第二章随机过程的概念与基本讲解

由定义，易见
Bz (s, t) Rz (s, t) mz (s)mz (t)
定理 2.2 复随机过程 {Xt , t T} 的协方差函数 B(s, t) 具有性质
（1）对称性： B(s, t) B(t, s) ； （2）非负定性：
对任意 t T 及复数 ai , i 1, 2, , n, n 1
Ft1, ,tn ( x1, x2, , xn ) p{X(t1) x1, , X(tn ) xn} 这些分布函数的全体
F {Ft1,...,tn ( x1, x2 , ...xn ), t1, t2 , ...tn T, n 1}
称为 Xt ={X(t),t∈T }的有限维分布函数族。
值得注意的是参数 t 可以指通常的时间，也可以指 别的；当 t 是向量时，则称此随机过程为随机场。为了 简单起见，我们以后总是假设T R (,) 。
例6 抛掷一枚硬币的试验, 样本空间 S={H,T}, 现定义
X (t )

cos πt,当出现H ,

t
,
当出现T ,
t (,),
是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个
取非负整数的随机变量。故{X(t)，t∈[0,∞]}是随机过
程。
例 3 在天气预报中，若以 X(t) 表示某地区第 t 次统计
所得到的该天最高气温，则 X(t) 是随机变量。为了预报 该地区未来的气温，我们必须研究随机过程 {X(t), t 0,1,2, }的统计规律性。
BXY (s, t ) E[( X (s) mX (s))(Y (t ) mY (t ))], s, t T
为{X(t),t∈T }与{Y(t),t∈T }的互协方差函数，称
RXY (s, t ) E[ X (s)Y (t )]
为{X(t),t∈T }与{Y(t),t∈T }的互相关函数。
分布的随机变量.
对固定的时刻t t1, X (t1) a cos(t1 ) 是
一个随机变量.
X (t) a cos(t ), t (,),
是一个随机过程, 叫做随机相位正弦波. 状态空间 : [a,a].
样本函数 : xi (t ) a cos(t i ), i (0,2π).
例 1 生物群体的增长问题。在描述群体的发展或演
变过程中，以Xt 表示在时刻 t 群体的个数，则对每一 个 t， Xt 是一个随机变量。假设我们从 t=0 开始每隔 24 小时对群体的次数观测一次，则{ Xt , t 0,1, 2, }
是随机过程。
例2 某电话交换台在时间段[0，t]内接到的呼唤次数
3
x(t)
2
1
0
o
-1
-2
-3 0
data1 data2
x1(t),1 0
t
x2 (t ),2

3π 2
1
2
3
4
5
从数学的观点来说，随机过程{ X (t, e), t T } 是定义
在 T×Ω上的二元函数。对固定的 t，X(t,e)是定义在 T
上的普通函数，称为随机过程{ X (t, e), t T } 的一个样本 函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
X i -1 1
pi 1/2 1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i 。 i 1
试求：随机过程 {Y (n),n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设 { X t , t T } ，{Yt , t T } 是取实数值的两
若对任意 s,t∈ T ,有 BX (s, t) =0,则称{X(t),t∈ T }与
{Y(t),tT }互不相关。
显然有:
BXY (s, t ) RXY (s, t ) m X (s)mY (t )
例 4 设有两个随机过程 X (t) g1(t ) 和Y (t) g2(t ) ，
Ft1 , ,tm ( x1 , x2 , ..., xm ) Ft1 , ,tm , ,tn ( x1 , x2 xm , , , )
定理 1（Kolmogorov 存在定理）设已给参数集 T 及满 足对称性和相容性条件的分布函数族 F,则必存在概率 空间（ ，F，P ）及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T }, 它的有限维分布函数族是 F 。
例4 在海浪分析中，需要观测某固定点处海平面的垂 直震动。设X(t)表示在时刻t处的海平面对于平均海平
面的高度，则X(t)是随机变量，而{X(t),t∈[0,∞]}是随机
过程。
例5、热噪声电压
电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子) 的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压. 热噪声电压在任一确定时刻t的值是一随机变 量,记为V (t).
根据参数T及状态空间I是可列集或非可列集，可以 把随机过程分为以下四种类型： (1)T和I都是可列的； (2)T非可列，I可列； (3)T可列，I非可列； (4)T和I都非可列。
§ 2.2 随机过程的分布律和数字特征
定义 2.2 设 Xt ={X(t),t∈T }是随机过程，对任意 n≥1 和 t1, t2 , , tn ∈ T ,随机向量 ( X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )) 的联合分 布函数为:
n
B(ti , t j )ai a j 0
i, j1
．
证 （1）
B(s, t) E[( Xs m (s))( Xt m (t))]
E[( Xs m (s))( Xt m (t))]
例 1 设随机过程
X (t ) Y cos( t ) ຫໍສະໝຸດ Baidu sin( t ), t 0
其中，Y,Z 是相互独立的随机变量，且 EY EZ 0 ，
DY DZ 2 。求此随机过程的均值函数mX (t ) 和协
方差函数 BX (s,t) 。
答案： 2 cos((t s) )
§2.1 随机过程的基本概念
• 初等概率论研究的主要对象是一个有限 个随机变量（或随机向量），虽然我们 有时也讨论了随机变量序列，但假定序 列之间是相互独立的。随着科学技术的 发展，我们必须对一些随机现象的变化 过程进行研究，这就必须考虑无穷个随 机变量的一次具体观测。这时，我们必 须用一族随机变量才能刻划这种随机现 象的全部统计规律性。
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
其中P(H ) P(T ) 1 2.
对任意固定的t, X (t)是定义在S上的随机变量.
对不同的t, X (t)是不同的随机变量.
{ X (t), t (,)}是一族随机变量,是随机过程.
样本函数的集合 : {cosπt,t} 状态空间 : (,)
例7 考虑
X (t) acos(t ), t (,), 其中a和是正常数,是在(0,2π)上服从均匀
例 2 设随机过程
X (t) Y Zt, t 0
其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量，求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2

1
exp
2(1

ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12

2ρ(
时间t : [0,), {V (t),t 0}. 对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条 件下进行测量.得到如下的电压——时间曲线.
以上例子说明，必须扩大概率论的研究范围，讨 论随机过程的有关性质。为此，我们给出随机过程的 一般定义。
定义 2.1 设（，F，P ）是概率空间,T 是给定的参数
定义 2.3 设 Xt ={X(t),t∈T }是随机过程，如果对任意 t ∈T ,E[X(t)]存在，则称函数
mX (t)def E[X (t)], t T
为 Xt 的均值函数。 若对任意 t∈T ,E[(X(t))2 ]存在，则称Xt 为二阶矩过
程，而称 BX (s, t ) E[( X (s) mX (s))( X (t ) mX (t ))], s, t ∈T
集,若对每个 t∈T，有一个随机变量 X(t,e)与之对应，则
称随机变量族{ X (t, e), t T } 是（，F，P ）的随机过程,
简记为随机过程{ X (t), t T } 。T 称为参数集，通常表示
时间。
通常将随机过程 { X (t, e), t T } 解释为一个物理系 统。X(t)表示在时刻 t 所处的状态。X(t)的所有可能状态 所构成的集合称为状态空间或相空间，记为 I。
x

μ1 )( y σ1 σ2

μ2
)

(
y
μ2 σ22
)2

例 3 设 X(t)是实随机过程，x 为任意实数，令
Y
(t)

1, 0,
X (t) X (t)

x, x,
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别为 X(t)的 一维和二维分布函数。
定义 2.4 设{X(t),t∈T }，{Y(t),t∈T }是两个二阶矩过 程，则称
个随机过程，若对任意 t T Zt X t iYt ，
其中 i 1 ，则称{Zt ,t T}为复随机过程．
当 {Xt , t T } 和{Yt , t T} 是二阶矩过程时，其均值函 数、方差函数、相关函数和协方差函数的定义如下：
mz (t ) E(Zt ) E( X t ) iE(Yt ) Dz (t ) E(| Zt mz (t ) |2 ) E((Zt mz (t ))(Zt mz (t ))) Rz (s, t ) E[Zs Zt ] Bz (s, t ) E[(Zs mz (s))(Zt mz (t ))]
其中 g1(t) 和 g2 (t ) 都是周期为 L 的周期方波， 是(0,L)
上服从均匀分布的随机变量。求互相关函数 RXY (t, t ) 的表达式。
例 5 设{X(t),t∈T }，{Y(t),t∈T }是两个二阶矩过程， W (t) X (t) Y (t), t T 则
RW (s, t ) RX (s, t ) RXY (s, t ) RYX (s, t) RY (s, t)
为 Xt 的协方差函数。 DX (t) BX (t, t)def E[X (t) mX (t)]2, t T
为 Xt 的方差函数
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
为 Xt 的相关函数。
均值函数 mX (t) 是随机过程{X(t),t∈T }在时刻 t 的平均值，方差函数 DX (t) 是随机过程在时刻 t 对 mX (t) 的偏离程度，而协方差函数BX (s,t) 和相关函数 RX (s, t ) 则反映随机过程{X(t),t∈T }在时刻 s 和 t 时的 线性相关程度。
由于随机变量的分布函数和特征函数的一一对应 关系，随机过程的概率特征也可以通过随机过程的有 限维特征函数族：
{gt1, ,tn (1,2, ,n ) : t1, t2, , tn T, n 1} 来完整描述，其中：
n
gt1 , ,tn (1 ,2 , ,n ) E(exp{i k X (tk )}) k 1
Xt ={X(t),t∈T }的有限维分布函数族具有性质：
(1)对称性 对于{ t1 , t2 , , tn }的任意排列{ ti1 , ti2 , , tin }
Ft1 , ,tn ( x1, x2 , , xn ) Fti1, ( x , ,tin ti1
(2)相容性 当 m<n 时
, xtin );