高等数学第四章课件-矩阵的概念
高等代数第4章矩阵1,2,3节
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
高等数学矩阵
高等数学矩阵矩阵是高等数学中的重要概念之一，它在代数学、线性代数以及其他数学领域中起着重要作用。
矩阵由行和列组成，其中每个元素都可以是数字、符号或者是其他矩阵。
在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及一些常见的矩阵类型。
一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的元素所组成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
我们用大写字母来表示矩阵，比如A、B 等。
矩阵中的每个元素用小写字母加上下标来表示，比如a11表示矩阵A中第一行第一列的元素。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
2. 矩阵的减法：对应位置的元素相减，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵相乘的结果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
4. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素与一个数相乘，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。
三、常见的矩阵类型1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵，记作I。
3. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
4. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。
5. 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0的矩阵。
6. 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0的矩阵。
四、矩阵的应用领域1. 线性代数：矩阵在线性代数中起着至关重要的作用，它可以用来表示线性方程组、向量空间以及线性变换等概念。
2. 统计学：矩阵在统计学中用于处理大量的数据，如多元线性回归、主成分分析等。
3. 物理学：矩阵在物理学中用于描述物体的状态、运动以及相互作用等。
4. 电脑图形学：矩阵在电脑图形学中用于表示图像的变换、旋转、缩放等操作。
总结：矩阵作为高等数学中的重要概念，其应用广泛且不可忽视。
我们在学习和应用矩阵时，需要掌握矩阵的基本概念和运算规则，了解常见的矩阵类型，并将其运用于各个领域中。
高等数学第四章课件-初等矩阵
类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 ， 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
高等代数
东北大学秦皇岛分校
4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
高等代数
东北大学秦皇岛分校
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
高等代数
东北大学秦皇岛分校
化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
大学数学高数微积分第四章矩阵第四节课件课堂讲解
(2) (kA)1 1A1 ; k
(3) (AB)-1 = B-1A-1,
(A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;
（4） (AT)-1 = (A-1)T ;
（5） |A1| 1 ; |A|
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
特 殊 情形 .
在第二节我们也看到，矩阵与复数相
仿，有加法、减法、乘法三种运算 .
我们知道，复
数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否
也有逆运算呢？
如果有的话，这种运算如何定义，
如何计算呢？ 这就是本节所要讨论的问题.
引 引 例 例
2 2
坐 坐 标 标 旋 旋 转 转 变 变 换 换
时 就 任 （
级方阵 B，使得
AB = BA = E ,
(1)
这里 E 是 n 级单位矩阵.
定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A
的逆矩阵，记为 A-1 .
2. 逆矩阵的唯一性
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义
有
AB = BA = E，AC = CA = E，
于是
B = BE = B( AC ) = ( BA )C
所以逆矩阵唯一.
= EC = C .
证毕
三、矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆
的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？
为此先引入伴随
矩阵的概念.
1. 伴随矩阵
定义 12 设 Aij 是矩阵
a11
A
a21
a12
矩阵的概念与性质
矩阵的概念与性质矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有多种性质和运算规律。
在数学和工程学科中，矩阵被广泛应用于各种问题的描述和求解中。
本文将介绍矩阵的基本概念和一些重要的性质，帮助读者更好地理解和运用矩阵。
**1. 矩阵的定义**在数学中，矩阵是由数构成的矩形阵列。
通常用大写字母表示，比如A、B、C等。
一个m×n的矩阵由m行n列的数排列在方括号 [] 中表示，如下所示：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]其中，a<sub>ij</sub>表示矩阵A中第i行第j列的元素。
**2. 矩阵的性质**- 矩阵的加法：设A和B是同型矩阵，即行数和列数相同。
则它们的和A + B是一个同型矩阵，其每个元素是对应位置元素的和。
\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \]- 矩阵的数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，矩阵A乘以标量k表示将矩阵A的每个元素乘以k。
《矩阵的概念》课件
生物学：用于描 述生物系统的状 态和变化
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数 矩阵的秩等于其行向量组的秩 矩阵的秩等于其列向量组的秩 矩阵的秩等于其非零特征值的个数
矩阵的迹：矩 阵对角线元素
的和
迹的性质：矩 阵的迹是实数
迹的应用：在 矩阵分解、特 征值计算等方 面有广泛应用
迹的求法：通 过矩阵对角线 元素的和计算
正定矩阵：所有特征值均为正数的 矩阵
正定矩阵的性质：正定矩阵的转置 矩阵也是正定矩阵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
负定矩阵：所有特征值均为负数的 矩阵
负定矩阵的性质：负定矩阵的转置 矩阵也是负定矩阵
定义：主对角线 以外的元素都为 0的矩阵
性质：对角矩阵 的秩等于其非零 元素的个数
应用：在求解线 性方程组、特征 值和特征向量等 问题中有广泛应 用
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I， 其中I为单位矩阵
QR分解：将矩阵分解为正交 矩阵Q和上三角矩阵R
上三角矩阵R：主对角线以 上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程 组、最小二乘法、特征值分解
等
概念：矩阵的奇异 值分解是将矩阵分 解为三个矩阵的乘 积，这三个矩阵分 别是左奇异矩阵、 对角矩阵和右奇异 矩阵
矩阵：由m行n列元素组成的矩形阵列 行：矩阵中水平方向的元素集合 列：矩阵中垂直方向的元素集合 元素：矩阵中的每个数称为元素，通常用aij表示第i行第j列的元素
定义：两个矩阵对应元素相加，得到新的矩阵 加法规则：两个矩阵必须具有相同的行数和列数 加法运算：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵 应用：在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
定义：将矩阵 划分为若干个 子矩阵，每个 子矩阵称为一
高等代数课件PPT之第4章矩阵
简记
aE.
0 0 a
例如
2 0 0 0 0 2 0 0 2E 0 0 2 0 0 0 0 2
amn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作
C AB
aij
bij
.
mn
注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.
矩阵减法
设A
aij
,
mn
a11
A
aij
mn
a21
a12 a1n
a22
a2n
称为A的负矩阵.
am1
am2
amn
0 0 0
O
0mn
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
14
13.
解法2
3 10
1 4 2 2 1 0 17
ABT
BT AT
7
2
0
0
3
14
13
1 3 1 1 2 3 10
5.几类特殊矩阵(方阵) (1)对角矩阵
对角阵 单位阵、零阵 数量阵 上（下）三角阵 对称矩阵与反对称矩阵
定义 主对角线以外元素均为零的n级方阵称为对角
矩阵.
k 1
bs2
bsn
c记21作Ca=2A1bB1.1 a22b21 a2s bs1
工科数学--矩阵的概念.ppt
1 2 1
A1 A* A
1 2
0 1
2 2
2 1
B b1b2b3 0时, B可逆,
b1
B b2
b3
2019-12-2
1
b1
B 1
1 b2
1
b3
谢谢你的观看
记作
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
简记为 A aij mn
a1n a2n
amn
例
17 7 11 21
A 15 9 13 19
18 8 14 19
记号 A 2019-12-2
mn
实矩谢阵谢你的观看 复矩阵
2019-12-2
谢谢你的观看
15
(四)方阵的行列式
定义:
由n阶方阵Ann的元素所构成的行列式, 称为方阵Ann的行列式.
记作: A 或 detA
运算规律: Ann , Bnn , 是数
1 AT A;
2 A n A;
A B. 2019-12-2 3 AB
谢谢你的观看
b3
18
解:
3 2 1 A 1 1 1
1 0 1
3 21 A 1 1 120
1 01
A11
1 11
1 0
1 1
1
A12
1 12
1 1
1 0
1
A13
1 13
1 1
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
矩阵ppt课件
15
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2 两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的 矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为 A+B，即
A B ( a ij) m n ( b ij) m n ( a ij b ij) m n
☞ 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这
a12 a22
a13 a23
x1 x2 x3
x1 b11
x2
b21
x3 b31
b12 b22 b32
z1 z2
即Y=AX和X=BZ
精品ppt
31
解：以上两式可以写成：
y1 y2
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x1 x2 x3
x1 b11
111213212223111221223132即yax和xbz则yabz1112111213212221222331321111122113311111212221332221112221233112112222223322yabababxabababxyabababxabababx32例2933事实上34含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列则axb111112212235定义7把矩阵a的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫作a的转置矩阵记作a例如的转置矩阵为矩阵转置的运算规律abababba36只证明性质4记abccij是由矩阵的乘法规则有因此所以ijjkkiijkijkjkkiijijdcinjbaab的第j列为37ab因为ab所以38对称矩阵设a为n阶方阵如果a那么a称为对称矩阵对称矩阵
2 5
1 4,B1 2
1 4
3 7.
矩阵的概念ppt-沪教版PPT优选课件
x 2y 5 7y 7
x2y 5, y 1.
x 3,
y
1.
13
2 1
85
10
2 7
57
10
2 1
51
10
0 1
31
方程组 的解
12
如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？
1. 第1步，把二元一次方程组的系数和常数 写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
2020/10/18
18
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
的形式，则方程组的解就是
x
y
a, b.
10
0 1
ab
2020/10/18
13
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
2020/10/18
14
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
21
5
0
170
21
①÷5
0 1
20 21
1 0 34
21
0
1
20 21
答 ： 每3头 4金牛 ，值 每2只 0金羊 。值
21
21
2020/10/18
16
用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组：
2xy20
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§4.1 矩阵的概念
11112211211222221122n n n n s s sn n s a a x x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1. 线性方程组的解取决于
()1,,,1,,,ij a i s j n ==⋯⋯系数()
1,2,,i b i s =⋯常数项一、矩阵概念的引入
1112112122221
2
n n s s sn s a a a b a a b a a a a b ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表
二、矩阵的概念
11
121212221
2
n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎞
⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⋯⋯⋮⋮⋮⋯
().ij s n A a ×=简记为数 称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.
定义
由数域 上
个数排成的 行 列的数表s n ×s n P 称为数域 上一个
矩阵,s n ×P
注意：矩阵与行列式有本质的区别
行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值.
而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
三、矩阵的相等
1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,,列数相等时列数相等时,
,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛93
483147365
21与为同型矩阵.
(),(),ij m n ij k l A a B b ××==2.设矩阵 若(1) A 与B 是同型矩阵;
,1,,,1,,ij ij a b i m j n ===⋯⋯(2)则称矩阵A 与B 相等，记作 A ＝B ．
称为矩阵A的行列式
(2)只有一行的矩阵
(),
,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).
,
21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜
⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).。