江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学 Word版含解析

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江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题数学试题及答案

江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10）【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=，在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为，前35项和为．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程．【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等，可知l //AB 或l 过AB 的中点．当由l //AB 得321132l AB k k -===--，所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=．当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0，则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4，所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =，所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-，代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-，又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长．【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由．【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ，同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立即222266033k km k r r k-+=--恒成立，所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=，则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++，由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考地理答案

江苏省扬州中学2022―2023年度第一学期12月检测卷高二地理2022.12.11注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．本试卷共10页，包含选择题和综合题两部分。

本次考试时间为75分钟，满分100分。

考试结束后，请将答题卡交给监考老师。

2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答综合题，请您用黑色字迹的0．5毫米签字笔将答案写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一．单项选择题：在下列各小题的四个选项中，只有一个选项最符合题目的要求。

请在答题卡上将所选答案的字母代号涂黑（22小题，每小题2分，共44分）。

我国某校地理兴趣小组于某日北京时间12：30在学校附近拍下了一张“白墙树影”的照片，此时树干影子刚好与东西向白墙垂直。

1小时后该小组再次来到此地进行第二次观察。

据此完成1-2题。

公众号高中僧试题下载 1．该学校最可能位于 A ．哈尔滨B ．北京C ．西宁D ．太原2．该小组发现，第二次观察到的墙面树影较第一次的 A ．东移且变短 B ．西移且变短C ．西移且变长D ．东移且变长三角洲是陆海相互作用的关键地带。

图2示意珠江三角洲形成前河口地带同一剖面演化的四个阶段。

读图回答3-5题。

3. 距今7万年时，该剖面海相沉积物部分缺失的原因是A. 岩层断裂下陷B. 向斜槽部凹陷C. 河流侵蚀D. 冰川侵蚀 4. 距今1万年至距今0.9万年期间，珠江河口移动方向是A. 总体向海B. 总体向陆C. 先向海后向陆D. 先向陆后向海 5. 四个阶段中，该河口地带最可能A. 地壳抬升B. 降水量增加C. 盐度下降D. 海水沉积图1图2太行山脉是我国黄土高原和华北平原的地理分界线，其山麓焚风（过山气流在背风坡下沉增温形成的一种干热地方性风）较强，焚风往往以阵风形式出现，从山上沿山坡向下吹。

2020-2021学年高二数学12月月考试题 (II)

S ←9i ←1While S ≥0 S ←S -ii ←i +1End While Print i（第4题）2020-2021学年高二数学12月月考试题 (II)一、填空题（每小题5分共70分）1．命题“,x R ∀∈20x >”的否定是 ▲ . 2．若点（1,1）到直线cos sin 2x y αα+=的距离为d ，则d 的最大值是 ▲ ．3. 右图是xx 年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上,某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为 ▲ .4．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按 000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ▲ . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 1206 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 6258 7973 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 0279 54 6．函数21()2ln 2f x x x x =-+的极值点是____▲_______. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ▲ .8．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差为2，则xy 的值是 ▲ __. 9. 已知条件a x p >:，条件021:>+-x xq . 若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.若函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则(2)=f ' ▲ .7 88 4 4 4 6 7 9 2 4 7 第3题图11．已知直线2y x =-与x 轴交于P 点，与双曲线C :2213y x -=交于A 、B 两点，则||||PA PB += ▲ .12．已知函数1()sin cos f x x x =+，函数1()n f x +是函数()n f x 的导函数，即'''*21321()=(),()=(),,()=(),n n f x f x f x f x f x f x n N +∈，则122019()()()=222f f f πππ+++▲ .13．设F 是椭圆C ：221(0)x y m n m n+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ . 14．若函数()xf x e =，g()ln x a x =的图像关于直线y x =对称. 则在区间),21(+∞上不等式2)()1(x x g x f <+-的解集为 ▲ ．二、解答题（共90分）15．（14分）从扬州中学参加xx 全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？分组频数频率 [70，80） 0.08 [80，90） 0.10 [90，100）③ [100，110） 16①[110，120）0.08 [120，130） ② 0.04[130，140]0.02 合计 50分数708090100110120130140组距频率040.0036.0032.0028.0024.0020.0016.0012.0008.0004.016. （14分）已知0,1c c >≠且，设p ：函数xy c =在R 上单调递减；q ：函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数.（1）若p 为真，q ⌝为假，求实数c 的取值范围；（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.17．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ．（1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．18. （16分）某小区为解决居民停车难的问题，经业主委员会协调，现决定将某闲置区域改建为停车场. 如图，已知该闲置区域是一边靠道路且边界近似于抛物线)11(12≤≤--=x x y 的区域，现规划改建为一个三角形形状的停车场，要求三角形的一边为原有道路，另外两条边均与抛物线相切.（1）设AC AB ，分别与抛物线相切于点),(),,(2211y x Q y x P ，试用Q P ,的横坐标表示停车场的面积；（2）请问如何设计，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小？19．（16分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，右准线:2l x =，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），直线AP 交l 于M （点M 在x 轴下方）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于,C D 两点，若6CD =，求圆H 的方程；（3）若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．20．（16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x ；（3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.MlxyFOAPQ（第19题图）高二数学参考答案1．,x R ∃∈使得20x ≤ 2.2＋ 2 3. 170 4． 5 5. 719，050，717 6. 1 7．3x =- 8. 60 9. 2a ≤- 10. 2 11．62 12．-1 13. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.()1,+∞15. 解：（1）0.32；2；0.36 （2）如图．（3）在随机抽取的50名同学中有7名出线,75007050⨯=．答：在参加的500名中大概有70名同学出线． 16.解：函数xy c =在R 上单调递减，01c ∴<<即:01p c <<2分函数2()21f x x cx =-+在1(,)2+∞上为增函数，12c ∴≤即21:≤c q 4分（1）p 为真，q ⌝为假由0110122c c c <<⎧⎪⇒<≤⎨≤⎪⎩ 所以实数c 的取值范围是1{|0}2c c <≤ （2）又“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，∴p 真q 假或p 假q 真所以由112c c >⎧⎪⎨≤⎪⎩或0112c c <<⎧⎪⎨>⎪⎩解得112c <<, 所以实数c 的取值范围是1{|1}2c c <<17．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的充要条件是2251a b =+即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或a =4,b =3,c =5两种情况．∴直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2＋y 2=1相切的概率是213618= （2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种当a =5时，b =1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．18解（1）因AC AB ，为分别与抛物线)11(12≤≤--=x x y 相切于),(),,(2211y x Q y x P不妨设11x ≤-<0<12≤x则直线AB ：12121++-=x x x y 直线AC ：12222++-=x x x y可得)0,21(),0,21(),1,2(2221122121x x C x x B x x x x A ++-+所以停车场的面积ABC S ∆=22221121212211211(1)()11()(1)2224x x x x x x x x x x x x ++--=--=其中[)(]1,0,0,121∈-∈x x（2）ABC S ∆=[][]21221122122121)(1)(41)1)((41x x x x x x x x x x x x --+-+⋅=--⋅ []21221)(121x x x x --+⋅≥，当且仅当021=+x x 时等号成立令t x x =-21，则tt t t t t f 12)1()(322++=+=（01t <≤）， 22123)(t t t f -+='，令33,0)(=='t t f 得当0<t <33时，)(t f '<0,)(t f 单调递减；当1>t >33时，)(t f '>0,)(t f 单调递增所以938),9316)33()(min mi ===∆ABC n S f t f 故（，所以当AC AB ，分别与闲置区的抛物线的边界相切于点)3233(),3233(，，Q P -时，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小19．解（1）由222212b aca b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1a b ==．所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）设(2,)M m ，由CD OM ⊥得12CD OMk k m=-=-，则CD 方程为2(1)y x m=--，即220x my +-=．因为圆心(1,)2m H ，则圆心H 到直线CD 的距离为2222|22|2424m m d m m+-==++．圆半径为2422OM m r +==，且622CD =，由222()2CD d r +=，代入得2m =±．因为点M 在x 轴下方，所以2m =-，此时圆H 方程为22(1)(1)2x y -++=．（3）设PQ 方程为：(1)y kx b b =+≠-，(0,1)A -，令1122(,),(,)P x y Q x y ，由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得1212112y y x x +++=，由1122,y kx b y kx b =+=+得1212(1)()22b x x k x x +++=，①联立方程2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kbx b +++-=，所以122412kbx x k -+=+，21222212b x x k -=+代入①得，(1)(1)0b b k ++-=，由1b ≠-得10b k +-=，即1b k =-，所以PQ 方程为1(1)1y kx k k x =+-=-+，所以直线PQ 过定点，定点为(1,1)． 20解（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根，令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-，从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减. ∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<.（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abc a c b ++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴12311238a b c t ⎧=-⎪=⎪⎨=+⎪⎪=⎩，所以，32()(638)x f x x x x e =-++.（3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<，故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<.故使命题成立的正整数m的最大值为5.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

江苏省扬州市广陵区扬州中学2021-2022高二数学上学期12月月考试题(含解析).doc

江苏省扬州市广陵区扬州中学2021-2022高二数学上学期12月月考试题（含解析）一、单项选择题：1.等差数列{}n a 中，36a =-，754a a =+，则1a =（） A. 10- B. 2-C. 2D. 10【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得2d =，进而可得1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则7524a a d -==可得2d =. 所以3126410d a a =-=--=-. 故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，属于基础题.2.方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上的一个必要不充分条件是（）A. 23m <<B. 522m <<C.532m << D.1134m << 【答案】A 【解析】【分析】先求出“方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上”对应的m 的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解．【详解】方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上，所以230m m ->->，解得532m <<，所以23m <<是532m <<的必要不充分条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于基础题． 3.数列4816322,,,,,3579⋅⋅⋅的一个通项公式n a =（） A. 21n n -B. 2n nC. 221nn -D. 221nn +【答案】C 【解析】【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式。

【详解】将2写成21，因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…，是以2为首项和公比的等比数列，分母为1,3,5,7,9, …，是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为221nn a n =-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查观察法求数列的通项公式，以及等差、等比数列通项公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4.已知△ABC 为等腰直角三角形，若双曲线E 以A ，B 为焦点，并经过点C ，该双曲线的离心率是（）1 B.21【答案】D 【解析】【分析】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系，可求出该双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-，从而求出离心率．【详解】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．依题意可知，22CA c =，由双曲线的定义可知，双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-，所以该双曲线的离心率是21222c e a ===-．故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质应用，建立适当的坐标系，得到实轴长和焦距是解题关键，考查学生数学建模的能力，属于中档题．5.《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （） A. 3052⨯B. 2952⨯C. 3021-D.()30521⨯-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到该屠户每天屠肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，所以15a =，2q，因此303030130(1)5(12)5(21)112-⨯-===⨯---a q S q . 故选D【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型. 6.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （）A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+D.12a b c -+【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可．【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选A.【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（）A. 4B. 3C. 232D. 2【答案】A 【解析】【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即（1+2d ）2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2163n n S a ++利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1， ∴a 32=a 1a 13，∴（1+2d ）2=1+12d ，d ≠0，解得d =2．∴a n =1+2（n -1）=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2． ∴2163n n S a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-，当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n nS a ++取到最小值4，故选A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．8.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为（）A. B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，APF ∴∆的周长为1122PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2a AF +是定值，要使APF ∆的周长最小，则1PA PF +最小，即P 、A 、1F 共线，()0,66A ，()13,0F -，∴直线1AF 的方程为1366x +=-，即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-（舍），所以P 点的纵坐标为26，111166662612622APF AFF PFF S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.故选C.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点P 的坐标是关键．二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A. “2019x =”是“x =2021”的充分条件B. “x =-1”的充分不必要条件是“2230x x --=”C. “m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D. 若0b a <<，则11a b< 【答案】D 【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，可以判断选项,,A B C 的真假，根据不等式性质可以判断选项D的真假．【详解】对于选项A ，20192019x x =⇔=±，所以“2019x =”是“x =2021”的必要条件；对于选项B ，2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以“x =-1”的必要不充分条件是“2230x x --=”；对于选项C ，“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”；对于选项D ，0b a <<，所以0b a ->->，即11b a <--，所以11a b<．故选：D ．【点睛】本题主要考查充分、必要条件的定义应用，属于基础题． 10.已知等比数列{}n a 中，满足11,2a q ==，则（） A. 数列{}2n a 是等比数列 B. 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C. 数列{}2log n a 是等差数列 D. 数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．【详解】等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n n a ，21n n S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列．因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=-20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列．故选：AC ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题．11.已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（）【答案】BC 【解析】【分析】由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，则e =；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，e =故选BC【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解a 的取值，属于中档题 12.已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（） A. 234⋅=-OC OD p B. 四边形ACBD 面积最小值为216p C. 1112AB CD p+= D. 若24AF BF p ⋅=，则直线CD 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】利用抛物线的极坐标方程求出,,,AF BF AB CD ，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．【详解】设AB 的倾斜角为θ，则有222222|AB |,|CD |sin cos sin 2pp pπθθθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1112AB CD p +=，C 正确； ||,||1cos 1cos p p AF BF θθ==-+，若24AF BF p ⋅=，则1sin 2θ=，3tan θ=，直线CD 的斜率为3-，D 正确；22222212882sin cos sin 2ABCDp B D p S p A C θθθ===，所以B 不正确；设()()1122,,,C x y D x y ，由抛物线过焦点弦的性质可知，221212,4p x x y y p ==-，2121234OC OD x x y y p ⋅=+=-，所以A 正确．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题．三、填空题13.已知空间向量3131(,,1)(,,0)2222a b =-=-,若空间単位向量c 满足:0c a c b ⋅=⋅=，则c =________.【答案】1,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设出c 对应的坐标形式，根据0c a c b ⋅=⋅=以及1c =列出对应的方程组，求解出c 的坐标表示.【详解】设(),,c x y z =，因为0c a c b ⋅=⋅=且1c =，所以222102210221x y z x y x y z ⎧-++=⎪⎪⎪⎪-+=⎨⎪++=⎪⎪⎪⎩，解得：1220x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或1220x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以13,22c ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为1,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量的数量积计算的简单应用，难度较易.已知空间向量()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则121212a b x x y y z z ⋅=++.14.己知命题p ：[]1,1m ∃∈-，2532a a m --<+，且p 是假命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),16,-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】命题p 是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．【详解】∵命题p ：[]1,1m ∃∈-,2532a a m --<+是假命题,则 ∴[]1,1m ∀∈-,2532a a m --≥+恒成立,优质资料\word 可编辑∴2533a a --≥,2560a a --≥ ∴1a ≤-或6a ≥,故答案为(][),16,-∞-⋃+∞．【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型．15.已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，则数列{}n b 的通项公式为________．【答案】223n n b +=-【解析】【分析】根据已知可得123n n b n b a b +==+,然后两边同时加上3,变形为132(3)n n b b ++=+,再利用等比数列通项公式可得答案.【详解】因为23n a n =+,所以123n n b n b a b +==+, 所以132(3)n n b b ++=+, 又11335380b a +=+=+=≠,所以数列{3}n b +是首项为8,公比为2的等比数列,所以1382n n b -+=⨯22n +=, 所以223n n b +=-. 故答案为: 223n n b +=-【点睛】本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题. 16.抛物线22(0)x py p =>上一点)(1)A m m >到抛物线准线的距离为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，则•OE OF 的取值范围为__________．【答案】[3- 【解析】因为点(3)A m ，在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p ．当6p 时，114m =<，故6p 舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴(33)(33)A B ，，，-，所以OAB 是正三角形，边长为23，其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴332E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则33π·cos 3sin 33sin 26OE OF θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴·[3333]OE OF ∈-+，．【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到OAB ∆为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点E 的坐标，可利用内切圆的方程设出点F 含参数的坐标，进而得到π·336OE OF θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键. 四、解答题17.（1）已知x >2，求132x x +-的最小值；（2）已知0,0a b >>，且122a b +=，求+a b 的最小值. 【答案】（1）236；（2322+【解析】【分析】（1）因为()11332622x x x x +=-++--，由基本不等式即可求出最小值；（2）因为122a b +=，所以1112a b +=，于是+a b ＝()1111222b aa b a b a b⎛⎫++=+++⎪⎝⎭，由基本不等式即可求出最小值．【详解】（1）()11332623622x x x x +=-+++--，当且仅当23x -=时取等号，所以132x x +-的最小值为6．（2）因为122a b +=，所以1112a b+=，于是+a b ＝()1113122222b a a b a b a b⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，当且仅当12,22a b ==时取等号，所以+a b 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，使用注意“一正二定三相等”，以及“和定积最大，积定和最小”，属于基础题． 18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(){}1*22,n n n S n N b +=-∈是等差数列，且3412,a b b =-64.b a =（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}21nn b -的前2n 项和2.n T【答案】（1）2nn a =,32n b n =-（2）22183n T n n =-【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 的前n 项和()1*22n n S n N +=-∈，可以判断出数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，因此可求出2nn a =，再设出等差数列{}n b 的公差为d ，列出关于等差数列{}n b 首项1b 和公差d 的两个方程，解出1b 和d ，即可求出{}n b 的通项公式；（2）根据数列(){}21nn b -的特点，采用并项求和法，即可求出前2n 项和2n T ．【详解】（1）因为122n n S +=-，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，当1n =时，也符合上式．所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，由3412a b b =-，64b a =，所以183d b =-，1165d b =+，即3d =，11b =，故32n b n =-．（2）22222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+12342123()3()3()n n b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++又因为32n b n =-，所以2n T 12342121223()3()3()3()n n n b b b b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，所以[]21222()3313(2)21832n n n b b T n n n n +=⨯=+⨯-=-．【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19.在正方体1111ABCD A B C D -中，边长为2，利用综合法完成以下问题：（1）求点1A 到平面1ACB 的距离；（2）求二面角11A B C A --的余弦值. 【答案】（123；（2）63【解析】【分析】（1）根据等积法可知，1111A ACB C A AB V V --=，因此求出11C A AB V -和1ACB S ，即可求出点1A 到平面1ACB 的距离；（2）分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ，由题意可知AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角，在AEF 中，根据余弦定理即可求出．【详解】（1）因为1ACB 为边长为22的等边三角形，所以112222sin 2323ACB Sπ=⨯⨯⨯=，而11114222323C A AB V -=⨯⨯⨯⨯=，设点1A 到平面1ACB 的距离为d ，由1111A ACB C A AB V V --=可得，142333d ⨯⨯=，解得23d =．（2）分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ．因为1ACB 为边长为22的等边三角形，所以1AE B C ⊥，22sin63AE π=⨯= ，又11A B C 为直角三角形，而EF 为11A B C 的中位线，所以111//,,1EF A B EF B C EF ⊥=，故AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角．在AEF 中，1132AF AC ==，所以6cos 326AEF ∠== ．故二面角11A B C A --的余弦值为63．【点睛】本题主要考查利用综合法求点到面的距离以及二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB =2，BC =1，2PC PD ==，E 为PB 中点.利用空间向量方法完成以下问题：（1）求二面角E -AC -D 的余弦值；（2）在棱PD 上是否存在点M ，使得AM BD ⊥？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）6-（2）在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD = 【解析】【分析】（1）取CD 的中点O ，建立空间坐标系，分别求出平面ACE 和ACD 的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；（2）假设存在点M ，设出点M 的坐标，由,,P M D 三点共线得PM PD λ=，[0,1]λ∈，可用λ表示出点M ，再利用0AM BD ⋅=，求出λ，满足[0,1]λ∈即可，即得PMPD的值．【详解】（1）取CD 的中点O ，连结PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点,所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -,则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，,，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-所以20,2,0,131.00222x y x y AC m z y x y z AE m -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩令1y =，则2,1x z ==-，所以()2,11m =-，.平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，则cos ,m OP m OP m OP⋅<>==-⋅||如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为6-. （2）在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,则(),01,0PM PD D λ=-，.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AM BD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD =. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及点的存在性问题，解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系，准确求出各点坐标，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足22 2.n n n S a a =+-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n nn b na -=（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ;（3）是否存在实数λ使得2n n T S λ+>对n N +∈恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．【答案】（1）()*1n a n n N =+∈（2）1221n n T n +=-+（3）存，49λ＜【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由()()211n n n b n n -=+ ，可采用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立，即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可，利用作差法得出()()()2213n f n n n n +=++其单调性，即可求解．【详解】（1）当n =1时，a 1=2或-1（舍去）．当n ≥2时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦，整理可得：（a n +a n -1）（a n -a n -1-1）=0，可得a n -a n -1=1，∴{a n }是以a 1=2为首项，d =1为公差的等差数列．∴()()*2111n a n n n N=+-⨯=+∈．（2）由（1）得a n =n +1，∴()()1212211n n nn n b n n n n +-==-++． ∴232112222222223211n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立，即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可，令()()()2213n f n n n n +=++，则()()()()()()()1228112+34n n f n f n n n n n n +-+-=+++当()()()()3,+1;12,+1n f n f n n f n f n ≥>≤≤< 故f （1）=1，f （2）=815，f （3）=49，()16435f =＞f （5）＞f （6）＞…当n =3时有最小值()439f =，所以49λ＜．【点睛】本题主要考查利用n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于()()3344,,,E x y F x y 两点，若12341111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析【解析】【分析】（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=.∴椭圆方程为22143x y +=. （2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()122211234120143x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理222226834t x t -=+，22221234t y t =+ 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫⎪⎝⎭，又12341111y y y y +=+ ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()121112y y y y x x x x --=--122221121222212112212121212343468686834343434t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭211221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()()()()212121211243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．。

江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学(含答案)

2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）或【16题答案】【答案】（1）（2）或.【17题答案】【答案】（1；（2）.【18题答案】【答案】（1）（2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）；（2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。

扬州中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学数据含答案

江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期10月月考高二数学试卷满分：150分；考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B −的直线的倾斜角为3π4，则y =（） A ．1−B ．3−C ．0D ．22．已知,a b 是单位向量，且()2b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．下列说法中错误的是（）A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示 B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示的直线过原点 C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化4．若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（） A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π5．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（） A ．220x y +−= B ．2340x y +−=C ．2340x y −−=D ．3260x y +−=6．将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（） A ．712π B ．4π C ．12π D ．6π7．已知圆()()()22:140C x y m m ++−=>和两点()2,0A −，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（） A ．[8，64] B ．[9，64] C ．[8，49]D ．[9，49]8．已知函数f (x )={2x ,x ≤0,lnx,x >0, g (x )=|x(x −2)|，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（） A ．m >1 B ．m ≥1C ．m <1D ．m ≤1二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知复数z 满足(i 1)2z −=，给出下列四个命题其中正确的是（） A ．z 的虚部为1−B ．||2z =C ．1i z =+D ．22i z =10．已知直线l 过点()11P -，，且与直线1l ：230x y −+＝及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列说法正确的是（）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12 C ．直线l 在y 轴上的截距为－1D ．这样的直线l 有两条11．已知圆O ：224x y +=和圆C ：()()22231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是( ) A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y −+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y −+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3312．在正方体ABCD —1111D C B A 中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有( )A．当P 为1BC 中点时，三棱锥P -1ABB B ．线段PQ 长度的最小值为2 C ．三棱锥1D -APC 的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b =__________．14．已知函数()22,0x x f x −<⎧=⎨，则不等式()()2134f a f a +>−的解集为___________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4,3,5a b c ===，则由△ABC 生成的康威圆的半径为___________.16．已知直线l ：40x y −+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，计70分.） 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A . (1)若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程； (2)直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程.18．(本小题满分12分)已知圆221:230C x y x +−−=与圆222:4230C x y x y +−++=相交于A 、B 两点.(1)求公共弦AB 所在直线方程；(2)求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程.19．(本小题满分12分)已知圆C 与直线30x −=相切于点(P ，且与直线50x +=也相切. (1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=−. (1)求C 的大小；(2)若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且CD =△ABC 面积的最小值.21．(本小题满分12分)为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.22．(本小题满分12分)已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ． (1)已知直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程； (2)若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；(3)若过点(2,1)N 且斜率分别为12,k k 的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值.参考答案：1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 【详解】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +−=，即()1f t t =-，作出函数()y f t =及1y t =−的图象，由图象可知方程的根为0=t 或1t =，即()20x x −=或()21x x −=，作出函数()()2g x x x =−的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =−，由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t −=∈，结合函数()()2g x x x =−的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.9．AD 10．AC 11．AD 12．ABC【详解】对于A ，当P 为1BC 中点时，∵11BCC B 是正方形，∴11B P BC ⊥，∵AB ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥1B P ， ∵AB ∩1BC =B ，AB 、1BC ⊂平面ABP ，∴1B P ⊥平面ABP ， ∵1B P ⊂平面AP 1B ，∴平面AP 1B ⊥平面ABP ，易知Rt △ABP 外接圆圆心为AP 中点，Rt △AP 1B 外接圆圆心为1AB 中点，则过Rt △ABP 外接圆圆心作平面ABP 的垂线，过Rt △AP 1B 外接圆圆心作平面AP 1B 的垂线，易知两垂线交点为1AB 中点，则三棱锥P -1ABB 的外接球球心即为1AB 中点，外接球半径即为12AB A 正确；对于B ，如图过P 作PG ⊥BC 于G ，过Q 作QE ⊥PG 于E ，易知PQ ≥QE =AG ≥AB ，故线段PQ 长度的最小值为AB =2，故B 正确；对于C ，∵1BC ∥1AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ， ∵P ∈1BC ，故P 到平面1ACD 的距离为定值，又1ACD S 为定值，则11D APC P ACD V V −−=为定值，故C 正确；对于D ，易知，截面BPQ 与平面11BCC B 的交线始终为1BC ，连接1AD ，易知1BC ∥1AD ，过Q 作QF ∥1AD 交11A D 于F ，连接1FC 、QB ，则1BQFC 即为截面，其最多为四边形：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合，此时截面BPQ 为三角形：平面BPQ 截该正方体所得截面不可能为五边形，故D 错误﹒ 故选：ABC ﹒13．± 14．()5,+∞ 15【详解】设M 是圆心，因为122121AC A B B C ==，因此M 到直线,,AB BC CA 的距离相等，从而M 是直角ABC 的内心，作MN AC ⊥于N ，连接2MC ，则34512MN CN +−===， 2156NC =+=，所以2MC ==16．【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ，因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥，所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++−+−=，又,C D 在圆224x y +=上，将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－，即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －，又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥，即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++−=上，其圆心为11',22O ⎛⎫− ⎪⎝⎭，半径为2r =，如图所示:所以'minAMAO r ==－所以AM 的最小值为17．(1)10x y −+=(2)0b =，直线l 的方程为240x y +−= （1）因为直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的斜率为tan14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x −=−，即10x y −+= （2）因为()1,2A 在对称轴1x =上，所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上，所以22b =+，得0b =所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ，则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，所以点(2,0)B 在直线l 上，所以直线l 的斜率为20212−=−−，所以直线l 的方程为22(1)y x −=−−，即240x y +−= 18．(1)30x y −−= (2)2230x y x y +−+= （1）22230x y x +−−=，①224230x y x y +−++=，②①-②得2260x y −−=即公共弦AB 所在直线方程为30x y −−=.（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+−−++−++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++−++−+= 因为圆过原点，所以330λ−+=，1λ= 所以圆的方程为2230x y x y +−+= 19．(1)()2214x y ++=(2)1m >或7m <−(1)解：设圆C 的方程为()222()x a y b r −+−=，由题意得(2221b a r a b r ⎧⎛⨯=−⎪ ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎩+⎪，解得1a =−，0b =，2r =，即圆C 的方程为()2214x y ++=. (2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角，当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角；当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则02d r <<，于是，有0<<，解之得1m >或7m <−，且3m ≠；综上，实数m 的取值范围是1m >或7m <−. 20．(1)π3C=；（1）依题意，sin(2)sin sin A B B A +=−，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+−，故()sin(π)sin sin A C C A A +−=+−，则()sin()sin sin C A C A A −=+−，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A −=+−， 2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =. （2）依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD中，由正弦定理得πsin sin 6AD A =，在三角形BCDπsin 6BD =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=. 在三角形ACD中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+−⋅=−+，在三角形BCD中，由余弦定理得222π3cos 336BD a a a =+−⋅=−+，所以2222223333AD b b b BD a a a −+==−+，整理得()()0a b ab a b +−−=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABCS=⨯⨯⨯= 当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形11sin 422ABCSab C =≥⨯ 综上所述，三角形ABC21．(1)66.8 (2)73 (3)57（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.65x +−⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为,,,A B C D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为,,a b c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==. 22．．(1)158680x y +−=或40x −= (2)221164x y += (3)0(1)圆22:16O x y +=，圆心()0,0，半径为4，直线l ：(2)(21)690m x m y m +++−−=与圆22:16O x y +=相切，4=，解得122m =或12m =−，故直线l 的方程为158680x y +−=或40x −=.(2)设(,),(,)M x y P x y ''，则2x x y y =⎧⎨=''⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即()22216x y +=，化简得221164x y +=. (3)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 所在直线方程为11(2)y k x −=−，联立得1221(2)1164y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2221111148(12)4(12)160k x k k x k ++−+−−=，则()()21111212221181241216,1414k k k x x x x k k −−−+=−=++，NA NB ⋅=()2112122k x x =+−−()()()()()()221111221121212221118141216812124124141414k k k k k x xx x kk k k +−−−=+−++=+++=+++，同理()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212k k =，又12k k ≠，故12k k =−，即120k k +=.。

扬州中学2021-2022学年高二(下)第一次月考数学试卷(后附答案解析)

扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=3.已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.754.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.486.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE = （）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.6C.33D.08.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为312.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．14.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量的坐标为__________．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ=== ，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学答案一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--【答案】B 【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.3.已知向量()1,1,0a =r，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.75【答案】D 【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】=(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k ++--=--，2=a b -2(1,1,0)(1,0,2)---=(3,2,2)，因为ka b + 与2a b -互相垂直，所以(1,,2)k k --⋅(3,2,2)=0，所以57=0k -，所以7=5k .故选：D.4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '后，代入2x π=即可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而得到()(),f x f x '；利用导数的几何意义即可求得结果.【详解】()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭ ，()sin 2f x x f π⎛⎫''∴=-- ⎪⎝⎭，sin 12222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''∴=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：122f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1cos 2f x x x ∴=+，()1sin 2f x x '=-+，()01f ∴=，()102f '=，()y f x ∴=在0x =处的切线方程为112y x -=，即220x y -+=.故选：C.5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则232312A A =，故所求的坐法种数为12，故选：B ．6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE =（）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB=-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+131222a b c -+= .故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.36C.33D.0【答案】A 【解析】【分析】以B 点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,2M ，()2,0,1P ，()0,2,0C ，()1,1,1Q ，则()1,1,1BQ =，()2,2,1CP =-.设异面直线BQ 与CP 所成角为θ，则()1212113cos cos ,93441BQ CP θ⨯+⨯-+⨯==⨯++ .故选：A.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为 2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即 2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'fx 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可得,,AB AC BC的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，365cos ,65AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，BC ==所以,AB AC不共线.故选：AC11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，推导出111A C BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A ，正方体中1111A C B D ⊥ ，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111A C BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂= ，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，A 选项正确；对于选项B ，正方体中11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ，点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又△11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，B 选项正确；对于选项C ，11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角．易知△1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为60 ．故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90] ，C 选项错误；对于选项D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤，则(,1,)P a a ，1(0,1,1)C ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，所以1(,0,1)C P a a =-，1(1,1,1)D B =- ．由选项A 正确：可知1(1,1,1)D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为3，D 选项正确．故选：ABD ．12.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D.【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF =对于A：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B：11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C：121222||||Rt Rt ||22||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒=∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．【答案】6【解析】【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为(2,5),(2,6)--，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为(4,1),(4,3)--，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为(7,1),(7,3)--，所以点的个数为6.故答案为：614.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知求得向量b 在向量a 上的投影，设向量b 在向量a上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m = ，由向量的模列式求解λ值，即可求解．【详解】∵(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，∴1(2)21212a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴向量b 在向量a上的投影为2||3a b a ⋅==，设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m =．∴(,2,2)m λλλ= ，则22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=．∴244,,999m ⎛⎫=⎪⎝⎭．故答案为：244,,999⎛⎫⎪⎝⎭．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3【解析】【详解】【分析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可.详解：画出函数()f x的图象，如图：若函数 y=f （x ）﹣m 有 2 个零点，结合图象：m =2 或m ≥3 .故答案为m =2 或m ≥3 .点睛：对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP .故由⊥QN CP ，1⊥D Q CP ，因为1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB .要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内，又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N .因为CB ⊥平面11ABB A ，所以CB BM ⊥，所以12BCM S CB BM ⨯⨯=当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小.又14,2BB BN ==，故1B N =由1Rt B BN 的面积可得455BM ==，所以145854255BCM S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．【答案】（1）96（2）8【解析】【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；（2）由排列数计算公式即可求解方程.【小问1详解】解：()()3384487610432564069610f A A =⨯⨯-⨯⨯⨯=-⨯=-=；【小问2详解】解：由33210n n A A =，得()()()()221221012n n n n n n --=--，又3n ≥，*n ∈N ，所以()()22152n n -=-，即8n =，∴正整数n 为8．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c =．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】（1）111344OP a b c=++（2）①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒= ③5||12OP ⇒=【解析】【分析】（1）连接ON 由()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【小问1详解】连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ OA OC OB a c b O a P b c .【小问2详解】选①,,,3π=== a b c a ，因为1a b c === ，111344=++ a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712= OP ；选②,,,,32ππ=== a b c a b c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812= OP ；③2,,,,23ππ=== a b c a c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ O a b c a b c a b a c Pc b1111259882144=+-⨯=，所以512= OP .19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233（2）1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2)设PE PB λ=，根据位置关系，解出λ即可.【小问1详解】以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,DP 为z 轴，建立空间直角坐标系,则()()()0,0,2,2,0,00,2,0,P A C .设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =，00n PA x z n PC y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =，(2,0,0)DA =点D 到平面PAC 的距离||||3DA n d n ⋅===.【小问2详解】假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平面ADE ，则PE PB λ=，因为()2,2,2PB =- ,所以()2,2,2PE λλλ=-,所以()2,2,22E λλλ-,所以()22,2,22AE λλλ=-- ,若PC ⊥平面ADE ,则PC ⊥AE ,即840PC AE λ⋅=-=,故12λ=,此时E 为PB 的中点时,1PE EB =.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）2a =（2）3【解析】【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面 PAC ，即可求得平面PAC 的法向量，再求得平面EAC 的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可得答案.（2）由（1）可得平面EAC 的法向量n ，求得PA，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】以点C 为原点，作CD 的垂线为x 轴，以CD ，CP分别为y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -，设()()0,0,20P a a >，则()1,1,E a -，所以()2,2,0CA = ，()0,0,2CP a = ，()1,1,CE a =- ，(2,2,0)CB =-，在直角梯形ABCD中，==AC，BC =所以222AC BC AB +=，即ACBC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，即CB即为平面PAC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面EAC 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3CB n CB n CB n⋅<>==，解得2a =．【小问2详解】由（1）可得()2,2,2n =-- ，()2,2,4PA =-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>====⋅，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【解析】【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =，1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴=+.H 为AB 的中点，02334my m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++.当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4AB FG=.综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量；④化简所得式子，消元可得定值.22.已知函数121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于 0 或者小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用 f ¢(x )有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。

江苏省扬州中学-学年高二12月月考数学试题Word版含答案

江苏省扬州中学高二年级１2月质量检测数学(满分160分,考试时间120分钟)一、填空题：(本大题共14小题,每小题5分,共７0分.)１.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．3.“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的” 条件.(填“充要条件”、“ 充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一）4.已知函数)1(2)('2--=xf x x f ,则)1('-f = .５．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则的值为 . 6．已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增,则实数的取值范围是． 7．若函数x a ax x x f )2(ln )(2+-+=在21=x 处取得极大值，则正数的取值范围是 .８．若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，且过点(2,3),则曲线C 的方程为．9.在平面直角坐标系xoy 中,记曲线)2,(2-≠∈-=m R x xmx y 在1=x 处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . １0．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的的取值范围是 . 1１．在平面直角坐标系ｘO ｙ中,圆C 的方程为(x －１)2＋（y -1)２=9，直线l ：y ＝ｋｘ＋3与圆C 相交于A ，Ｂ两点，M 为弦ＡB 上一动点,以Ｍ为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于B A ,两点.若BF AF ⊥,则双曲线的渐近线方程为 .2016.121３．已知函数2)(1-+=-x e x f x （为自然对数的底数).3)(2+--=a ax x x g ．若存在实数21,x x ,使得0)()(21==x g x f ．且121≤-x x ，则实数的取值范围是 .14．设函数axee xf 2)(-=,若)(x f 在区间)3,1(a --内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题,共９0分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分)已知命题p :函数6)34()(23++++=x a ax x x f 在),(+∞-∞上有极值,命题：双曲线1522=-ax y 的离心率)2,1(∈e .若q p ∨是真命题,q p ∧是假命题，求实数的取值范围．1６.(本小题满分１4分）设函数()2ln 2x f x k x =-,0k >．(１)求()f x 的单调区间和极值；(2)证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.１7．（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B . (1)若直线平行于AB ,与圆C 相交于M ,N 两点，MN AB =，求直线的方程；（2)在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=?若存在，求点P 的个数;若不存在,说明理由．1８.（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ,与轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点,过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. （1)求椭圆E 的标准方程；（2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程;（3)求BCD ∆面积的最大值.19.（本小题满分１６分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ,AB =k ｍ,BC =km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口,其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. （１)请确定入口F 的选址范围;（２)设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?xyDCOBA20.(本小题满分16分)设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.(1)若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线,求实数的值;（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -(为自然对数的底数),求实数的值;(3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假２.xy 43±= 3. 充分不必要 4. 32- ５. １ 6. [1,1]- 7. （0，2）８．225x y -= 9．－３或-4 10.(,1)(0,1)-∞-11．1-错误!，+∞) 12. 2y x =±1３． 12，３]． 14.解：当x≥２a 时，f （x)=｜e x ﹣e 2ａ|=e x ﹣ｅ2a ,此时为增函数, 当ｘ<２a 时，f(x)=|ｅx ﹣e 2ａ|＝﹣e ｘ+e 2a ,此时为减函数, 即当x=２a 时,函数取得最小值0，设两个切点为M （x 1,ｆ（x １））,N((x 2，f(x 2））, 由图象知,当两个切线垂直时,必有,ｘ1＜2a ＜x 2，即﹣１<２a<3﹣ａ，得﹣＜ａ<1，∵k 1k 2=f′（x １）f′(ｘ2)=e ｘ１•（﹣e x ２)=﹣e x １+x2=﹣1, 则eｘ1+x2=１，即x 1+x ２=０，∵﹣1<x 1<0,∴0＜ｘ2<1，且x 2>2a ， ∴2a<1,解得a ＜, 综上﹣<a ＜, 故答案为：(﹣，)．1５．解：命题p:ｆ′（x)=３ｘ２+2ax+a+， ∵函数ｆ（ｘ）在（﹣∞，＋∞)上有极值, ∴f′(x ）＝0有两个不等实数根,∴△＝4ａ2﹣４×３(ａ＋）=４a 2﹣4（3a+4)>0, 解得ａ＞4或ａ<﹣1；命题q ：双曲线的离心率ｅ∈（1，２),为真命题，则∈(１,2),解得0＜a<15.∵命题“p ∧q”为假命题,“ｐ∨q”为真命题, ∴p 与q 必然一真一假, 则或，解得:ａ≥１5或0<a≤4或a ＜﹣１. 16.所以,()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是()k +∞；()f x 在x k =(1ln )2k k f k -=. (Ⅱ）由(Ⅰ)知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )(2k k f k -=. 因为()f x 存在零点,所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥．当k e =时,()f x 在区间)e 上单调递减，且(0f e =，所以x e =()f x 在区间e 上的唯一零点．当k e >时,()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<，所以()f x 在区间e 上仅有一个零点．综上可知,若()f x 存在零点，则()f x 在区间e 上仅有一个零点.考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题. 17．．（2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ,则22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， 0因为22|22|(20)(01)22--+-<+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为．…………………………………………………………14分１８. 解:(1）由题意得53c a =,2455a c c -=,解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．………4分(2)设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在,设为1234,,,k k k k ,则001200,33y y k k x x ==+-+,00340033,x x k k y y +-=-=, 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++,消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++,化简得3x =, 故点D 在定直线3x =上运动． ……１０分(3)由(2)得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+,又2200194x y +=, 所以220994y x -=-，则20000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-,所以点D 到直线BC 的距离为00005944D y y y y y -=--=, 将0y y =代入22194x y +=得x =±，所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =,BCD ∆面积的最大值为274． ……１６分１９.解:（1)以Ａ为原点，AB 所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为, 而EG AF ⊥,故EG 的斜率为1a-, 则EG 的方程为()11y a x a-=--, 令0x =,得1G y a a=+; ………2分令0y =，得21E x a =+; … …4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩, 21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位:km).……６分（2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭, 故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-, ……９分所以要使21S S 最大，只需1S 最小. 设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……1０分则()()())()2224222222111311132132a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===令()0f a '=，得a =a =(舍）, ………12分()(),,a f a f a '的情况如下表:22⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭ 1 ()f a '0 +()f a减极小增故当3a =，即入口F满足BF =km 时,该商业区的环境舒适度指数最大1６分 20.解：（1)()ln f x ax x=-+，()1f x ax'∴=-，设切点横坐标为0x ,则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩…………2分消去，得0ln 0x =,故01x =，得 2.a =- ………4分（２)()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时,()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去； ……………５分 ②当1a ≥时,()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-，舍去; ………６分 ③当211a e <<时,由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩,得11x a ≤<;由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭,得2ln 0ae a --=, ……8分设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()10g a e a '=-<,()g a 单调递减, 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增，故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③,1a e=. ……………1０分(3)方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-，令()1ln 2h x x x =+,故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-,………１2分由（2)可知()h x 在()0,+∞上单调递增,故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=(※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根, ……………1３分①当410t ∆=+=,即14t =-时，方程(※）的实数根为1124x =>-,满足题意；---- ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ)若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =,当0t =时方程(※)的两根为0,1,符合题意;当2t =时方程(※）的两根为2,1-，不合题意,舍去; Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<; 综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-.…………16分。

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【详解】设，，．
由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为．
因为，
所以点是的重心，故，
．
故选：A．
6.已知函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知函数为偶函数，且在上为增函数，由已知可得出，解此不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.
详解】，则，， .
， .
故选：B
5.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则（）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，，．由，得是的重心，从而求得，然后由焦半径公式求得结论．
故选：BCD.
11.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）
A.若、的斜率存在且分别为、，则为一定值
B.若椭圆上存在点使，则
C.若的面积最大时，，则
D.根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为
对于D：圆圆心，半径为，圆圆心，半径为，若两圆相离，
因为，所以或，
所以或，故D错误.
故选：BC
10.已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（）
A.数列的通项公式为 B.
C. 的取值范围是 D.数列的通项公式
2021-2022学年度高二数学12月月考卷
一、单选题
1.已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式数形结合可得.
【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足．
故选：D.
2.已知等差数列中，，，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列性质得到，，得到答案.
【详解】，，则，故，
.
故选：C.
3.经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（）
A B.
C. D.Hale Waihona Puke 【答案】C【解析】
【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
故选：AC.
12.已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（）
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项．
A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；
B：由椭圆性质知，当M为上下顶点时，最大，保证最大这个角大于或等于90°，则在椭圆上存在点M满足题意；
C：当P为上顶点或下顶点时，面积最大，结合几何关系即可求此时离心率；
，故可得点A的坐标为，
所以，整理得，解得，
故选：．
二、多选题
9.下列说法正确的有（）
A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B. 点关于直线的对称点为
C. 圆与圆可能内含、内切或相交
D. 若圆与圆相离，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为，依题意得到方程组，解得、，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D；
【分析】利用换底公式与叠乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．
【详解】解：，，
，
又为整数，
必须是2的次幂，即．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
8.过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（）
【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆配方可得，
圆心坐标为，半径为2，
弦心距，弦长为，
过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．
最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，
所求面积最小的圆方程为：，
故选：C．
4.已知，则（）
A. B. C. D.
【详解】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，故A错误；
对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故对称的点的坐标为，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C正确；
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】设等比数列的公比为，则，可得，
因为，即，解得，，A错；
，B对；
，D对；
，
，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用渐近线的斜率，求出，，进而利用相似和求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于的方程，求出离心率即可
【详解】因为双曲线渐近线方程为，所以，如图，在直角三角形中，，，又因为
故，，过、A分别作的垂线，垂足分别为、，
则由得：，又，故，
，即函数为偶函数，
，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，
由，可得，得，
即，解得 .
故选：D.
7.已知数列满足，（，），定义：使乘积为正整数的（）叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为（）
A 2046B. 4083C. 4094D. 2036
【答案】D
【解析】
D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.
【详解】依题意，，
A，设，，则，
为定值，A正确．
B，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：
则，B错误．
C，若△ 的面积最大时，，P位于椭圆上顶点或下顶点，，，C正确．
D，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，光线通过的总路程为，D错误．