初三数学三角函数复习(供参考)
九年级数学专题复习锐角三角函数
总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA aAc∠==的对边斜边;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA bAc∠==的邻边斜边;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边;cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边.要点进阶:ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、.(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点进阶:(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角.(2)仔细研究表中数值的规律会发现:sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1,而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,;(2)平方关系:;(3)倒数关系:或;(4)商数关系:.要点进阶:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有:①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.③边角之间的关系:,,,,,.④,h为斜边上的高.要点进阶:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由求∠A,∠B=90°-∠A,一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,一角,锐角、对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A,,斜边、锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点进阶:1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是:(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.拓展:在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:(1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点进阶:1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:222a b c +=; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B =90°; (3)边与角之间的关系:sin cos a A B c ==,cos cos a A B c==,cos sin b A B c ==,1tan tan a A b B==. (4) 如图,若直角三角形ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,设CD =h ,AD =q ,DB =p ,则由△CBD ∽△ABC ,得a 2=pc ;由△CAD ∽△BAC ,得b 2=qc ;由△ACD ∽△CBD ,得h 2=pq ;由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积,得ab =ch .(5)如图所示,若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线,则①CD =AD =BD =12AB ; ②点D 是Rt △ABC 的外心,外接圆半径R =12AB . (6)如图所示,若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径,则2a b c abr a b c+-==++. 直角三角形的面积: ①如图所示,111sin 222ABC S ab ch ac B ===△.(h 为斜边上的高)②如图所示,1()2ABC S r a b c =++△.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1.(1)如图所示,在△ABC中,若∠C=90°,∠B=50°,AB=10,则BC的长为( ).A.10·tan50° B.10·cos50° C.10·sin50° D.10 sin50°(2)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,求cosA+tanB的值.(3)如图所示的半圆中,AD是直径,且AD=3,AC=2,则sinB的值等于________.举一反三:【变式】如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()A .B .C .D .类型二、特殊角的三角函数值 例2.解答下列各题: (1)化简求值:tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°;(2)在△ABC 中,∠C =90°,化简12sin cos A A -.举一反三: 【变式】若3sin 22α=,cos sin βα=,(2α,β为锐角),求2tan()3β的值.例3.如图,在锐角△ABC 中,AB=15,BC=14,S △ABC =84,求: (1)tanC 的值;(2)sinA 的值.CBA举一反三:【变式】如图,AB 是江北岸滨江路一段,长为3千米,C 为南岸一渡口,为了解决两岸交通困难,拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向,B 在C 的东北方向,从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米?(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4.如图所示,D 是AB 上一点,且CD ⊥AC 于C ,:2:3ACD CDB S S =△△,4cos 5DCB ∠=, AC+CD =18,求tanA 的值和AB 的长.例5.如图所示,山脚下有一棵树AB ,小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ,用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高(精确到0.1m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).举一反三:【变式】如图所示,正三角形ABC的边长为2,点D在BC的延长线上,CD=3.(1)动点P在AB上由A向B移动,设AP=t,△PCD的面积为y,求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)在(1)的条件下,设PC=z,求z与t之间的函数关系式.例6.如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米;②如图(3)所示,当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′点时,梯子AB的中点P也随之运动到P′点,若∠POP′=15°,试求AA′的长.【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中,∠C =90°,cosA =35,则tan A 等于 ( )A .35 B .45 C .34 D .432.在Rt △ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab.则下列关系式中不成立的是( )A .tanA•cotA=1B .sinA=tanA•cosAC .cosA=cotA•sinAD .tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等于( ) A .34 B .43 C .35 D .454.如图所示,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,现将△ABC 如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan ∠CBE 的值是( )A .247B .73C .724D .135.如图所示,已知∠α的终边OP ⊥AB ,直线AB 的方程为y =-33x +33,则cos α等于 ( ) A .12B .22C .32D .336.如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A 处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB 长是( )A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里二、填空题7.设θ为锐角,且x2+3x+2sinθ=0的两根之差为5.则θ=.8.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为 .9.已知△ABC的外接圆O的半径为3,AC=4,则sinB= .第8题第9题第11题10.当0°<α<90°时,求21sincosαα-的值为.11.如图,点E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则t an∠OBE=.12.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=,则BC边长为 .三、解答题13.如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1:2,顶部A处的高AC为4m,B、C在同一水平地面上.(1)求斜坡AB的水平宽度BC;(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=3.5m 时,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题,某单位拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图,如图所示.按规定,地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)(sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,tan18°≈0.3249)15.如图所示,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB上,测量湖中两个小岛C、D间的距离.从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°,测得湖中小岛D的俯角为45°.已知小山AB的高为180米,求小岛C、D间的距离.(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA,交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系;然后证明你的猜想;(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C 不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。
九年级三角函数知识点整理
九年级三角函数知识点整理三角函数是数学中一个重要的概念,特别是在处理角度、弧度、三角形和圆等方面。
以下是九年级三角函数知识点整理:1. 锐角三角函数的定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin):等于对边比斜边,即sinA=a/c。
余弦(cos):等于邻边比斜边,即cosA=b/c。
正切(tan):等于对边比邻边,即tanA=a/b。
余切(cot):等于邻边比对边,即cotA=b/a。
正割(sec):等于斜边比邻边,即secA=c/b。
余割(csc):等于斜边比对边,即cscA=c/a。
2. 特殊角的三角函数值:对于一些特定的角度,三角函数有特定的值。
例如,当角度为30°、45°和60°时,正弦、余弦和正切的值分别是1/2、√2/2、√3/3等。
3. 互余角的关系:sin(π-α)=cosα,cos(π-α)=sinα,tan(π-α)=cotα,cot(π-α)=tanα。
4. 平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1,tan^2(α)+1=sec^2(α),cot^2(α)+1=csc^2(α)。
5. 积的关系:sinα=tanα·cosα,cosα=cotα·sinα。
6. 诱导公式:对于角度的和差、倍角等运算,可以通过诱导公式简化计算。
例如,sin(A+B)和cos(A+B)可以通过诱导公式转化为sinAcosB+cosAsinB 和cosAcosB-sinAsinB。
7. 图像与性质:正弦、余弦和正切的图像是周期函数,具有对称性。
例如,正弦函数在y轴两侧对称,余弦函数在x轴上对称。
此外,三角函数的最大值和最小值以及对应的x值也是重要的知识点。
8. 应用:三角函数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如,在测量、航海、工程、物理和数学等领域中,经常需要用到三角函数的知识。
初中三角函数知识点总结中考复习
初中三角函数知识点总结中考复习三角函数是数学中的一门重要分支,通过研究角的度量和三角比的关系来研究几何形状的属性。
在初中阶段,三角函数主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数,以及它们的定义、性质和应用。
下面是初中三角函数的知识点总结,供中考复习参考。
一、角的度量:1. 角的度量单位:度(°)和弧度(rad)。
2. 角度和弧度之间的换算:1周= 360° = 2π rad。
3.角的终边与坐标轴的位置关系:正角、负角、终边在各象限的情况。
4. 角度和弧度的转换公式:度数转弧度:θ(rad) = θ(°) ×π/180;弧度转度数:θ(°) = θ(rad) × 180/π。
二、三角比的定义:1. 正弦函数(sine function):在直角三角形中,对于一个锐角A,正弦函数的值定义为对边与斜边的比值,记作sinA = a/c。
2. 余弦函数(cosine function):在直角三角形中,对于一个锐角A,余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值,记作cosA = b/c。
3. 正切函数(tangent function):在直角三角形中,对于一个锐角A,正切函数的值定义为对边与邻边的比值,记作tanA = a/b。
三、三角比的性质:1. 正弦函数的周期性性质:sin(θ+2kπ) = sinθ,其中k为整数。
2. 余弦函数的周期性性质:cos(θ+2kπ) = cosθ,其中k为整数。
3. 正切函数的周期性性质:tan(θ+π) = tanθ。
4. 正弦函数和余弦函数的关系:sin(π/2 - θ) = cosθ,cos(π/2 - θ) = sinθ。
5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系:tanθ = sinθ/cosθ。
四、特殊角的三角比:1. 零度角和360度角的三角比:sin0° = 0,sin360° = 0;cos0° = 1,cos360° = 1;tan0° = 0,tan360° = 0。
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c),余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n):对边比斜边,即si n A=a/c余弦(c o s):邻边比斜边,即c o sA=b/c正切(t a n):对边比邻边,即t a n A=a/b余切(c o t):邻边比对边,即c o t A=b/a正割(se c):斜边比邻边,即se c A=c/b余割(c sc):斜边比对边,即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外,掌握下面半角公式,积化和差和万能公式有利于快速解决选择题,达到事半功倍的效果哦!1.半角公式注:正负由α/2所在的象限决定。
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、难题)
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、
难题)
初三《三角函数》经典题汇编(易错题、难题)
概述
本文档以初三数学学科的《三角函数》为主题,整理了一些经
典的题,主要包括易错题和难题。
这些题旨在帮助学生加深对三角
函数的理解和应用能力。
题目列表
1. 题目:已知直角三角形的一条直角边为5,斜边为13,求另
一条直角边的长度。
难度:易错题
答案:12
2. 题目:已知角A的正弦值为1/2,求角A的度数。
难度:易错题
答案:30°
3. 题目:已知角B的余弦值为3/5,求角B的度数。
难度:易错题
答案:53.13°
4. 题目:已知角C的正切值为2,求角C的度数。
难度:难题
答案:63.43°
5. 题目:已知直角三角形的一条直角边为8,角A的正弦值为3/4,求斜边的长度。
难度:难题
答案:10
6. 题目:已知角A的弧度为π/6,求角A的正弦值。
难度:难题
答案:1/2
7. 题目:已知角B的弧度为5π/6,求角B的正切值。
难度:难题
答案:√3
结论
通过解答这些经典习题,学生可以巩固对三角函数的基本概念和相关计算方法的掌握。
这些题目既包括易错题,帮助学生强化知识记忆,又包括难题,提高学生的解题能力。
建议学生针对这些题目进行练习,加深对三角函数的理解和应用能力,从而在考试中取得好成绩。
九年级数学三角知识点归纳总结
九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科,对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
在九年级数学中,三角函数是一个重要的知识点。
它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。
本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结,帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。
在直角三角形中,对于一个锐角角度A,我们可以定义三角函数。
- 正弦函数:sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数:cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数:tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系,帮助我们求解各种三角形问题。
在计算中,我们也经常用到它们的倒数函数:余切、余割、正割。
2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。
在三角函数中,角度制的角度范围是0°到360°,而弧度制的角度范围是0到2π。
两者之间的换算关系是:角度 = 弧度× 180°/π。
在九年级的学习中,我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。
因此,我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。
3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质,这些性质在解决问题中起到了重要的作用。
- 正弦函数的性质:在一个周期内,正弦函数是一个周期为360°(2π)的周期函数,其值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。
- 余弦函数的性质:与正弦函数类似,余弦函数也是一个周期为360°(2π)的周期函数,其值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像也呈现出波浪形,但与正弦函数的图像相位相差90°。
- 正切函数的性质:正切函数是一个没有定义域的周期函数,在某些点上的值是无限大。
它的图像以45°(π/4)为中心,两侧呈现出分叉的形式。
正切函数的周期是180°(π)。
九年级三角函数知识点归纳
九年级三角函数知识点归纳三角函数是数学中的一个重要分支,它是研究三角形与角的关系的数学工具。
在九年级的数学学习中,我们将会接触到一些基础的三角函数知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结,希望能够帮助大家更好地理解和掌握三角函数的概念与应用。
一、角度和弧度制在学习三角函数之前,我们需要了解两种常用的角度计量单位,即角度制和弧度制。
在角度制中,一个圆周被等分为360份,每一份称为一度,记作°;而在弧度制中,一个圆周被等分为2π份,每一份称为一弧度,记作rad。
二、正弦、余弦和正切函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们用记号sin(x)、cos(x)和tan(x)分别表示角x的正弦、余弦和正切值。
这些函数的定义如下:1. 正弦函数:正弦函数的定义域是所有实数,值域是[-1, 1],其图像是一个振荡的曲线。
与x轴的交点称为正弦函数的零点。
2. 余弦函数:余弦函数的定义域是所有实数,值域也是[-1, 1],其图像是一个振荡的曲线。
与y轴的交点称为余弦函数的零点。
3. 正切函数:正切函数的定义域是除了一些不连续点外的所有实数,值域是(-∞, +∞),其图像是呈现周期性的波动。
正切函数在定义域上存在无穷多个零点。
三、基本三角函数关系三角函数之间有着一些基本的关系,其中最重要的是勾股定理和三角函数的定义关系。
1. 勾股定理:对于一个直角三角形,设两条边的长分别为a和b,斜边的长为c,则根据勾股定理有c² = a² + b²。
勾股定理为解决三角形问题提供了基本的数学工具。
2. 三角函数的定义关系:三角函数的定义关系可以用来计算非特殊角的三角函数值。
例如,sin(θ) = a/c,cos(θ) = b/c,tan(θ) = a/b。
这些定义关系使得我们可以通过已知一个角的某个三角函数值来计算其他三角函数的值。
四、三角函数的周期性三角函数都是周期性函数,可通过图像来观察到这一点。
初三三角函数知识点归纳总结
初三三角函数知识点归纳总结
•三角函数基础知识:①三角函数的定义:三角函数是一类特殊的函数,可以通过一个角或一个角的弧度来描述。
②三角函数的公式:sinθ=opp/hyp;cosθ=adj/hyp;tanθ=opp/adj。
③三角函数的图形:三角函数的图形可以分为正弦图形和余弦图形。
•坐标变换:①极坐标系:极坐标系是一种坐标系,它由极点、极轴和极半径构成,用来表示曲线的位置。
②直角坐标系:直角坐标系是一种坐标系,它由原点、横坐标轴和纵坐标轴构成,用来表示点在空间中的位置。
•三角函数的性质:①正弦定理:sinα/a=sinβ/b=sinγ/c;②余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc*cosα;③正弦余弦定理:sinα/a=cosβ/b;④正切定理:tanα/a=tanβ/b;⑤正切余弦定理:tanα/a=cosβ/b;⑥正切正弦定理:tanα/a=sinβ/b。
(完整版)初三数学三角函数复习
锐角三角函数:例1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°.第1题图①斜边)(sin =A ②斜边)(cos =A③的邻边A A ∠=)(tan.例2.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .类型二. 利用角度转化求值:1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.DE ∶AE =1∶2.求:sin B 、cos B 、tan B .2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A .12 B .32C .35D .45D C B A Oyx第8题图3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .434. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43C.35D.45A D ECB F5. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为( )A .2B .2C .1D .22类型三. 化斜三角形为直角三角形例1.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,AC =5.求:sin ∠ABC 的值.2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B .特殊角的三角函数值在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数. 例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则 ( )A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求:(1)∠BAD ;(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD .类型二:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角: 例1.(2012•福州)如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( )A . 200米B . 200米C . 220米D . 100()米锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC .类型四. 坡度与坡角例.(2012•广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )A .100mB .1003mC .150mD .503m类型五. 方位角1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,732.13≈)综合题:三角函数与四边形:(西城二模)1.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan ∠BDC=63. (1) 求BD 的长; (2) 求AD 的长.(2011东一)18.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F . (1)求证:∠BAE =∠DAF ; (2)若AE =4,AF =245,3sin 5BAE ∠=,求CF 的长.三角函数与圆:已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径。
初三数学三角函数知识点整理
初三数学三角函数知识点整理
三角函数知识:
(一)基本概念:
1. 三角函数:三角函数是一类变化比较复杂的可以描述出来的函数,它们可以用来描述各种具有特殊的几何关系的函数关系。
2. 周期性特征:三角函数都具有周期性的特征,正弦函数的周期长度为2π,余弦、正切函数的周期有π。
3. 区间形态特征:三角函数的话,一个比较方便的办法是先分析函数图像的区间变化形态,分析一下函数的一般变化规律,进而猜测出变化规律。
(二)三角函数求值
1. 小角度求值法:小角度求值法是把角极限值和角转换为弧度来进行求解,这种方法的优点是可以把角的大小任意进行变量,从而实现任意角度的三角函数求值。
2. 单位圆三角等价:单位圆三角等价是把圆上的位置用三角函数来表示,其中圆心为(0,0),半径为1。
3. 唯一方程法:唯一方程法就是把三角函数问题变成一般代数方程来求解,这样就可以利用代数方法解决三角函数问题了。
(三)三角函数运算
1. 三角函数对数:三角函数对数可以得到两个三角函数的乘积,除法
或求幂的值。
2. 三角形关系:三角形关系是指把一个等腰三角形的一条边的长度按照给定的一定比例缩放得到另外两边的长度。
3. 余弦定理:余弦定理是指任意一个三角形的两边的长度乘积等于它的最短的三条边的三次方再乘以一个特别的常数。
初三数学三角函数知识点归纳总结
初三数学三角函数知识点归纳总结三角函数是数学中一个重要的概念,也是初三数学中的重点知识之一。
它们在几何、物理和工程学等领域有广泛的应用。
下面,我们将对初三数学中的三角函数知识点进行归纳总结。
1. 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种,用sin表示。
在单位圆上,对于任意角度θ,点P(x, y)的坐标可以表示为P(θ, sinθ),其中y坐标即为sinθ的值。
正弦函数的值域为[-1, 1],定义域为所有实数。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种,用cos表示。
在单位圆上,对于任意角度θ,点P(x, y)的坐标可以表示为P(cosθ, θ),其中x坐标即为cosθ的值。
余弦函数的值域也为[-1, 1],定义域同样为所有实数。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的一种,用tan表示。
正切函数可以表示为sinθ/cosθ,在θ=π/2+kπ(k为整数)的情况下,等于无穷大,即不存在定义。
正切函数的值域为所有实数,定义域除了θ=π/2+kπ之外的所有实数。
4. 反正弦函数反正弦函数是正弦函数的反函数,用arcsin表示。
在[-1, 1]的值域内,对于任意实数y,可以找到唯一的角度θ,使得sinθ=y,其中θ的范围在[-π/2, π/2]之间。
5. 反余弦函数反余弦函数是余弦函数的反函数,用arccos表示。
在[-1, 1]的值域内,对于任意实数x,可以找到唯一的角度θ,使得cosθ=x,其中θ的范围在[0, π]之间。
6. 反正切函数反正切函数是正切函数的反函数,用arctan表示。
在所有实数的定义域内,对于任意实数y,可以找到唯一的角度θ,使得tanθ=y,其中θ的范围在(-π/2, π/2)之间。
通过对上述知识点的了解,我们可以利用三角函数来解决一些有关角度和边长的问题。
在学习过程中,我们需要注意以下几个要点:1. 熟练掌握三角函数基本概念和符号表示,包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、值域、定义域等。
初三数学三角函数中考题
初三数学三角函数中考题引言:三角函数是初中数学中一个重要的概念,涉及到角度和长度之间的关系。
在初三学习数学时,学生们经常会遇到关于三角函数的考题。
本文将介绍几个常见的初三数学三角函数中的考题。
一、正弦函数1. 已知一个角的正弦值sinα=0.6,求该角的可能大小。
解析:根据正弦函数的定义,正弦值为某个角的对边与斜边之比。
可以利用反正弦函数求解,得到角的大小为sin⁻¹(0.6)≈36.87°。
2. 在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,tanA=0.8,求sinB和cosB的值。
解析:根据tanA的定义,tanA为∠ACB的对边与邻边之比,即tanA=AC/CB=0.8。
根据直角三角形的性质,sinB=AC/CB,cosB=BC/CB。
可以利用已知条件求解,得到sinB=0.8/√(1+0.8²)≈0.707,cosB=√(1-0.707²)≈0.707。
二、余弦函数1. 在平面直角坐标系中,已知点P坐标为(2, 3),点P表示角A的终边上的一点,求角A的余弦值cosA。
解析:根据余弦函数的定义,余弦值为角A对应的点P在x轴上的横坐标与点P到原点的距离之比。
可以利用已知点P的坐标求解,得到cosA=2/√(2²+3²)≈0.5547。
2. 已知三角形ABC中,角C=45°,边AC=5,边BC=√10,求sinA和cosB的值。
解析:根据三角形的性质,sinA=BC/AC,cosB=AC/BC。
可以利用已知条件求解,得到sinA=√10/5=2/√10,cosB=5/√10=√10/2。
三、正切函数1. 在直角三角形ABC中,∠B=30°,边AC=5,求tanA的值。
解析:根据正切函数的定义,tanA为∠B的对边与邻边之比,即tanA=BC/AC。
可以利用已知条件求解,得到tanA=BC/AC=√3/5。
2. 已知一个角的正切值tanα=1.732,求该角的可能大小。
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制1.角度的定义:角度是从一个弧中截取的一部分,一个完整圆共有360度。
一个度可以被继续等分为60分,每一分可以被继续等分为60秒。
2.弧度的定义:弧度是弧与半径相对应的圆心角所对的弧长的比值。
一个圆的周长为2πr,一个圆的弧长等于其半径乘以所对的圆心角的弧度数。
一个圆的周长为2π弧度。
3.角度与弧度的互相转化:360度=2π弧度;1度=π/180弧度;1弧度=180/π度。
二、单位圆与三角比1.单位圆的定义:单位圆是一个半径为1的圆,在坐标系中,圆心坐标为(0,0)。
2. 正弦、余弦、正切的定义:对于单位圆上任意一点P(x,y),假设与x轴正方向的夹角为θ,则点P的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)。
3. 正弦、余弦、正切与角度的关系:sinθ = y,cosθ = x,tanθ = y/x。
4. 余弦、正弦、正切与弧度的关系:sinθ = y,cosθ = x,tanθ = y/x。
5.三角函数的周期性:三角函数的周期是2π。
三、基本三角函数恒等式1. 余弦与正弦的关系:cos²θ + sin²θ = 12. 正切与余切的关系:tanθ = 1/cotθ。
3. 正弦与余切的关系:sinθ = 1/cscθ。
4. 余弦与正切的关系:cosθ = 1/secθ。
5. 正弦与正切的关系:sinθ = tanθ/cosθ。
四、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像与性质:y = sinθ,函数图像为典型的正弦曲线,周期为2π,在(0,0)处取得最小值0,最大值1,满足奇函数性质。
2. 余弦函数的图像与性质:y = cosθ,函数图像为典型的余弦曲线,周期为2π,在(0,0)处取得最大值1,最小值-1,满足偶函数性质。
3. 正切函数的图像与性质:y = tanθ,函数图像为典型的正切曲线,周期为π,无定义点为θ = (2n+1)π/2,其中n为整数。
三角函数拓展知识点总结
三角函数拓展知识点总结一、三角函数的定义与性质1. 三角函数的定义在直角三角形中,我们可以定义三角函数为一个角的对边、邻边和斜边之比。
具体来说,正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)、正切函数(tangent)等,它们的定义分别如下: - 正弦函数:sinθ = 对边/斜边- 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边- 正切函数:tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的性质* 周期性:对于任意角θ,三角函数都是周期函数,具有周期2π。
* 奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,正切函数则是奇函数。
* 定义域和值域:正弦函数和余弦函数的定义域是实数集,值域是[-1, 1];而正切函数的定义域是全体实数,值域是实数集。
二、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线,它在每个周期内有一个最大值1和一个最小值-1,而且它的图像是周期性的。
正弦函数的性质还包括:- 对称性:正弦函数关于原点对称。
- 单调性:一个周期内,正弦函数在(0, π)上是增函数,在(π, 2π)上是减函数。
- 零点:正弦函数有无穷多个零点,即sin(kπ)=0,其中k为整数。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像是一条连续的波浪线,它在每个周期内有一个最大值1和一个最小值-1,而且它的图像也是周期性的。
余弦函数的性质还包括:- 对称性:余弦函数关于y轴对称。
- 单调性:一个周期内,余弦函数在(0, π)上是减函数,在(π, 2π)上是增函数。
- 零点:余弦函数的零点为cos((2k+1)π/2)=0,其中k为整数。
3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的周期性函数,其图像在每个周期中有许多奇点,其性质包括: - 奇点:正切函数在每个周期内有许多奇点,即在θ=(2k+1)π/2处,tanθ的值无定义。
- 增减性:正切函数在每个周期内有无穷多个极大值和极小值,并且在每个周期内均为增函数或减函数。
九年级)三角函数(含答案
数学试题卷1一、选择题:(本题有15小题,每小题3分,共45分) 1.下列各组数中,互为相反数的是 ( ) (A ) -3与3 (B)|-3|与一31 (C)|-3|与31 (D) -3与2(-3) 2.函数12--=x y 的自变量x 的取值范围是 ( ) (A ) x <21 (B) x ≥21 (C) x ≤21 (D) x ≠213.下列运算:①3322=-a a ②236a a a =÷ ③3332a a a =+ ④()623a a =- ⑤()()22y x y x y x +-=--+- 正确的有( )(A )2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个4.若一次函数()11-++=m x m y 的图象不经过第一象限,则方程022=--m x x的根的情况是 ( )(A )有两个相等的实根 (B) 有两个不相等的实根 (C) 无实根 (D)不能确定 5.下列图案是几种轿车的标志,在这几个图案中,是轴对称图形有( )(A )1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个 6.将二次三项式267x x ++进行配方,正确的结果应为( )(A ) 2(3)2x ++ (B) 2(3)2x +- (C) 2(3)2x -+ (D)2(3)2x -- 7.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ,最短的弦长为4cm ,则OM 的长等于( )(A )3cm (B) 5cmCyyyyOOOOx x x xABCD8.1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形,如果这个正九边形的半径是R ,那么它的边长是( ) (A )Rsin20°(B) Rsin40°(C)2Rsin20°(D)2Rsin40°9.下列命题中,正确命题的个数是( )①一个锐角的余角还是一个锐角;②垂直于半径的直线是圆的切线; ③一个数的算术平方根一定比这个数小;④平分弦的直径垂直于这条弦. (A ) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 310.图1是饮水机的图片。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ,则有: s in A = a = cos B , cos A = = sin B , tan A = ,这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = .在 Rt△BCD 中, cos B = ,所以 = ., cos A = , =(sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义.根据锐角三角函数的定义,再结合直角三角形的性质,我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系.一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ,cos A =sin B ,而在直角三角形中,∠A+∠B =90°,即∠B =90°-∠A .因此有:sin A =cos (90°-A ),cos A =sin (90°-A ).应用这些关系式,可以很轻松地进行三角函数之间的转换.例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于 D ,已知 sin A ==2,求 BC 的长.解:由于∠A +∠B =90°,12BD 2 1BC BC 2所以 BC =4.二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ,BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方).又由勾股定理,知 a 2+b 2=c 2,所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1.应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算.例 2 计算:sin256°+sin245°+sin234°.=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a, cos A = ,得 = c = ⨯ = = tan A .所以原式 = = =- .5 12 5 12所以 sin B = = .应选(B).5解:由余角关系知 sin56°=cos(90°-56°)=cos34°.所以原式=sin245°+(sin234°+cos234°)⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 .三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单.例 3 已知 α 为锐角,tan α =2,求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值.解:因为 tan α = sin α cos α= 2 ,所以 sin α =2cos α ,6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多,且方法灵活.是中考中常见的题型.我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.四、设参数法例 4 如图 △1,在 ABC 中,∠C =90°,如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ,那么 sin B 等于( )分析:本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质.因为 tan A = a 5 =b 12,所以可设 a =5k ,b =12k (k >0),根据勾股定理得 c =13k ,图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2,小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠,B 点恰好落在 A D 边上,设此点为 F ,若 BA :BC =4:,则 c os∠DCF 的值是______.分析:根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ,所以 C F=CB ,又 C D=AB ,AB :BC =4:5, 所以 C D :C F=4:5,图 2=.113911,即=,所以C E=,在Rt△A E C中,tan∠CA E==3=.所以tanα=.C3445所以DB==,所以tanα=,选(A).在Rt D△C F中,c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3,C D是平面镜,光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥C D,B D⊥C D,垂足分别为C、D,且AC=3,B D=6,C D=11,则tanα的值为()B(A)(B)(C)(D)311119A分析:根据已知条件可得∠α=∠CA E,所以只需求出tan∠CA E.α根据条件可知△A C E∽B DE,所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4,在Rt△ABC中,ACB=90,D⊥AB于点D,BC=3,AC=4,设BC D=α,tanα的值为()(A)(B)(C)(D)435分析:由三角形函数的定义知tanα=DB DC,由Rt△C D△B∽Rt ACB,BC33DC AC44图4( :锐角三角函数测试1.比较大小:sin41°________sin42°. 2.比较大小:cot30°_________cot22°. 3.比较大小:sin25°___________cos25°. 4.比较大小:tan52°___________cot52°. 5.比较大小:tan48°____________cot41°. 6.比较大小:sin36°____________cos55°.7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积;② 在△ABC 中,若∠C=90°,则 c=α sinA 成立;③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为()A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9(新疆中考题) 1)如图(1)、 2),锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定, 变化而变化.试探索随着锐角度数的增大.它的正弦值和余弦值变化的规律.(2)根据你探索到的规律,试比较 18°,34°,50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
初三数学三角函数知识点
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初三数学三角函数知识点
初三数学三角函数知识点初中数学三角函数1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即a^2+b^2=c^2.2、在直角三角形ABC中,若∠C为直角,则∠A的三角函数为:正弦sinA=a/c,余弦cosA=b/c,正切tanA=a/b,余切cotA=b/a。
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,余切值等于它的余角的正切值。
即tanA=cot(90°-A),cotA=tan(90°-A)。
5、特殊角的三角函数值:0°:sin0=0,cos0=1,tan0=0,cot0=无穷大。
30°:sin30=1/2,cos30=√3/2,tan30=1/√3,cot30=√3.45°:sin45=cos45=1/√2,tan45=1,cot45=1.60°:sin60=√3/2,cos60=1/2,tan60=√3,cot60=1/√3.90°:sin90=1,cos90=0,tan90=无穷大,cot90=0.6、正弦、余弦的增减性:当0°≤A≤90°时,XXX随A的增大而增大,cosA随A的增大而减小。
7、正切、余切的增减性:当0°<A<90°时,XXX随A的增大而增大,XXX随A的增大而减小。
解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:①边的关系:a^2+b^2=c^2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。
应用举例:仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
在直角三角形中,铅垂线分割斜边成两段,比值等于正弦值或余弦值。
在直角三角形中,视线与水平线的夹角的正切值等于视线长度与水平距离的比值。
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制度量1.角度的定义与表示方法:度、分、秒2.角度的换算:度与弧度的换算3.弧度制度量的定义与表示方法4.弧度与角度之间的换算二、三角函数的定义与基本性质1.正弦函数:定义、图像、性质(周期性、奇偶性、单调性)2.余弦函数:定义、图像、性质(周期性、奇偶性、单调性)3.正切函数:定义、图像、性质(周期性、奇偶性、单调性)4.函数值的范围与周期性5.三角函数的基本关系式和恒等式6.正弦、余弦的诱导公式和和差公式7.三角函数的同角关系式三、常用角的三角函数值1.0度、30度、45度、60度和90度的三角函数值2.零点的三角函数值3.常用角的三角函数值的对称性四、图像与性质1.角度对应的弧度的图像与性质2.角度对应的三角函数图像与性质3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性4.幅度与峰值五、三角函数的性质与变换1. 函数y=A*sin(Bx+C)+D和y=A*cos(Bx+C)+D的基本性质和变换2.三角函数的峰值、最小值和最大值3.三角函数图像的平移、伸缩、翻转等变换4.三角函数的同位角恒等式与诱导公式的应用5.反三角函数的性质与定义六、三角函数的应用1.正弦定理与余弦定理:直角三角形、任意三角形的应用2.解三角形的基本步骤和技巧3.短边与短边之间的关系(余弦定理)4.弧度与扇形面积、扇形弧长的关系5.三角函数在测量、工程设计等方面的应用七、用三角函数解直角三角形1.斜边和斜边所对应的角的关系2.已知两边求角度3.已知两边求第三边4.解一般直角三角形问题的基本步骤八、平面向量与复数1.平面向量的定义、表示方法和性质2.平面向量的共线与平行3.向量在平面内的平移九、极坐标与复数1.平面极坐标系的定义与性质2.复数的定义与基本性质3.复数运算:加法、减法、乘法、除法4.复数的共轭、模和辐角5.复数的指数形式与三角形式以上为九年级数学三角函数全章的知识点整理,其中包括角度与弧度制度量、三角函数的定义与基本性质、常用角的三角函数值、图像与性质、三角函数的性质与变换、三角函数的应用、用三角函数解直角三角形、平面向量与复数、极坐标与复数等内容,共计1200字以上。
三角函数初三年级数学三角函数专题1
初三年级数学三角函数专题1时间:30分钟姓名:1.A,B两地被大山阻隔,若要从A地到B地,只能沿着如图所示的公路先从A地到C地,再由C地到B地.现计划开凿隧道A,B两地直线贯通,经测量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道开通后与隧道开通前相比,从A地到B地的路程将缩短多少?(结果精确到0.1km,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)2.热气球的探测器显示,从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°,看这栋楼底部C的俯角β为60°,热气球与楼的水平距离为100m,求这栋楼的高度(结果保留根号).3. 如图,港口B位于港口A的南偏东37︒方向,灯塔C恰好在AB的中点处,一艘海轮位于港口A的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5km,到达E处,测得灯塔C在北偏东45︒方向上.这时,E处距离港口A有多远?︒≈︒≈︒≈)(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.754.为了计算湖中小岛上凉亭P 到岸边公路l 的距离,某数学兴趣小组在公路l 上的点A 处,测得凉亭P 在北偏东60°的方向上;从A 处向正东方向行走200米,到达公路l 上的点B 处,再次测得凉亭P 在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P 到公路l 的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)5. 京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ,先用卷尺量得AB=160m ,CD=40m ,再用测角仪测得,,06030=∠=∠DBA CAB 求该段运河的河宽(即CH 的长).6.如图,沿AC 方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC 上的一点B 取∠ABD=120°,BD=520m ,∠D=30°.那么另一边开挖点E 离D 多远正好使A ,C ,E 三点在一直线上(取1.732,结果取整数)?。
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锐角三角函数:
例1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
第1题图
①
斜边
)
(
sin=
A
②
斜边
)
(
cos=
A
③
的邻边
A
A
∠
=
)
(
tan.
例2.已知:如图,Rt△TNM中,∠TMN=90°,MR⊥TN于R点,TN=4,MN=3.
求:sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR.
类型二. 利用角度转化求值:
1.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°.D是AC边上一点,DE⊥AB于E点.
DE∶AE=1∶2.
求:sin B、cos B、tan B.
2.如图,直径为10的⊙A经过点(05)
C,和点(00)
O,,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为()
A.
1
2
B.
3
2
C.
3
5
D.
4
5
D
C
B
A
O
y
x
第8题图
3.(2009·齐齐哈尔中考)如图,
O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为3
2
,2AC =,则
sin B 的值是( )
A .
23 B .32 C .34 D .43
4. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )
A.34 B.43
C.3
5
D.
45
A D E
C
B F
5. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5
DBA ∠= ,则AD 的长为( )
A .2
B .2
C .1
D .22
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,AC =5.
求:sin ∠ABC 的值.
2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B .
特殊角的三角函数值
在ABC
∆中,若0
)
2
2
(sin
2
1
cos2=
-
+
-B
A,B
A∠
∠,都是锐角,求C
∠的度数.
例3.三角函数的增减性
1.已知∠A为锐角,且sin A <
2
1
,那么∠A的取值范围是
A. 0°< A < 30°
B. 30°< A <60°
C. 60°< A < 90°
D. 30°< A < 90°
2.已知A为锐角,且0
30
sin
cos<
A,则()
A. 0°< A < 60°
B. 30°< A < 60°
C. 60°< A < 90°
D. 30°< A < 90°
例4. 三角函数在几何中的应用
1.已知:如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE=16cm,⋅
=
13
12
sin A
求此菱形的周长.
2.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,3
=
=BC
AC,作∠DAC=30°,AD交CB于D点,求:
(1)∠BAD;
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD.
类型二:解直角三角形的实际应用
仰角与俯角:
例1.(2012•福州)如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()
A.200米B.200米C.220米D.100()米
锐角α30°45°60°
sinα
cosα
tanα
例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离
m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC .
类型四. 坡度与坡角
例.(2012•广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )
A .100m
B .1003m
C .150m
D .503m
类型五. 方位角
1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,732.13≈)
综合题:
三角函数与四边形:
(西城二模)1.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan ∠BDC=
6
3
. (1) 求BD 的长; (2) 求AD 的长.
(2011东一)18.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F . (1)求证:∠BAE =∠DAF ; (2)若AE =4,AF =245,3
sin 5
BAE ∠=,求CF 的长.
三角函数与圆:
已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=3
4
,求⊙O 的半径。
三角函数与圆 拓展题
1.(2013朝阳期末)21.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ,在EC 上取一个点F ,使EF=BF. (1)求证:BF 是⊙O 的切线; (2)若5
4
C cos =, DE =9,求BF 的长.
2...(6分)如图,在△ABC 中,点O 在AB 上,以O 为圆心的圆
经过A ,C 两点,交AB 于点D ,已知2∠A +∠B =90︒. (1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)若OA =6,BC =8,求BD 的长.
3.已知,如图,在△ADC 中,90ADC ∠=︒,以DC 为直径作半圆O ,交边AC 于点F ,点B 在CD 的延长线上,连接BF ,交AD 于点E ,2BED C ∠=∠. (1)求证:BF 是O 的切线;
D
O
A
C
F
D
O
B
E
D O
C
B
(2)若BF FC
=,3
AE=O的半径.
三角形角度问题
4.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD是∠CAB的平分线,tan B=
2
1
,求
CD
BD
的值.
三角形相似专题
一.
1.若ABC
∆与DEF
∆相似, 50,70,60
A B D
∠=∠=∠=,则E
∠的度数可以是( )
A.50B
.70C.
60D.50或70
二、动点求值计算题
1.如图,在ABC
∆中,90,
C P
∠=为AB上一点,且点P不与点A重合,过P作PE AB
⊥交AC边于点E,点E不与点C重合,若10,8
AB AC
==,设AP的长为x,四边形
PECB周长为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
2.如图10所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:∆ADE∽∆BEF;
(2)设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当x取什么值时,y有最大值?并求出这个最大值.
3、为了测量路灯(OS)的高度,把一根长1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子(BC)长
为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB‘),再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长(B‘C‘)为1.8米,求路灯离地面的高度.
A B
C
D
D O
A
C
B
F
E
P
B
h
S
A A'
4.如图,已知⊙O的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC = EB .
(1)求证:△CEB∽△CBD ;
(2)若CE = 3,CB=5 ,求DE的长.。