2013年高考理科数学安徽卷word解析版

平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内
单调递增”的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五
10．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))
3＋ax2＋bx＋c有极值点x
A．3B．4C．5D．6
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
8
a
4
的系数为7a__________.，则实数＝
6
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
2013安徽理科数学第2页
16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·
期为π.
(1)求ω的值；
sin
π
x(ω＞0)的最小正周
4
(2)讨论f(x)在区间0,
2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．
125311
6B．24C．4D．12
A．
3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此
22
＋y＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝
π
(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.2
8．答案：B
fxfxfx
解析：12
n
===
xxx
12n
可化为
fx0fx0fx
12n
===
x0x0x0
12n
0
，故上式可理解为y＝
f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f(x)的交点个数．
x1＜x2x2＜x1
2
由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答．题．卡．上．．作答，在．试．题．卷．上．答．题．无．效．．．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
π
2
上的单调性．
17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞
0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
2013安徽理科数学第3页
11．答案：1
2
解析：∵x
3
a
x
8
的通项为
1
rxrarxr
83
C()
8
rr
8r
=CC
88
∴8－r－
r
3
＝4，解得r＝3.
∴
33
Ca7，得
8
1
a.
2
2
12．答案：π
3
解析：∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①
又∵b＋c＝2a，②
∴由①②可得，
5
ab，
3
7
cb，
3
∴
cosC
22
57
2
bbb
33
222
11．(2013安徽，理11)若x
的展开式中x
3
x
2
12．(2013安徽，理12)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sin
B，则角C＝__________.
13．(2013安徽，理13)已知直线y＝a交抛物线y＝x
2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
π
B．θ＝
2(ρ∈R)和ρcosθ＝2
π
C．θ＝
2(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
2013安徽理科数学第1页
8．(2013安徽，理8)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，,，
fxfxfx
1
6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为xx1或x，则f(10
2
()．
A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}
B．{x|－1＜x＜－lg 2}
C．{x|x＞－lg 2}
D．{x|x＜－lg 2}
x
)＞0的解集为
7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()．
18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆E：
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
22
xy
22=1
a1a
的焦点在x轴上．
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P
⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
19．(2013安徽，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角
(1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈
*，存在唯一的x
n∈
2
3
,1
，满足fn(xn)＝0；
1
(2)对任意p∈Nn构成的数列{xn}满足0＜xn－xn.
*，由(1)中x
＋p＜
n
21．(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测
试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都
bac
1
5
2ab2
2bb
3
，∴
2
C.
3
π
13．答案：[1，＋∞)
解析：如图，设C(x0，2
x)(
0
2
x≠a)，A(a，a)，B(a，a)，
0
则CA＝(
ax，
0
2
ax)，CB＝(ax0，
0
2
ax)．
0
∵CA⊥CB，∴CA·CB＝0，
2013安徽理科数学第8页
即－(a－
14．
2
x)＋(a－
0
2
x)
0
2＝0，(a－2
14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A1，A2，,，An，,和B1，B2，,，
Bn，,分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An
＋1的面
积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是__________．
15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(安徽卷)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．(2013安徽，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi+2=2z，则z＝()．
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以
②正确；当0＜CQ＜
1
2
时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；
图(1)
1
如图(2)，当CQ＝
3
4
时，由△QCN∽△QC1R得C1QC1R
CQCN
，即
C R
4
1
31
4
，C1R＝
1
3
，故③正确；
图(2)
3
如图(3)所示，当＜CQ＜1时，截面为五边形APQM，F所以④错误；
2
s＝
1
22222
86909490889092909090
5
＝8，
2
五名女生成绩的方差为
s
2
22
2889139391
＝
5
22
ss，故选C.
所以
12
6
，
2013安徽理科数学第6页
6．答案：D
解析：由题意知－1＜10x＜1
x＜1
2
，
所以x＜
lg
1
2
＝－lg 2，故选D.
7．答案：B
解析：由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)
名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为
88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()．
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且
所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.
2013安徽理科数学第5页
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为
S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．
①当0＜CQ＜
1
2
时，S为四边形
②当CQ＝
1
2
时，S为等腰梯形
③当CQ＝
3
4
时，S与C1D1的交点R满足C1R＝
1
3
④当
3
4
＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ＝1时，S的面积为
3x,
y.
由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，
可得
3x3,
1y1,
画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为
232=43.
2013安徽理科数学第7页
10．答案：A
2
解析：由f′(x)＝3x＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，
2
即3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示，
2＋b2＝2b，a
所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.
2．答案：D
解析：开始2＜8，
11
s0+，n＝2＋2＝4；
22
返回，4＜8，
113
s，n＝4＋2＝6；
244
返回，6＜8，
3111
s，n＝6＋2＝8；
4612
返回，8＜8不成立，输出
3．答案：A
11
s.
12
解析：由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理．
xn，使得12n
===
xxx
12n
，则n的取值范围是()．
A．{3,4}B．{2,3,4}
C．{3,4,5}D．{2,3}
9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足OA=OBOAOB2，
则点集POP=OA+OB,1,R所表示的区域的面积是()．
A．22B．23
C．42D．43
4
4．答案：C
解析：函数f(x)的图象有以下三种情形：
a＝0a＞0a＜0
由图象可知f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增时，a≤0，故选C.
5．答案：C
解析：五名男生成绩的平均数为
1
5
(86＋94＋88＋92＋90)＝90，
五名女生成绩的平均数为
五名男生成绩的方差为
1
5
(88＋93＋93＋88＋93)＝91，
如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.
9．答案：D
解析：以OA，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴
对称，由已知|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可得出∠AOB＝60°，点A(3，1)，点B(3，－1)，点
D23，0)．
现设P(x，y)，则由OP＝λOA＋μOB得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即
11
∵所有梯形AnBnBn＋1An
＋1的面积均相等，
且△OA1B1∽△OAnBn，
∴
S
OA1S1
OAB
11
OASS3n1S3n2nFra bibliotekABnn
.∴
a11
an
n
32
，∴a3n2.
n
15．答案：①②③⑤
解析：当CQ＝
1
2
时，D1Q
2＝2
DC＋C1Q
2＝5
11
4
，AP2＝AB2＋BP
2＝AB2＋BP
2＝5
4
(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．答案：A
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z·zi+2=2z得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
22
即(a＋b)i＋2＝2a＋2bi，
所以2a＝2，
为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.
(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
(2)求cos∠COD.
2013安徽理科数学第4页
20．(2013安徽，理20)(本小题满分13分)设函数fn(x)＝
明：
1x
23n
xxx
222
23n
*)．证
(x∈R，n∈N
x)(－1＋a－
0
2
x)＝0，∴
0
2
x＝a－1≥0，∴a≥1.
0
答案：a3n2
n
S＝S，解析：设
OAB
11
∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，
∴OA1＝1，OA2＝2.
又易知△OA1B1∽△OA2B2，
SOA
OAB
1
∴11
SOA
OAB2
22
2
2
2
11
24
.
∴
S梯形＝3
ABBA
1122
S＝3S.
OAB