静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。 球体的全部体积为VR=4πR3/3， 电荷的体密度为ρ = Q/VR， 高斯面内的体积为Vr = 4πr3/3， 在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。 取一条从P2开始的电场线作 为积分路径，则P2的电势为
kQ
球面内部的场强为零，球面外 部场强随距离的增加而减小。
在球面的内外表面， 电场强度不连续。
均匀带电球面内外的电势是连续 的，球面内电势是一个常量，球 面外电势随距离的增加而减小。
球体内场强与距离成正比，球体 外的电场强度与球面外电场强度 的变化规律是相同的；在球的内 外表面，电场强度是连续的。
R
U
E ds Edr Edr
r r R
高斯面内的电量为q = ρVr = QVr/VR = Qr3/R3， k Q

根据高斯定理得方程ΦE = E4πr2 = q/ε0，
Qr kQ r
2R
3
(R r )
2 2
kQ R
2 2 球体内 E U (3 R r ) 3 (r < R) 3 3 2R 4 π 0 R R 场强为 球心处的场强为零，球内场强与半径成正比。 均匀带电球体不 在r = R处，E k Q E 场强在球面上的 是等势体，球心 0 2 R 场强有 变化是连续的。 处的电势最高。
B rB
O R0 A
rA
R
在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为 ρ和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0， 电荷体密度分别为ρ和-ρ的均匀带电体球产生的。 A点在两个球体之内，正 负电荷球产生的电势为
U
A

(3 R r )
2 2
6 0
2
,
U
2
A

(3 R 0 r )
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ [解析](1)如图所示，不论球面还是球体，由 于电荷分布具有球对称性，所激发的电场 也是球对称的，用高斯定理求解比较简单。 r 设Q > 0，不论场点在球内还是 在球外，由于对称的缘故，电场 线都沿着球心到场点的连线。 对于球外的点P1，以O为球心，过 P1点作一个半径r的高斯球面S1。
6 0
2
R0 3 0r
(3 R
2 2
3
R
B点的 电势为
U

B
B

r
2
)
2 R0 r
3
)
kQ 2( R R0 )
3 3
(3 R
r
2
2 R0 r
3
(R0 ≤ r ≤ R) 这正好是空 腔中的电势。
3
当r = R0时，B 点的电势为
U
B

3kQ 2( R R0 )
3 3
E4πr2
S1 P1 E r
高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理ΦE = Q/ε0，
可得场 强大小
E Q 4 π 0r
2

kQ r
2
(r > R) 在球的外表面， 场强大小为
E0 kQ R
2
当Q > 0时，场强的方向沿着径向向外； 当Q < 0时，场强的方向沿着径向向内。
对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯 面内Q = 0，根据高斯定理得E = 0 (r < R) 可见：在均匀带电球面内，场强为零；在 均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部 集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。
E ds Edr
r r r
kQ r
2
dr
kQ r


kQ r
当r = R时，球壳 外表面的电势为
球面所有电荷到 (r > R) U0 球心的距离都是 R R，球面的电势 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 就是所有电荷在 部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。 球心产生的电势。
均匀带电球体中心的电势最高， 球体内的电势随距离的增加而加 速减小，球体外电势与球面外电 势的变化规律是相同的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和 R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的 球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ 根据高斯定理可先求 电场强度，再求电势。 均匀带电球体的电量与 电荷体密度的关系为 球体外部的电势用 U 电荷密度表示为
U C
B rB
O R0 A
rA
R
3
3 0r,U C R Nhomakorabea 3 0r
3
R
C点的 U C U C U C 电势为 C点的场强大小为
EC

( R R0 )
3 3
3 0 r

kQ r
(R ≤ r)
dU C dr

kQ r
2
可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U
A


3kQ ( R R0 ) 2(R
2
R R0 R0 )
2
3
EA = 0 (r ≤ R0)
2
C
rC
U
kQ 2( R R0 )
3
B
(3 R (r
2
r
3
2 R0 r
3
)
B rB
O R0 A
rA
EB
kQ ( R R0 )
2 2
6 0
3kQ ( R R0 )
2
A点的 U U U 电势为 空腔内的电势为常量。
A A A
( R R0 )
2
2 0

3kQ ( R
3
2
R0 )
3
2( R R0 )
A

2(R
R R0 R0 )
2
A点的场强大小为
EA
dU dr
0.
(r ≤ R0)
3 3
R0 r
2
)
(R0 ≤ r ≤ R) (R ≤ r) [讨论]
R
UC
kQ r
EC
kQ r
2
①当R0 = 0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。
3kQ A点(球心) UA (r = 0) 当r = 0时，UB = UA，EB = EA = 0。 的电势为 2R kQ B点的 U k Q (3 R 2 r 2 ) B点的场强 E B 3 r (0 ≤ r ≤ R) B 3 R 2R 大小为 电势为
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U
R
3
3 0r
(r > R)
U
(3 R r )
2 2
6 0
(r < R)
C
rC
B点在正电荷球体之内，负电荷球体 之外，正负电荷球产生的电势为
U
B
B rB
O R0 A
rA

(3 R r )
2 2
6 0
U
B
,
U
U
B


2 2
6 0
(r < R)
其中ε0 = 1/4πk，称为真空介电常数。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U
R
3
3 0r
(r > R)
U
(3 R r )
2 2
6 0
(r < R)
C
rC
如图所示，A、B、C三点代表三个区域。 3Q 均匀带电球壳的 Q 3 3 V 4 π (R R 0 ) 电荷体密度为
②当R0→R时，球 壳就变成球面。
A点的 电势为
U
A

kQ R
B点的电势UB→UA。
不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5。 在球壳的内 空腔内的场强为零，球壳内的 外表面，电 场强随距离增加而增强，球壳 场强度是连 外的场强随距离的增加而减小。 续的。
空腔内的电势是常数，球壳中的电 势随距离的增加而加速减小，球壳 外电势随距离的增加而减速减小。
( R R0 )
2
B点的场强大小为
EB
dU dr
B

kQ ( R R0 )
3
(r
R0 r
2
3
).
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U
R
3
3 0r
(r > R)
U
(3 R r )
2 2
6 0
(r < R)
C
rC
C点在正负电荷球体之外， 正负电荷球产生的电势为

反过来，利用均匀带电球体的电 势先求球壳的电势，再求电场。
Q V
4 3 πR
3
4 3
k r
πR
3
kQ r

R
3
3 0r
(r > R)
球体内部的电势用电荷密度表示为
U kQ 2R
3
(3 R r )
2 2