2023届高三第一次八省八校T8联考高考数学试卷-含答案详解

绝密★启用前2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 复数z 满足1+zi +zi 2=|1−√3i|，则z = A. 1+iB. 12+12iC. −12−12iD. −12+12i2. 若集合M ={x|2x >4}，N ={x|log 3x ≤1}，则M ∪N =( ) A. {x|2<x ⩽3} B. {x|x >0} C. {x|0<x <2或x >2}D. R3. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“a n >0”是“{S n }是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2C. 方差是2.4，平均数是2D. 平均数是3，众数是25. 已知sin(α+π6)−cosα=12，则sin(2α+π6)=( ) A. −12B. 12C. −34D. 34……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为A. 136B. 43√3C. 1312D. 437. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R ，记g(x) = f(1+x)−x ，若f′(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f′(2023)=A. 2021B. 2022C. 2023D. 20248. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，直线l 过坐标原点并交椭圆于P ，Q 两点(P 在第一象限)，点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √33D. √63二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是面AB 1，面B 1D 1，面DA 1的中心，则下列结论正确的是A. NP//DC 1B. MN//平面ACPC. D 1C ⊥平面MNPD. PM 与BC 1所成的角是60∘10. 将函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图像向左平移π4个单位得到函数g(x)的图像，若g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称，则下列说法正确的有A. φ=π4 B. φ=−π4C. g(x)的对称轴过f(x)的对称中心D. ∀m ∈[−π4,π8]，∃n ∈[−π4,π8]，使得f(m)=g(n)11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且nS n =(n +1)S n−1+(n −1)n(n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)，若S 1=−50，则下列结论正确的有A. a 5>0B. 当n =4时，S n 取得最小值C. 当S n >0时，n 的最小值为7D. 当n =5时，Sn a n取得最小值12. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R ，若f′(x)−f(x)=x−sinxe x，f(0)=1，则下列结论正确的是A. f(1)>eB. f′(π2)<f(π2)C. 方程f′(x)=f(x)+12e 2有两个解D. f(x)在区间(0,π2)上单调递增第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(1−1x )(1+x)6展开式中x 3的系数为 ．14. .已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2|a ⃗ +b ⃗ |，(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角大小是 ．15. 若关于x 的不等式(lnx)2−axlnx >0有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围为 ．16. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y =bax 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO =π6，则双曲线的离心率为 ;又过点P 作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q ，且△OPQ 的面积S △OPQ =2√3，则该双曲线的方程为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知数列{lna n }是等差数列，记S n 为{a n }的前n 项和，{S n +a 1}是等比数列，a 1=1． (1)求a n ;(2)记b n =log 2a 2n−1+log 2a 2n ，求数列{(−1)n ⋅b n 2}的前10项和．18. (本小题12.0分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cos(A −C) +cosB =32． (1)求角A 、B 、C;(2)若b =2，延长BC 至D ，使△ABD 的面积为3√32，求sin∠CAD ．19. (本小题12.0分)……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进高中学生对党的二十大的理解，某校组织开展党的二十大知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，最终甲、乙两班进行到了最后决赛，决赛采取五局三胜制，约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛中必决出胜负，每一局若甲班先答题，则甲获胜的概率为23，若乙班先答题，则甲获胜的概率为12，每一局输的一方在接下来的一局中先答题，第一局由乙班先答题． (1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;(2)若规定每一局比赛中胜者得2分，负者得0分，记X 为比赛结束时甲班的总得分，求随机变量X 的分布列和数学期望．20. (本小题12.0分)如图(1)，菱形ABCD 中，∠ABC =120∘，动点E ，F 分别在边AD ，AB 上(不含端点)，且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图(2)所示．(1)当λ为何值时，BF ⊥PD;(2)若直线PC 与平面BCDEF 所成角的正切值为13，求平面PEF 和平面PBD 夹角的大小．21. (本小题12.0分)已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线与x 轴的交点为H ，直线过抛物线C 的焦点F 且与C 交于A ，B 两点，△HAB 的面积的最小值为4． (1)求抛物线C 的方程;(2)若过点Q(174,1)的动直线l 交C 于M ，N 两点，试问抛物线C 上是否存在定点E ，使得对任意的直线l ，都有EM ⊥EN ，若存在，求出点E 的坐标;若不存在，则说明理由．22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=e x −x +e 3a ，其中−65≤a <3e 3−1，函数f(x)在(0,+∞)上的零点为x 0，函数g(x)={x +a −x−ae x ,0⩽x ⩽x 0,(1−x )lnx −a(x +1),x >x 0.(1)证明： ①3<x 0<4; ②函数g(x)有两个零点;(2)设g(x)的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：e x 2−x2e x 1−x 1>e x 1+x 22．(参考数据：e ≈2.72，e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.1)答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．【解答】解：由1+zi+zi2=|1−√3i|可得(i−1)z=1，∴z=1i−1=−12−12i，故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的并集计算，属于基础题．【解答】解：M={x|x>2}，N={x|0<x⩽3}，故M∪N={x|x>0}，故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，充要条件的判断，属于基础题．【解答】解：若a n>0，则S n>S n−1，∴S n是递增数列，∴“a n>0”是“{S n}是递增数列”的充分条件;若{S n}是递增数列，则S n>S n−1，∴a n>0(n≥2)，但是a1的符号不确定，∴“a n>0”不是“{S n}是递增数列”的必要条件，故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的应用，属于中档题．【解答】解：选项A:有可能出现点数6，例如2，2，3，4，6;选项B :有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6;选项C :不可能出现点数6，∵15×(6−2)2=3.2，如果出现点数6，则方差大于或等于3.2，不可能是2.4;选项D :有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6，故选C ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，属于基础题． 【解答】解：∵sin(α+π6)−cosα=√32sinα−12cosα=sin(α−π6)=12，∴sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin 2(α−π6)=12，故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查圆台的结构特征，球的表面积，属于基础题． 【解答】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径R ，母线长为l ，球的半径为R 0， ∵球与圆台的两个底面和侧面均相切，∴l =r +R =1+3=4，R 02=1×3=3，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为S侧S 表=π(r+R)⋅l 4πR02=π(1+3)×44π×3=43，故选D ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，导函数的应用，属于较难题． 【解答】解：∵g(x)为偶函数，∴g(x)=g(−x)，即f(1+x)−x =f(1−x)+x ， 两边同时对x 求导得f′(1+x)−1=−f′(1−x)+1， 即f′(1+x)+f′(1−x)=2，令x =0，则f′(1)=1，∵f′(x)为奇函数，∴f′(−x)=−f′(x)，又f′(1+x)+f′(1−x)=2，即f′(x)=2−f′(2−x)，联立f′(−x)=−f′(x)得−f′(−x)=2−f′(2−x)，即f′(x +2)=f′(x)+2， ∴f′(2023)=f′(2×1011+1)=f′(1)+2×1011=2023，故选C ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查椭圆的离心率，属于较难题． 【解答】解：依题意，设P(x 1,y 1)，Q(−x 1,−y 1)，B(x 2,y 2)，A(2x 1,0)，直线PQ 、QB(QA)、BP 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2=0−(−y 1)2x 1−(−x1)=y 13x 1=13k 1，k 1k 3=−1，∴k 2k 3=−13， ∵x 12a 2+y 12b2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b2=0，∴(y 1+y 2)(x 1+x 2)⋅(y 1−y 2)(x 1−x 2)=−b2a 2，即k 2k 3=−b2a2，∴−b 2a2=−13，∴b 2a2=13，∴e 2=c 2a 2=1−b 2a2=23， ∴椭圆的离心率e =√63，故选D ．9.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，属于中档题． 【解答】解：连接A 1C 1，A 1D ，则NP 是△A 1C 1D 的中位线， ∴NP//DC 1，故选项A 正确;连接B 1D 1，B 1A ，则MN//AD 1，∴MN//平面ACD 1，即MN//平面ACP ，故选项B 正确; 连接B 1D 1，B 1A ，AD 1，则平面MNP 即为平面B 1AD 1，显然D 1C 不垂直平面B 1AD 1，故选项C 错误;……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵PM//BD ，∴∠DBC 1即为PM 与BC 1所成的角，∠DBC 1=60∘，故选项D 正确.故选ABD ．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数对称性的应用，三角函数值域的应用，属于中档题． 【解答】解：方法一：将f(x)=sin(2x +φ)的图像向左平移π4个单位得到g(x) =sin[2(x +π4)+φ]=sin(2x +π2+φ)的图像，∵g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称， ∴g(0)=f(0)，即cosφ=sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=π4，经检验，满足题意，故选项A 正确，选项B 不正确;设f(x)的周期为T ，∵g(x)的图像是f(x)的图像向左平移T4个得到，∴g(x)的对称轴过f(x)的对称中心，故选项C 正确;当m ∈[−π4,π8]时，f(m)的值域为[−√22,1]，当n ∈[−π4,π8]时，g(n)的值域为[0,1]，[−√22,1,]̸⊄[0,1]，故选项D 不正确.故选AC ．方法二：由题意可得g(x)=sin[2(x +π4)+φ]=sin(2x +π2+φ)， ∵g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称，∴g(x)=f(−x)， 即sin(2x +π2+φ)=sin(−2x +φ)， ∴2x +π2+φ=π+2x −φ+2kπ，k ∈Z ，解得φ=kπ+π4，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ=π4，故选项A 正确，选项B 不正确;f(x)=sin(2x +π4)，令2x +π4=kπ，k ∈Z ，得f(x)的对称中心为(kπ2−π8,0)，k ∈Z ，g(x)=sin(2x +34π)，令2x +34π=kπ+π2，k ∈Z ，得g(x)的对称轴为x =kπ2−π8，k ∈Z ，∴g(x)的对称轴过f(x)的对称中心，故选项C 正确;选项D 的判断同上．11.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查数列的相关知识，属于中档题． 【解答】解：由nS n = (n +1)S n−1 +(n −1) n ⋅(n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)得S n n+1−Sn−1n=n −1(n ≥2,n ∈N ∗)∴S 23−S 12=1，S 34−S 23=2，⋯，S n n+1−Sn−1n=n −1，累加得S n n+1−S 12=n(n−1)2，解得2S n =n 3−51n −50(n ≥2,n ∈N ∗)，当n =1时，S 1=−50满足上式，∴S n =n 3−51n−502，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n 2−3n−502，∴a 5=5>0，故选项A 正确;当n ≥2时，a n =3n 2−3n−502单调递增，又a 1=S 1=−50，a 2=S 2−S 1=−22，∴{a n }单调递增，且a 1<a 2<a 3<a 4<0<a 5<a 6<⋯⋯，∴当n ≤4时，{S n }单调递减，当n ≥5时，{S n }单调递增，且S 4<S 5， ∴当n =4时，S n 取得最小值，故选项B 正确;又S 7=73−51×7−502=−32<0，S 8=83−51×8−502=27>0，∴当S n >0时，n 的最小值为8，故选项C 错误;当n =1，2，3，4时，S n a n>0;当n =5，6，7时，S n a n<0;当n ≥8时，Sna n>0，∴当n =5，6，7时，考虑Sn a n的最小值，又当n =5，6，7时，1a n恒为正且单调递减，S n 恒为负且单调递增，∴S n a n单调递增，∴当n =5时，Sn a n取得最小值，故选项D 正确，故选ABD ．12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决函数零点问题，比较大小，属于难题． 【解答】解：由题意得[f(x)e x ]′=x−sinxe 2x ， 设F(x)=f(x)ex ，则F′(x)=x−sinxe 2x ， 易得当x <0时，F′(x)<0，当x >0时，F′(x)>0， ∴函数F(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴F(0)<F(1)，即f(0)e 0<f(1)e ，∴f(1)>e ，选项A 正确; ∵f′(π2)−f(π2)=π2−sin π2e n 2>0，∴f′(π2)>f(π2)，选项B 错误;设ℎ(x)=f′(x)−f(x)=x−sinxe x，则ℎ′(x)=(x−sinxe x )′=1−cosx−x+sinxe x，设r(x)=1−cosx −x +sinx ，则当x ≥π时，r(x)=(1−x)+ (sinx −cosx)<(1−π) +2<0; 当x ≤0时，sinx ≥x ，且1−cosx ≥0，∴r(x)≥0; 当0<x <π时，r′(x)=sinx −1+cosx =√2sin(x +π4)−1， 当x ∈(0,π2)时，r′(x)>0，∴r(x)单调递增， 当x ∈(π2,π)时，r′(x)<0，∴r(x)单调递减， 又∵r(0)=0，r(π)=2−π<0， ∴∃x 0∈(π2,π)，使得r(x 0)=0，即当x ∈(0,x 0)时，r(x)>0，当x ∈(x 0,π)时，r(x)<0;综上：当x ∈(−∞,x 0)时，r(x)≥0，即ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)单调递增; 当x ∈(x 0,+∞)时，r(x)<0，即ℎ′(x)<0， ∴ℎ(x)单调递减，∵ℎ(0)=0，∴当x <0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0 当x >0时，易证x >sinx ，∴ℎ(x)>0， 且当x →+∞时，ℎ(x)→0， 又∵x 0∈(π2,π)，ℎ(π2)=π2−1e π2>32−1e 2=12e 2，∴方程ℎ(x)=12e 2有两个解，即方程f′(x)=f(x)+12e 2有两个解，选项C 正确; 由F(x)=f(x)ex 可得f(x)=e x ⋅F(x)∴f′(x)=e x [F(x)+F′(x)]，令u(x)=F(x)+F′(x)，则u′(x)=F′(x)+[F′(x)]′=x−sinx e 2x +[x−sinxe 2x]′=x−sinxe 2x +1−cosx−2(x−sinx)e 2x=r(x)e 2x ，由以上分析可知，当x ∈(0,π2)时，r(x)>0，即u′(x)>0， ∴u(x)单调递增，∴u(x)>u(0)=F(0)+F′(0)=1，∴f′(x)>0， ∴f(x)在区间(0,π2)上单调递增，选项D 正确.故选ACD ．13.【答案】5【解析】 【分析】本题考查二项式定理的特定项的系数，属于基础题． 【解答】解：(1−1x )(1+x)6=(1+x)6−1x(1+x)6，展开式中x 3的系数为C 63−C 64=5．14.【答案】56π【解析】 【分析】本题考查根据向量数量积求夹角，属于基础题． 【解答】解：方法一：作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，由题意OA ⊥OB 且|AB|=2|OB|，∴∠OAB =π6，∴a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为56π．方法二：由|b ⃗ |=2|a ⃗ +b ⃗ |平方得|b ⃗ |2=4(|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2)， ∵(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−|a|2，代入|b ⃗ |2=4(|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b⃗ +|b ⃗ |2) 得|b ⃗ |=2√33|a ⃗ |，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗⃗⃗⃗|=−√32，∴a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为56π．15.【答案】[ln22,ln33) 【解析】 【分析】本题考查利用导数解不等式，属于难题． 【解答】解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx 2， 当x ∈(0,e)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增; 当x ∈(e,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减，且当x ∈(0,1)时，f(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0， 方法一：原不等式等价于 {x >1,lnx x >a,或{0<x <1,lnx x<a,∵有且只有一个整数解，∴f(2)≤a <f(3) 即实数a 的取值范围为[ln22,ln33). 方法二：原不等式等价于(lnx x)2−a ⋅lnx x>0，若a >0，则lnx x>a 或lnx x<0，lnx x<0显然没有整数解，要满足lnx x>a 有且只有一个整数解，又f(4)=ln44=ln22=f(2)<f(3)，则f(2)⩽a <f(3)，可得ln22≤a <ln33;若a <0，则lnx x>0或lnxx <a ，lnxx >0有无数多个整数解，lnxx <a 没有整数解，若a =0，不等式显然有无穷多个整数解， 综上，实数a 的取值范围为[ln22,ln33).16.【答案】√213x 23−y 24=1【解析】 【分析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，双曲线的渐近线与离心率，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于难题． 【解答】解：方法一：设∠POF 2=α，则有tanα=ba ，又F 2P 垂直于渐近线y =ba x ，∴|OP|=a ，|PF 2|=b ，∴sinα=bc，cosα=a c ， 在△OF 1P 中，由正弦定理：asin (α−30∘)=csin30∘，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴a b c ⋅√32−a c ⋅12=2c1，∴a =√3b −a ，∴2a =√3b ，∴a =√32b ， ∴e =ca=√a 2+b2a 2=√213．方法二：依题意可得P(a 2c ,ab c)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∴|PF 1|=√(a 2+c 2c )2+(abc )2=√3a 2+c 2， 又|PO|=a ，|OF 1|=c ，在△OPF 1中，|OF 1|2=|PF 1|2+|PO|2−2⋅|PO|⋅|PF 1|⋅cos∠F 1PO =3a 2+c 2， 即c 2=3a 2+c 2+a 2−2⋅a ⋅√3a 2+c 2⋅√32，化简得3c 2=7a 2，∴e =c a=√73=√213，如图，过P 点的切线PQ 与双曲线切于点M(x 0,y 0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 又P ，Q 均在双曲线的渐近线上，故设P(x 1,ba x 1)，Q(x 2,−ba x 2)， 又tanα=ba，∴sin2α=2tanα1+tan 2α=2⋅ba1+(b a )2=2aba 2+b2，∴S △POQ =12|OP||OQ|sin2α=12⋅√x 12+(b a x 1)2⋅√x 22+(−b a x 2)2⋅2ab a 2+b2=b a |x 1x 2|，过M 点的切线PQ:x 0x a 2−y 0yb2=1，即y =b 2x 0x y 0a 2−b2y 0，代入b 2x 2−a 2y 2=0，化简得(a 2y 02−b 2x 02)x 2+2a 2b 2x 0x −a 4b 2=0，又b 2x 02−a 2y 02=a 2b 2，∴−a 2b 2x 2+2a 2b 2x 0x −a 4b 2=0， 即x 2−2x 0x +a 2=0，∴x 1x 2=a 2， ∴S △POQ =b a |x 1x 2|=ab =√32b ⋅b =2√3， ∴b 2=4，∴b =2，a =√3，故双曲线的方程为x 23−y 24=1．17.【答案】解：(1)由题意得2lna 2=lna 1+lna 3，∴a 22=a 1⋅a 3，又{S n +a 1}是等比数列， ∴(S 2+a 1)2=(S 1a 1)⋅(S 3a 1)，∵a 1=1，∴{a 22=a 3,(a 2+2)2=2(2+a 2+a 3),∴a 22−2a 2=0，又a n >0，故a 2=2，又{lna n }是等差数列，故{a n }为等比数列，首项a 1=1，公比q =a2a 1=2， ∴{a n }的通项公式为a n =2n−1． (2)∵a n =2n−1，∴b n =log 2a 2n−1log 2a 2n =log 222n−1−1log 222n−1=2n −2+2n −1=4n −3，令C n =(−1)n ⋅b n 2，则C 2n−1+C 2n =−b 2n−12+b 2n 2=(b 2n b 2n−1)(b 2n −b 2n−1)=4(b 2n +b 2n−1)(n ∈N ∗)，记{C n }的前n 项和为T n ， ∴T 10=(C 1+C 2)⋯(C 9+C 10)=4(b 1+b 2+⋯+b 10)=4×(1+37)×102=760，∴数列{(−1)n ⋅b n 2}的前10项和为760．【解析】本题考查分组求和法，属于中档题．18.【答案】解：(1)由A +B +C =π，∴A +C =π−B ，cosB =−cos(A +C)，∴cos(A −C)−cos(A +C)=32，∴sinA ⋅sinC =34， 又a ，b ，c 成等比数列，故b 2=ac ，∴sin 2B =sinA ⋅sinC =34，∴sinB =√32，方法一：∴|cosB|=12，又cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac 2ac≥2ac−ac 2ac =12，当且仅当a =c 时，等号成立，∴cosB =12，a =c ，又0<B <π，∴A =B =C =π3．方法二：若B =π3，则cosB =12，代入cos(A −C)+cosB =32，则cos(A −C)=1， ∵0<A <π，0<C <π，∴A =C =π3若B =2π3，则cosB =−12，代入cos(A −C)+cosB =32，则cos(A −C)=2(舍)， 综上A =B =C =π3．(2)∵b=2，∴|AB|=2，∴S△ABD=12⋅|AB|⋅|BD|⋅sin60∘，即12×2⋅|BD|⋅√32=3√32，∴|BD|=3，∴|CD|=1，由余弦定理;在△ACD中，|AD|2=|AC|2+|CD|2−2|AC|⋅|CD|cos∠DCA=22+12−2×2×1×(−12)=7，又由正弦定理：|AD|sin120∘=|CD|sin∠CAD，∴√7√32=1sin∠CAD，∴sin∠CAD=√32√7=√32√7=√2114．【解析】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式，等比数列的性质，属于中档题．19.【答案】解：记A i(i=1,2,3,4,5)表示“第i局甲获胜”，(1)设A表示“比赛一共进行了四局并且甲班最终获胜”，则事件A包括三种情况：A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4，这三种情况互斥，且A1，A2，A3，A4相互独立，∴P(A)=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2⋅A3A4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=12×23×12×12+12×12×23×12+12×12×12×23=14．(2)由题意，X的所有可能取值有0，2，4，6，P(X=0)=P(A1A2A3)=12×13×13=118，P(X=2)=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4)=12×12×13×13+12×23×12×13+1 2×13×23×12=536，P(X=4)=P(A1A2A3A4A5+A1A2A3A4 A5+A1A2A3A4A5+A1A2A3A4A5+A1A2A3⋅A4A5+A1A2A3A4A5)=12×12×12×13×13+12×12×23×12×13+12×12×13×23×12+12×23×12×12×13+12×23×12×23×12+12×13×23×12×12=1372;P(X=6)=1−P(X=0)−P(X=2)−P(X=4)=1−118−536−1372=58;∴X的分布列为：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………X 0 2 4 6P118 536 1372 58∴E(X)=0×118+2×536+4×1372+6×58=194．【解析】本题考查相互独立事件与互斥事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵菱形ABCD 中，∠ABC =120∘，故∠A =60∘，AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴EF//BD,∴△PEF 也是等边三角形，∵平面PEF ⊥平面BCDEF ，取EF 的中点O ，则PO ⊥EF ，且PO ⊥平面BCDEF ，连接DO ，由BF ⊥PD ，而PO ⊥BF ，DO ∩PO ， ∴BF ⊥平面POD ，∴BF ⊥OD ， 延长DO 交AB 于点N ，则DN ⊥AB ， 又∵AO ⊥BD ，∴O 为△ABD 的重心，又O 点在EF 上，EF//BD ，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即λ=23． (2)方法一：由(1)连接CO ，设△ABD 边长为a ，则|PO|=√32λa ，|CO|=√32(2−λ)a ，∵PO ⊥平面BCDEF ，∴直线PC 与平面BCDEF 所成角为∠PCO ， ∴tan∠PCO =|PO||CO|=λ2−λ=13，解得λ=12， ∴EF 是△ABD 的中位线，在棱锥P −BCDEF 中，设OC 与BD 相交于M 点，连接PM ， 又设平面PEF ∩平面PBD 于直线l ，则l 过点P ， ∵EF//BD ，EF ⊄平面PBD ， ∴EF//平面PBD ，又平面PEF ∩平面PBD 于直线l ，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴EF//l ，同理l//BD ， 由上可知PO ⊥EF ，CO ⊥EF ， ∴EF ⊥平面POM ，∴l ⊥平面POM ，∴∠OPM 就是平面PEF 和平面PBD 所成二面角的平面角，又PO =OM ，且PO ⊥OM ，∴∠OPM =45∘，即平面PEF 与平面PBD 的夹角为45∘． 方法二：以O 为坐标原点，以OF ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设菱形ABCD 边长为2，则P(0,0,√3λ)，E(−λ,0,0)，F(λ,0,0)，B(1,√3−√3λ,0)，D(−1,√3−√3λ,0)，C(0,2√3−√3λ,0)，∵PO ⊥平面BDEF ，∴∠PCO 即为PC 与平面BCDEF 所成的角，∴tan∠PCO =|PO||OC|=√3λ2√3−√3λ=13，解得λ=12，∴OC ⊥平面PEF ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,0)即为平面PEC 的法向量．设平面PBD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x =0,x +√32y −√32z =0, 取n ⃗ =(0,1,1)，则cos <OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗⃗⃗|=√22，∴<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=45∘， ∴平面PEF 与平面PBD 的夹角为45∘．【解析】本题考查空间向量求二面角，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，AB 斜率不为零，设AB:x =λy +p2代入y 2=2px(p >0)， ∴y 2−2pλy −p 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pλ，y 1y 2=−p 2，∴S △HAB =12⋅p|y 1−y 2| =12⋅p ⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12p ⋅√4p 2λ2+4p 2=p 2√λ2+1，∴当λ=0时，S △HAB 取最小值p 2，∴p 2=4，∴p =2，抛物线C 的方程为：y 2=4x ． (2)假设存在E(x 0,y 0)，设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，由题意，MN 斜率不为零， 设MN 的方程为x =t(y −1)+174代入y 2=4x ，可得y 2−4ty +4t −17=0，∴{y 3+y 4=4t,y 3⋅y 4=4t −17, ∴y 0−y 3x 0−x 3⋅y 0−y4x 0−x 4=−1，∴4(y 0+y 3)⋅4(y 0+y 4)=−1， ∴y 02+(y 3+y 4)y 0+y 3y 4+16=0， ∴y 02+4ty 0+4t −1=0，即4t(y 0+1)+y 02−1=0，∴{y 0+1=0,y 02−1=0,解得y 0=−1，故存在定点E(14,−1)满足题意．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的方程，属于较难题．22.【答案】解：(1) ①∵f′(x)=e x −1，当x >0时，e x >1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)单调递增，∵−65≤a <3e 3−1，∴f(3)=e 3−3+ae 3<e 3−3+e 3(3e 3−1)=0， f(4)=e 4−4+ae 3≥e 4−4−65e 3≈7.392−4−65×20.09>0， ∴f(x)存在唯一的零点x 0，且3<x 0<4． ②当0≤x ≤x 0时，g(x)=x +a −x−a e x ， g′(x)=1−1−x+a e x=e x −1+x−ae x，∵x >0，a <0，∴e x −1>0，x −a >0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0,x 0)单调递增，∵3<x 0<4，∴g(x 0)>g(3)=3+a −3−a e 3≥3−65−3+65e 3=9e 3−215e 3≈9×20.09−215×20.09>0，又∵g(1)=1+ a −1−a e =1−1e +a(1+1e )<1−1e +(3e 3−1)(1+1e )=3+3e−2e3e 4≈ 3+3×2.72−2×20.09e 4<0，∴g(x)在[1,x 0]有唯一的零点，(注：取g(0)<0也可以);当x >x 0时，g′(x)=−lnx +1x −1−a <−lnx 0+1x 0−1−a <−ln3+13−1+65=815−ln3≈815−1.1<0，∴g(x)在(x 0,+∞)单调递减，∴g(4)=−3ln4−5a >−3ln4−5(3e 3−1)=5−3ln4−15e 3≈0.11>0， g(e 2)=2(1−e 2)−a(e 2+1)≤2(1−e 2)+65(e 2+ 1)=16−4e 25≈16−4×7.395<0，∴g(x)在(x 0,+∞)有唯一的零点， 综上，函数g(x)有两个零点．(2)由(1)可知g(x 1)=g(x 2)=0，其中1<x 1<x 0<x 2，由g(x 1)=0得x 1+a −x 1−ae x 1=0，即x 1−a(e x 1+1)−x 1e x 1=0，由g(x 2)=0得lnx 2−a(x 2+1)−x 2lnx 2=0， 设ℎ(x)=lnx −a(x +1)−xlnx ，则ℎ(x 2)=ℎ(e x 1)=0， ∵1<x 1<x 0<x 2，∴e x 1>e ，x 2>x 0>e ，而x >e 时，ℎ′(x)=1x−a −lnx −1<1e−a −2≤1e+65−2=1e−45<0， ∴ℎ(x)在(e,+∞)单调递减，∴x 2=e x 1，要证e x 2−x 2e x 1−x 1>e x 1+x 22，即证e x 2−e x 1x 2−x 1>e x 1+x 22， 即证e x 2−e x 1e x 1+x 22>x 2−x 1，即证ex 2−x 12−e x 1−x 22>x 2−x 1，设x 2−x 12=t ，则即证e t −e −t >2t ，设ℎ(t)=e t −e −t −2t ，t >0，则ℎ′(t)=e t +e −t −2>2−2=0， ∴当t >0时，ℎ(t)单调递增， ∴ℎ(t)>ℎ(0)=0，即证．【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式，属于难题．。