2011年数学建模-重金属污染模型(特等奖作品)

兰州理工大学数学建模面朝大海2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：兰州理工大学参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2011 年 9 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

本文根据大气中重金属污染物的传播特征，将高斯扩散模型应用于土壤重金属污染问题，建立数学模型并进行求解。

问题一中，利用题目所提供的重金属元素样本值，借助matlab软件，形象地绘制出了城市地形图以及八种重金属在该城市五个功能区的二维等高线分布图。

对所收集的土壤样品分别采用单因子污染指数法与内梅罗（N.L.Nemerow）综合污染指数法对该城市分区进行污染程度评价。

问题二中，通过对所给数据的分析，利用主成分分析法，推断出了重金属污染的主要原因。

问题三中，通过数据分析，发现了金属污染物的传播特征，由此建立重金属高斯扩散模型。

利用数形结合的方法最终确定了污染源的位置。

问题四中，通过对建模过程中考虑因素的全面性以及所忽略因素的得当性分析，评估了所建模型的优缺点，确定了更好地研究城市地质环境的演变模式所需要搜集的信息，并给出了更合理建立数学模型的方法。

关键词：重金属污染主成分分析法单因子指数法内梅罗综合污染指数法高斯模型污染源一. 问题的提出随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

通过对城市城区土壤地质环境进行调查，采集土壤样本，需要给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度；通过数据分析，说明重金属污染的主要原因；分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置；最后还需分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，提出还应收集的信息，以及有了这些信息，如何建立模型解决问题。

二．问题的分析由题意可知，问题主要要求建立重金属扩散模型，从而研究城市地质环境的演变模式。

问题一，要求给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

拟利用差值拟合法绘制出各种重金属污染物的二维等高线分布图。

对所收集的土壤样品采用内梅罗（N L Nem-erow）污染指数法对该城区进行污染程度评价。

问题二，要求通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

通过对所给数据提取，可利用主成分分析法推断出重金属污染的主要原因。

问题三，要求分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

可通过大量数据分析拟合找到金属污染物的传播特征。

参考重金属扩散的文献，将高斯扩散模型应用于土壤重金属污染问题，并利用数形结合的方法确定污染源的位置。

问题四，要求分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集的信息以及有了这些信息，如何建立模型解决问题。

建模过程中考虑因素的全面程度以及忽略因素的得当程度已经决定了所建模型的优缺点，通过对实际问题的思考和阅读相关资料，可以确定需要进一步搜集的信息，从而更加准确地建立数学模型和解决问题。

三.建模过程1．问题一的求解1.1模型假设a. 污染物浓度不随时间变化，只与采样点的空间位置有关；b. 建模过程不考虑气候，季节因素的影响。

1.2模型建立1.2.1 8种主要重金属元素在该城区的空间分布（画图程序见附录2）图1 城市立体三维图图2 元素As二维等高线分布图图3 元素Cd二维等高线分布图图4 元素Cr二维等高线分布图图5 元素Cu二维等高线分布图图6 元素Hg二维等高线分布图图7 元素Ni二维等高线分布图图8 元素Pb二维等高线分布图图9元素Zn二维等高线分布图1.2.2 分析该城区内不同区域重金属的污染程度对所收集的土壤样品分别采用单因子指数法和内梅罗（N.L.Nem-erow ）污染指数法[1,2]对土壤重金属污染现状进行评价。

单因子指数法：iii S C =P , （1） 其中式（1）中：i P 为污染指数；i C 为重金属元素在该区的平均浓度；iS 为该区土壤的第i 种金属元素的背景值；i 为重金属元素的种类。

综合污染指数法：()2max 1221i n i i N P P nP +⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=,（2）其中（2）中N 为功能区的编号，i 为重金属的种类，i P 为功能区N 中第i 个元素的污染金属元素种类的总数，i P 为功能区N 的综合污染指数。

2. 问题二的求解由所给的数据求出每个区域的各种金属的平均值，采用主成分分析法[4]并利用spss 软件]5[对其进行综合评价分析。

2.1 模型的建立2.1.1 对原数据进行标准化处理假设进行主成分分析的指标变量为(8)n n =种重金属元素：12,,nx x x ，评价对象可以分为(5)m m =个区域，第i 个评价对象的第j 个指标的取值为ij x。

将各个指标ijx 转换成标准化指标ij x ，ij jij jx x x s -=， (1,2,,)i m = （3）其中()()21111,,1,2,,1n nj ij j ij j i i x x s x x j n n n ====-=-∑∑，,j jx s 分别为第j 个指标的样本均值和样本标准差。

而称ij jij jx x x s -=， (1,2,,)i m =为标准化指标变量。

2.1.2 相关系数矩阵R 的计算 相关系数矩阵()ij n nR r ⨯=,()1,,1,2,,1nkikjk ij xx r i j n n ===-∑ （4）1,,ii ij ji ij r r r r i j ==式中是第个指标与第个指标的相关系数。

2.1.3计算特征值和特征向量计算相关系数矩阵R 的特征值120n λλλ≥≥≥≥，及对应的特征向量()1212,,,,,,Tn j j j nm u u u u u u u =，其中,由特征向量组成m 个新的指标变量12111211122122221212n n n n n mm m nm y u x u x u x y u x u x u x y u x u x u x⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩, （5）式中1y 是第一主成分，2y是第二主成分，，my 是第m 个主成分。

2.1.4 选择()p p m ≤个主成分，计算综合评价值 a 、计算特征值()1,2,,j j m λ=的信息贡献率和累积贡献率。

称()1,1,2,,jj mkk b j m λλ===∑ （6）为主成分jy 的信息贡献率；称11pkk p mkk λαλ===∑∑, （7）为主成分12,,,py y y 的累积贡献率，当pα接近于1（0.85,0.90,0.95p α=）时，则选择前p 个指标变量12,,,py y y 作为p 个主成分，代替原来m 个指标变量，从而可对p 个主成分进行综合分析。

b 、计算综合得分：1pj jj Z b y ==∑,（8） 其中jb 为第j 个主成分的信息贡献率，根据综合得分就可进行评价。

2.2 模型的求解经过对土壤单点样重金属元素含量的数据标准化处理后，利用matlab 软件进行主成分分析，可得出如下结果；再利用SPSS统计软件可得到前几个因子的累积贡献率和初始特征值，如表6所示：由表6可见，前三个主成分分别累计提取了总方差的95.172%，表明所提取的主成分能够较好地代表源数据所蕴涵的信息。

将表6的前三个主成分的主要元素因子和土壤中的重金属元素的载荷矩阵反映在表7中：中的载荷仅次于前三种。

研究证实Pb和Cd在来源上关系较密切，并且Pb主要来源于汽车尾气排放而汽车轮胎磨损可以释放Cd，再加上Cu可以来源于汽油和车体的磨损，从而可以推断出因子1可能主要代表汽车交通运输活动的影响。

其次Hg污染不仅与燃煤污染有关，在很大的程度上还与汽车尾气的排放有关；As和S一样AsO为主，也可以是由汽车燃料燃烧所释放的，进一步的加大了推在空气中以2断的可能性。

由表格可以看出，第一主成分解释的原变量方差最多（60.355%），而其后的主成分所解释的方差逐渐在减少，因此可以认为第一主成分是污染的主要来源，鉴于此，可认为主干道路区上的尾气排放和轮胎磨损是重金属Cd、Cu、Pb、Hg和As污染的主要原因。

表7体现了Cr和Zn在主成分2中具有较高的载荷。

有学者研究表明，厂矿企业的三废排放中含有大量的Zn和Cr，因此可以断定因子2为工业活动的影响。

因此我们可以认为工业区的工业废气排放是重金属Zn和Cr的主要原因。

表7也体现了Ni单独在主成分3中具有较高的载荷，且与其他元素关系不密切。

由资料显示，废水中含有较多的Ni，因此也可以认为生活区的生活废水、污水是重金属Ni的主要原因。

综合以上所述，可知Ni使生活区的污染变严重，Cr和Zn使工业区的污染变严重，Cd、Cu、Pb、Hg和As使主干道路区的污染变严重。

与第一问的结果一致，验证了两个模型的准确性。

3．问题三的求解3.1分析重金属污染物的传播特征土壤中的重金属污染物与其它的污染物具有不一样的物理化学性质，因此也具有不一样的环境效应。

其它的污染物一般能够被土壤中的微生物降解和分解，因而可以自己降低在土壤中的含量，但是土壤中的重金属污染物则不被微生物降解，因而如果不采取相应的治理措施，可长期滞留在土壤中（汞除外，因为汞具有挥发性，土壤经太阳照射后温度会升高，可使少量的汞逸出土壤进入大气中）。