1.2数轴_相反数与绝对值

数轴
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。

直线也不一定是水平的。

第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点0,叫做原点，用
这点表示数0;（相当于温度计上的0C。

）
第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。

相反的方向就是负方向；（相当于温度计0C以上为正，0C以下为负。

）
第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1, 0与1之间的长就是单位长度。

（相当于温度计上1 C占1小格的长度。

）
在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示-，-，£，…。

例1判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里?
-3 -2-10 1 2 3
⑵
-10 12 3
U)
分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4 ）单位长度不一致。

例2 :把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:
(1) 2，-1，0，-3舟，+3.5
3
⑵一5，0，+5，15, 20;
（3）—1500,—500，0，500，1000。

例3 :借助数轴回答下列问题
（1）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来;
（2）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。

通过数轴，我们可以得到：正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。

例4:比较一3，0，2的大小。

分析一：先在数轴上分别找到表示一3、0、2的点，由“右边的数总比左边的数大”得
到一3< 0< 2;
分析二：直接由“正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数”的规律得出一3
例5 :把下列各组数用“<”号连接起来.
理解:
几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

说明：“互为相反数”的含义是
相反数，是成对出现的，因而不能说“ 相反数”。

“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。

这是因为 也不是负数，它到原点的距离就是
2. 例题；
例1 :判断下列说法是否正确：
(1) —10， 2，— 14;
(2)
—100， 0, 0.01 ;
(3) 3售，—4.75，3.75。

说明：按题意用“<” 与“>”混用，如第（ 号连接，解题中不能用 1）小题不能写成“一 “〉”号连接，否则与题意不符，更不能把“<”
10< 2>— 14” 或者写成“ 2>— 14<— 10” 的
形式。

例6:将有理数
3，0，l5，—4按从小到大顺序排列，用“<”号连接起来。

解：正数l5 < 3，由正、负数大小比较法则，得一
4< 0< 1舟< 3。

6 6
例7 :比较下列各数的大小： 一1. 3，0. 3，— 3，— 5
-5
-3
-1.3
0.3
解：将这些数分别在数轴上表示出来：
所以 一5<— 3<— 1.3< 0.3
-e -5 -4 -3 -2 -1 0' 1 2 3 4 5 6
右边的数总比左边的数大。

然后用 < ”号连接，这种方 比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数， 根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置， 法比较直观，但画图表示数较麻烦。

另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较 大小规律，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，则比较更方便 些。

相反数
1.发现、总结相反数的定义:
象这样只有符号不同的两个数称互为 相反数(opposite number) 。

代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

—6是
0既不是正数，
0，这是相反数等于它本身的唯一的数。

①一5是5的相反数；（）
③5与一5互为相反数；（）
⑤正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

②5是一5的相反数;
④一5是相反数；
3. 绝对值的非负性:
例2: (1 )分别写出5、一 7、一 31、+11.2的相反数;
(2)指出一2.4是什么数的相反数。

我们通常把在一个数前面添上“一”号，表示这个数的相反数。

例如一
(—4)=4,- (+5.5)= — 5.5，同样，在一个数前面添上“ + ”号，表示这个数本身。

例如
+(— 4)= — 4,
+(+12)=12 。

例3 :化简下列各数:
(1) — (+10) ；
(2)+( — 0. 15); (3)+(+3) ; (4) — (— 20)。

小结:
1 .只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0的
相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；
2 .相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数，单独一个数不 能被称
为相反数，相反数是成对出现的；
3 .正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“ 一”的功能是 对一
个数的符号予以改变。

绝对值
1.发现、总结绝对值的定义：
我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值(absolute value )。

记作|a|。

例如，在数轴上表示数一 6与表示数6的点与原点的距离都是 6,所以一6和6的绝对 值都是 6，记作 |— 6|=|6|=6。

同样可知 |— 4|=4, |+1.7|=1. 7。

2.试一试：你能从中发现什么规律 ？由绝对值的意义，我们可以知道: (1)|+2|=
,|+8. 2|=—; (2)|0|=— ;(3)| — 3|=—, |—0.2|=—, -8. 2|=_。

概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的 绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数 (负数)的绝对值又有什么特点？由学生分类
讨论，归纳出数 a 的绝对值的一般规律：
一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0;
一个负数的绝对值是它的相反数。

a > 0,则 |a|=a ;
②若 av 0,则 |a|=-a ;
1. 2. 3. 即：①若 ③若 a=0，则 |a|=0;
或写成：|a |=(0
(a >0)
(a =0)。

由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或 绝对值具有非负性，即|a|> 0。

4. 例题;
小结:
1 .对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何 方面
看，一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，它具有非 负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相 反数，0的绝对值是0。

2 .求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。

0（通常也称非负数）,
例1 :求下列各数的绝对值: ，1，—4.75, 10
.5。

解:
例2: _71 2 1
=72 ;
化简：⑴
计算：（1）
1
+i0 =而
1
1
; ―4. 75|=4.75; |10.5|=10. 5。

）；（2）1 £ 。

解：⑴
⑵-1
|0. 32|+|0.3|; (2) |Y. 21-4.21;
分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,
在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。

然后由绝对值的性质得到。

解答：（1） 0.62;
(2) 0;。