江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学 Word版含解析
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【详解】解：对于A：当直线的倾斜角 时，直线的斜率不存在， 无意义，故A错误；
对于B：设点 关于直线 对称的点的坐标为 ，则 ，解得 ，故对称的点的坐标为 ，故B正确；
对于C：圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，所以圆心之间的距离 ，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C正确；
，即函数 为偶函数，
，当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
由 ，可得 ，得 ，
即 ，解得 .
故选：D.
7.已知数列 满足 ， （ ， ），定义：使乘积 为正整数的 （ ）叫做“幸运数”，则在 内的所有“幸运数”的和为（）
A 2046B. 4083C. 4094D. 2036
【答案】D
【解析】
2.已知等差数列 中， ， ，则 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列性质得到 ， ，得到答案.
【详解】 ， ，则 ，故 ，
.
故选：C.
3.经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方程是（）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
【分析】利用换底公式与叠乘法把 化为 ，然后根据 为整数，可得 ，最后由等比数列前 项和公式求解．
【详解】解： ， ，
，
又 为整数，
必须是2的 次幂 ，即 ．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
8.过双曲线 （ ， ）的右焦点 作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲线离心率 等于（）
D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.
【详解】依题意 ， ，
A，设 ， ，则 ，
为定值，A正确．
B，若椭圆 上存在点 使 ，设 为上顶点，如图：
则 ，B错误．
C，若△ 的面积最大时， ，P位于椭圆上顶点或下顶点， ， ，C正确．
D，结合椭圆的定义可知，光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 ，D错误．
故选：AC.
12.已知 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是（）
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项．
A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；
B：由椭圆性质知，当M为上下顶点时， 最大，保证最大这个角大于或等于90°，则在椭圆上存在点M满足题意；
C：当P为上顶点或下顶点时， 面积最大，结合几何关系即可求此时离心率；
【详解】设 ， ， ．
由题意得抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ．
因为 ，
所以点 是 的重心，故 ，
．
故选：A．
6.已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知函数 为偶函数，且在 上为增函数，由已知可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆 配方可得 ，
圆心坐标为 ，半径为2，
弦心距 ，弦长为 ，
过圆 的圆心和直线 垂直的直线方程为 ，即 ．
最小的圆的圆心为 与直线 的交点，解方程组可得 ， ，
所求面积最小的圆方程为： ，
故选：C．
4.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到导函数，计算 ，再代入 计算得到答案.
详解】 ，则 ， ， .
， .
故选：B
5.设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上三点，若 ，则 （）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ．由 ，得 是 的重心，从而求得 ，然后由焦半径公式求得结论．
2021-2022学年度高二数学12月月考卷
一、单选题
1.已知直线l经过点 ，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式数形结合可得.
【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又 ，所以直线l的斜率满足 ．
故选：D.
，故可得点A的坐标为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
故选： ．
二、多选题
9.下列说法正确的有（）
A. 若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
B. 点 关于直线 的对称点为
C. 圆 与圆 可能内含、内切或相交
D. 若圆 与圆 相离，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为 ，依题意得到方程组，解得 、 ，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D；
故选：BCD.
11.已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）
A.若 、 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值
B.若椭圆 上存在点 使 ，则
C.若 的面积最大时， ，则
D.根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出等比数列 的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列 的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，可得 ，
因为 ，即 ，解得 ， ，A错；
，B对；
，D对；
，
，所以，数列 为单调递增数列，则 ，故 ，C对.
对于D：圆 圆心 ，半径为 ，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离，
因为 ，所百度文库 或 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：BC
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列命题正确的是（）
A.数列 的通项公式为 B.
C. 的取值范围是 D.数列 的通项公式
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用渐近线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和 求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于 的方程，求出离心率即可
【详解】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角形 中， ， ，又因为
故 ， ，过 、A分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
则由 得： ，又 ，故 ，
对于B：设点 关于直线 对称的点的坐标为 ，则 ，解得 ，故对称的点的坐标为 ，故B正确；
对于C：圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，所以圆心之间的距离 ，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C正确；
，即函数 为偶函数，
，当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
由 ，可得 ，得 ，
即 ，解得 .
故选：D.
7.已知数列 满足 ， （ ， ），定义：使乘积 为正整数的 （ ）叫做“幸运数”，则在 内的所有“幸运数”的和为（）
A 2046B. 4083C. 4094D. 2036
【答案】D
【解析】
2.已知等差数列 中， ， ，则 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列性质得到 ， ，得到答案.
【详解】 ， ，则 ，故 ，
.
故选：C.
3.经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方程是（）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
【分析】利用换底公式与叠乘法把 化为 ，然后根据 为整数，可得 ，最后由等比数列前 项和公式求解．
【详解】解： ， ，
，
又 为整数，
必须是2的 次幂 ，即 ．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
8.过双曲线 （ ， ）的右焦点 作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲线离心率 等于（）
D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.
【详解】依题意 ， ，
A，设 ， ，则 ，
为定值，A正确．
B，若椭圆 上存在点 使 ，设 为上顶点，如图：
则 ，B错误．
C，若△ 的面积最大时， ，P位于椭圆上顶点或下顶点， ， ，C正确．
D，结合椭圆的定义可知，光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 ，D错误．
故选：AC.
12.已知 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是（）
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项．
A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；
B：由椭圆性质知，当M为上下顶点时， 最大，保证最大这个角大于或等于90°，则在椭圆上存在点M满足题意；
C：当P为上顶点或下顶点时， 面积最大，结合几何关系即可求此时离心率；
【详解】设 ， ， ．
由题意得抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ．
因为 ，
所以点 是 的重心，故 ，
．
故选：A．
6.已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知函数 为偶函数，且在 上为增函数，由已知可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆 配方可得 ，
圆心坐标为 ，半径为2，
弦心距 ，弦长为 ，
过圆 的圆心和直线 垂直的直线方程为 ，即 ．
最小的圆的圆心为 与直线 的交点，解方程组可得 ， ，
所求面积最小的圆方程为： ，
故选：C．
4.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到导函数，计算 ，再代入 计算得到答案.
详解】 ，则 ， ， .
， .
故选：B
5.设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上三点，若 ，则 （）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ．由 ，得 是 的重心，从而求得 ，然后由焦半径公式求得结论．
2021-2022学年度高二数学12月月考卷
一、单选题
1.已知直线l经过点 ，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式数形结合可得.
【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又 ，所以直线l的斜率满足 ．
故选：D.
，故可得点A的坐标为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
故选： ．
二、多选题
9.下列说法正确的有（）
A. 若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
B. 点 关于直线 的对称点为
C. 圆 与圆 可能内含、内切或相交
D. 若圆 与圆 相离，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为 ，依题意得到方程组，解得 、 ，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D；
故选：BCD.
11.已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）
A.若 、 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值
B.若椭圆 上存在点 使 ，则
C.若 的面积最大时， ，则
D.根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出等比数列 的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列 的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，可得 ，
因为 ，即 ，解得 ， ，A错；
，B对；
，D对；
，
，所以，数列 为单调递增数列，则 ，故 ，C对.
对于D：圆 圆心 ，半径为 ，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离，
因为 ，所百度文库 或 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：BC
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列命题正确的是（）
A.数列 的通项公式为 B.
C. 的取值范围是 D.数列 的通项公式
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用渐近线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和 求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于 的方程，求出离心率即可
【详解】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角形 中， ， ，又因为
故 ， ，过 、A分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
则由 得： ，又 ，故 ，