03随机过程
数据通信原理第03章随机过程
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
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17
➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
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7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
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4
随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
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5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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11
➢ 相关函数
第三讲 随机过程
• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。
随机过程
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。
本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。
换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。
随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。
每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。
因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。
其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。
在工程领域，随机过程也有广泛应用。
例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。
需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
02_03第二章 随机过程的基本概念汇总
即Z(t)的三阶矩就与时间t有关，故Z(t)不是 狭义平稳随机过程。
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 平稳随机过程的例题（续）
[例2.13]设随机过程X(t)=X (k) ，k=…-2， -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布 的随机变量序列，已知E[X (k)]=0， E[X2 (k)] = σ2X。试证X(t)既是广义平稳随机过程，又 是狭义平稳随机过程。
E[ X (t )] xf X ( x, t )dx xf X ( x)dx mX
D[ X (t )] [ X (t ) mX (t )]2 f X ( x)dx 2 X
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 狭义平稳随机过程的定义（续） 同理，狭义平稳随机过程的二维概率密度仅与时
间间隔τ= t1 － t2有关，即有
fX(x1,x2,t1,t2)= fX(x1,x2,t1+ △t ,t2 + △t) △t =-t2
fX(x1,x2,t1 - t2,0)= fX(x1,x2,τ)
由此可以求得X(t)的相关函数也只是τ的函数，即
RX (t1 , t2 )
0 rX ( )d
0
物理意义
相关时间 0 越小，就意味着相关系数 rX ( ) 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时 间变化越剧烈。反之，相关时间 0 越大， 则表时随机过程随时间变化越慢。
K x ( ) Rx ( ) E ( X ( ))
2
性质4
如果平稳随机过程中含有周期分量,那么其 自相关函数中也含有周期分量 例2.10可知， X (t ) A cos(wt + F) + N (t ) 相关函数为： A2 RX ( ) cos w + R N ( ) 2
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
第二章 随机过程的概念和类型
第二章 随机过程的概念和基本类型2.1 随机过程的基本概念随机过程是随机数学一个十分广泛的分支，它研究的是客观世界中随机现象演变过程的统计规律性.随机过程理论不仅广泛应用于自然科学的各个领域（例如物理学、生物学、电子技术等），而且在社会科学的许多领域也日益受到重视.我们都知道，初等概率论的主要研究对象是随机现象，可以用一个或有限个随机变量来描述随机试验所产生的随机现象.但是，随着科学技术的不断发展，我们必须对一些随机现象的过程进行研究，也就是要考虑无穷多个随机变量，而且解决问题的出发点不是随机变量的独立样本，而是无穷个随机变量的一次具体观测.这时，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律，这种随机变量簇就是随机过程.下面先考察几个例子.例 2.1 某人不断地掷一颗骰子，设()X n 表示第n 次掷骰子时出现的点数，1,2,n =⋅⋅⋅，对于任意一个n ，在第n 次掷骰子前不知道试验的结果会出现几点，因此，()X n 是一个随机变量.这样，随机现象可以用一簇随机变量{(),1}X n n ≥来描述.例2.2 设()X t 表示某流水线从开工（0t =）到时刻t 为止的累计次品数，在开工前不知道时刻t 的累计次品数将有多少，因此，()X t 是一个随机变量，假设流水线不断工作，随机现象可以用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述.例2.3 在天气预报中，若以()X t 表示某地区第t 次统计所得到的该天最高气温，则()X t 是一个随机变量，为了预报未来该地区的气温，我们必须用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述它的统计规律性.例2.4 在海浪分析中，需要观测某固定点海平面的垂直振动，设()X t 表示在时刻t 该点海平面相对于平均海平面的高度，则()X t 是一个随机变量，我们可以用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述它的统计规律性.上述例子的共同点是，不是静止地研究某种随机现象，从而研究个别随机变量，而是动态地关心某种随机现象如何随时间变化而发展的，也就是说，需要研究许多随机变量组成的一簇随机变量.一般地，这簇随机变量包含无限多个随机变量，如果这簇随机变量包含有限多个随机变量（例如例 2.1），那么，这类问题用初等概率论中多维随机变量来解决.一簇随机变量描述了随机现象的变化发展过程.为了更深入地研究随机过程的相关性质，我们先给出随机过程的一般定义.定义2.1 设(,ΩF ，)P 是一概率空间，T 是给定的参数，若对于任意t T ∈，有一个随机变量(,)X t ω与之对应，则称随机变量簇{(,),}X t t T ω∈是(,ΩF ，)P 上的随机过程(stochastic process ),简记为随机过程{(),}X t t T ∈，在不致引起混淆的情况下，也可记为()X t .T 为参数集（或指标集），通常表示时间，t 为参数（或指标）.需要说明的是：上述定义中的参数集T 可以是时间集，也可以是长度、重量、速度等物理量的集合，随机过程本来通称随机函数，当参数集T 是时间集时称为随机过程，但现在将参数集不是时间集的随机函数也称随机过程，对参数集T 不再有时间限制.在例2.1中，{1,2,}T =⋅⋅⋅，在例2.2, 例2.3和例2.4中[0,)T =+∞，一般地，如果T 由有限多个或可列无限个元素组成的集合，则称{(),}X t t T ∈为离散时间（或离散参数）的随机过程，例2.1是离散时间的随机过程，当T 为有限集时，{(),}X t t T ∈就是概率论中多维随机变量；如果T 是一区间，则称{(),}X t t T ∈为连续时间（或连续参数）的随机过程，例2.2, 例2.3 和例2.4都是连续时间的随机过程.从数学的角度看，随机过程{(),}X t t T ∈是定义在T R ⨯上的二元函数，对固定的t ，(,)X t ω是(,ΩF ，P ）上的随机变量，随机变量()X t 所取的值称为随机过程在时刻t 所处的状态(state )，随机过程{(),}X t t T ∈所有随机变量的全体称为随机过程的状态空间(state space )，记为I ；对固定ω，(,)X t ω是定义在T 上的函数，称为随机过程{(),}X t t T ∈的一个样本函数（sample function ）或轨道（orbit ），样本函数的全体称为样本函数空间.在例2.1中，{1,2,3,4,5,6}I =；在例2.2中，{0,1,2,}I = ；在例2.3中，(,)I =-∞+∞，在例2.4中[0,)I =+∞.不难看出，在上述例子中，把状态空间作适当扩大，仅仅是为了数学上处理的方便，如果I 是由有限个或可列无限个元素组成的集合，则称{(),}X t t T ∈为离散状态的随机过程，例2.1和例2.2都是离散状态的随机过程；如果I 是一个区间，则称{(),}X t t T ∈为连续状态的随机过程，例2.3和例2.4都是连续状态的随机过程.现将这一分类列表如下：表2-1随机过程的分类随机过程的分类，除了按照参数集和状态集是否可列外，还可以进一步根据过程之间的概率关系进行分类，如独立增量过程、Poisson 过程、Markov 过程、平稳过程、鞅过程等.2.2 随机过程的分布概率论基本内容之一是研究随机变量的分布，随机变量的分布刻画了随机变量的统计规律，分布的表现形式是分布函数（或离散型随机变量的概率函数，或连续型随机变量的概率密度）.我们知道，随机过程{(),}X t t T ∈由一簇随机变量组成，当参数集T 为有限集时，随机过程{(),}X t t T ∈由有限个随机变量组成，它本质上与概率论中的多维随机变量相同，可以用多维随机变量的分布函数（或概率函数，或密度函数）来表示随机过程{(),}X t t T ∈的分布；当T 为无限集时，也可以借助有限个随机变量的联合分布来刻画随机过程{(),}X t t T ∈的分布.对于任意一个t T ∈, ()X t 是一维随机变量，其分布函数为(;){()},F x t P X t x x R =≤∈称(;)F x t 为随机过程{(),}X t t T ∈的一维分布函数，显然，对于不同的t ，()X t 是不同的随机变量，因此，(;)F x t 一般也不同，全体一维分布函数组成的集合{(;),:}F x t x R t T ∈∈ F 1称为随机过程{(),}X t t T ∈的一维分布函数簇.对于任意两个12,t t T ∈, ()12(),()X t X t 是二维随机变量，其分布函数为{}21212112212(,;,)(),(),(,)F x x t t P X t x X t x x x R ≤≤∈称1212(,;,)F x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的二维分布函数，显然，对于不同的12,t t ，()12(),()X t X t 是不同的随机变量，因此，1212(,;,)F x x t t 一般也不同，全体二维分布函数组成的集合212121212{(,;,),(,):,}F x x t t x x R t t T ∈∈ F 2称为随机过程{(),}X t t T ∈的二维分布函数簇.一般地，对于任意n 个12,,,n t t t T ∈ , ()12(),(),,()n X t X t X t ⋅⋅⋅是n 维随机变量，其分布函数为{}121211(,...;,,,)(),,(),n n n n F x x x t t t P X t x X t x ≤⋅⋅⋅≤ 1(,,)n n x x R ⋅⋅⋅∈称11(,,;,,)n n F x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维分布函数，显然，对于不同的12,,,n t t t ，()1(),,()n X t X t ⋅⋅⋅是不同的随机变量，因此，11(,,;,,)n n F x x t t 一般也不同，全体n 维分布函数组成的集合1111{(,,;,,),(,,):,,}n n n n n F x x t t x x R t t T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅∈ F n 称为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维分布函数簇.定义2.2 {(),}X t t T ∈全体一维分布函数簇F 1、二维分布函数簇F 2⋅⋅⋅的并集F 1n n F ∞== 11111{(,,;,,),(,,):,,,1}n n n n n n F x x t t x x R t t T n ∞=∈⋅⋅⋅∈≥称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维分布函数簇.如果随机过程{(),}X t t T ∈是一个连续状态的随机过程，对于任意,()t T X t ∈通常是连续型随机变量，其密度函数为(;)f x t .称(;)f x t 为随机过程{(),}X t t T ∈的一维密度函数，全体一维密度函数组成的集合称为随机过程{(),}X t t T ∈的一维密度函数簇；一般地，称()1(),,()n X t X t 的密度函数11(,,;,,)n n f x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维密度函数，全体n 维密度函数组成的集合称为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维密度函数簇. 随机过程{(),}X t t T ∈一维密度函数簇、二维密度函数簇 的并集111{(,,;,,:,,,1)}n n n f x x t t t t T n ∈≥ 称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维密度函数簇.类似可以得到离散状态随机过程{(),}X t t T ∈的有限维概率函数簇.随机过程{(),}X t t T ∈有限维分布函数簇、有限维密度函数簇、有限维概率函数簇统称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维分布簇.随机过程{(),}X t t T ∈有限维分布函数簇满足如下两条性质：（1）（对称性） 设12,,,n i i i 为1,2,,n 的任意排列，12,,,n t t t T ∀∈ ，则1111(,,;,,)(,,;,,)n n n n i i i i F x x t t F x x t t =（2）（相容性 consistent ）设121,,,,,,,m m n m n t t t t t T +<∀∈ ，则1111(,,,,;,,)(,,;,,)m n m m F x x t t F x x t t ∞∞=反之，对于给定的满足对称性和相容性的分布函数簇，是否存在一个以它作为其有限维分布函数簇随机过程？Kolmogorov 在1931年证明了下述定理肯定地回答了.定理2.1 （Kolmogorov 存在定理）设已知参数集T 满足对称性和相容性的分布函数簇F ，则必存在一概率空间(,ΩF ，P ）及定义在上的随机过程{(),}X t t T ∈，它的有限维分布函数簇是F .下面举例说明求随机过程的一维、二维分布.例2.4 设随机过程(),0X t tV t =≥，V 为随机变量，概率函数为{1}0.4,P V =-= {1}0.6P V == 求随机过程()X t 的一维分布函数();12F x 与(;2)F x 及二维分布函数()12,;12,2F x x解 当12t =时，(12)2X V =是离散型随机变量；当2t =时，(2)2X V =是离散型随机变量，它们的概率函数分别为分布函数分别为 0,121;0.4,121221,12x F x x x <-⎧⎪⎛⎫=-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪≥⎩ 和 0,2(;2)0.4,221,2x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩当1212,2t t ==时，()()(12),(2)2,2X X V V =是二维离散型随机变量，它的概率函数为因此，()(12),(2)X X 分布函数为 (){}1212,;12,2(12),(2)F x x P X x X x =≤≤=121212121220,0.4,12122,12221,122x x x x x x x x <-<-⎧⎪-≤<≥-≥--≤<⎨⎪≥≥⎩或且且且2.3 随机过程的数字特征定义2.3 随机过程{(),}X t t T ∈，如果对于任意,()t T EX t ∈存在，称()(),X m t EX t t T =∈ （2.1）为随机过程{(),}X t t T ∈的均值函数（expectation function ），简记()m t .定义 2.4 随机过程{(),X t t T ∈，如果对于任意,,s t T ∈ [()()][()()]E X s m s X t m t --存在，称(,)[()()][()()],X C s t E X s m s X t m t -- ,s t T ∈ （2.2）为{(),}X t t T ∈的自协方差函数（self covariance - function ），简称协方差函数，简记(,)C s t ；称 (,)[()()],X R s t E X s X t ,s t T ∈ （2.3） 为随机过程{(),}X t t T ∈的自相关函数（self correlation - function ），简称相关函数，简记为(,)R s t .自协方差函数(,)C s t 是随机过程{(),}X t t T ∈本身在不同时刻状态之间线性关系程度的一种描述，特别地，当s t =时，称为随机过程{(),}X t t T ∈的方差函数（variance function ）.2()(,)[()()],X X D t C t t E X t m t t T =-∈ （2.4）由Schwarz 不等式知，随机过程{(),}X t t T ∈的协方差函数和相关函数一定存在，且有下面的关系式(,)(,)()()X X X X C s t R s t m s m t =-.特别地，当均值函数()0X m t ≡时，(,)(,)X X C s t R s t =.从定义可以知道，均值函数()m t 是反映随机过程{(),}X t t T ∈在时刻t 的平均值； 方差函数()X D t 是反映随机过程{(),}X t t T ∈在时刻t 对均值函数()m t 的偏离程度，而协方差函数(,)C s t 和相关函数(,)R s t 反映的是随机过程{(),}X t t T ∈在时刻s 和t 的线性相关程度.例2.5 设随机过程()cos()sin(),0X t Y t Z t t θθ=+>，其中,Y Z 是相互独立的随机变量，且20,EY EZ DY DZ σ====，求{(),0}X t t >的均值函数()m t 和协方差函数(,)C s t .解 由数学期望的性质()[cos()sin()]cos()sin()0EX t E Y t Z t t EY t EZ θθθθ=+=+=又由,Y Z 的相互独立，因此(,)(,)[()()]X X C s t R s t E X s X t ==[cos()sin()][cos()sin()]E Y s Z s Y t Z t θθθθ=++222cos()cos()sin()sin()cos[()]s t EY s t EZ t s θθθθσθ=+=-类似可以定义两个随机过程的互协方差函数和互相关函数.定义2.5 设随机过程{(),}X t t T ∈，{(),}Y t t T ∈，称(,)[()()][()()],,XY X Y C s t E X s m s Y t m t s t T --∈ （2.5）为{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈的互协方差函数（mutual covariance function ），称(,)[()()],,XY R s t E X s Y t s t T ∈ （2.6）为{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈的互相关函数（mutual correlation function ）.如果对任意,s t T ∈，有(,)0XY C s t =，则称{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈互不相关.显然有(,)(,)()()XY XY X Y C s t R s t m s m t =- （2.7）例 2.6 设(),Z t X Yt t R =+∈，若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()Z t 的协方差函数. 解 由数学期望的性质121122(,){[()()][()()]}Z X Y X Y C t t E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+1122{[()()][(()]}X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-2[()()][()()]X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--112[()()][()()]Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--222112112122()XY XY XX YY C t C t C t t C t t t t σρσ=+++=+++例 2.7 设两个随机过程()sin()X t A t ωθ=+与()sin()Y t A t ωθϕ=+-，其中,,,A B ωϕ为常量ϕ为[0,2]π上的均匀分布的随机变量，求12(,)XY R t t .解 设12t t <，则212121201(,)[()()]sin()sin()2XY R t t E X t Y t A t B t d πωθωθϕθπ==++-⎰ 211211210sin(){sin()cos[()]cos()sin[()]}2AB t t t t t t t d πωθωθωϕωθωϕθπ=++--++--⎰222110{cos[()]()2AB t t sin t d πωϕωθθπ=--+⎰ 221110sin[()]sin()cos()}t t t t d πωϕωθωθθ+--++⎰ 21cos[()]2AB t t ωϕ=-- 例 2.8 设()X t 为信号过程，()Y t 为噪音过程，令()()()W t X t Y t =+，则()W t 的均值函数为()()()w X Y m t m t m t =+其相关函数为(,)[()()][()()]w R s t E X s Y s X t Y t =++[()()][()()]E X s X t E X s Y t =+[()()][()()]E Y s X t E Y s Y t ++(,)(,)(,)(,)X XY YX Y R s t R s t R s t R s t =+++上式表明两个随机过程之和的相关函数可以表示为各个随机过程的相关函数之和.特别地，若两个随机过程的均值函数恒为0且互不相关时，有(,)(,)(,)W X Y R s t R s t R s t =+2.4 复值随机过程在工程技术上，常把随机过程表示成复数的形式进行研究更为方便.例如，在许多有关谱函数的运算要用到Fourier 变换，就需要复数形式.定义2.6 设{(),}X t t T ∈，{(),}Y t t T ∈是取值实数的两个随机过程，若对于任意t T ∈， ()()()Z t X t iY t =+其中i =，则称{(),}Z t t T ∈为复随机过程.类似可以定义复随机过程的均值函数、协方差函数、相关函数、方差函数如下： 均值函数： ()[()]()(),Z X Y m t E Z t m t im t t T ==+∈相关函数： 121212(,)()(),,Z R t t E Z t Z t t t T ⎡⎤=∈⎣⎦协方差函数：{}121122(,)[()()][()()]Z Z Z C t t E Z t m t Z t m t =--=121212(,)()(),,Z Z Z R t t m t m t t t T +∈ 方差函数：2()[|()()|](()())(()())(,)Z Z Z Z Z D t E Z t m t E Z t m t Z t m t C t t ⎡⎤=-=--=⎣⎦对于两个随机过程可以定义互相关函数和互协相关函数.互相关函数：12121122(,)[()()]Z Z R t t E Z t Z t =互协相关函数：(){}1212121122111222(,)(),()[()()][()()]Z Z Z Z C t t Cov Z t Z t E Z t m t Z t m t ==--2.5 随机过程的主要类型随机过程可以根据状态空间和参数集离散或连续进行分类，现在我们将根据随机过程的统计特征进一步将随机过程分类，这些常见的随机过程在以后的章节中将作进一步说明，这里只作简单介绍如下：2.5.1 二阶矩过程（two order - moment process ）定义2.7 设{(),}X t t T ∈是（取值实数或复值）的随机过程，若对于任意t T ∈，都有2[|()|]E X t <∞（二阶矩存在），则称{(),}X t t T ∈是二阶矩过程二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()X m t EX t =一定存在，一般假定()0X m t =，这时，协方差函数化为(,)[()()],,X C s t E X s X t s t T =∈.二阶矩过程的协方差函数具有以下性质：（1）（Hermite 性）(,)(,),X X C s t C t s = ,s t T ∈（2）（非负定性）对任意i t T ∈及复数,1,2,,,1i i n n α=≥ 有11(,)0n n X i j i j i j Ct t αα==≥∑∑2.5.2正交增量过程（orthogonal incremental process ）定义2.8 设{(),}X t t T ∈是零均值的二阶矩过程，若对于任意1234t t t t T <≤<∈，有 2143[()()][()()]0E X t X t X t X t ⎡⎤--=⎣⎦（2.8） 则称{(),}X t t T ∈为正交增量过程.从定义可以看出，正交增量过程的协方差函数可由其方差确定，且()2(,)(,)min(,)X X X C s t R s t s t σ== （2.9）事实上，不妨设[,]T a b =为有限区间，且规定()0X a =，取12340,,t t t s t b ====，则当a s t b <<<时，有()(()()E X s X t X s ⎡⎤-⎣⎦()()()()(()()E X s X a X t X s ⎡⎤=--⎣⎦0= 因此，(,)(,)()()(,)X X X X X C s t R s t m s m t R s t =-= =()()()()()()()E X s X t E X s X t X s X s ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦ ()2()(()()()()()X E X s X t X s E X s X s s σ⎡⎤⎡⎤=-+=⎣⎦⎣⎦ 同理，当b s t a >>>时，2(,)(,)()X X X C s t R s t t σ==于是 ()2(,)(,)min(,)X X X C s t R s t s t σ== 2.5.3 独立平稳增量过程（independent stationary incremental process ） 定义2.9 给定随机序列{,1}n X n ≥，如果随机变量12,,X X 相互独立，那么随机序列{,1}n X n ≥为独立过程（或独立随机序列）.在例2.1中，如果骰子每次出现的点数是相互独立的，那么得到一个独立随机过程.值得注意的是，就物理意义来说，连续参数独立过程是不存在的，因为，当1t 和2t 很接近时，我们完全有理由说1()X t 和2()X t 有一定的依赖关系，因此，连续参数独立过程只是理想化的随机过程.定义2.10 设随机过程{(),}X t t T ∈，若对任意正整数n 和12n t t t T <<<∈ ，随机变量21321()(),()(),,()()n n X t X t X t X t X t X t ----相互独立，则称随机过程{(),}X t t T ∈为独立增量过程.同独立过程一样，独立增量过程中的参数集T 可以是离散的，也可以是连续的.独立增量过程的直观含义是：随机过程{(),}X t t T ∈在各个不相重叠的时间间隔上状态的增量是相互独立的.在实际应用中，某服务系统在某时间间隔的“顾客”数，电话传呼站的“电话”次数等都可用这种过程来描述.正交增量过程与独立增量过程都是根据不相重叠的时间间隔上增量的统计相依性来定义的，前者增量是不相关，后者增量是独立的.显然，正交增量过程不一定是独立增量过程；而独立增量过程只有在二阶矩存在，且均值为零的条件下才是正交增量过程.定理2.2 设二阶矩过程{(),}X t t T ∈是独立增量过程，若[,),()0T a X a =+∞=，则{(),}X t t T ∈的协方差函数为()2(,)min{,},,X X C s t s t s t a σ=≥. 证明 假设s t <，由()()(),()()()X s X s X a X t X t X a =-=-相互独立性， ()()(,)(),()(),[()()()]X C s t Cov X s X t Cov X s X t X s X s ==-+()()(),()()(),()Cov X s X t X s Cov X s X s =-+2()()X DX s s σ==定义2.11 设随机过程{(),}X t t T ∈，对于任意,,,s t T s t T ττ∈++∈，增量()()X s X s τ+-与()()X t X t τ+-服从相同的分布，则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程.平稳增量过程的直观含义是：随机过程{(),}X t t T ∈在时间间隔(,]t t τ+上状态的增量()()X t X t τ+-仅仅依赖终点和起点的时间差τ，与时间起点无关.如果一个独立增量过程同时又是平稳增量过程，则称它为平稳独立增量过程.平稳独立增量过程是一种很重要的随机过程，后面将反复提到.定理2.3 设随机序列{,0}n X n ≥，且00X =（1）{,0}n X n ≥是独立增量过程的充要条件是n X 可以表示为独立随机变量序列的部分和(1)n ≥；（2）{,0}n X n ≥是平稳独立增量过程的充要条件是n X 可以表示为独立同分布随机变量序列的部分和(1)n ≥.证明 充分性由定义直接得到，下面证明必要性.令随机变量 1,1n n n U X X n -=-≥，则1,1nn ii X U n ==≥ （1）{,0}n X n ≥是独立增量随机过程，对任意n ,增量12,,,n U U U 相互独立，因此，12,,U U 是独立随机变量序列；（2）{,0}n X n ≥是平稳独立增量过程时，对任意,m n ，增量,m n U U 同分布，因此，12,,U U 是独立同分布随机变量序列.2.5.4 维纳过程（W i e n e r process ）在概率论中我们都知道，正态分布是一种十分重要的分布，正态过程在随机过程中的地位类似于正态随机变量在概率论中的地位，尤其在电讯技术中，正态过程有着十分广泛的应用.定义2.12 设随机过程{(),}X t t T ∈，对任意正整数n 和12,,,,n t t t T ∈()12(),(),,()n X t X t X t 是n 维正态分布，即有密度函数2121211()exp ()()(2)||2n f x x B x B μμπ-⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭其中()1212(,,,),(),(),,()T T n n x x x x EX t EX t EX t μ== ，()ij n n B b ⨯=为正定矩阵，{[()()][()()]}ij i i j j b E X t EX t X t EX t =--.则称{(),}X t t T ∈为正态过程或Gauss 过程.19世纪英国植物学家布朗(Brown )发现，浸在水中的微小花粉粒子，受到作不规则运动的水分子的随机碰撞在水面上做不规则的运动，后来，人们把这种运动称为布朗运动.爱因斯坦（Einstein ）于1905年第一次给出它的物理解释.1918年，控制论创始人维纳（Wiener ）首先对这个随机过程进行了严格的数学论证，奠定了研究这类随机过程的基础.定义2.13 设随机过程{(),}X t t T ∈满足下列条件：（1）(0)0X =；（2）()X t 是独立增量过程；（3）对任意0s t ≤<，增量()2()()0,()X t X s N t s σ-⋅- ，其中，常数20σ>，则称随机过程{(),}X t t T ∈为参数为2σ的Wiener 过程.从定义可以看出，Wiener 过程的参数集[0,)T =∞，状态空间(,)I =-∞+∞，而且Wiener 过程也是平稳增量过程，因此，Wiener 过程是平稳独立增量过程，另外，当s t ≥时，2()()(0,||)X t X s N t s σ-- 依然成立，特别地，当21σ=时，随机过程{(),}X t t T ∈为标准Wiener 过程.定理2.4设随机过程{(),}X t t T ∈为参数为2σ的Wiener 过程.则（1） Wiener 过程是一个正态过程；（2） 22()0,()X X m t t t σσ==； 0t > 且 2121212(,)(,)min(,),X X R t t C t t t t σ==⋅ 12,0t t ≥ （2.10）证明：（2）()()[()(0)]0X m t EX t E X t X ==-=当12t t <时，1212(,)[()()]X R t t E X t X t =1211[()(0)][()()()(0)]E X t X X t X t X t X =--+-21211[()(0)][()()][()(0)]E X t X X t X t E X t X =--+-21t σ=当12t t >时，同样可以得到2122(,)X R t t t σ=因此 21212(,)min(,)X R t t t t σ=例 2.9 设随机过程{(),}X t t T ∈为参数为4的Wiener 过程，定义随机过程()2(3),0Y t X t t =>，则有()Y t 的均值函数为： ()()2(3)0Y m t EY t EX t ===；()Y t 的相关函数为：121212(,)()()4(3)(Y R t t EY t Y t EX t X t ==12121644min(3,min(,)3t t t t =⨯= 2.5.5 泊松过程（Poisson process ）在现实世界中有很多例子，例如：盖格记数器上的粒子数，二次大战时，伦敦空袭的弹着点，电话总机所接听的呼唤次数，交通流中事故数，某地区地震发生次数等.这类过程有如下两个性质：一是时间和空间上的均匀性，二是未来的变化与过去的变化没有关系，为了描述这类过程的特性，我们来建立Poisson 过程的模型.定义2.14 给定随机过程{(),0}N t t ≥，如果()N t 表示时间段[0,]t 出现的质点数，状态空间{0,1,2,}I = ，且满足（1）(0)0N =；（2）当s t <时，()()N s N t ≤， 则称{(),0}N t t ≥为记数过程（counting process ）.记数过程的样本函数是单调不减的右连续函数（阶梯函数），当跳跃度为1时，称为简单记数过程.简单记数过程表示同一时刻至多出现一个的记数过程.记数的对象不仅仅是电话呼叫次数、来到商店的顾客数，也可表示质点流. 记数过程是时间连续状态离散的随机过程.定义2.15 设随机过程{(),0}N t t ≥是记数过程，如果()N t 满足条件：（1）(0)0N =；（2）()N t 是独立增量过程；（3）对任意0a ≥，0t >，区间(,]a a t +（0a =是应理解为[0,]t ）上的增量()()N a t N a +-服从参数为t λ的Poisson 分布，即(){()()},0,1,2,!kt t P N a t N a k e k k λλ-+-=== （2.11） 则，称{(),0}N t t ≥为参数为λ的泊松过程（Poisson process ）.0λ>条件（3）表明，()()N a t N a +-的分布只依赖时间t 而与时间起点a 无关，因此，Poisson 过程具有平稳增量性，当0a =时，(){()},0,1,2,,0!kt t P N t k e k k λλλ-===> 因此，Poisson 过程的均值函数为()()N m t EN t t λ==，它表明在时间段[0,]t 出现的平均次数为t λ，λ称为Poisson 过程的强度. 因此，Poisson 过程表明前后时间的独立性和时间上的均匀性，强度λ描述了随机时间发生的频率.有关Poisson 过程的更多结果，后面将进一步论述.2.5.6 马尔可夫过程（Markov process ）定义 2.16 设随机过程{(),}X t t T ∈，对于任意正整数n 及12,n t t t <<< 1111{(),,()}0n n P X t x X t x --==> ，且条件分布1111{()|(),,()}n n n n P X t x X t x X t x --≤== 11{()|()}0n n n n P X t x X t x --=≤=> 则称{(),}X t t T ∈为马尔可夫过程（Markov process ）.定义中给出的性质称为马尔可夫性，或称无后效性，它表明若已知系统“现在”的状态，则系统“未来”所处状态的概率规律性就已确定，而不管系统“过去”的状态如何.也就是说，系统在现在所处状态的条件下，它将来的状态与过去的状态无关.Markov 过程{(),}X t t T ∈的状态空间和参数集可以是连续的，也可以是离散的.有关Markov 过程的进一步讨论，我们将在第四章进行.2. 5.7 鞅过程（martingale process ）最近几十年才迅速发展起来的现代鞅（过程）论是概率论的一个重要分支，它给随机过程论、随机微分方程等提供了基本工具.定义2.17 设参数集{0,1,2,}T = ，如果随机序列{(),0}X n n ≥对任意0,n ≥，且|()|E X n <∞，若[](1)|(1),(2),,()()E X n X X X n X n += （2.12）则称{(),0}X n n ≥为离散参数鞅（discrete parameter martingale ）.定义 2.15 设参数集[0,)T =∞，如果随机过程{(),}X t t T ∈对任意|()|,E X t t T <∞∈，若[()|(),](),,..E X s X u u t X t s t a s ≤=> （2.13）则称{(),}X t t T ∈为连续参数鞅（continuous parameter martingale ）.上式中，如果将“=”换成“≤”或“≥”，则分别称为离散参数（连续参数）上（或下）鞅.鞅是用条件期望来定义的，关于离散时间鞅，我们可以作下面的直观解释：设()X n 表示赌徒在第n 次赌博时的资本，(1)X 表示最初赌本（这是一常数）而()X n (2)n ≥由于赌博的输和赢是一个随机变量，如果赌博是公平的，那么每次他的资本增益的期望为零，在以后的赌博中，他资本的期望值还是他最近一次赌完的资本数()X n ，用数学模型表示，就是定义中的等式，因此，鞅表示一种“公平”的赌博，上鞅和下鞅表示一方赢利的赌博.例 2.8 设{(),0}Y n n ≥相互独立的随机变量序列，(0)0,Y = 且|()|,E Y n <∞ ()0,0EY n n =≥，令1(0)0,()(),1ni X X n Y i n ===≥∑，则{(),0}X n n ≥是鞅.证明 因为11|()||()||()|n ni i E X n E Y i Y i ===≤<∞∑∑，且[(1)|(0),(1),,()][()(1)|(0),(1),,()]E X n X X X n E X n Y n X X X n +=++[()|(0),(1),,()][(1)|(0),(1),,()]E X n X X X n E Y n X X X n =++()[(1)]()X n E Y n X n =++=定理2.5 设{(),0}X t t ≥是Wiener 过程，则它是鞅.证明：对于任意0s t <<，由独立增量性得 [()()|()][()()]0E X t X s X s E X t X s -=-=因此，对于任意参数01,,,,n t t t t ，01(0)n t t t t =<<<< 有[()|(),0][()()()|(),0]i n n i E X t X t i n E X t X t X t X t i n ≤≤=-+≤≤[()()]()()n n n E X t X t X t X t =-+=习 题 二2.1 设随机变量Y 具有概率密度()f y ,令(),(0,0)Yt X t e t Y -=>>,求随机过程()X t 的一维概率密度及12(),(,)X EX t R t t .2.2 设随机过程()cos()sin()X t A t B t ωω=+,其中ω为常数,,A B 是相互独立且服从正态2(0,)N σ的随机变量,求随机过程的均值和相关函数.2.3 随机过程()X t 的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X C t t t ϕ为普通函数,令()()()Y t X t t ϕ=+,求随机过程()Y t 的均值和相关函数.2.4 设随机过程2()X t X Yt Zt =++,其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量,且均值为0,方差为1,求随机过程()X t 的协方差函数.2.5 设()f t 是一个周期为T 的周期函数,随机变量Y 在(0,)T 上均匀分布,令()()X t f t Y =-,证明：随机过程()X t 满足 01[()()]()()T E X t X t f t f t dt T ττ+=+⎰ 2.6 设随机过程()X t 和()Y t 的互协方差函数为12(,)XY C t t ,证明1212|(,)|()()XY X Y C t t t t σσ≤2.7 设{(),0}X t t ≥是实正交增量过程,(0)0,X V =是标准正态随机变量,对任意的0t ≥,()X t 与V 相互独立,令()()Y t X t V =+,求随机过程{(),0}Y t t ≥的协方差函数.2.8 设,Y Z 是独立同分布随机变量,12{1}{1}P Y P Y ===-=, ()cos()sin(),X t Y t Z t θθ=+t -∞<<∞,其中θ为常数,证明：随机过程()X t 是广义平稳过程，但不是严平稳过程.。
《随机过程》课件 (2)
随机过程在实际应用中的重要 性
随机过程在许多领域中起到重要的作用，例如金融学、通信工程、物理学、 天气预报等。通过建立和分析随机过程模型，我们可以更好地理解和预测复 杂系统中的随机变化。
2 连续时间
随机过程在连续的时间范围内进行观测和分析。这包括连续的时间流逝和可能具有连续 状态值的过程。
随机过程的性质和特征
随机性
随机过程的结果是不确定的，无法预测每个时间点的具体数值。
时序关联
随机过程的值在时间上相互关联，前一时刻的值对后一时刻的值具有一定的影响。
统计稳定
随机过程具有一定的平稳性质，即其统计性质在时间上保持不变。
《随机过程》PPT课件 (2)用随机过程的例子解释概率论基本概念。随机过程的定义
随机过程是指一种随着时间的推移而产生变化的数学模型。它可以描述在不 同时间发生的随机事件，并提供了一种分析和预测的方法。
随机过程的分类
1 离散时间
随机过程在离散时间点上进行观测和分析。这包括离散的时间步长和离散的状态值。
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
第03讲_随机过程的基本概念2
平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程自相关函数性质平稳随机过程自相关函数的特性()()=−X X R R ττ相关函数是偶函数证明：()[()()][()()]()=+=+=−X X R E X t X t E X t X t R ττττ根据这个性质，在实际问题中只需计算或测量()R τ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质R τ0=τ(0)()≥X X R R τ相关函数在时有最大值()X 证明：有2{[()()]}0±+≥E X t X t τ即22[()2()()()]0±+++≥E X t X t X t X t ττ22[()]2[()()][()]0±+++≥E X t E X t X t E X t ττ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量0()cos()()=+Φ+X t A t N t ω2A 例如：其中和为常数，在上均匀分布，是与统计独立的平稳随机过程A 0ωΦ(,)−ππΦ()N t ()cos ()=+R R τωττ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质2)(lim XX m R =∞→ττ若随机过程不含周期分量，则证明：2lim ()lim [()()]lim [()][()]X XR E X t X t E X t E X t m ττττττ→∞→∞→∞=+=+=平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质22R +=2R E X =)0(X X X m σ)(τX R 2X σ)0(X R 统计平均功率直流功率()R ∞(0)[()]X t平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质相关函数具有非负定性即对任意的个实数和任意实函数，有复数,,...,N t t t 12()()()N N i j X i j i j g t g t R t t ==−≥∑∑11N ()g t 证明：()()()N Ni j X i j g t g t R t t −∑∑i j ==11相关系数和相关时间相关系数和相关时间其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性小结小结作业。
第03章 随机过程和随机场
机
场 的 概
x1
x2 ...
x3
fn (x1, x2 ,...,
xn;u1, u2 ,...,
un )dx1dx2...dxn
念
成立的函数fn称为随机场X(u)的n维概率密
念 Fn (x1, x2 ,..., xn ;u1, u2 ,..., un ) PX (u1 ) x1, X (u2 )
1, u2 ,..., un ) PX (u1 ) x1, X (u2 ) x2 ,..., X (un ) xn
称为随机场X(u)的n维概率分布函数。
使得下式
3.3
的 数
心矩。
字 特
显然，在式(3-10)中令t1 = t2 = t，得
征
C
X
(t , t )
DX
(t)
2 X
(t)
（3-11）
即同一时刻的自协方差函数就是该时刻的 方差。
在实际问题中，有时需要考虑两个不同
3.2 的随机过程之间的概率特性，描述这一概率
随 机
特性的数字特征是互相关函数和互协方差函
过 数。
程
设X(t)，Y(t)为两个随机过程，则称
的
数
RXY (t1,t2 ) EX (t1)Y (t2 )
字
（3-12）
特
xyf11(x,t1; y,t2 )dxdy
征 为随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数, 式中f11(x，
t1；y，t2)为随机过程X(t)和Y(t)的联合概率密
度函数。
及 其
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
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3.1随机过程的基本概念
【例】n台示波器同时观测并记录n 台接收机的输出噪声波形 样本函数ξi(t)：一次实现。 随机过程：ξ(t) 是全部样本函数的 集合。 (t )
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的 延伸。
5、R 0－R ＝ 2 方差, t 的交流功率
6、若E t ＝a 0，则R 中一定有常数a2
7、若 t 有周期量，则R 也有，且周期相同
8、若 t 是各态历经、零均值且无周期分量， 则 lim R 0
3.2 平稳随机过程
3.2 平稳随机过程
各态历经性是平稳随机过程才有的 特性。
Example 3－1：设一个随机相位 的正弦波为ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中
A和ωc均为常数；θ是在(0,2π)内均
匀分布的随机变量。试讨论是否具 有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.1.3 平稳过程的自相关函数 自相关函数的性质：
本，则其时间均值和时间相关函数
分别定义为
ax
A
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t dt
T 2
R
A
x
t
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t x t dt
T 2
如果 a a R( ) R( )
称该平稳过程具有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.2.2 各态历经性
提出问题：能否从一次试验而得到 的一个样本函数x(t)来决定平稳过程 的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有 非常有用的特性，称为“各态历经 性”（又称“遍历性”）。任一实 现的时间平均值来代替。
3.2 平稳随机过程
各态历经性条件
设：x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一样
3.2.4 平稳过程的功率谱密度
1、定义：
确定功率信号f(t)的功率谱密度
Pf
(f)
lim
T
FT ( f ) 2 T
FT(f)是截短fT(t) 对应的频谱
f (t)
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化 的过程，它不能用确切的时间函数 描述。可从两种不同角度看：
E t xf1 x,t dx a t
2、方差（Varance）
D
t
E
t
E
பைடு நூலகம்
t
2
E
t a t 2
2
t
3.1随机过程的基本概念
3、自协方差函数（Covarance）
因此，可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量 ξi(t1)的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进 行精确的数学描述。
3.1随机过程的基本概念
通信系统中的噪声就是一种随机 信号 虽然随机信号不能预测，但我们 可以通过统计学来得到它们的一般 表述。
3.1.1 随机过程的分布函数
3.1随机过程的基本概念
5、互协方差（Cross Covarance）
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
6、互相关（Cross Correlation）
R
t1
,
t
2
E
t1
t
2
3.1随机过程的基本概念
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
fn x1,
x2 ,,
xn ; t1 , t2 ,, tn
n Fn
x1, x2,, xn;t1,t2,,tn
x1x2 xn
3.1随机过程的基本概念
3.1.2 随机过程的数字特征
1、数学期望（Expectation）
Example: 设一个随机相位的正弦
波为 (t) Acos(ct )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。 试求其均值、方差和自相关函数。
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
1、狭义平稳
fn x1x2,, xn;t1,t2,,tn fn x1x2,, xn;t1 ,t2 ,,tn
3.1随机过程的基本概念
随机过程(t)的一维到n维分布函数
F1x1,t1 P t1 x1
Fn x1, x2,, xn;t1,t2,,tn P t1 x1, t2 x2,, tn xn
随机过程(t)的一维到n维概率密度
函数
1、R 0 E 2 t S 称为 t 的平均功率 2、R R － 必须是实过程才成立 3、R R 0
上界性，即当＝0时，相关性最大
4、R ＝E2 t 称为 t 的直流功率
3.2 平稳随机过程
任意有限维分布函数与时间起点无 关，称该随机过程是在严格意义下 的平稳随机过程，简称严平稳随机 过程。
3.2 平稳随机过程
2、广义平稳
平稳随机过程的一维分布与时间t无 关，而二维分布只与时间间隔τ有关， 数字特征为
(1)Et a
(2)Rt,t R
为广义平稳随机过程。显然，严平 稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
4、自相关函数（Correlation）
R t1,t2 E t1 t2
x1x2 f x1, x2;t1,t2 dx1dx2