(新课标)高考数学一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 9-7 二项分布、正态分布
高考数学一轮总复习 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合课件 理 新人教版
的排法共有
()
A．24 种
B．60 种
C．90 种
D．120 种
解析：可先排 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件
的排法共 A35＝60(种)．
答案：B
2．(教材习题改编)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则
甲、乙两人所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( )
解析：由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即 3x2－17x＋10＝0，解得 x＝5 或 x＝23(舍去)，∴x＝5. 答案：5
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加社区服 务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种 数为________．(用数字作答) 解析：法一：依题意可得 C21×C34＋C22×C24＝8＋6＝14， 故满足要求的方案有 14 种． 法二：6 人中选 4 人的方案有 C46＝15 种，没有女生的 方案只有 1 种，所以满足要求的方案有 14 种． 答案：14
生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参
考点一 排列问题 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2015·山西模拟)A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆
桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的
椅子上，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐
剩余的三把椅子，则不同的座次有
()
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
制，排列后再除以定序元素的全排列
2．解决排列类应用题的 3 种策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素 或特殊位置． (2)分排问题直排法处理． (3)“小集团”排列问题采用先集中后局部的处理方法．
高考数学一轮总复习 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合课件 理 新人教版
解析：由题知有 2 门 A 类选修课，3 门 B 类选修课，从 中选出 3 门的选法有 C35＝10 种．两类课程都有的对立 事件是选了 3 门 B 类选修课，这种情况只有 1 种．满足 题意的选法有 10－1＝9 种． 答案：C
2．四面体的一个顶点为 A，从其他顶点与各棱的中点中取 3
个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有( )
1．(2015·山西模拟)A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆
桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的
椅子上，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐
剩余的三把椅子，则不同的座次有
()
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
解析：由题知，不同的座次有 A22A44＝48 种．
A．12 种
B．16 种
C．24 种
D．48 种
解析：依题意得知，满足题意的选法共有 C14·C13·C12＝24 种． 答案：C
3．(教材习题改编)已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则 Cm8 ＝________.
解 析 ： 由 已 知 得 m 的 取 值 范 围 为 m|0≤m≤5，m∈Z ， m！55－ ！m！－m！66－！m！＝7×71－0×m7！！m！，整理可得 m2－23m＋42＝0，解得 m＝21(舍去)或 m＝2.故 Cm8 ＝C28＝28. 答案：28
A．24 种
B．60 种
C．90 种
D．120 种
解析：可先排 C，D，E 三人，共 A35种排法，剩余 A，
B 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件
的排法共 A35＝60(种)．
答案：B
2．(教材习题改编)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：第九章 计数原理、概率与统计 9.9
������曲边多边形������������������������������ ������四边形������������������������
2 3 1.
【参考答案】 B
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-15-
解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元素,必要时可根据题意构 造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-12-
【变式训练】
1.已知函数
f(x)=log2x,x∈
1 2
,2
,若在区间
1 2
,2
上随机取一点
x0,则使得
f(x0)≥0
的
概率为
.
1.
2 3
【解析】由������ ∈
1 2
,2
, 且解不等式得 log2������ ≥ 0 得������ ∈ [1,2], 则使得������(������0) ≥
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-16-
2015·福州期末考试)如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图
中阴影部分的概率为 ( ) A.1 B.2
ππ
C.3 D.1
π2
B 【解析】阴影部分的面积为
π 2
0
cos ������d������
=
sin ������
×3×1 3× 2
=
1 4
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布9-2
解析：(1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 1 2 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C3· C4· A2＝36(种)，或列式 4×3 1 2 1 为 C3· C4· C2＝3× 2 ×2＝36(种)． 故选 D. (2)①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数 3 1 4 为 C5· C4· A4＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A4 5 ＝120. 故符合题意的四位数一共有 960＋120＝1 080(个)．
从12人中选出512种选法从除去男生甲和女生乙外的10人中任选310种选法所以男生甲和女生乙不能同时入选的选法有c1067212017新课标全国卷安排3名志愿者完成4工作每人至少完成1项每项工作由1人完成则不同的安排方式共有22017天津卷用数字123456789组成没有重复数字且至多有一个数字是偶数的四位数这样的四位数一共有个
(3)组合数公式 m n！ A n nn－1n－2„n－m＋1 m Cn ＝⑨Am＝ ＝ . m！ m！n－m！ m (4)组合数的性质 m n －m 性质 1：Cn ＝ Cn . m m －1 m 性质 2：Cn＋1＝Cn ＋Cn (m≤n，n∈N*，m∈N*)．
二、必明 3●个易误点 1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重 复计数． 2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间 接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复． 3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好” 等词的含义．
5．(2017· 浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少 有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
第9章 第1节 计数原理与排列组合-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►规律方法 解决组合应用题的方法
(1)“ 含 有 ” 或 “ 不 含 有 ” 某 些 元 素 的 组 合 题 型 ： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类 题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直 接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
[例 2－1] 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不 同的排队方案的方法种数．
(3)全体站成一排，男、女各站在一起； 288 (4)全体站成一排，男生不能站在一起． 1440
[自主解答](3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起， 是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生 的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，
_m__×__n__种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相
互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法
计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个
步骤都完成了才算完成这件事． 4．排列与组合的概念
名称
定义
从 n 个不同元素中 按照_一__定__的_顺__序__排成一
m！（n－m）！
性质 (3)0！＝1_；Ann＝_n_! (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_nm_＋__C_mn_－_1 __
教材拓展
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列； 如果与顺序无关，则是组合．
近年届高考数学一轮复习第9单元计数原理、概率、随机变量及其分布作业理(2021年整理)
2019届高考数学一轮复习第9单元计数原理、概率、随机变量及其分布作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第9单元计数原理、概率、随机变量及其分布作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第9单元计数原理、概率、随机变量及其分布作业理的全部内容。
第九单元计数原理、概率、随机变量及其分布课时作业（五十五）第55讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础热身1.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有(）A。
8种B。
15种C.35种D.53种2。
［2017·南阳六校联考］从集合｛0，1,2,3，4,5}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+b i，其中虚数有（）A。
36个B.30个C.25个D。
20个3.[2017·南昌二模］为便民惠民,某通信运营商推出“优惠卡活动".其内容如下:卡号的前七位是固定的,后四位从“0000”到“9999”共10 000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6"或“8"的一律作为“优惠卡"，则“优惠卡”的个数是（)A.1980 B。
4096C。
5904 D.80204.已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c∈{0，1，2｝，则不同的二次函数的个数是（)A。
256 B.18C.16D.105.［2017·雅安三诊］设a，b,c∈｛1,2，3，4,5，6}，若以a,b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有个。
届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课
变式训练1 (1)随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
2 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____3____。
解析 由题意知2a＋b＝b＋a＋c＝c，1，
则 2b＝1－b，则 b＝31，a＋c＝23，
所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝32。
(2)在例1(2)中条件不变的情况下，求Y＝2X＋1的分布列。 解 列表
X
0
1
2342Fra bibliotek＋11
3
5
7
9
∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＝0.2，
P(Y＝3)＝P(X＝1)＝0.1，
P(Y＝5)＝P(X＝2)＝0.1，
P(Y＝7)＝P(X＝3)＝0.3，
P(Y＝9)＝P(X＝4)＝0.3。
因此，Y＝2X＋1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
考点二 离散型随机变量的分布列
X
1
2
3
4
P
1 6
1
1
3
6
p
则 p＝( )
1 A.3
解析
1
1
1
B.2
C.4
D.6
由概率分布列的性质可知16＋13＋16＋p＝1，解得 p＝13。
答案 A
3．袋中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后，若取得黑球
则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止。若取球的次数为X，则表示
“放回5个红球”事件的是( )
基础自测
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_4古典概型课件理新人教A版
考点二|古典概型计算较复杂事件的概率 (方法突破) 【例2】 (2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别 为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活 动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同 学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
4．(必修3·习题3.2B组改编)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则
甲被选中的概率为
．
答案：23
考点一|古典概型的简单应用 (思维突破)
【例1】 (1)(2017·高考山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机
抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，
那么每一个基本事件的概率都是
1 n
；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件
A的概率P(A)＝mn .
[三基自测]
1．(必修3·习题3.2A组改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取
2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )
跟踪训练 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字2,3，这三张卡片除标记 的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数 字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
高考数学一轮总复习 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第4节 随机事件的概率课件 理 新人教版
“厨余垃圾”箱
厨余垃圾
400
可回收物
30
其他垃圾
20
“可回收物”箱 100 240 20
“其他垃圾”箱 100 30 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃厨圾余”垃箱圾里总厨量余垃圾量＝400＋410000＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投 放正确．事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾 量的总和除以生活垃圾总量，即 P( A )约为400＋1 204000＋60＝ 0.7，所以 P(A)约为 1－0.7＝0.3.
称作互斥事件
P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(B__) ，
(事件A，B是互斥事件)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝ _P_(A__1)_＋__P_(_A_2_)_＋__…__＋__P_(A__n_) (事件A1，A2，…，An任意 两个互斥)
在一个随机试验中，两
对立 事件
个试验不会同___时_发生， 并且一定有__一___个_发生的 事件A和 A 称为对立事
2．在运动会火炬传递活动中，有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火
炬手．若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号相连的
概率为
()
A．130
B．58
C．170
D．25
解析：从 1,2,3,4,5 中任取三个数的结果有 10 种，其中
选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，
④概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2024届高考数学大一轮复习配套讲义第九章计数原理与概率随机变量及其分布
2024届高考数学大一轮复习配套讲义第九章计数原理与概率随机变量及其分布一、计数原理与概率计数原理是概率论的基础，它通过数学方法统计事件发生的可能性。
常用的计数原理有排列、组合、分支法则等。
1.排列排列是从一组元素中选择若干个元素进行排列，排列可以有重复，也可以没有重复。
排列有两种情况，一种是从n个元素中选取m个进行排列，这种情况下，排列数用P(n,m)表示，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!；另一种是从n个元素中选取n个进行排列，这种情况下，排列数用P(n,n)表示，计算公式为P(n,n)=n。
2.组合组合是从一组元素中选择若干个元素进行组合，组合不考虑排列顺序，只考虑元素的选取。
从n个元素中选取m个进行组合，组合数用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!*m!]。
3.分支法则分支法则是指当一件事情分为若干个步骤时，每个步骤的选择数目是相互独立的，那么整个事情的选择数目就等于每个步骤的选择数目的乘积。
1.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，用来描述随机事件的数量特征。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量取有限或可数个值，连续随机变量取无限个值。
2.离散随机变量的分布列对于离散随机变量X，它的取值用x1、x2、..表示，概率用P(X=xi)表示，离散随机变量的概率分布列可以通过列出所有可能取值和对应的概率进行计算。
3.连续随机变量的密度函数对于连续随机变量X，它的取值无限多，因此不能列出所有可能取值和对应的概率。
连续随机变量的概率可以使用密度函数描述，密度函数是一个非负函数，且积分等于1、连续随机变量的概率可以通过概率密度函数在一些区间上的积分进行计算。
三、常见的离散分布1.二项分布二项分布是一种离散分布，它描述了n个独立重复试验中成功次数的概率分布。
记为B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中X表示成功次数。
2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_3随机事件的概率课件理新人教A版
至少有1个红球的概率为
．
答案：1
考点一|随机事件的关系 (易错突破) 【例1】 (1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩 具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出 现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
跟踪训练 (2018·沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、 乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×” 表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
(1)90分以上的概率： (2)不及格的概率：
； .
答案：(1)0.07 (2)0.1
2．(必修3·习题3.1A组改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰
有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少
有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的
[解析] (1)根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件 A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件． (2)从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)， (黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都 为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发 生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件． [答案] (1)D (2)A
第三节 随机事件的概率
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布9-9
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．(2018· 湖北黄冈调研)已知 6 只小白鼠中有 1 只感染了病毒，需 要对 6 只小白鼠进行病毒 DNA 化验来确定哪一只受到了感染． 下面是 两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为 止．方案乙：将 6 只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只 小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒 DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到 确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒 DNA，则在另 外一组中逐个进行化验． (1)求执行方案乙化验次数恰好为 2 次的概率； (2)若首次化验的化验费为 10 元，第二次化验的化验费为 8 元， 第三次及以后每次化验的化验费都是 6 元，求方案甲所需化验费的分 布列和期望．
6．两个常用结论 (1)均值与方差的关系 2 2 D(X)＝E(X )－E (X)． (2)超几何分布的均值 nM 若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)＝ N .
二、必明 2●个易误点 1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算 公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件． 2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是 何种类型的分布是解题的关键．
np＝6 解析：由题意知 np1－p＝3，
4．(2018· 湖北调研)已知随机变量 η 满足 E(1－η)＝5，D(1 －η)＝5，则下列说法正确的是( ) A．E(η)＝－5，D(η)＝5 B．E(η)＝－4，D(η)＝－4 C．E(η)＝－5，D(η)＝－5 D．E(η)＝－4，D(η)＝5
高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时达标63 离散型随机变量的均值与方差
达标63 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标63 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标63 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理的全部内容。
课时达标63 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理［解密考纲］离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查．一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1)，若P（ξ〉1)＝p，则P（－1<ξ〈0）＝（ D ）A．错误!＋p B．1－pC．1－2p D．错误!－p解析：由正态分布的概念可知，当P(ξ>1)＝p时，P(0〈ξ<1)＝错误!－p,而正态分布曲线关于y轴对称，所以P（－1〈ξ<0）＝P(0〈ξ<1)＝12－p，故选D．2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次,若他命中一次得10分，没命中不得分;命中次数为X，得分为Y,则E(X)，D(Y）分别为( C ）A．0.6,60 B．3,12C．3，120 D．3,1。
2解析：X～B（5，0.6)，Y＝10X，∴E(X）＝5×0。
6＝3，D（X)＝5×0.6×0。
4＝1。
2，D(Y)＝100D（X)＝120。
高考数学一轮总复习第九章9_1计数原理与排列组合课件理新人教A版
等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
个．(用数字作答)
(3)(2018·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使
种选法；再从余下的5本中选2本，有C
2 5
种选法；最后余下3本全
选，有C33种选法．
故共有C16C25C33＝60(种)．
②有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在①的基础上，还应考虑再分配，共有C
2．分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步” 计算． (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各 个步骤都完成，才算完成这件事． 3．使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都 用．
答案：B
(3)在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须 在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
种．
答案：2 880
考点二|排列问题 (方法突破)
【例2】 (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他
法三
(等机会法)：9个人全排列有A
9 9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，
依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．
法四 (间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．
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9-7 二项分布、正态分布及其应用课时规X 练(授课提示：对应学生用书第331页)A 组 基础对点练1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定解析：当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6D ．0.453．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%4．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 38.解析：依题意，元件的使用寿命超过1 000小时的概率为12，则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解析：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0,4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ) ＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C ) ＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C )＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06. X 的分布列为P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26.B 组 能力提升练1．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( A ) A ．400 B ．500 C ．600D ．8002．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．93．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( B )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．464．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( D ) A.23 B ．512 C.79D ．595.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( B )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 4136．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号) ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关． 解析：由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 7．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 34.解析：记事件A 为“第一次摸到黑球”，事件B 为“第二次摸到白球”，则事件AB 为“第一次摸到黑球、第二次摸到白球”，依题意知P (A )＝25，P (AB )＝25×34＝310，∴在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝34.8．某学校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)．(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(2)设A i (i ＝0,1,2,3)表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14， P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3. ξ的分布列为：所以E (ξ)＝3×14＝0.75.9．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，需要通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析知甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解析：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X的可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝k)＝C k3(0.3)k·(1－0.3)3－k. 故P(X＝0)＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027，故X的分布列为。