静电场之均匀带电线段的电场

( x L) / y [( x L) / y]2 1 ( x L) / y [( x L) / y ] 1
C k ln1 C C
如果取无穷远处为电势零点，则C = 0。 保持y不变，当x趋于无穷大时也可得出同一结果。 当C = 0时，可得 U k ln
U k ln L2 y 2 L L2 y 2 L
①当x = 0时，可得 中垂线上的电势
当y→0时，电势U→∞。
由于λ = Q/2L，所以 如果L→0
kQ ln( L2 y 2 L)-ln( L2 y 2 -L) U 2 L
根据罗必塔法则可得
kQ L/ L2 y 2 1 L/ L2 y 2 -1 kQ U [ ] 2 2 2 2 2 y L y L L y L
带电距离带电线段越 近，电势就越高。
三维等势线分布 在电势曲面上。
电场线 是从带 电线段 发出的 曲线。
等势线是闭合曲线，距离越远， 等势线就越圆，电势也越低。
场强的 dE dE cos k cos d dE dE sin k sin d x y y y 分量为 k k (cos 1 cos 2 ) 积分得 Ex (sin 2 sin 1 ) E y y y y Ey E 利用三角函数很容易计算合场强 α P Ex k 2k 2 1 2 2
L x l dl L d( x l )
均匀带电线段的电势是坐标的函数。 电势关于原点的分布是对称的。
均匀带电线段的电场
U k ln x L ( x L) 2 y 2 x L ( x L) 2 y 2 C
保持x不变，当y趋于 无穷大时，可得
2
U k ln
这是点电荷的场强公式。
[讨论] Ex k [
1 ( x L) y
2 2

1 ( x L) y
2 2
]
k xL xL Ey [ ] 2 2 2 2 y ( x L) y ( x L) y
②当y→0时，可得 E k ( x 如果x > L，则
E Ex E y
1 O 场强的方向角的正切为 -L Ey cos 2 cos 1 1 tan tan 2 1 即 2 Ex sin 1 sin 2 2 2
y
2 2cos(2 1 )
y
sin
2θ
θ2 L
x
用角度表示的场强公式十分简单，但不便于计算。 根据角度与坐标的关系，场强的分量可用坐标表示
2 2
C

}
2 2 2 2 (1 x / L ) ( y / L ) 1 x / L L ( 1 a / L 1) 当线段趋于无 U k ln{ } 2 2 2 限长时可得 ( L x)[ 1 y /( L x) 1] 1 (a / L) 1
Ex k [ 1 ( x L)2 y 2 1 ( x L)2 y 2 ]
Ey
k xL xL [ ] 2 2 2 2 y ( x L) y ( x L) y
可见：均匀带电线段的电场强度是坐标的函数。
[讨论] Ex k [
1
2 2
( x L) y ( x L) y k xL xL Ey [ ] 2 2 2 2 y ( x L) y ( x L) y
合场强的方向角随极角的增加而增加， 当方向角达到180°时就向-180°跃变。
(2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律 是什么？电场线和等势线是如何分布的？ [解析](2)电荷元dq在P点产生的电势为 k dl kd q dU r -L ( x l )2 y 2
L
y
r O
P
dl 根据电势叠加原 U k k 2 2 2 2 理，P点的电势为 (x l) y L ( x l ) y L 根据积分公式 可得 2 2 x L ( x L ) y du [ ln(u u 2 a 2 ) C ] U k ln C 2 2 2 2 u a x L ( x L) y 其中，C是积分常数，由零势点的坐标决定。
2 2
C
0 k ln
L2 a 2 L L a L
2 2
如果取(0,a)点为零势点，将x = 0， y = a和U = 0代入上式得 因 此
U k ln{ ( L x) 2 y 2 L x ( L x) y ( L x)
2 2
L2 a 2 L L a L
2 a2 / 2L a2 x k ln{ 2 } k ln{ 2 (1 )} y / 2( L x) 2 y L 即 U 2k ln a ln a 这就是无限长带电 y 2π 0 y 直线的电势公式。
[讨论] U k ln
x L ( x L) 2 y 2 x L ( x L) 2 y 2
x / L 1 ( x / L 1)2 ( y / L) 2 x / L 1 ( x / L 1)2 ( y / L) 2
当线段延伸到无穷远处，即L→∞，就会有U→∞的结果。
说明：对于无限长的带电直线来 说，不能取无限远处为电势零点。
U k ln
x L ( x L) 2 y 2 x L ( x L) y
均匀带电线段的电场
电量均匀分布在长2L的线段上，单位长度上的电荷密度为λ。 (1)求任一点的电场强度，电场强度分布曲面的规律是什么？ (2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律是什么？电场线和 等势线是如何分布的？ y dEy dE [解析](1)如图所示，建立坐标系。 θ P dEx 如果λ > 0，则可确定电场强度的方 r 向在第一象限沿着x轴和y轴的正向。 θ1 O θ θ2 如果λ < 0，则电场强度的方向相反。 x L -L d l l 在线段的l处取线元dl，电荷元 2 2 r ( x l ) y 为dq = λdl，到P点的距离为 由于x – l = ycotθ，这里，x和y是场点的 坐标，l和θ变量，可得dl = ydθ/sin2θ。 又因为r = y/sinθ，所 dE k d 以场强的大小为 y 由于场强的方向 随θ角变化，所以 不能直接由上式 积分求合场强。
1 1 2k L Ex k ( ) 2 xL xL x L2
1 1 ) | xL| | xL|
如果x < -L，则
E x k [ 1 1 2k L ] 2 2 ( x L ) ( x L ) x L
根据二项式定理可证Ey→0。
可知：合场强沿x轴正向。 当x→L时，场强Ex→∞。
这是点电荷的电势和场强公式。
[讨论] U k ln
x L ( x L) 2 y 2 x L ( x L) 2 y 2
②当y→0时，可得 如果x > L，则
xL U k ln xL
x L | x L | U k ln x L | x L |
2 2

1
]
①当x = 0时，可得中垂线上的场强 2k L Ex 0 E y 由于λ = Q/2L，所以 2 2
y L y
Ey
kQ
如果L→∞，则得
2k Ey y 2π 0 y
y L2 y 2
这是无限长带电 直线的场强公式。
如果L→0，可得 kQ Ey 2 y
同理可得0。 合场强沿x轴负向。
当x→-L时，场强Ex→-∞。 如果|x| < L，可证场强Ey→∞。
场强的x分量在线段两个端点附近较大，其 他部分较小，左右两端场强的方向相反。
场强的y分量在线段附近较大，其他部分 比较小，前后两侧的场强方向相反。
合场强呈“高墙”状，距离带电线段较近 的地方电场强度特别大，然后陡然减小。
当x→L时，电势U→∞。 如果0 < x < L，则U→∞。 可知：当场点趋于线段时，电势都趋于无穷大。 U 根据电势梯度可直 E U Ey x y x 接计算场强的分量 电场线的 方程为
dy Ey ( x L)r2 ( x L)r1 求电场线的代 数解比较麻烦。 dx Ex y(r1 r2 )