(0)y a x b a =-+<，又∵水柱最远落点到中心M 的距离为9米， ∴该抛物线又经过点(9，0)． ∴20(93)a b =-+，即36b a =-，∴该抛物线解析式为． 当x =0时，2(03)3627y a a a =--=-故点A 坐标为(0，-27a )．由题意可知将喷水头A 向上移动1.5米至点B ，即将抛物线向上平移1.5． ∴平移后的抛物线为2(3)36 1.5y a x a =--+．∴点D 坐标为(3，36 1.5a -+)．设经过点A 、C 的直线解析式为y kx m =+， ∴，解得．即经过点A 、C 的直线解析式为27274y ax a =--． 又∵该直线经过点D ． ∴2736 1.53274a a a -+=-⨯-． 解得：215a =-． 故平移后的抛物线解析式为，整理得：22(3) 6.315y x =--+． 当0y =时，即22(3) 6.3015x --+=， 解得：126321632122x x +-==，（舍）． ∴移动后最远落点到中心M 的距离为63212+米， ∴移动后水柱最远落点到中心M 的距离增加了63213219622+-=-（米）．故答案为：．【过关检测】一、单选题1．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 具有函数关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地的所用时间为( ) A ．3s B ．4sC ．5sD ．6s【答案】B 【解析】根据二次函数的图象与性质解题．解：依题意，令0h =得20205t t =-， 得(205)0t t -=，解得0t =（舍去）或4t =，即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（ ）A ．0.5米B ．米C ．米D ．0.85米【答案】A 【解析】根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：2y ax bx c =++．将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入2y ax bx c =++得：， 解得：，∴抛物线的表达式为：224 2.5y x x =-+；∵2224 2.52(1)0.5y x x x =-+=-+， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0.5）， ∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．3．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C 分析：（1）将点A (0,2)代入求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当x =9时, ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界. 故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 4．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a （x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x 1=3，x 2=-1（舍去），则水池的最小半径是3米． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ） A ．22元 B ．24元C ．26元D ．28元【答案】B 【解析】设利润为y ，售价定为每件x 元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x 的值即可．设利润为y ，售价定为每件x 元， 由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]， 整理得：y=-10x 2+480x-5400=-10（x-24）2+360， ∵-10＜0， ∴开口向下，故当x=24时，y 有最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．6．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门，所有围栏的总长（不含门）为27m ，则能建成的饲养室面积最大为（ ）A ．275mB ．C ．248mD ．22252m 【答案】A 【解析】先设矩形饲养室的长为x 米，宽为y 米，再根据总长求出x 与y 的等式关系，然后根据矩形的面积公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可．设矩形饲养室的长为x 米，宽为y 米，则0,0x y >> 由所有围栏的总长（不含门）可得：32(111)27x y +-++=整理得：3152y x =-由0y >，即31502x ->得：10x <则能建成的饲养室的面积为322(15)2S xy x x ==- 整理得：23(5)75Sx =--+由二次函数的性质可知，在的范围内，当5x =时，S 取得最大值，最大值为75 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解题关键． 7．竖直上抛物体离地面的高度()hm 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m【答案】C 【解析】将0h =1.5，0v =20代入2005h tv t h =-++，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．解：依题意得：0h =1.5，0v =20，把0h =1.5，0v =20代入2005h t v t h =-++得2520 1.5=-++h t t当()20t 225=-=⨯-时，54202 1.5=21.5=-⨯+⨯+h故小球达到的离地面的最大高度为：21.5m 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．8．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】D【解析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选D．【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．9．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选D．10．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．B．C．D．7米【答案】B【解析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-3 50，∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），∴-=m（x﹣b）2，∴x1，x2=-，∴MN=4，∴（）|=4∴m=-925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x1，x2，∴单个小孔的水面宽度=|）-（）|=5故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题11．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．【答案】1050平方米【解析】设BC=x米，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．解：设BC=x米，则S=12x(100-x)=12-(x-50)2+1250（0＜x≤30），∵12-<，对称轴为x=50，∴x=a=30时，S的最大值是1050．答：当a=30米时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米．故答案为：1050平方米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键． 12．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A 处恰好弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线2315y x bx =-++的一部分，跳起的演员距点A 所在y 轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A 的水平距离为4米，则人梯BC 的高为__米．【答案】3.4 【解析】根据题意可得抛物线的对称轴为x ＝2.5，可求得b 的值，点B 的横坐标为4，代入后可得出点B 的纵坐标，继而得出人梯高BC 的长度．解：∵跳起的演员距点A 所在y 轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高． ∴抛物线的对称轴为x ＝2.5，∴x ＝﹣32()5b⨯-＝2.5，解得：b ＝3， ∴抛物线为y ＝23315y x x =-++，∵人梯到起跳点A 的水平距离是4， ∴点B 的横坐标为4， 则y B ＝﹣35×42+3×4+1＝3.4，即BC ＝3.4米． 故答案为：3.4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题． 13．各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm ，如果在离水面竖直距离为h （单位：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s （单位：cm ）与h 的关系式为24(20)s h h =-，则射程s 最大值是_______cm ．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）【答案】20 【解析】将s 2=4h （20-h ）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s 2的最大值，再求s 2的算术平方根即可．解：∵s 2=4h （20-h ）=-4（h -10）2+400，∴当h =10cm 时，s 有最大值20cm ．∴当h 为10cm 时，射程s 有最大值，最大射程是20cm ； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 14．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．【答案】2m ． 【解析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解．∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52）， 设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．15．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点，点B 落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是___________．【答案】0.4 【解析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)，B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则2ba-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ． ∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）． ∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a ∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-． ∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故答案为：0.4． 【点睛】。
二次函数的应用举例
二次函数的应用举例在数学中，二次函数是一类常见的函数形式，其表达式一般为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为零。
二次函数在实际应用中具有广泛的应用，本文将介绍二次函数的几个常见应用举例。
1. 物体的抛射运动物体的抛射运动是二次函数的典型应用之一。
当一个物体被斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数表示。
例如，当某个物体以一定的初速度水平抛出时，其高度与飞行时间之间的关系可以用二次函数模型来描述。
具体而言，该模型为y = -16t^2 + vt + h，其中t为时间（单位为秒），v为初速度（单位为米/秒），h为抛出高度（单位为米）。
2. 曲线的绘制二次函数可以绘制出各种曲线形状，从而在绘画、设计等领域中被广泛应用。
例如，在建筑设计中，二次函数常被用于绘制圆顶建筑、拱桥等曲线形状。
在绘画中，二次函数可以绘制出各种曲线，如抛物线、椭圆等，用于美化作品或表达特定的艺术效果。
3. 利润的最大化在经济学中，二次函数常被用于研究企业的利润最大化问题。
根据经济学原理，企业在销售产品时，需考虑生产成本和销售价格之间的关系，以实现最大利润。
假设某企业的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为生产数量，a、b、c为常数。
则该企业的利润函数为P(x) =R(x) - C(x)，其中R(x)为销售收入函数。
通过求解利润函数的极大值，可以确定最佳的生产数量，从而实现利润的最大化。
4. 投射物体的落地点计算二次函数还可以用于计算投射物体的落地点。
例如，当一个物体从一定高度自由落体时，它的落地点（水平方向的距离）可以用二次函数模型来计算。
具体而言，该模型为d = v0t + 1/2at^2，其中d为落地点距离（单位为米），v0为初速度（水平方向，单位为米/秒），t为时间（单位为秒），a为重力加速度（单位为米/秒^2）。
总结起来，二次函数在物理学、数学、经济学等领域具有广泛的应用。
通过物体的抛射运动、曲线的绘制、利润的最大化以及落地点的计算等实例，我们可以看到二次函数在实际问题中的重要性。
九年级数学上册教学课件《二次函数与抛物线形的实际问题》
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
2 故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m .
(-2,1)
虽然建立的直角坐标系不一样， 但是两种方法的结果是相同的.
y (0,3)
(2,1) O
x
你还有其他的方法吗？
还可以以水面未下降 时的水面为x轴，以抛物 线的对称轴为y轴建立直 角坐标系来计算.
y
2
所以抛物线解析式为y 1 x2. 2
O
水面下降一米，即此时y=-3.
则-3=-
1 2
x2
,
解得x= 6 .
故此时水面的宽度为2 6 m .
(-2,-2)
水面宽度增加了(2 6-4)m .
x (2,-2)
如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？
y (0,2)
(-2,0) O
(2,0) x
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题.
随堂演练
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
A
B
3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出
的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，
离地面
40 3
米，求水流落地点B离墙的距离.
解：设该抛物线的解析式为y
a(
x
1)2
40 3
.
抛物线过点(0，10)
10＝a(
x
1)2
40 3
2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数的应用专题详解
2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解二次函数的应用专题详解专题03 二次函数的应用 (1)22.3 二次函数的应用 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 (2)知识点2 实际问题中自变量的取值 (3)二、典型题型 (5)题型1 面积问题 (5)题型2 利润问题 (6)题型3 球类运动问题 (9)题型4 拱桥问题 (10)三、难点题型 (13)题型1 分段函数 (13)题型2 二次函数的综合应用 (15)22.3 二次函数的应用知识框架基础知识点列二次函数解决实际问题的一般步骤{实际问题中自变量的取值典型题型面积问题利润问题球类运动问题{拱桥问题难点题型{分段函数{ 二次函数的综合应用一、基础知识点知识点1 列二次函数解决实际问题的一般步骤1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似：①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设出2 个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）；③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；④解决二次函数，并解答。
注：一元二次方程通常有2 解，但是，应检验方程的2 个根是否都符合实际情况。
例1.某商品现在的销售价为每件60 元，每星期可卖出300 件。
市场调查发现，若果每降价1 元，每星期多少卖20 件。
已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？【答案】每件降价5 元利润最大，最大利润为：6250 元【解析】①建立等量关系式：此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润×售出的件数②设出2 个变量：∵题目研究总利润，∴设总利润为因变量y，便于研究∵每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，∴设每件降价x 元③建立函数关系式：总利润为：y每件的利润为：（60－x－40）=（20－x）元售出的件数为：（300+20x）件∴函数关系式为：y=（20－x）（300+20x）化简得：y=−10x2 + 100x + 6000④解决二次函数问题，并解答：题干求最值，2 种方法：方法一：配方法求最值函数配方得：y=−10(x− 5)2+ 6250∴当x=5 时，y 有最大值，为6250方法二：利用函数的性质求最值：∵a=－10＜0，∴函数有最小值当x=−b= − 100 = 5时有最小值，最小值y=4ac−b2 = 4∙（−10）∙6000−1002 = 6250 2a2∙(−10)4a4∙（−10）∴降价5 元时有最大利润，为6250 元知识点2 实际问题中自变量的取值1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为（−b，4a c−b 2），故当x=−b时，函数取得最值，即：2a4a2a①当a＞0 时，x=−b时函数有最小值，最小值y=4ac−b22a4a②当a＜0 时，x=−b时函数有最大值，最大值y=4ac−b22a4a2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到x=−b，这是就需要根据二次函2a数的性质进一步分析了。
人教版数学九年级上册小专题(九) 二次函数的实际应用
小专题(九) 二次函数的实际应用类型1 面积问题在几何中建立函数关系式的方法常见的有两类，一是常用公式，如周长公式、面积公式、体积公式等；二是图形的有关性质，如三角形全等、勾股定理等．如果建立的函数关系式是二次函数，还可以运用二次函数的有关性质求最值．1．(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．墙长为18米(如下图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．(1)假设苗圃园的面积为72平方米，求x ； (2)假设平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围．解：(1)依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x 2－15x ＋36＝0. 解得x 1＝3，x 2＝12.(2)依题意，得8≤30－2x ≤≤x ≤11. 面积S ＝x(30－2x)＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252；②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88.(3)x 的取值范围是5≤x ≤10.2．如下图，△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BC ＝EF ＝8，∠C ＝∠F ＝90°，且点C 、E 、B 、F 在同一条直线上，将△ABC 沿CB 方向平移，设AB 与DE 相交于P 点，设CE ＝x ，△PBE 的面积为S ，求：(1)S 与x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)当x ＝3时，求△PBE 的面积．解：(1)∵CE ＝x ，BC ＝8，∴EB ＝8－x.∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝∠DEF ＝45°. ∴△PBE 是等腰直角三角形． ∴PB ＝PE ＝22EB ＝22(8－x)． ∴S ＝12PB·PE ＝12×22(8－x)·22(8－x)＝14(8－x)2＝14x 2－4x ＋16.∵8－x ＞0，∴x ＜8. 又∵x ＞0，∴0＜x ＜8. 故S ＝14x 2－4x ＋16(0<x<8)．(2)当x ＝3时，S △PBE ＝14×(8－3)2＝254.类型2 利润问题利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后再求二次函数的最大值．求最大值的常用方法：先配方，求出当自变量x 为何值时，函数有最大值，然后观察自变量x 的取值范围．假设x 在此范围内，那么该最大值符合题意；假设x 不在此范围内，应根据自变量的取值范围及函数图象的增减性求出函数的最大值．3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1个档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x 档次的产品时，每天所获得的利润为w 元，那么w ＝[12＋2(x －1)][80－4(x －1)] ＝(10＋2x)(84－4x) ＝－8x 2＋128x ＋840 ＝－8(x －8)2＋1 352.当x ＝8时，w 有最大值，w 最大＝1 352.答：该工艺师生产第8档次的产品，可使每天获得的利润最大，最大利润为1 352元．4．(黄冈中考)东坡商贸公司购进某种水果的本钱为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg )与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30〔1≤t ≤24，t 为整数〕，－12t ＋48〔25≤t ≤48，t 为整数〕，且其日销售量y(kg )与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y(kg )1181141081008040…(1)y 与t (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 解：(1)依题意，设y ＝kt ＋b ，将(10，100)，(20，80)代入y ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝10k ＋b ，80＝20k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120.∴日销售量y(kg )与时间t(天)的关系为y ＝120－2t. 当t ＝30时，y ＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W 元，那么W ＝(p －20)y.当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(120－2t)＝－12t 2＋10t ＋1 200＝－12(t －10)2＋1 250.当t ＝10时，W 最大＝1 250.当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(120－2t)＝t 2－116t ＋3 360＝(t －58)2－4.当t ＝25时，W 最大＝1 085. ∵1 250＞1 085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1 250元．类型3 实物抛物线问题解决实物抛物线问题，首先应将条件转化为点的坐标，然后代入点的坐标，求出函数的解析式，再利用函数的解析式求解问题．5．音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m ，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为y ＝ax 2＋bx(b ≠0)．(1)假设k ＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m ，求此时a 、b 的值；(2)假设k ＝1，喷出的水恰好到达岸边，那么此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？(3)假设k ＝3，a ＝－27，那么喷出的抛物线水线能否到达岸边？解：(1)∵y ＝ax 2＋bx的顶点为(－b 2a ，－b 24a)，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，k ＝1，抛物线水线最大高度达3 m ，∴⎩⎨⎧－b 2a ＝－b 24a，－b24a ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2.(2)∵k ＝1，喷出的水恰好到达岸边，出水口离岸边18 m ，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，∴此时抛物线的对称轴为x ＝9，y ＝x ＝9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米． (3)∵y ＝ax 2＋bx的顶点为(－b 2a ，－b 24a )在直线y ＝3x 上，a ＝－27，∴－b2a ×3＝－b 24a .解得b ＝6.∴抛物线的解析式为y ＝－27x 2＋6x.当y ＝0时，0＝－27x 21＝21，x 2＝0.∵21＞18，2∴假设k＝3，a＝－7，那么喷出的抛物线水线能到达岸边．。
2021年九年级中考专题复习——二次函数(抛物问题)
2021年中考专题复习——二次函数(抛物问题)1.某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置,其中位于中间的喷水装置OA (如图)喷水能力最强,水流从A 处喷出,在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式2734y x x =-++()0x >.(1)求水流喷出的最大高度是多少米?此时最高处离喷水装置OA 的水平距离为多少米?(2)现若在音乐喷泉四周摆放花盆,不计其他因素,花盆需至少离喷水装置OA 多少米外,才不会被喷出的水流击中?2.为如图,已知女排球场的长度OD 为18米,位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米,一队员站在点O 处发球,排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时,到达最高点G,以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若排球运行的最大高度为2.8米,求排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式(不要求写自变量x 的取值范围);(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由;(3)若李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界)求二次函数中二次项系数的最大值.3.如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从O 点正上方2m 的A 处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.4.如图,儿童游乐场有一项射击游戏.从O处发射小球,将球投入正方形篮筐DABC.正方形篮筐三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).小球按照抛物线y=﹣x2+bx+c 飞行.小球落地点P 坐标(n,0)(1)点C坐标为;(2)求出小球飞行中最高点N的坐标(用含有n的代数式表示);(3)验证:随着n的变化,抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动;(4)若小球发射之后能够直接入篮,球没有接触篮筐,请直接写出n的取值范围.5.如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高2.6m的D点时,与M点的水平距离EM为6m.(1)在图中建立恰当的直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗?请说明理由.6.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m｡(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围｡7.把一个足球垂直水平地面向上踢,时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).(1)当t=3时,求足球距离地面的高度;(2)当足球距离地面的高度为10米时,求t;(3)若存在实数t1,t2(t1≠t2)当t=t1或t2时,足球距离地面的高度都为m(米),求m的取值范围.8.把一个足球垂直地面向上踢,t(秒)后该足球的高度h(米)适用公式h=20t-5t2.(1)经多少秒后足球回到地面?(2)圆圆说足球的高度能达到21米,方方说足球的高度能达到20米.你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?9.如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取7=)(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取5=)10.一名篮球运动员传球,球沿抛物线y=-x2+2x+4运行,传球时,球的出手点P的高度为1.8米,一名防守队员正好处在抛物线所在的平面内,他原地竖直起跳的最大高度为3.2米,问:(1)球在下落过程中,防守队员原地竖直起跳后在到达最大高度时刚好将球断掉,那么传球时,两人相距多少米?(2)要使球在运行过程中不断防守队员断掉,且仍按抛物线y=-x2+2x+4运行,那么两人间的距离应在什么范围内?(结果保留根号)11.一个足球被从地面向上踢出,它距地面高度y(m)可以用二次函数y=﹣4.9x2+19.6x刻画,其中x(s)表示足球被踢出后经过的时间.(1)解方程﹣4.9x2+19.6x=0,并说明其根的实际意义;(2)求经过多长时间,足球到达它的最高点?最高点的高度是多少?12.弹球游戏规则:弹球抛出后与地面接触一次,弹起降落,若落入筐中,则游戏成功.弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线.如图,甲站在原点处,从离地面高度为1m的点A处抛出弹球,当弹球运动到最高处,即距离地面2m时,弹球与甲的水平距离为2m.弹球在B处着地后弹起,此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半,再落至点C处.(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式(不要求写出x 的取值范围)(2)若不考虑筐的因素,求弹球第二次着地点到点O 的距离.(3)如果摆放一个底面半径为0.5m ,高0.5m 的圆柱形筐,且筐的最左端距离原点9m ,那么甲能投球成功吗?若能,请说说理由;若不能,请移动筐使甲投球成功,求筐的移动方向及移动距离m 的取值范围.13.在高尔夫球训练中,运动员在距球洞10m 处击球,其飞行路线满足抛物线2155b y x x =-+,其图象如图所示,其中球飞行高度为()ym ,球飞行的水平距离为()x m ,球落地时距球洞的水平距离为2m .(1)求b 的值;(2)若运动员再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球的飞行路线应满足怎样的抛物线,求抛物线的解析式;(3)若球洞4m 处有一横放的1.2m 高的球网,球的飞行路线仍满足抛物线2155b y x x =-+,要使球越过球网,又不越过球洞(刚好进洞),求b 的取值范围.14.如图,斜坡AB 长10米,按图中的直角坐标系可用5y x =+表示,点A ,B 分别在x 轴和y 轴上,且30OAB ︒∠=.在坡上的A 处有喷灌设备,喷出的水柱呈抛物线形落到B 处,抛物线可用213y x bx c =-++表示.(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围);(2)求水柱离坡面AB的最大高度;(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树,水柱能否越过这棵树?15.在小明的一次投篮中,球出手时离地面高2米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线,篮球中心距离地面3米,通过计算说明此球能否投中.探究一:若出手的角度､力度和高度都不变的情况下,求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中?探究二:若出手的角度､力度和高度都发生改变的情况下,但是抛物线的顶点等其他条件不变,求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中?探究三:若出手的角度､力度都改变,出手高度不变,篮筐的坐标为(6,3.44),球场上方有一组高6米的电线,要想在篮球不触碰电线的情况下,将篮球投入篮筐中,直接写出二次函数解析式中a 的取值范围.16.为庆祝新中国成立70周年,国庆期间,北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动,为此,某公园在中央广场处建了一个人工喷泉,如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛物线.如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m,且到地面的距离为3.6m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.17.如图,在某场足球比赛中,球员甲从球门底部中心点O 的正前方10m 处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线;当足球飞离地面高度为3m 时达到最高点,此时足球飞行的水平距离为6m .已知球门的横梁高OA 为2.44m .()1在如图所示的平面直角坐标系中,问此飞行足球能否进球门?(不计其它情况)()2守门员乙站在距离球门2m 处,他跳起时手的最大摸高为2.52m ,他能阻止球员甲的此次射门吗?如果不能,他至少后退多远才能阻止球员甲的射门?18.一名男生推铅球,铅球的行进高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之间的关系为21251233y x x =-++,铅球行进路线如图. (1)求出手点离地面的高度.(2)求铅球推出的水平距离.(3)通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m .19. 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练,出球口在桌面中线端点A 处的正上方,假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上,在乒乓球运行时,设乒乓球与端点A 的水平距离为(米),与桌面的高度为(米),运行时间为(秒),经多次测试后,得到如下部分数据:(秒)(米)(米)(1)当为何值时,乒乓球达到最大高度?(2)乒乓球落在桌面时,与端点A的水平距离是多少?(3)乒乓球落在桌面上弹起后,与满足①用含的代数式表示;②球网高度为0.14米,球桌长(1.4×2)米,若球弹起后,恰好有唯一的击球点,可以将球沿直线扣杀到点A,求的值.20.如图,小区中央公园要修建一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O 恰好在水面的中心,OA=1.25米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米,如图建立坐标系.(1)求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式(不要求写取值范围)(2)若不计其他因素,则水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外?(3)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池半径为3.5米,要使水流不落到池外,此时水流距水面的最大高度就达到多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?(4)在直线OB上有一点D(靠点B一侧),BD=0.5米,竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让水落入桶内,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.2米(圆柱形桶的厚度忽略不计)①如果竖直摆放5个圆柱形桶时,水能不能落入桶内?②直接写出当竖直摆放圆柱形桶多少个时,水可以落入桶内?21. 如图1,已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y,θ是水龙头的仰角,且v02=v x2+v y2.图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图,水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上(喷射点离地面高度忽略不计),坡顶的铅直高度OA为15米,山坡的坡比为13.离开水龙头后的水(看成点)获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线,点M是运动过程中的某一位置.忽略空气阻力,实验表明:M与A的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=v y t-5t2;M与A的水平距离为v x t米.已知该水流的初始速度v0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°.(1)求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y;(2)用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围);(3)水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米?若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树,在相同仰角下,则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米?(参考数据:sin53°≈4 5,cos53°≈35,tan53°≈43)22.如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).⑴在如图⑵建立的坐标系下,求网球飞行路线的抛物线解析式.⑵若竖直摆放5个圆柱形桶时,则网球能落入桶内吗?说明理由;⑶若要使网球能落入桶内,求竖直摆放的圆柱形桶的个数.23.如图,某足球运动员站在点O 处练习射门,将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上),足球的飞行高度y(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间满足函数关系y=at 2+5t+c,已知足球飞行0.8s 时,离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m ,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m ,他能否将球直接射入球门?24.游乐园新建的一种新型水上滑道如图,其中线段PA 表示距离水面(x 轴)高度为5m 的平台(点P 在y 轴上).滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点,且点B 到水面的距离2BE m =,点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时,与水面的距离3m 2CG =,与点B 的水平距离2m CF =.(1)求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围;(2)求整条滑道ABCD 的水平距离;(3)若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处,用水枪朝正前方向下“扫射”,水枪出水口N 距离平台3m 2,喷出的水流成抛物线形,设这条抛物线的二次项系数为p,若水流最终落在滑道BCD 上(包括B ､D 两点),直接写出p 的取值范围.答案1.解:(1)22733442y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∴该二次函数图象的顶点坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭∴水流喷出的最大高度是4米,此时的水平距离为32米 (2)令0y =,则23402x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ 解得 3.5x =或0.5x =- ∴花盆需至少离喷水装置OA 3.5米外,才不会被喷出的水流击中.2.(1)由排球运行的最大高度为28米,则顶点的坐标点G 为(6,2.8),则设抛物线的解析式为p=a(x ﹣6)2+2.8∵点C 坐标为(0,2),点C 在抛物线上∴2=a(0﹣6)2+2.8解得a=﹣145 ∴p=-145(x ﹣6)2+2.8 则排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式:p=-145(x ﹣6)2+2.8 (2)当x=9时, p=-145(9﹣6)2+2.8=2.6>2.24 当x=18时, p=-145(18﹣6)2+2.8=﹣0.4<0 故这次发球可以过网且不出边界(3)设抛物线的解析式为:p=a(x ﹣6)2+h,将点C 代入得:36a+h=2,即h=2﹣36a∴此时抛物线的解析式为p=a(x ﹣6)2+2﹣36a根据题意,不过边界时有:a(18﹣6)2+2﹣36a ≤0,解得a ≤-154要使网球过网:a(9﹣6)2+2﹣36a ≥2.24,解得a ≤2225- 故李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界)二次函数中二次项系数的最大值为154. 3.解:(1)∵h=2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y=a(x ﹣6)2+h 过点(0,2),∴2=a(0﹣6)2+2.6,解得:a=﹣160, 故y 与x 的关系式为:y=﹣160(x ﹣6)2+2.6, (2)当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网;当y=0时,21(6) 2.6060x --+=, 解得:x 12=6﹣(舍去)故会出界;(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:236{0144a h a h=+=+, 解得:154{83a h =-=, 此时二次函数解析式为:y=﹣154(x ﹣6)2+83, 此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:222.43=a 9-6+h 2=a 0-6+h⎧⎨⎩（）（） 解得:432700{19375a h =-=, 此时球要过网h ≥19375故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是:h ≥.4.(1)∵A (2,2),B (3,2),D (2,3),∴AD =BC =1, 则点 C (3,3),故答案为:(3,3);(2)把(0,0)(n ,0)代入 y =﹣x 2+bx +c 得:200c n bn c =⎧⎨-++=⎩, 解得:0b n c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为 y =﹣x 2+nx =﹣(x ﹣2n )2+24n , ∴顶点 N 坐标为(2n ,24n ); (3)由(2)把 x =2n 代入 y =x 2=(2n )2= 24n , ∴抛物线的顶点在函数 y =x 2的图象上运动;(4)根据题意,得:当 x =2 时 y >3,当 x =3 时 y <2, 即423932n n -+⎧⎨-+⎩＞＜, 解得:72<n<113. 5.解:(1)如图,以点M 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则点A,E,D 的坐标分别为(0,2),(6,0),(6,2.6) 设球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)的抛物线解析式为y=a(x ﹣h)2+k由题意知抛物线的顶点为(6,2.6)故y=a(x ﹣6)2+2.6将点A(0,2)代入得2=36a+2.6∴a=﹣160, 故此时抛物线的解析式为y=﹣160(x ﹣6)2+2.6 (2)该球员的判断不对,理由如下:当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43 ∴球能过网;当y=0时,﹣160(x ﹣6)2+2.6=0解得:x 1=6+2=6﹣(舍)故球会出界.6.解:(1)∵h=2.6,球从O 点正上方2m 的A 处发出,∴抛物线y=a(x ﹣6)2+h 过点(0,2),∴2=a(0﹣6)2+2.6,解得:a=﹣160, 故y 与x 的关系式为:y=﹣160(x ﹣6)2+2.6, (2)当x=9时,y=﹣160(x ﹣6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网;当y=0时,21(6) 2.6060x --+=,解得:x 12=6﹣(舍去)故会出界;(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:236{0144a h a h=+=+, 解得:154{83a h =-=, 此时二次函数解析式为:y=﹣154(x ﹣6)2+83, 此时球若不出边界h ≥83,当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x ﹣6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得:222.43=a 9-6+h 2=a 0-6+h ⎧⎨⎩（）（） 解得:432700{19375a h =-=, 此时球要过网h ≥19375故若球一定能越过球网,又不出边界,h 的取值范围是:h ≥.7.(1)､当t=3时,h=20t ﹣5t 2=20×3﹣5×9=15(米),∴当t=3时,足球距离地面的高度为15米;(2)､∵h=10,∴20t ﹣5t 2=10,即t 2﹣4t+2=0,解得或t=2,故经过或2时,足球距离地面的高度为10米;(3)､∵m ≥0,由题意得t 1,t 2是方程20t ﹣5t 2=m 的两个不相等的实数根,∴b 2﹣4ac=202﹣20m>0,∴m<20, 故m 的取值范围是0≤m<20.8.解:(1)当h=0时,20t−5t 2=0,解得:t=0或t=4,答:经4秒后足球回到地面;(2)方方的说法对,理由:将h=21代入公式得:21=20t−5t 2,5t 2−20t+21=0,由判别式计算可知:△=(−20)2−4×5×21=−20<0,此方程无解;将h=20代入公式得:20=20t−5t 2,5t 2−20t+20=0,解得:t=2,∴足球确实无法到达21米的高度,能达到20米,故方方的说法对.9.解:(1)如图,设第一次落地时,抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知:当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．(或21112y x x =-++)(2)令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-==≈=-<．，(舍去).∴足球第一次落地距守门员约13米.(3)解法一:如图,第二次足球弹出后的距离为CD根据题意:CD EF =(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=≈．1361017BD ∴=-+=(米).答:他应再向前跑17米.10.(1)解:当y=1.8米时则有:21.824x x =-++,∴22 2.20x x --=,解得:11x =21x =当y=3.2米时则有:23.224x x =-++,∴220.80x x --=,解得:11x =+21x =-, 所以两人的距离为:AC=11x =1⎛- ⎝⎭(2)由(1)可知:当y=1.8米时,有11x =+21x =,当y=3.2时,有115x =+,215x =-,∴11555--+=,11555+-+=,BC ≤≤之间11.(1)﹣4.9x 2+19.6x=0,x(﹣4.9x+19.6)=0,∴x 1=0,x 2=4,其中x 1=0表示足球离开地面的时间,x 2=4表示足球落地的时间;(2)∵y=﹣4.9x 2+19.6x=﹣4.9(x ﹣2)2+19.6,∴当x=2时,y 取得最大值,最大值为19.6m,答:经过2s,足球到达它的最高点,最高点的高度是19.6m.12.(1)由题意可得,弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为(2,2),故可设抛物线的解析式为y =a (x -2)2+2,将A (0,1)代入,得a =-14, 故弹球第一次着地前抛物线的解析式为y =-14(x -2)2+2 (2)当y =0时,-14(x -2)2+2=0,得x 1=2+x 2=2-∴B (2+,0).由从点B 弹起的最大高度为原来最大高度的一半,可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为1, 故可设该抛物线的解析式为y =-14(x -b )2+1,将B (2+代入,得b 1=舍),b 2=4+∴y =-14(x -4-2+1,且对称轴为直线x =4+∴C (6+即OC =(6+m .故弹球第二次着地点到点O 的距离为(6+m .(3)当x =9时,y =-14(9-4-2+1≈-0.18﹤0,故甲不能投球成功. 由上面的计算可得,筐要沿x 轴向左移才能投进球.当弹球恰好砸中筐的最左端时,-14(9-m -4-2+1=0.5,解得m 1=5-m 2(舍),即当m=5-,弹球恰好砸中筐的最左端,又∵筐的直径为1m,5-∴当m=6-,弹球恰好砸中筐的最右端,故m 的取值范围为5-m<6-13.解:(1)由题意得点()8,0在抛物线2155b y x x =-+上, 2108855b ∴=-⨯+⨯, 8b ∴=;(2)要使球刚好进球洞,则抛物线2155b y x x =-+需经过()0,0,()10,0两点, 要使球飞行的高度不变,则最高点的纵坐标为228045 3.21445ac b a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭, ∴抛物线的顶点坐标为()5,3.2,设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+,抛物线经过()0,0, 25 3.20a ∴+=,0.128a =-,20.128(5) 3.2y x ∴=--+;(3)把6x =, 1.2y =代入2155b y x x =-+中,得7b =, 把10x =,0y =代入2155b y x x =-+中,得10b =, ∴要使球越过球网,又不越过球洞(刚好进洞),则b 的取值范围是710b ≤≤.14.(1)∵AB=10､∠OAB=30°,∴OB=12AB=5､OA=ABcos∠OAB=10则､B(0,5),将A､B坐标代入y=-13x2+bx+c,得:175035cc⎧-⨯++⎪⎨⎪⎩＝＝,解得:5bc⎧⎪⎨⎪⎩＝,∴抛物线解析式为y=-13x2x+5;(2)水柱离坡面的距离d=-13x2+3x+5-(-3x+5)=-13x2+3x=-13(x2=-13)2+254,∴当,水柱离坡面的距离最大,最大距离为254米;(3)如图,过点C作CD⊥OA于点D,∵AC=2､∠OAB=30°,∴CD=1､,则当,y=-132所以水柱能越过树.15.解:因为抛物线的顶点为(4,4),设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,∵过点(0,2),∴2=16a+4,∴a=-18,即y=-18(x-4)2+4, 当x=7时,y=-98+4=238≠3.所以此球不能投中. 探究一:设向前平移h 米,由题意可得y=-18(x-4-h)2+4,代入点(7,3),得3=-18(7-4-h)2+4求得h=3±根据实际情况h=3-即向前平移3-米,可投中篮筐;探究二:设y=a(x-4)2+4,因为投中篮筐,即代入x=7,y=3得3=a(7-4)2+4,解得a=-19,即y=-19(x-4)2+4, 当x=0时,y=209,209-2=29即小明出手的高度要增加29米,可将篮球投中; 探究三:设y=a(x-b)2+6,代入点(0,2)(6,3.44)得222a b 6{3.44a 6b 6=⋅+=-+（）, 解得a=-925,设y=a(x-6)2+3.44, ∵过点(0,2)代入得2=36a+3.44,得a=-125,所以-925<a ≤-125. 16.如图,以BC 所在直线为x 轴､AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系,由题意知,抛物线的顶点P 的坐标为(1,3.6)､点A (0,2),设抛物线的解析式为y =a (x ﹣1)2+3.6,将点A (0,2)代入,得:a+3.6=2,解得:a =﹣1.6,则抛物线的解析式为y =﹣1.6(x ﹣1)2+3.6,当y =0时,有﹣1.6(x ﹣1)2+3.6=0,解得:x =﹣0.5(舍)或x =2.5,∴BC =2.5,答:水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m.17.(1)､抛物线的顶点坐标是(4,3), 设抛物线的解析式是:y=a(x-4)2+3,把(10,0)代入得36a+3=0,解得a=-112, 则抛物线是y=-112(x-4)2+3, 当x=0时,y=-112×16+3=3-43=53<2.44米, 故能射中球门; (2)当x=2时,y=-112(2-4)2+3=83>2.52, ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门, 当y=2.52时,y=-112(x-4)2+3=2.52, 解得:x 1=1.6,x 2=6.4(舍去), ∴2-1.6=0.4(m), 答:他至少后退0.4m,才能阻止球员甲的射门.18.(1)把x =0代入21251233y x x =-++得: 53y =; 答:出手点离地面的高度53米 (2)212501233x x -++=, 解得1210,2()x x ==-舍去∴铅球推出的水平距离为10米.(3)把y =4代入,得212541233x x -++=,化简得28280x x -+=,方程无解, ∴铅球的行进高度不能达到4米.19.(1)由表格中数据可知,当t=0.4秒时,乒乓球达到最大高度.(2)由表格中数据可判断,y 是x 的二次函数,且顶点为(1,0.45),所以可设y=a(x-1)2+0.45.将(0,0.25)代入y=a(x-1)2+0.45,得0.25=a(0-1)2+0.45,解得:a=-0.2.∴y=-0.2(x-1)2+0.45.当y=0时,-0.2(x-1)2+0.45=0,解得x=2.5,或x=-0.5(舍去).∴乒乓球落在桌面上时,与端点A 的水平距离是2.5米.(3)①由(2)得,乒乓球落在桌面上时的坐标为(2.5,0).将(2.5,0)代入y=a(x-3)2+k,得0=a(2.5-3)2+k,化简整理,得k=-14a. ②∵点A 坐标为(0,0),又球网上端中点坐标为(1.4,0.14),故扣杀路线在直线y=110x 上, 由①得y=a(x-3)2-14a 令 a(x-3)2-14a=110x,整理,得20ax 2-(120a+2)x+175a=0 当=(120a+2)2-420a 175a=0时,符合题意,解方程,得a 1=10,a 2=10当,求得,不合题意,舍去.当时,求得,符合题意.答:当时,可以将球沿直线扣杀到点A. 20.解:(1)∵顶点为(1,2.25),∴设解析式为y=a(x ﹣1)2+2.25∵函数过点(0,1.25)∴代入解析式解得a=﹣1∴解析式为:y=﹣(x ﹣1)2+2.25(2)由(1)可知:y=﹣(x ﹣1)2+2.25令y=0,则﹣(x ﹣1)2+2.25=0,解得x=2.5或x=﹣0.5(舍去)所以花坛的半径至少为2.5m(3)依题意,设y=﹣x 2+bx+c,把点(0,1.25),(3.5,0)代入得54497042c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,解得22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则y=﹣x 2+222511729x x 747196⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭ 故水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达729196m (4)①当x=2时,y=1.25;当x=32时,y=2;即(2,1.25),(32,2)在抛物线上 当竖直摆放5个圆柱形桶时,桶高=0.2×5=1∵1<2且1<1.25∴水不能落入桶内②设竖直摆放圆柱形桶m 个时水可以落入桶内由题意,得1.25≤0.2≤2,解得6.25≤m ≤10∵m 为整数,∴m 的值为7,8,9,10∴当竖直摆放圆柱形桶7,8,9,10时,水可以落入桶内21.解:(1)∵v 0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°,∴cos θ=0x v v ,sinθ=0y v v , ∴v x =15cos53°=15×35=9,v y =15sin53°=15×45=12; 答:水流的横向初始速度v x 是9米/秒,纵向初始速度v y 是12米/秒;(2)x=v x t=9t,∴t=9x , 又M 与A 的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15; ∴y 与x 的关系式为:y=-2581x +43x+15. (3)∵坡顶的铅直高度OA 为15米,山坡的坡比为13, ∴OB=45米,点A(0,15)点B(45,0)∴直线AB 的解析式为:y=13x -+15,将其与抛物线解析式联立得:254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 解得015x y =⎧⎨=⎩(舍)或276x y =⎧⎨=⎩, ∴水流在山坡上的落点C 坐标为(27,6),喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离, 而,答:水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米,需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动.22.(1)由题意得:顶点M(0,5),B(2,0),设抛物线的解析式为y=ax 2+5,将B(2,0)代入得4a+5=0 ∴a=54- ∴抛物线解析式为:2554y x =-+; (2)∵当x=1时,y=154;当x="1.5" 时,y=3516. 当竖直摆放5个圆柱形桶时,桶高=0.3×5=1.5,∵1.5<154且 1.5 <3516, ∴网球不能落入桶内;(3)设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内,由题意得:3516≤0.3m ≤154, 解得:7724≤m ≤1122; ∵m 为整数, ∴m 的值为8,9,10,11,12.∴当竖直摆放圆柱形桶8,9,10,11或12个时,网球可以落入桶内.23.解:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5), ∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣t 2+5t+,∴当t=时,y 最大=4.5; (2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44, ∴他能将球直接射入球门.24.解:(1)∵2BE m =,点B 到y 轴的距离是5, ∴点B 的坐标为()5,2. 设反比例函数的关系式为k y x=, 则25k =,解得10k =. ∴反比例函数的关系式为10y x =. ∵当5y =时,2x = ,即点A 的坐标为()2,5, ∴自变量x 的取值范围为25x ≤≤;(2)由题意可知,二次函数图象的顶点为()5,2B ,点C 坐标为37,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设二次函数的关系式为2(5)2y a x =-+,则23(75)22a -+=,解得18a =-. ∴二次函数的关系式为221159(5)28848y x x x =--+=-+-. 当0y =时,解得129,1x x ==(舍去),∴点D 的坐标为()9,0,则9OD =.∴整条滑道ABCD 的水平距离为:927m OD PA -=-=;(3)p 的取值范围为91332128p -≤≤-. 由题意可知,点N 坐标为(31,52⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,为抛物线的顶点. 设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+. 当水流落在点()5,2B 时,由213(51)22p -+=,解得932p =-; 当水流落在点()9,0D 时,由213(91)02p -+=,解得13128p =-. ∴p 的取值范围为91332128p -≤≤-.。
【精品】2020-2021年九年级数学上册 小专题六 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC ＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t ＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D 的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5) 参考答案1.(1)由题意知，B 场地宽为(30－x)m ，∴y ＝x(30－x)＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30.(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1<0，∴当x ＝15时，y最大＝225.即当x 是15 m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225 m 2.2.(1)设AE ＝a ，由题意，得AE ·AD ＝2BE ·BC ，AD ＝BC ，∴BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋2×12a ＝80，∴a ＝20－12x.∴y ＝AB ·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米．3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF ＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD ＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF ＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH ·EF ＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S ＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝43.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4.由已知：当x＝0时，y＝1.即1＝36a＋4，∴a＝－112.∴表达式为y＝－112(x－6)2＋4.(2)令y＝0，－112(x－6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x1＝43＋6≈13，x2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x－6)2＋4.解得x1＝6－26，x2＝6＋2 6.∴CD＝⎪⎪⎪⎪x1－x2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。
二次函数的应用(2)抛物型问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.7二次函数的应用（2）抛物型问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•濮阳模拟）小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y＝2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB＝4，可知B点的横坐标为x＝3，代入y＝2x2﹣4x+8，得到y＝14，所以CD＝14﹣6＝8，又DE＝3，所以可知杯子高度．【解析】∵y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB＝4，∴B点的横坐标为x＝3，把x＝3代入y＝2x2﹣4x+8，得到y＝14，∴CD＝14﹣6＝8，∴CE＝CD+DE＝8+3＝11．故选：B．2．（2019秋•武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（）m．A．4.5B．2√5C．2√6D．2√7【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y＝ax2+2，将B（2，0）代入得：0＝a×4+2，解得：a=−1 2．∴抛物线的解析式为y=−12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有﹣1.5=−12x2+2，解得：x＝±√7．∵√7−（−√7）＝2√7，∴水面宽度为2√7m．故选：D．3．（2019秋•汾阳市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）。
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章二次函数的应用 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
导入新课
情境引入
某校九年级学生小明同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和小明一起逛逛 美丽的广州吧！
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系
中图象的位置，说出这个二次函数的解析式形式.
y
y
y
O x
图(1) (1) y = ax2
O
x
x O
图(2) (2) y = ax2 + k
2500
当 x = 450－50 = 400 时，得
y 1 4002 0.5 64.5.
2500
即距离桥两端主塔分别为 100 m，
y
50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、
81.5
64.5 m.
-450 O 450 x
练一练 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽 度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标
解：设抛物线的表达式为 y = ax2 . ∵ 点 B (6，-5.6) 在抛物线上， a ∴ -75.6 = 36a，
45
y ∴ 抛7物x2线. 的表达式为 45
（2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户， 窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5 m，高 1.6 m， 相邻窗户之间的间距均为 0.8 m，左右两边窗户的窗 角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8 m．请计 算最多可安装几扇这样的窗户？
图(3) (3) y = a(x + h)2 + k
或 y = ax2 + bx
问题引入
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水 面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
讲授新课
2021-2022苏科版九年级上册---第5章二次函数--二次函数的实际应用-抛球问题
二次函数的实际应用-抛球问题一、单选题1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（）A. 3mB. 4mC. 8mD. 10m2.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（）A. 2米B. 3米C. 5米D. 6米3.2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－14x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y=−14x2+34x+1 B. y=−14x2+34x−1C. y=−14x2−34x+1 D. y=−14x2−34x−14.在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=−112x 2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（）A. 3米B. 2米C. 10米D. 53米5.一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A. 1米B. 3米C. 5米D. 6米6.为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式ℎ=−5t2+v0t表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v0(m／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（）A. 5m／sB. 10m／sC. 20m／sD. 40m／s7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A. 小球滑行12秒停止B. 小球滑行6秒停止C. 小球滑行6秒回到起点D. 小球滑行12秒回到起点8.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是() A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒9.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③10.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米二、填空题11.如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用时间为________s12.小明推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−4)2+3，则小明推球的成绩是________m.13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−5)2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．14.小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣112(x−4)2+3，则小明推铅球的成绩是________m．15.如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C 三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为米．16.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则他将铅球推出的距离是________ m．17.烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h= −32t2+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．18.向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第________秒．三、解答题19.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53m．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC=4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？20.在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）.如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.求这个二次函数的解析式.21.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是85米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度52的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？22.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是ℎ=30t−5t2( 0≤t≤6)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？23.体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）24.(本题8分) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a（x-4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m.（1）当a=− 1时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.24m的Q处时，乙扣球（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125成功，求a的值.x2+x+2的一部25.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=−112分，根据关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？26.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a(x+4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（1）当a=- 124m的Q处时，乙（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125扣球成功，求a的值．27.在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？m，与篮28.NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高209圈中心的水平距离7m。
二次函数的应用抛物型问题九年级数学上册尖子生培优题典32
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2二次函数的应用：抛物型问题〔重难点培优〕姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•洪洞县二模〕在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y 〔米〕与水平距离x 〔米〕之间的关系式为y =−110x 2+35x +85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为〔 〕A ．85米B ．8米C ．10米D ．2米 2．〔2021秋•夏津县期末〕某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系〔如图〕，水流喷出的高度y 〔m 〕与水平距离x 〔m 〕之间的关系式是y ＝﹣x 2+2x +3，那么以下结论错误的选项是〔 〕A ．柱子OA 的高度为3mB ．喷出的水流距柱子1m 处到达最大高度C ．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD ．水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外3．〔2021秋•中山市期末〕从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h 〔单位：m 〕与小球运动时间t 〔单位：s 〕之间的函数关系如下图．以下结论：①小球抛出3秒时到达最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m ；③小球的高度h ＝20时，t ＝1s 或5s ．④小球抛出2秒后的高度是35m ．其中正确的有〔 〕A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③4．〔2021秋•兴宁区校级期中〕如图，假设被击打的小球飞行高度h 〔单位：m 〕与飞行时间t 〔单位：s 〕具有函数关系为h ＝20t ﹣5t 2，那么小球从飞出到落地的所用时间为〔 〕A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s5．〔2021•连云区二模〕竖直向上的小球离地面的高度h 〔米〕与时间t 〔秒〕的关系函数关系式为h ＝﹣2t 2+mt +258，假设小球经过74秒落地，那么小球在上抛过程中，第〔 〕秒离地面最高．A ．37B ．47C ．34D ．43 6．〔2021秋•槐荫区期末〕小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y 〔米〕与水平距离x 〔米〕之间的关系大致满足二次函数y =−112x 2+23x +53，那么小强此次成绩为〔 〕A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米7．〔2021秋•江岸区校级月考〕如图，一位运发动推铅球，铅球行进高度y 〔m 〕与水平距离x 〔m 〕之间的关系是y =−112x 2+23x +53，那么此运发动把铅球推出多远〔 〕A ．12mB ．10mC ．3mD ．4m8．〔2021•武汉模拟〕从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h 〔单位：m 〕与小球运动时间t 〔单位：s 〕之间的函数关系式为h =−409〔t ﹣3〕2+40，假设后抛出的小球经过s 比先抛出的小球高103m ，那么抛出两个小球的间隔时间是〔 〕s ．A ．1B ．C ．2D ．9．〔2021•长春模拟〕某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如下图，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y 〔m 〕与水平距离x 〔m 〕之间近似满足函数关系y ＝ax 2+x +c 〔a ≠0〕，那么水流喷出的最大高度为〔 〕A ．1米B ．32米C ．2米D ．138米10．〔2021•丰台区模拟〕向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx +c 〔a ≠0〕，假设此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，那么在以下时间中炮弹所在高度最高的是〔 〕A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021•李沧区模拟〕如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m 处到达最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为9m ，那么水管的长度OA 是m ．12．〔2021•长春模拟〕如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处到达最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，那么水管AB 的长为m ．13．〔2021•老河口市模拟〕某幢建筑物，从5米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直〔如下图〕，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面203米，那么水流下落点B 离墙距离OB 是m ． 14．〔2021春•萧山区月考〕一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h 〔米〕与经过的时间t 〔秒〕满足以下函数关系：h ＝﹣5t 2+15t ，那么该球从弹起回到地面需要经过3秒，距离地面的最大高度为米．15．〔2021春•洪山区校级月考〕飞机着陆后滑行的距离y 〔单位：m 〕关于滑行时间t 〔单位：s 〕的函数解析式是y ＝60t −65t 2，飞机着陆至停下来共滑．16．〔2021•绿园区一模〕如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如下图建立平面直角坐标系，那么该抛物线对应的函数关系式为．17．〔2021春•海淀区校级月考〕如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h 〔米〕和飞行时间t 〔秒〕近似满足函数关系式h =−110〔t ﹣6〕2+5，那么沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是5米，此时飞行时间为秒．18．〔2021•长春模拟〕为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如下图的抛物线的一局部．铅球出手处A 距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为2米时，到达最大高度2米的B 处，那么小丁此次投掷的成绩是米．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021•山西模拟〕周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h 〔单位：m 〕与飞行时间t 〔单位：s 〕的几组值后，发现h 与t 满足的函数关系式是h ＝20t ﹣5t 2．〔1〕小球飞行时间是多少时到达最大高度，求最大高度是多少？〔2〕小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？20．〔2021秋•西城区校级期中〕跳台滑雪是冬季奥运会比赛工程之一，运发动起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一局部．一名运发动起跳后，他的飞行路线如下图，当他的水平距离为15m 时，到达飞行的最高点C 处，此时的竖直高度为45m ，他落地时的水平距离〔即OA 的长〕为60m ，求这名运发动起跳时的竖直高度〔即OB 的长〕．21．〔2021•台州〕用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观〔如图1〕．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H 〔单位：cm 〕，如果在离水面竖直距离为h 〔单位：cm 〕的地方开大小适宜的小孔，那么从小孔射出水的射程〔水流落地点离小孔的水平距离〕s 〔单位：cm 〕与h 的关系式为s 2＝4h 〔H ﹣h 〕．应用思考：现用高度为20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm 处开一个小孔．〔1〕写出s 2与h 的关系式；并求出当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是多少？〔2〕在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a ，b ，要使两孔射出水的射程相同，求a ，b 之间的关系式；〔3〕如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm ，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．22．〔2021•市南区一模〕如图，某小区在墙体OM 上的点A 处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，遮阳棚的高度y 〔m 〕与地面水平距离x 〔m 〕之间的关系式可以用y =−15x 2+bx +c 表示，且抛物线经过B 〔2，245〕，C 〔5，215〕．请根据以上信息，解答以下问题：〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕求遮阳棚跨度ON 的长；〔3〕现准备在抛物线上一点E 处，安装一直角形钢架GEF 对遮阳棚进行加固〔点F ，G 分别在x 轴，y 轴上，且EG ∥x 轴，EF ∥y 轴〕，现有库存10米的钢材是否够用？23．〔2021春•拱墅区期中〕一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：h ＝vt −12gt 2〔不计空气阻力〕，其中h 是物体距离地面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度〔g 取10m /s 2〕，t 是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器〔发射器的高度忽略不计〕将一个小球以10m /s 的初速度从地面竖直向上抛．〔1〕当小球的高度为米时，求时间t 的值；〔2〕小球的高度能到达米吗？请作出判断，并说明理由；〔3〕假设方方在圆圆抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求方方与圆圆抛球的时间差．24．〔2021•镇海区模拟〕如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O 处将球踢出，一运发动在离守门员8米的A 处发现球在自己头上的正上方4米处到达最高点M ，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．〔1〕求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B 和守门员〔点O 〕的距离；〔2〕运发动〔点A〕要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？〔假设点O、A、B、C在同一条直线上，结果保存根号〕。
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.6二次函数的应用（1）抛物型问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•大安市期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）
A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m
2．（2019秋•江岸区校级月考）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的
关系是y=−1
12
x2+23x+53，则此运动员把铅球推出多远（）
A．12m B．10m C．3m D．4m
3．（2020•武汉模拟）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单
位：s）之间的函数关系式为h=−40
9（t﹣3）
2+40，若后抛出的小球经过2.5s比先抛出的小球高
10
3
m，
则抛出两个小球的间隔时间是（）s．
A．1B．1.5C．2D．2.5
4．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y ＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）
A ．1米
B ．32米
C ．2米
D ．13
8米
5．（2020•丰台区模拟）向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx +c
（a ≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒
6．（2019秋•博山区期中）如图，从某建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛
物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面
403m ，则水流落地点B 离墙的距离
OB 是（ ）
A ．2m
B ．3m
C ．4m
D ．5m
7．（2020•裕华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单
位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ；
②小球运动的时间为6s ；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t ＝1.5s 时，小球的高度h ＝30m ．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
8．（2019秋•汾阳市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）
A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米
9．（2020•江汉区校级一模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽
OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−1
6x
2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需
要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（）
A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m
10．（2009•萧山区校级模拟）有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）
A．2.76米B．6.76米C．6米D．7米
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋•南京期末）从地面竖直向上抛出一个小球．小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t﹣4t2．小球运动的高度最大为m．
12．（2020•长春模拟）如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为．
13．（2018秋•富裕县期末）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝m．
14．（2019秋•建湖县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个隧道入口的最大高度为m（精确到0.1m）．
15．（2020•李沧区模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为9m ，则水管的长度OA 是 m ．
16．（2020•长春一模）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则
当水面下降1米时，水面宽度增加 米．
17．（2020•长春模拟）如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，
喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为 m ．
18．（2020•老河口市模拟）某幢建筑物，从5米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线
所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面
203米，则水流下落点B 离
墙距离OB 是 m ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
20．（2019秋•德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m．
（1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
21．（2019秋•西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
22．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
23．（2020•市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以
用y=−1
5x
2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，
24
5
），C（5，
21
5
）．
请根据以上信息，解答下列问题：（1）求抛物线的函数关系式；（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E 处，安装一直角形钢架GEF 对遮阳棚进行加固（点F ，G 分别在x 轴，y 轴上，且EG ∥x 轴，EF ∥y 轴），现有库存10米的钢材是否够用？
24．（2020•仙居县模拟）新型冠状肺炎给人类带来了灾难．口罩是抗击新冠肺炎的重要战略物资，国家在
必要时进行价格限制，以保持价格稳定．某公司生产的口罩售价与天数的函数关系如图所示（曲线部分是以y 轴为对称轴的抛物线一部分）．
（1）求口罩销售价格y （元）与天数x （天）之间的函数关系式．
（2）若这种口罩每只成本z （元）与天数x 之间的关系为：z ={−1
400(x −20)2+1.5(0≤x ≤30)1.25(30＜x ≤50)
．那么这种口罩在第几天售出后单只利润最大？最大利润为多少？。