静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

r Q S2 P2 E S1 P1 E r
R O
球面所有电荷到 球心的距离都是 R，球面的电势 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 就是所有电荷在 部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。 球心产生的电势。
取一条从P2开始的电场线作为积分路径，则P2的电势为
R
球面内任何一点的电势都与表面的 电势相同，球内空腔是一个等势体。
R O
在球的外表面， 场强大小为
kQ E0 2 R
可见：球面内外 的场强发生跃变。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
Q kQ E 2 (r > R) E = 0 (r < R) 2 4π 0 r r 取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始 的电场线作为积分路径，则P1的电势为 kQ kQ kQ U E ds Edr 2 dr r r r r r r r 当r = R时，球壳 U kQ (r > R) 0 R 外表面的电势为
r
Q S2 P2 E
S1 P1 E r
高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理ΦE = Q/ε0， 可得场 E Q kQ (r > R) 强大小 4π 0 r 2 r 2 当Q > 0时，场强的方向沿着径向向外； 当Q < 0时，场强的方向沿着径向向内。
对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯 面内Q = 0，根据高斯定理得E = 0 (r < R) 可见：在均匀带电球面内，场强为零；在 均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部 集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。
U E ds Edr Edr
Qr3/R3，
r

R

高斯面内的电量为q = ρVr = QVr/VR =
根据高斯定理得方程ΦE = E4πr2 = q/ε0，
球体内 E Qr kQr (r < R) 3 3 4 π R R 场强为 0 球心处的场强为零，球内场强与半径成正比。 均匀带电球体不 在r = R处，E kQ E 场强在球面上的 是等势体，球心 0 2 R 场强有 变化是连续的。 处的电势最高。
Q
S1
R O
P1 E r
在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方 向一致，通过该面积元的电通量为dΦE = E· dS。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
dΦE = E· dS。 通过高斯面的电通量为
E 蜒 E dS
S

S
EdS E Ñ S dS =
E4πr2
{范例9ຫໍສະໝຸດ Baidu6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ [解析](1)如图所示，不论球面还是球体，由 于电荷分布具有球对称性，所激发的电场 也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。 r 设Q > 0，不论场点在球内还是 在球外，由于对称的缘故，电场 线都沿着球心到场点的连线。 对于球外的点P1，以O为球心，过 P1点作一个半径r的高斯球面S1。
kQ 2 2 kQ (R r ) 3 2R R kQ 2 2 U (3 R r ) 3 2R
r
R
球面内部的场强为零，球面外 部场强随距离的增加而减小。
在球面的内外表面， 电场强度不连续。
均匀带电球面内外的电势是连续 的，球面内电势是一个常量，球 面外电势随距离的增加而减小。
球体内场强与距离成正比，球体 外的电场强度与球面外电场强度 的变化规律是相同的；在球的内 外表面，电场强度是连续的。
如图所示，A、B、C三点代表三个区域。 3Q 均匀带电球壳的 Q 3 V 4π(R3 R0 ) 电荷体密度为
B rB
O R0 A
rA
R
在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为 ρ和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0， 电荷体密度分别为ρ和-ρ的均匀带电体球产生的。 2 2 A点在两个球体之内，正 (3R 2 r 2 ) U (3R0 r ) U A , A 6 0 负电荷球产生的电势为 6 0
kQ kQ U E ds E ds E ds 0 Edr 2 dr U 0 (r < R) r R r r R R R
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。 球体的全部体积为VR=4πR3/3， 电荷的体密度为ρ = Q/VR， 高斯面内的体积为Vr = 4πr3/3， 在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。 取一条从P2开始的电场线作 为积分路径，则P2的电势为
均匀带电球体中心的电势最高， 球体内的电势随距离的增加而加 速减小，球体外电势与球面外电 势的变化规律是相同的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和 R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的 球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ 根据高斯定理可先求 电场强度，再求电势。 反过来，利用均匀带电球体的电 势先求球壳的电势，再求电场。 均匀带电球体的电量与 Q V 4 πR 3 电荷体密度的关系为 3 3 R 球体外部的电势用 U kQ 4 πR3 k (r > R) 电荷密度表示为
r 3 r
3 0 r
球体内部的电势用电荷密度表示为 kQ 2 (3R 2 r 2 ) 2 2 2 2 U 3 (3R r ) πk (3R r ) 6 0 2R 3 其中ε0 = 1/4πk，称为真空介电常数。
(r < R)
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场 rC 3 2 2 R C (3R r ) U (r < R) (r > R) U 6 0 3 0 r