1.2数轴_相反数与绝对值
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数轴
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。
第一步:画一条直线(通常是水平的直线),在这条直线上任取一点0,叫做原点,用
这点表示数0;(相当于温度计上的0C。)
第二步:规定这条直线的一个方向为正方向(一般取从左到右的方向,用箭头表示出来)。相反的方向就是负方向;(相当于温度计0C以上为正,0C以下为负。)
第三步:适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右面取一点表示1, 0与1之间的长就是单位长度。(相当于温度计上1 C占1小格的长度。)
在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示1,2,3,…,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-,-,£,…。
例1判断下图中所画的数轴是否正确?如不正确,指出错在哪里?
-3 -2-10 1 2 3
⑵
-10 12 3
U)
分析:原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。
解答:都不正确,(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4 )单位长度不一致。
例2 :把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:
(1) 2,-1,0,-3舟,+3.5
3
⑵一5,0,+5,15, 20;
(3)—1500,—500,0,500,1000。
例3 :借助数轴回答下列问题
(1)有没有最小的正整数?有没有最大的正整数?如果有,把它指出来;
(2)有没有最小的负整数?有没有最大的负整数?如果有,把它标出来。
通过数轴,我们可以得到:正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
例4:比较一3,0,2的大小。
分析一:先在数轴上分别找到表示一3、0、2的点,由“右边的数总比左边的数大”得
到一3< 0< 2;
分析二:直接由“正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数”的规律得出一3
例5 :把下列各组数用“<”号连接起来.
理解:
几何定义:在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。
0的相反数是0。
说明:“互为相反数”的含义是
相反数,是成对出现的,因而不能说“ 相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为 也不是负数,它到原点的距离就是
2. 例题;
例1 :判断下列说法是否正确:
(1) —10, 2,— 14;
(2)
—100, 0, 0.01 ;
(3) 3售,—4.75,3.75。
说明:按题意用“<” 与“>”混用,如第( 号连接,解题中不能用 1)小题不能写成“一 “〉”号连接,否则与题意不符,更不能把“<”
10< 2>— 14” 或者写成“ 2>— 14<— 10” 的
形式。
例6:将有理数
3,0,l5,—4按从小到大顺序排列,用“<”号连接起来。
解:正数l5 < 3,由正、负数大小比较法则,得一
4< 0< 1舟< 3。
6 6
例7 :比较下列各数的大小: 一1. 3,0. 3,— 3,— 5
-5
-3
-1.3
0.3
解:将这些数分别在数轴上表示出来:
所以 一5<— 3<— 1.3< 0.3
-e -5 -4 -3 -2 -1 0' 1 2 3 4 5 6
右边的数总比左边的数大。 然后用 < ”号连接,这种方 比较有理数大小法则是:在数轴上表示的两个数, 根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置, 法比较直观,但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较 大小规律,即正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,则比较更方便 些。
相反数
1.发现、总结相反数的定义:
象这样只有符号不同的两个数称互为 相反数(opposite number) 。
代数定义:只有符号不同的两个数互为相反数。
0的相反数是0。
—6是
0既不是正数,
0,这是相反数等于它本身的唯一的数。
①一5是5的相反数;()
③5与一5互为相反数;()
⑤正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。②5是一5的相反数;
④一5是相反数;
3. 绝对值的非负性:
例2: (1 )分别写出5、一 7、一 31、+11.2的相反数;
(2)指出一2.4是什么数的相反数。
我们通常把在一个数前面添上“一”号,表示这个数的相反数。例如一
(—4)=4,- (+5.5)= — 5.5,同样,在一个数前面添上“ + ”号,表示这个数本身。例如
+(— 4)= — 4,
+(+12)=12 。
例3 :化简下列各数:
(1) — (+10) ;
(2)+( — 0. 15); (3)+(+3) ; (4) — (— 20)。
小结:
1 .只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数, 0的
相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点;
2 .相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数,单独一个数不 能被称
为相反数,相反数是成对出现的;
3 .正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“ 一”的功能是 对一
个数的符号予以改变。
绝对值
1.发现、总结绝对值的定义:
我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值(absolute value )。记作|a|。 例如,在数轴上表示数一 6与表示数6的点与原点的距离都是 6,所以一6和6的绝对 值都是 6,记作 |— 6|=|6|=6。同样可知 |— 4|=4, |+1.7|=1. 7。
2.试一试:你能从中发现什么规律 ?由绝对值的意义,我们可以知道: (1)|+2|=
,|+8. 2|=—; (2)|0|=— ;(3)| — 3|=—, |—0.2|=—, -8. 2|=_。
概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的 绝对值有什么特点?在原点左边的点表示的数 (负数)的绝对值又有什么特点?由学生分类
讨论,归纳出数 a 的绝对值的一般规律:
一个正数的绝对值是它本身; 0的绝对值是0;
一个负数的绝对值是它的相反数。
a > 0,则 |a|=a ;
②若 av 0,则 |a|=-a ;
1. 2. 3. 即:①若 ③若 a=0,则 |a|=0;
或写成:|a |=(0
(a >0)
(a =0)。