时间序列分析基于-R习题集答案解析

第一章习题答案略第二章习题答案2.1（1）非平稳（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118（2）平稳序列（3）白噪声序列2.4，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。

显著性水平=0.05不能视为纯随机序列。

2.5（1）时序图与样本自相关图如下（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机第三章习题答案3.1 ()0t E x =,21() 1.9610.7t Var x ==-,220.70.49ρ==,220φ= 3.2 1715φ=,2115φ=3.3 ()0t E x =,10.15() 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15)t Var x +==--+++10.80.7010.15ρ==+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-=1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ=3.4 10c -<<, 1121,1,2k k k c c k ρρρρ--⎧=⎪-⎨⎪=+≥⎩3.5 证明:该序列的特征方程为：32--c 0c λλλ+=，解该特征方程得三个特征根：11λ=，2λ=3λ=无论c 取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。

证毕。

3.6 (1)错 （2）错 （3）对 （4）错 （5）3.7 该模型有两种可能的表达式：112t t t x εε-=-和12t t t x εε-=-。

3.8 将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为()2323223310.82010.510.8(10.50.50.5)t ttB CB x BB CB B B B εε-+-=-=-+++++展开等号右边的多项式，整理为22334423243410.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++--⨯-⨯-+++合并同类项，原模型等价表达为233020[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞+=-=+-+-+∑当30.50.40C -+=时，该模型为(2)MA 模型，解出0.275C =。

3.9 ()0t E x =,22()10.70.4 1.65t Var x =++=10.70.70.40.591.65ρ--⨯==-，20.40.241.65ρ==，0,3k k ρ=≥3.10 （1）证明：因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞=+=∞，所以该序列为非平稳序列。

（2）11(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-，该序列均值、方差为常数，()0t E y =,22()1(1)t Var y C εσ⎡⎤=+-⎣⎦自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关121,0,21(1)k C k C ρρ-==≥+-所以该差分序列为平稳序列。

3.11 （1）非平稳，（2）平稳，（3）可逆，（4）不可逆，（5）平稳可逆，（6）不平稳不可逆3.12 01G =，11010.60.30.3G G φθ=-=-=，1111110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===⨯≥所以该模型可以等价表示为：100.30.6kt t t k k x εε∞--==+⨯∑3.13 0123121110.25φμφφ===---+3.14 证明：已知112φ=，114θ=，根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得：01G =，2110110.50.25G G φθφ=-=-=，1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥01ρ=52232111112245011111142422(1)1111211170.27126111j jj j j j j j j G GG φφφφφφφφρφφφφφ∞∞++==∞∞+==++--+======-+++-∑∑∑∑ ()1111112220,2jj kjj k jj k j j j k k jjjj j j G GG GG Gk GGGφρφφρ∞∞∞++-+-===-∞∞∞=======≥∑∑∑∑∑∑3.15 （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立3.16 （1）95%置信区间为（3.83,16.15）（2）更新数据后95%置信区间为（3.91,16.18）3.17 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)(3) 5年预测结果如下：3.18 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)(3) 5年预测结果如下：3.19 （1）平稳非白噪声序列 （2）MA(1)(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）3.20 （1）平稳非白噪声序列 （2）ARMA(1,3)序列（3）拟合及5年期预测图如下：第四章习题答案 4.1 3T x -的系数为116， 1T x -的系数为5164.2 解下面的方程组，得到0.4α=5.255(1)5.26 5.5(1)t tχααααχ=+-⎧⎨=+-⎩ 4.3 （1）11.04 （2）11.79277 （3）0.40.240.16b a -=-=4.4 根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1)α-有（2）式成立2323(1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)t t x t t t t x t t t αααααααααααααα=+--+--+--+-=-+--+--+（1）-（2）得22(1)(1)(1)(1)1t t x t x t t αααααααααα=-----=------=-则1lim lim 1tt t t x t t αα→∞→∞-⎛⎫- ⎪== ⎪⎪⎝⎭。

4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.7 本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：t t t t x T S I =++。

（注：如果用乘法模型也可以）首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566 1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179消除季节影响，得序列t t t y x S x =-，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：97.70 1.79268t T t =-+，1,2,3,t =（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率） 得到残差序列t t t t t I x S x y T =-=-，残差序列基本无显著趋势和周期残留。

预测1971年奶牛的月度产量序列为()mod 12ˆ,109,110,,120t t t x T S x t =+=得到771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为趋势拟合图为4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar ）或曲线指数平滑（expo ）进行预测（trend=3）。

具体预测值略。

第五章习题5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 -1=+t t t x x ε,估计下一天的收盘价为289 5.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。

拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：5.3 12(1,1,0)(1,1,0)ARIMA ⨯5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性。

最终拟合的模型为-12-1=7.472+=-0.5595+=11.9719+0.4127t ttt t tt t tt x vv h e h v εεε⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 5.5(1)非平稳（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为ln ~((1,3),1,0)x ARIMA（3）预测结果如下：5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。

第六章习题6.1 单位根检验原理略。

例2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳例2.2 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳 例2.3 原序列带漂移项平稳 例2.4 原序列不带漂移项平稳例2.5 原序列带漂移项平稳(=0.06)α，或者显著的趋势平稳。

6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR （2）疏系数模型。

（3）两者之间具有协整关系（4）23.55210.775549t t =+谷物产量降雨量6.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。

但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。

即-2{-}t t y x β为平稳序列。

（2）被掠食者拟合乘积模型：5(0,1,0)(1,1,0)ARIMA ⨯,模型口径为:551=1+0.92874t tx Bε∇∇ 拟合掠食者的序列为： -2-1=2.9619+0.283994+-0.47988t t t t y x εε 未来一周的被掠食者预测序列为：Forecasts for variable xObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526 50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167 51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651 52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579 53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355 54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.720855 80.3352 133.4800 -181.2807 341.951156 55.5269 143.5955 -225.9151 336.969057 73.8673 153.0439 -226.0932 373.827958 75.2471 161.9420 -242.1534 392.647559 70.0053 189.8525 -302.0987 442.109460 120.4639 214.1559 -299.2739 540.201761 184.8801 235.9693 -277.6112 647.371462 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606掠食者预测值为：Forecasts for variable yObs Forecast Std Error 95% Confidence Limits49 32.7697 14.7279 3.9036 61.635850 40.1790 16.3381 8.1570 72.201151 42.3346 21.8052 -0.4028 85.072152 58.2993 25.9832 7.3732 109.225453 78.9707 29.5421 21.0692 136.872254 106.5963 32.7090 42.4879 170.704755 66.4836 35.5936 -3.2787 136.245856 41.9681 38.6392 -33.7634 117.699657 46.7548 41.4617 -34.5085 128.018258 39.7201 44.1038 -46.7218 126.161959 44.9342 46.5964 -46.3930 136.261460 45.3286 48.9622 -50.6356 141.292861 43.8411 56.4739 -66.8456 154.527962 58.1725 63.0975 -65.4964 181.84136.4 （1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。