第三章 秩亏网平差(研究生)
秩亏自由网平差及其通解
第32卷第2期2010年6月地球科学与环境学报Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol.32No.2Jun.2010收稿日期:2009 07 15基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。
E mai l:zhaochaoying@秩亏自由网平差及其通解赵超英,黄观文(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054)摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。
结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。
以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。
关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03Rank Defect Free Net Adjustment andIts General SolutionZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en(S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China)Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n0 引言自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2 3]。
秩亏自由网平差的序贯解法在GPS网平差中的应用
黑 ］
㈤
—
—
２ ＧＰ 网平 差 模 型 、 Ｓ
Ｙ＝ Ｙ 。 ｃ ： ｋ
一
＋
］
Ｖ Ｖ 。 Ａ； Ｂｘ 。 ｒ ＝：一一ｉ ， ） ｝ Ｐ ＋ Ｐ＋ Ｑ Ｂ。
＝
（ ７ ）
Ｏ Ｊ ＝Ｉ 佃 Ｊ 一Ｂ Ｏ （ － ） ． Ｑ
其 中
ｌ１－袁一） ｋ１ １ Ｂ ｋＴ ＝ —ｋ （
Ｈ
Ｈｘ， ［－ ｘ 绺ａ ￣ｘ － ￣
ｙ ＝ Ｂ
３ ｎ￣ｌ
由于 Ｒ Ｂ Ｐ ） （ ｔ （ Ｂ ＝Ｒ ） ＜“， 布存在 ， Ｎ 方程（１不具有 唯一 １） 解 ， 是因为参数 置 这 必须在一定 的坐标基准下 才能 唯一确 定 坐标 基准个数 即为秩亏数 ｄ。 设有ｄ个坐 标基准 条件 ， 其形式为
ｄ ｕｌ ０ ｕ
＝
（２ １） 、
ｄｆ ｔ ｅ ｅ ｒ ｊ ｓ ｎ， ｎ ｈｃ ｓ ｅ Ｐ ｅ ａｊｓ ｎ， ｎ ｅ ｅ ｅ ｎｔ ｔ ａｔｉｍｏ ｅ ｎ ｔ ４ ｔｈ ｍｅ ｅ ｌ ｅ ａｋ ｅ ｃ ｆ ｅ ｔ ｋ ｄｕ ｍｅ ｔ ｄ ｉ ｉｕｅ ｉ ｔ Ｓ ｔ ｄ ｔ ｔａｄ ｈ ｓ ｄｍｏ ｓａ ｓｈ ｔｈ ｄｌ ｏ ｏ ｇ ｅ ａ ｓ ｔ ａｔ ｎ ｅ ｎ ｗｏ ａ ｔ ｒ ａ ｗ ｈ ｓ ｄ ｎ ｈ Ｇ ｎ ｕ ｍｅ ｔ ｔｔ ｒ ｅｔ ｓ ｅ ｔ ｓ ｒ ｕ ｓ ｓｈ ｒ
Ａｂ ｔ ｃ ： ｅｍｏ ｅ ｏ ｔｅｒｎ ｅｅｔ ｅ ｅｗｏｋｓｑ — ｔ ｌ ｄｕｔ ｎ ｎｒｄ ｃ ｄｂ ｓｄｏ ｅｔ ｄ ｌｏ ｑ ｅ ｔ ｌ ｄｕｔ ｎ ｎ ｎ ｓｒ ｔ ｄ ｌ ｆｈ ａ ｋｄ ｆｃ ｅｎ ｔ ｒ ｅｕｅ ｉ ｊｓ ａ Ｔｈ ｌ ｆ ｎ ａａ ｍｅ ｔｓ ｔ ｕ ｅ ａｅ ｎｔ ＷＯｍｏ ｅｓ ｆ ｅｕ ｎｉ ｊｓ ｉｉ ｏ ｈ ｓ ａａ ｍｅ ｔ ｄｒ ｋ ａ ａ
第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
第三章 水准网平差程序设计
2）已知点高程信息：该部分占N1行，每行格式为
已知点编号，该点的高程（单位：米）。
注意：在给控制点编号时，先给待定点编号，然后 给已知点编号。编号从1开始顺序编号。 3）高差观测值信息：该部分占NS行，每行格式为
测段编号，测段起点编号，测段终点编号，测段观 测高差（单位：米），测段长度（单位：千米）。
（3）循环访问每一个观测值，取出每个观测值的 起点点号（假定为p1）和终点点号（假定为p2 ）
根据p1、p2得到p1到目标点的路线长度S1和p2到 目标点的长度S2，再结合p1、p2的路线长度S12， 判断p1是否可以作为p2的邻接点，以及p2 是否可
以作为p1的邻接点。
那么p1可作为p2的邻接点的条件为：
本章难点： 1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以
将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
方程。
H近似 H已知 h测段
水网观测数据（测段）的组织：
测段号 起点 终点
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3 4.1
水准网近似高程计算算法
间接平差的函数模型： L B X d
秩亏网平差
h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
秩亏自由网平差的解法
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
9秩亏自由网平差作业
（2）何为矩阵的广义逆、伪逆、最小范数逆 和最小二乘逆？掌握一种广义逆的求法。 以间接平差的法方程系数阵为例，列举广 义逆、伪逆、最小范数逆和最小二乘逆的 表达式。
（3）自由网中秩亏数什么？包括哪些内容？ 分别是如何确定的？
（4）经典参数平差与秩亏自由网平差的区别 与联系是什么？
（5）何为普通秩亏自由网平差、加权秩亏自 由网平差和拟稳平差，三者的关系是什么？
（6）何为内可靠性和外可靠性？
（7）平差因子的表达式是什么？平差因子有 什么性质？
（8）粗差与残差之间有什么关系？
（9）数据探测法的原理与步骤是什么？
（10）何为选权迭代法？ （11）抗差最小二乘原理与步骤是什么？ （12）列举几种常用的选权迭代法。
第四章 附加系统参数平差
（1）何为测量平差系统的模型误差，包括哪 些内容？
（2）附加系统参数平差的基本原理是什么？ 求解过程是什么？
（3）数理统计中四种常用的概率分布是什么？ 分别是如何定义的？
（4）对系统误差中附加参数的检验包括哪几 项？分别是如何进行的？
（5）对含有粗差的观测值一般如何建立数学 模型？对应的粗差处理方法是什么？
第1章 近代测量数据处理概论
（1）测量平差的数学模型中函数模型和随机 模型的含义分别是什么？
（2）以间接平差为例，说明秩亏自由网平差 的函数模型及其特点？
（3）试述近代测量数据处理理论的主要进展， 并简述每个进展的主要特点及其应用？
第三章 秩亏自由网平差
（1）测量平差原理知识回顾 a) 如何选择平差模型 b) 如何建立数学模型 c) 如何定权 d) 如何进行参数估计 e) 如何评定精度
练习4.有三角网如图所示，已知A,B两点坐标及观测值如下：
秩亏自由网平差
秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。
关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
第三章 监测网平差及参考点稳定性检验
V T PV s nt d
求 ( NN ) ： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子 （已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0， 即为NN的一个广义逆。
因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的， 故X有唯一解！
3.3 秩亏自由网平差
2 X T 2K T N 0 X
X NK
X NK
T NNK A Pl 代入法方程，有：
NX AT Pl
K ( NN ) 1 AT Pl
X N ( NN ) 1 AT Pl
NN 仍是秩亏的，但
X N ( NN ) 1 AT Pl 却是惟一的
观测改正数： V AX l ( AN ( NN ) 1 AT P E )l 单位权方差：
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只 要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定 的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基 础上附加另外条件; 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量 是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!
3.2 监测网经典平差
一、间接平差原理
误差方程式：
L V AX
设观测值权为 P ，根据最小二乘原理：
V T PV min
求极值，有：
d (V T PdX
AT PV 0
3.2 监测网经典平差
AT P( AX l ) 0 AT PAX AT Pl
7.3mm
H P H P 0 H P 103.455m 7.3mm 103.4623
7秩亏自由网的直接解法与拟稳平差
赵超英
主要内容
➢秩亏自由网平差的直接解法 ➢拟稳平差 ➢加权秩亏自由网平差
秩亏自由网平差的解法分类
√①求N的最小范数逆与伪逆----Mittermayer（1971）
②附加条件法
√
③伪观测法
----Mittermayer（1972）
----Pelzer（1974）
((N111 N12 )T (N111 N12 )
I T I ) Xˆ 2
( N111 N12 )T
N
1 11
A1T
Pl
(N 21 N111 N111 N12 I ) Xˆ 2 N 21 N111 N111 N12 A1T Pl Xˆ 2 (N 21 N111 N111 N12 I ) 1 N 21 N111 N111 N12 A1T Pl Xˆ 2 (N 21R 1N12 I )1 N 21R 1N12 A1T Pl
QXˆ1Xˆ 2
1T Qll1
T 2
Qll
2
1T Qll 2
QXˆXˆ
QQXXˆˆ
1 2
Xˆ 1 Xˆ 1
QXˆ1Xˆ 2 QXˆ 2 Xˆ 2
例
v1 1 1 0 xˆ1 0
v2
0
1
1
xˆ2
6
v3 1 0 1xˆ3 0
x2
h1
h2
1 1
A1
0
1
1 0
2 1
Xˆ 1
t0 ,1
Xˆ 2
l
A1 Xˆ 1
A2 Xˆ 2
l
tt0 ,1
R( A1 ) t0 列满秩
直接解法
秩亏自由网平差
ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若
rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
【平差课件】第3章第3讲(三角网条件平差
（四）条件方程的列立
1、图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？)
每个三角形内角平差值和等于180 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 180 0
v1 v2 v3 w 0
w (L1 L2 L3 180 )
（四）条件方程的列立
2、水平条件
中点多边形中心点角度平差值之和等于360
Lˆ3 Lˆ6 Lˆ9 Lˆ12 Lˆ15 360 0
cot L1
v1
sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14
cot L2
v2
sin sin
L1 sin L4 sin L7 sin L10 L2 sin L5 sin L8 sin L11
sin L13 sin L14
wS
1
S EF S AB
sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L1 sin L4 sin L7 sin L10
（四）条件方程的列立
6、坐标条件
xˆE xE 0 yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE xB SˆBC cosTˆBC SˆCE cosTˆCE
wx
(xE
1000
xE )
206.265(xE
xE )
( yE yB )(ctgL1v1 ctgL2v2 ) ( yE yC )(ctgL4v4 ctgL5v5 ) ( yE yC )(ctgL7v7 ctgL8v8 ) ( yE yC )(ctgL12v12 ctgL11v11 ) (xE xB )(v3 ) (xE xC )(v6 ) (xE xC )(v9 ) (xE xC )(v10 ) wy 0
【免费下载】秩亏网平差若干计算方法
秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程B N =B T PB 有唯一解。
这是经典平差的范畴。
自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。
此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。
一般设网中全B N =B T PB 部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相u t n B n ×u 应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为N u ×u R （B ）=R （N ）=t <u ，所以法方程有无穷组解。
这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算d =u ‒t 数据，所以就是网中必要的起算数据个数。
对于水准网，必要起算数据是一个d 点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；d =1d =4对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。
d =32.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误u X ~L 差方程为：（1）V =Bx ~‒l 式中，，，，R （B ）=t <u d =u ‒t X ~=X 0+x ~l =L ‒L0随机模型是：（2）D =σ2Q =σ2P ‒1根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：V T PV =min （3）B T PBx ~‒B T Pl =0若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：x ~（a ）{V =Bx ~‒lB T PBx ~-B T Pl =0V T PV =min容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但|B T PB|=0有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下x ~x ~x ~才能唯一确定。
秩亏自由网平差S的求法与基准
1 m 0
0 ym
H
H
0 1 m 0 xm H
此时
1 0 0 T G G 0 1 0 I 0 0 1
由于测边网中的误差方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项。所以在假定坐标近似值时，应尽量 逼近坐标平差值，以减少因线性化所带来的误差。 一般可先假定任一点的坐标，再根据相应的观测 值推算网中其余点的近似坐标。 • Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225.
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网
对于任一自由网，依据最小二乘原理进行平差后，就 可以达到合理消除网中各种几何条件不符值的目的，此 时自由网可以得到唯一的闭合网形，即可确定网的最佳 相对形状 若此时网中拥有必要的起算数据，则可由此起算数据 推求其它的未知数据 对于秩亏自由网，由于网中无外部固定数据，因此网 形的外部绝对位置就无法确定，因而网形浮动 若要唯一确定网形，必须给定基准
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
3、测角网
对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个 位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网 的误差方程式为
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1、水准网情况（ｄ=1）
t 1
S 11
1
T
2、测边网情况（ｄ=3,m为网中三角点数目）
1 0 1 0 0 1 0 1 T S 32 m 0 0 0 0 y x y x 1 2 2 1
1 0 0 1 0 0 y m x m
T
T
N 0
K NK
B T PL 0
K ( NN ) B T PL X N ( NN ) B T PL
T ˆ X N ( N N ) B P L
则
T ˆ N X BPl m
3.3秩亏自由网平差
二、秩亏自由网平差广义逆解法
值得说明的是：在秩亏自由网平差中，最小范数逆可取 ，与伪逆的条件相比，最小范数逆条件仅是 N N ( NN ) m 其中的两个条件，由于只有满足4各条件的伪逆才是唯一存 在，因此最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一 存在的。了解这一点对于研究自由网平差理论十分重要，下 面作出证明。 NN 已知最小范数逆满足两个条件 NN m T 与满足下列一个条件是一致的 ( N N ) N N m m
法方程系数阵：
2 1 1 B T PB 1 2 1 1 1 2
可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵，方程有 无穷多组解。
3.1预备知识
产生秩亏的原因：一是平差网形中缺少的必要起 算数据个数，而不假设它，二是所设的未知数必 须独立。 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R'（B）-R（B）（ R‘（B）是B的列满秩数 ，R（B）是实际秩数。） 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题 称为秩亏自由网平差。 怎么解算秩亏自由网平差？我们首先了解广义逆 矩阵。
3.3秩亏自由网平差
（五）秩亏法方程的最小范数解 设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为
2 2 2 X ( X X ) x x x 1 2 n T 1 2
称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。 最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为
T X m i n 或 X X m i n
第三章 监测网平差及参考点稳定性检验
本章主要内容
1、预备知识； 2、监测网经典平差； 3、秩亏自由网平差； 4、监测网拟稳平差； 5、参考点稳定性检验方法。
3.1预备知识
经典自由网平差算例，如图所示：选定X3的高程为已知，X1 、X2的高程为未知，则可列出误差方程为：
v1 1 v 1 2 v3 0 0 l1 ˆ1 x 1 l2 ˆ2 x 1 l3
ˆ l l x 1 2 2 3 2
是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；
3.1预备知识
如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则误差 方程为： v ˆ1 l1 1 1 1 0 x v 1 1 0 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3
3.1预备知识
• 算例2：设矩阵 • • 已知
2 1 1 A 1 2 1 计算伪逆A+ 1 1 2
A A ( A AA ) ( A AA )
2 1 1 2 1 1 6 3 3 T 则： AA 1 2 11 2 1 3 6 3 1 1 2 1 1 2 3 3 6 6 3 1 6 3 1 2 T 1 因为 R(AA ) 2 取 M M 27 3 6 9 1 3 6 2 9 1 9 0 21 T 1 于是 (AA ) 1 9 2 9 0 A A (AA )A (AA )A 1 2 9 0 0 0 1 1
T T T ( N N ) NN ( N N ) 0 [( N N ) N ][( N N ) N ] 0 或 m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2
上式成立，必须满足 右乘任意向量Y，得： ( N N ) NY 0
法方程
ˆ l l 1 2 x 1 2 1 0 ˆ l l x 1 2 2 3 2
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯 1 一解： ˆ l l2 1 x 2 1 1 经典平差法的条件：
3.1预备知识
• 算例2：设矩阵
2 1 1 A ，计算最小范数逆 m A 1 2 1 1 1 2
2 1 1 2 1 T AA 1 2 11 2 1 1 2 1 1 6 T 因为 R(AA ) 2 取 M 3 2 9 1 9 0 T 于是 (AA ) 1 9 2 9 0 0 0 0
1 2 0 0 0
3.1预备知识
3）广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）
1、定义：满足下列四个条件，即
AAA A AAA
A
( A A )T A A
( A A )T A A
2、 A+的计算 当A为对称方阵时：
A A ( A AA ) ( A AA )
3.1预备知识
2）最小范数逆 A m • 1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵 方程的 A m 定义为A的最小范数逆。
AA A A m T ( A A ) A A m m
2、最小范数逆 A m 的计算：在自由网平差中，最小范数逆 常取
T T A A ( AA ) m
3.3秩亏自由网平差
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差 那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能 取得唯一确定的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二 乘原则基础上附加另外条件;
附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数 的估计量是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数 解!
m 1 m 2
( N N ) N 0 m 1 m 2
T 因为 NY ，故有 B Pl
T X ( N N ) B Pl 0 即 X 1 2 m 1 m 2
可见最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一的
3.3秩亏自由网平差
三、秩亏自由网平差伪观测值法
数学模型:
T T N NN N m
3.3秩亏自由网平差
设有两个最小范数 N 和 N m 2 ，相应的最小范数解为：
m1
T X N B Pl 1 m 1
T X N B Pl 2 m 2
按最小范数 的条件，则
T T N NN N N NN N m 1 m 2
T T N N ) NN 0 ( N N ) 得 即： ( 两边右乘 m 1 m 2 m 1 m 2
A 0
1 2
0 3
0
R (A ) 2
1 0 A 11 2 3 0 0 1 3 0 1 1 2 3 1 3 0 则A A 11 2 1 3 0 0 0
取
0 0 1 0 3 1 1 0 3 1 0 3 2 3 1 3 0 2 3 0 2 3 0 A 验证 AA A 2 3 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 2
1 1 2
3.1预备知识
• 二、相容线性方程组的广义逆解 • 设有相容线性方程组 A X B
n , m m , 1
( 1 )
Y B • 其解存在，设为Y，则有 nA ,m m,1 • 按广义逆A- 有 AA AY B或 AA B B
• • • •
ˆ VB x l
T ˆ 0 S x
权阵为 P
按照附有条件的间接平差得法方程：
ˆ W x N S 0 T S 0 0 K t
求解法方程，可得未知参数的解为：
T ˆ x ( N SS )1 W
3.3秩亏自由网平差
ˆ BX ˆ d L
相应的误差方程为 随机模型为 法方程为
n1
nu u1
n1
ˆl V B x
2 2 1 D Q P 0 L L 0
T ˆ B P B XB P l 0 T
法方程是相容方程组，其解有无穷多组
T X N B Pl ( I N N ) M
法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小范数解 。
3.3秩亏自由网平差
求最小范数的法方程解过程： ˆ B T PL 0 即求下列数学解： NX
ˆTX ˆ min X
X
T
X 2K
T
( NX
B T PL ) min
得：
0 X 2X T 2K X N NNK
3.3秩亏自由网平差
3、测角网情况（ｄ=4）
1 0 1 0 0 1 0 1 T S 0 0 0 0 4 2m y x y x 1 1 2 2 0 0 0 0 x y x y 1 2 2 1
4、边角网情况（ｄ=3） 边角自由网与测边网的S完全相同。
1 0 0 1 0 0 y x m m 0 0 x y m m
X A B 此式称为方程组（1）的相容条件，由此可知 上式为方程组（1）的一个特解。 A X 0 X ( I A A ) M 齐次方程组 n,m m,1 的一般解为： 因此非齐次方程组的一般解为：