秩亏自由网平差及其通解
秩亏自由网平差及其通解
第32卷第2期2010年6月地球科学与环境学报Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol.32No.2Jun.2010收稿日期:2009 07 15基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。
E mai l:zhaochaoying@秩亏自由网平差及其通解赵超英,黄观文(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054)摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。
结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。
以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。
关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03Rank Defect Free Net Adjustment andIts General SolutionZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en(S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China)Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n0 引言自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2 3]。
论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
自由网平差是一种网络平差方法，它可以用来解决复杂的网络平差问题。
自由网平差具有三个特点：1、自由网平差是一种秩亏的网络平差方法，它可以解决复杂的网络平差问题；2、自由网平差是一种稳健的网络平差方法，它可以抵消网络中的噪声和误差；3、自由网平差是一种有效的网络平差方法，它可以有效地提高网络的精度和稳定性。
秩亏的自由网平差是指在网络平差过程中，网络的观测数据和计算结果之间存在着秩亏的状态，即观测数据和计算结果之间存在着不可解释的差异。
这种秩亏的状态可以通过调整网络中的参数来消除，从而达到网络平差的目的。
稳健基准是指在网络平差过程中，通过调整网络中的参数，使网络对噪声和误差具有较强的抗干扰能力，有效地抵消噪声和误差，从而提高网络的精度和稳定性。
稳健基准的意义在于，可以有效地抵消网络中的噪声和误差，保证网络的精度和稳定性。
秩亏自由网平差
秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bb N B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。
关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
秩亏网平差
h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
6秩亏自由网平差S的求法与基准解析
a jh
(
y
0 h
y
0 j
)
(
s
0 jh
)
2
, b jh
(x
0 h
x
0 j
)
(s
0 jh
)
2
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之
差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故
系数阵中的每一行元素结构总是形如
(a jh a jk ) (bjh bjk ) a jh bjh a jk bjk
• 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225.
• /special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
1
0
1
0 1
0
m
m
m
GT
0
y10
1
0
m
x10
y
0 2
1 0
m
x
0 2
y
0 m
1
m xm0
H H
HH
H H
此时
1 0 0
G TG 0 1 0 I
0 0 1
➢ 由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。
秩亏自由网平差
秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。
关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
4第四讲 用附有限制条件的参数平差法求解秩亏自由网
（15） ）
前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 网中重心点至任一点的距离的平差值为
ˆ ˆ ˆ ） Si2 = ( X i0 + δ X i − X 0 ) 2 + (Yi 0 + δ Yi − Y 项得： 展开上式并取至一次项得：
ＱXˆ = ( N + Gm G ) N ( N + Gm G )
T −1 m T −1 m
（5） ）
三、各种网形的 Gm 阵及秩亏自由网平差基准的意义 1.水准网 1.水准网
T Gm = (1 1 L 1)
（6） ） （7） ）
t
故由 知
t i =1
1×t
T ˆ ˆ Gm δ X = ∑ δ X i = 0 i =1 t
m
设网中的重心坐标为 又设
1 m 0 1 m 0 X 0 = ∑ X i , Y 0 = ∑ Yi m i =1 m i =1
（12） ） （13） ）
ˆ (Yi 0 + δ Yi ) − Y 0 −1 ˆ = tg −1 α i = tg 0 ˆ )− X0 (X + δ X
i i
ˆ Yi − Y 0 ˆ − X0 Xi
因此，在测角秩亏自由网平差中， 因此，在测角秩亏自由网平差中，和经典平差一 一个点的重心坐标， 样，也有自己的起始数据——一个点的重心坐标，一个 也有自己的起始数据 一个点的重心坐标 重心点至所有点的向径方位角的加权平均数和一个重心 点至所有点的向径长度的加权平均数。 点至所有点的向径长度的加权平均数。
作业： 作业： （1）用附有限制条件的参数平差法求解上次作业的水 ） 准网。 准网。
0 改为15.817m求解该网。 求解该网。 （2）将 X 3 改为 ） 求解该网
秩亏自由网平差
ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若
rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
3第二章 秩亏自由网平差原理综述
ˆ Qˆ 普通秩亏网平差： X r 、 Xr ˆ 、Q ˆ 普通拟稳平差： X XS S ˆ 、Q ˆ 经典自由网平差： X C XC
ˆ L 0 1 X V1 1 1 1 V 1 1 X ˆ L 0 2 2 2 ˆ L V3 0 1 1 X 3 3 1 0 1 1 0 A 1 1 0 =0 1 1 0 1 1
第一专题： 秩亏自由网平差
长安大学地测学院 赵超英 zhaochaoying@
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法 秩亏自由网平差解的性质
一、问题的引入
1、四个例子、两个概念
例1： 设有水准网，如图所示，假设 x3 为已知高程，
1、秩亏网最小二乘解： i）假定某些差数固定——设定基准
V AX L R ( A) t 0 , d 0 V T PV m in 得：
NX AT PL R( A) t 0 ˆ N 1 AT PL X
1
N
——正则逆（凯莱逆）
ii)不设基准 R( A) t 0 t , d d 0
三种自由网平差间的关系
加权包含了普通与拟稳秩亏网平差是一种普通形式。
当 Px I 时 ˆTP X ˆ X ˆ T X min X x
PX 2 当 Px
0 0 时，则 = PX I 0 I
T 0 0 X T T I X X T X min 0 I X
R( N ) t 0 t 秩亏 凯莱逆不存在： NN NN 广义逆 N 不唯一， X N AT PL ( I N N )M ，其中M是任意向量，解不 唯一。 注意： N N I
第三讲秩亏自由网平差
AR A ( A A)
A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法：
• 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某 一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇 异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 1 1 0 • 例如： A 0 1 1 ，（ R A） 2，d 3 2 1
T B T B
I PV 0 D 2 I 0 0 D 2 I 0 0 0 B ˆ L ( X ) 0 DX I Lx 0 B ˆ T X B I DX
T d1 du uu u1
V B l ˆ V T x 0 Vg S Px P P 0 0 I
平差准则:
V PV min
T
按间接平差法求参数：
1、合并
2、法方程： 3、解参数
B l ˆ Bx ˆl , V T x 0 S Px P 0 P 0 I ˆ B T Pl 0 B T PBx B P S T P 0 x
3）即网中存在d 个起始数据, 这就是固定基准下的经 典自由网平差。
秩亏问题解决：经典平差（附加固定的基准条件 ）和伪逆平差（直接利用广义逆求解 ）； 优缺点：解法简捷 ，但没考虑到解法物理意义， 不能反映真实情况。 提出：拟稳平差理论。 “拟稳平差”的基本思想：考虑到监测网中的点 ，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时 间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变 化小的，即相对稳定的点。
1、定义：满足下列四个条件，即
AA A A A AA A ( AA )T AA ( A A)T A A
5第二章秩亏自由网平差的解法
N
m
N (NN )
为最小范数逆
Xˆ r Nm AT Pl
以上是最小二乘最小范数解
根据最小范数的定义知，该逆应满足：
NN
m
N
N
(
N
m
N
)
T
N
m
N
[证明]：
(1)
NN
m
N
NN (NN )
N
N
由广义逆的性质三有 A( AT A) AT A A或AT A( AT A) AT AT
DDT ( AT A( AT A) AT AT )(A( AT A) AT A A) ( AT A( AT A) AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A 0
的条件极值问题。 组成新的函数：
Xˆ T Xˆ 2K T (NXˆ AT Pl)
对 Xˆ 求偏导数并令其等于零，得：
Xˆ
2Xˆ T
2K T N
0
Xˆ N T K
(1)
NXˆ AT Pl
(2)
NN T K AT Pl
K (NN T ) AT Pl Xˆ r N T (NN T ) AT Pl N (NN ) AT Pl
主要内容
➢ 问题的引入 ➢ 秩亏自由网平差的原理 ➢ 广义逆的补充知识 ➢ 秩亏自由网平差的解法
秩亏自由网平差的解法分类
√①求N 的最小范数逆
----Mittermayer（1971）
√②伪逆解法 ③√ 附加条件法 ④√ 伪观测法
----Mittermayer（1971）
----Mittermayer（1972）
H
0 1
秩亏自由网平差(水准网) 指导老师杨帆
秩亏自由网平差（水准网）1．实验目的1.掌握秩亏自由网平差的函数模型及原理；2.提高编制程序、使用相关软件的能力；3.熟练使用秩亏自由网准则处理测量数据。
2．实验地点辽宁工程技术大学计算机实验室3．实验原理秩亏自由网平差模型式（1-1-1），即⎪⎭⎪⎬⎫==-=min ˆˆmin ˆx x PV V l x B V T T （1-1-1）式中：t n t r B R ><=,)(。
在min =PV V T下，由误差方程式可组成法方程为 Pl ΒxΝΤ=ˆ （1-1-2） 因秩t r B R PB B R N R T <===)()()(。
N 为奇异，且式为相容方程组，xˆ不唯一，为求其最优解，引入最小范数准则min ˆˆ=x xT，即求得法方程（1-1-2）的最小范数解 Pl B N x T m -=ˆ （1-1-3）-=-)(NN N N m （1-1-4） 因N 阵对称，故最小范数逆可按式（1-1-4）计算，则上式为Pl B NN N x T -=)(ˆ （1-1-5）式（1-1-3）、（1-1-5）为秩亏自由网平差模型（1-1-1）的最优解，N 的最小范数逆不唯一，可以在满足式（1-1-3）的条件下任意选择，但其解xˆ唯一。
4．精度评定单位权方差估值仍为)(ˆ2B R n PV V f PV V T T -==σ （1-1-6） 其中：f 为平差自由度，即平差问题的多余观测数。
xˆ的协因数由式（1-1-3）和式（1-1-5）得 +----===N NN N NN N N PQB B N Q T m T m x x )()()(ˆˆ （1-1-7）5．程序设计5.1、设计CLeve 类class CLeve{public:double **b,**bt,*l,**nmn,**Qxx,*v,*x,*w,*h,*H0;int m,n,r,**pp;public:void fun();void xn();void WriteData();void ReadData();void Wl();void MatInvG();void MatInv(double **b,double **bn,int r);CLeve();virtual ~CLeve();};5.2、各个函数的实现（见程序：）//读文件，给h H0 赋值void CLeve::ReadData(){int i;FILE *fp;CFileDialog MyFileDlg(TRUE,NULL,NULL,0,"文本文件(*.txt)|*.txt||");if(MyFileDlg.DoModal()==IDOK){fp=fopen(MyFileDlg.GetFileName(),"r");if(fp==NULL) {AfxMessageBox("文件没有打开！");return;}fscanf(fp,"%d%d%d",&m,&n,&r);pp=new int*[m];for(i=0;i<m;i++) pp[i]=new int[2];h=new double[m];H0=new double[n];//求H0int xx;for(i=0;i<n;i++) fscanf(fp,"%d%lf",&xx,&H0[i]);//求hfor(i=0;i<m;i++)fscanf(fp,"%d%d%lf",&pp[i][0],&pp[i][1],&h[i]);fclose(fp);}} //组成误差方程式组b lvoid CLeve::fun(){int i,j,p1,p2;b=new double*[m];for(i=0;i<m;i++)b[i]=new double[n];l=new double[m];//计算B和lfor(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++){b[i][j]=0.0;}for(i=0;i<m;i++){ p1=pp[i][0];p2=pp[i][1];b[i][p1-1]=-1.0;b[i][p2-1]=1.0;l[i]=(H0[p1-1]+h[i]-H0[p2-1])*1000.0;}//计算b的转置BTbt=new double*[n];for(i=0;i<n;i++) bt[i]=new double[m];for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++)bt[j][i]=b[i][j];}5.3、在菜单中实现计算void CAdjustDoc::OnAdjustA(){CLeve js;js.ReadData();js.fun();js.MatInvG();js.Wl();js.xn();js.WriteData();AfxMessageBox(" 计算完成！");}5.4、观测数据和已知数据的存储在data.txt 文件中，数据格式如下：5 4 31 31.1002 32.1003 32.1654 31.6001 3 1.0641 2 1.0022 3 0.0603 4 -0.5604 1 -0.500存储格式说明：（1）第一行的5 代表有5条观测水准路线，4 代表有4个水准点，3表示必要观测数；（2）第二行到第五行表示各个高程点的近似高程，单位m；（3）第六行表示水准路线观测方向由1到2，1.064表示观测高差，单位m,其余后几行同此行。
【免费下载】秩亏网平差若干计算方法
秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程B N =B T PB 有唯一解。
这是经典平差的范畴。
自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。
此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。
一般设网中全B N =B T PB 部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相u t n B n ×u 应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为N u ×u R （B ）=R （N ）=t <u ，所以法方程有无穷组解。
这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算d =u ‒t 数据，所以就是网中必要的起算数据个数。
对于水准网，必要起算数据是一个d 点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；d =1d =4对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。
d =32.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误u X ~L 差方程为：（1）V =Bx ~‒l 式中，，，，R （B ）=t <u d =u ‒t X ~=X 0+x ~l =L ‒L0随机模型是：（2）D =σ2Q =σ2P ‒1根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：V T PV =min （3）B T PBx ~‒B T Pl =0若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：x ~（a ）{V =Bx ~‒lB T PBx ~-B T Pl =0V T PV =min容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但|B T PB|=0有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下x ~x ~x ~才能唯一确定。
7秩亏自由网的直接解法与拟稳平差
直接解法
上式完全一样，因为均采用LS准则，那区别是什么？
（1）最小范数解
ˆ N X ˆ AT Pl N11 X 1 12 2 1
1 M N 22 N 21 N11 N12
T 1 T T A2 N 21 N11 A1
ˆ T Pl MX 2
ˆTX ˆ min X 2 2
1 1 ˆ N N 1 N 1 N AT Pl ( N 21 N11 N11 N12 I ) X 2 21 11 11 12 1 ˆ ( N N 1 N 1 N I ) 1 N N 1 N 1 N AT Pl X 2 21 11 11 12 21 11 11 12 1
----Wolf（1972）
√ ⑥坐标转换法
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
ˆ A Pl 0 NX
T
T ˆ X r N m A Pl
T ˆ X r N A Pl
ˆ X ˆ min X
T
解法二：伪观测法
1 T 1 T ˆ X N C Q C ( N SS ) A Pl
P T P T
ˆTX ˆ X ˆTX ˆ X ˆTX ˆ min 直接解法 X 1 1 2 2 1 1 ˆ ( N 1 N ) T N 1 N 1 AT Pl (( N11 N12 ) T ( N11 N12 ) I T I ) X 2 11 12 11 11 1 ˆ N N 1 N 1 N AT Pl ( N N 1 N 1 N I ) X
1 T 1 1 T ˆ ˆ X N A P l N N X N 11 1 11 12 2 11 A 1 Pl 1 ˆ X ˆ X X2为未知参数，X1为改正数 2 2
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第32卷第2期2010年6月地球科学与环境学报Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol.32No.2Jun.2010收稿日期:2009 07 15基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。
E mai l:zhaochaoying@秩亏自由网平差及其通解赵超英,黄观文(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054)摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。
结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。
以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。
关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03Rank Defect Free Net Adjustment andIts General SolutionZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en(S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China)Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n0 引言自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2 3]。
后来Xu相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应用[4 6],推出不同坐标系以及不同基准下的通解。
笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上,分析了如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基准下的通解。
这有助于理解秩亏自由网平差的实质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取具有物理意义的解。
1 秩亏自由网平差原理对于非线性大地控制网,观测方程满足E(L )=F(X ),L =f (X )+ D(L )= 20P-1式中:E ( )为数学期望;D( )为方差; 0为单位权中误差;F ( )、f ( )为非线性函数;X 为初始(任意)坐标系t 维待定坐标向量;L 为n 维观测值向量; 为观测值所含的偶然误差;P 为观测值的权。
通常,选定初始坐标系S 0下的一组初始坐标X 0,对观测方程进行线性化得E(l)=A X,l=L-A X+D(l)= 20P-1(1)式中:A为n t维设计矩阵,其秩R(A)=r<t,r为自由度,d=t-r为秩亏数;l为常数项; X为初始坐标系S0下的坐标改正数。
观测值改正数V的误差方程为V=A X-l(2) 采用最小二乘准则可得基于初始坐标系S0下参数的通解X=N-A T Pl(3)X=N-A T Pl+(I-N-N)M(4)式中:N为A T PA;M为任意非零向量;I为单位阵; N-为N的广义逆。
2 传统秩亏自由网平差方法及基准转换2.1 传统秩亏自由网平差传统秩亏自由网平差的主要目的是求参数的唯一解,为此附加条件,如S T dt X t1=0(5)式中:S T dt为某一行满秩矩阵,且R(S)=d为行满秩,AS=0,解得X=(N+S S T)-1A T Pl(6) 则平差后初始坐标系S0下参数最佳估值X为X=X0+ X=X0+(N+SS T)-1A T P l(7)式(5)~(7)中:S为法方程系数N的零特征值对应的特征向量所构成;X0为参数近似值。
采用最小范数条件也可以获得唯一解,文献[2 3]已证明二者是等价的,均为初始坐标系S0下最小范数解。
2.2 传统自由网平差的基准转换经典自由网平差、秩亏自由网平差、加权秩亏自由网平差和拟稳平差均为强基准。
由于传统自由网平差是为获取初始坐标下的最小范数解,其基准条件为式(5)(以普通秩亏自由网为例)。
对于误差方程式(2),设有两组不同的基准S T1 X1=0 且R(S1)=d(8)S T2 X2=0 且R(S2)=d(9)式(8)、(9)中:S1、S2为不同基准所对应的约束条件矩阵。
根据传统解法,如式(6),重写为X1=(N+S1S T1)-1A T Pl式中: X1为S1所对应基准下的一组解。
根据文献[3]基准转换可得S2对应的基准下的解 X2为 X2=(I-S(S T2S)-1S T2) X1(10)其中,S满足NS=0或AS=0,且R(S)=d。
式(10)便是相同坐标系S0下不同基准之间的转换关系。
可以看出最小范数条件只是相同坐标系下众多基准条件中的一个,在数学上均是最优的。
3 秩亏自由网平差的通解大地测量的主要目的是获取待定点的坐标,Xu 提出的非线性秩亏自由网平差的出发点是直接求任意坐标系S AR下的参数(坐标),而不再仅仅是初始坐标系下的参数(坐标)改正数,对于S AR下的所有点的坐标X AR有[4]X AR=0(I U0)X+e t t=0U N0X+e t t(11)式中:0为缩放系数;U0为33的旋转矩阵;e为全1阵;t t为坐标系的平移向量; 为克罗内克积; U N0为整体旋转矩阵。
实质上这3类参数代表了坐标系的转换参数。
应用最小二乘准则可得法方程1(A T PA)U-1N0X a=A T P l1NU-1N0X a=U(12)式中:U为A T Pl,因此法方程(12)没有唯一解;X a 仅是法方程(12)的一个数学解但不是X A R的估值。
通过解法方程,可以求出任意坐标系下的坐标值,即通解X g为X g=0U N0N-A T Pl+0U N0X0+(e z t)(13)式中:z t为坐标近似值所在坐标系与特解所在坐标系之间的平移向量。
将式(13)的坐标系选为S0,则有X=N-A T Pl+X0(14) 这便是传统秩亏自由网的解。
4 由传统秩亏自由网平差推导的通解从传统自由网平差的基准转换可以发现,基准与广义逆相对应,如最小范数条件对应最小范数逆N-m。
因此在求解法方程时采用一般广义逆便可以概括相同坐标系下各种基准条件对应的坐标解,如式(4)或式(13)中第一部分所示。
将式(7)中的(N +SS T)-1(即N-m之一)用N-来代替,便得到S0坐标系下所有基准的解,如式(14)。
对于任意坐标系下的解可以通过坐标相似变换来获取,将式(14)带入(11)得X AR=0U N0X+(e t t)=0U N0AT Pl+0U N0X+e t t(15) 式(15)是通过间接方法得到的秩亏自由网的216地球科学与环境学报 第32卷通解,与式(13)通过直接方法得到的秩亏自由网通解是等价的。
需要强调的是,由于非线性平差均需要进行在选定初值下进行线性化,而所选取的初值便隐含了一个坐标系S0,因此在实际应用时,对于非线性秩亏自由网平差,近似值的选取不仅与线性化的精度有关,还与其代表的基准含义密切相关,即物理意义是否正确。
5 算例分析在大地测量形变监测中,需要提供一个基准,当为秩亏问题时,一般选取拟稳基准较为合理[7]。
笔者选取西安GPS地面沉降和地裂缝监测网的两期监测成果进行形变分析,该监测网共布设了24个测量点。
2005年12月开始第一期监测,监测周期为05a,目前已完成6期,数据处理中引进了3个连续跟踪站(XIAA、XANY、BJFS)作为已知点。
基线解算采用GAMIT软件处理,网平差采用自编软件H PGPSADJ处理。
对监测网第二、三期观测数据进行数据处理,分别采用2种方案进行对比:(1)选择3个稳定点(XIAA、XANY、BJFS)作为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标,第三期初始坐标与第二期相同,不考虑基准点运动速率,利用拟稳基准进行附加系统参数的三维约束平差(方案1)。
(2)选择3个稳定点(XIAA、XANY、BJFS)作为基准点,第二期初始坐标采用框架坐标,第三期初始坐标考虑基准点运动速率,引入速度参数对第二期初始坐标进行改正,利用拟稳基准进行附加系统参数的三维约束平差(方案2)。
将2期获取的高程计算其沉降量,2种方案沉降结果如表1。
首先本算例采用的2种解算方法在各自的基准下均为最优解,表1表明,考虑解算精度范围(!1cm),方案1大部分监测点呈抬升状态,与西安地面沉降实际不符[7 8]。
这说明本方案所选择的基准不正确。
而方案2由于考虑了基准点的板块运动,在初始坐标中引入了基准点位移信息,其结果较为真实地反映了西安地区整体沉降特点。
这说明在GPS沉降监测中,不同初始坐标虽然都可以得出各自对应的最优解,但在形变分析结果上却存在差异,不同的初始坐标,形变分析结果也不尽相同。