空气交换数学建模

To
Ti
Tmin
h V0
F0
A1 A2
㎡ ㎡ ㎡ L/h L/h 生理学数据约 30 L / h 生理学数据约 20 L / h
Vm
∗ Vm
-3-
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Vp Vq
VL
随机开门时冷风侵入量 窗缝隙冷风侵入量 每米长门窗缝隙每小时渗入室内的冷空气 量 室外计算风速度 窗口截面的风速度 排风口截面处的风速度 排风口中心相对窗口中心的铅直高度 门或窗的缝隙长度(缝隙周长) 冷风侵入量修正系数 室内居住人数 一天开窗次数 标准空气含 CO2 量 敏感不适空气中超标时 CO2 量 晚上 20：00 时刻室内 CO2 量 关闭窗户时间量 开窗时间量 门、窗冷空气侵入热量 空气定压比热 相对收缩截面处风速的摩擦阻力系数 流动系数 开口处的阻力系数 开口处的收缩系数
3. 符号定义
表 1 变量定义 Tab.1 definition of variables
变量
含义 室外温度 室内温度 国家标准的人感觉不舒服最低起始温度 房间高 房屋体积 房间面积 窗户的面积 排风口的面积 白天人呼吸释放的 CO2 量 晚上人呼吸释放的 CO2 量
单位 ℃ ℃ ℃ m m
3
备注 不作热力学温度表示 不作热力学温度表示 不作热力学温度表示 题目已设定
（6）
（1） F0 = 20m 模型的求解
2
当 F0 = 20m 时，白天取 Vm = 30 L / h ，室外计算温度为 T0 = −17 C ，室内采暖平均
2
o
温度为 Ti = 18 C ，估算取 V p =60 m / h 。
o 3
1、由式（6）求出室内外的空气密度， ρ o = 1.38kg / m , ρ i = 1.21kg / m
Ψ1, 2
ζ 1, 2 = C12, 2 (1 + ζ kai ) − 1
Ψ1, 2 = 1 + ζ 1, 2
锐利开口取 0.6； 光滑开口取 1
ζ kai
C1, 2
4. 模型的建立与求解过程
4.1 问题 1 的模型建立
门窗缝隙的冷风渗入量，根据行业标准来取得。
Vq = ∑ n j ⋅VL j ⋅ L j
2
600
1200
2050
450
500
500
500
图2
1200
门结构及尺寸 Fig.2 door structure and its size
图 1 窗户及其机构尺寸 Fig.1 window size and its institutions
p1
p2
物理模型
图3 房屋物理模型 Fig.3 housing physical model
3、把η 0 = 0.032 o o ,η1 = 0.07 o o 代入式（5）中求得 t1 =1.01h，CO2 浓度变化曲线如图 4 所示（横坐标为时间，单位为小时；纵坐标为室内 CO2 浓度（V/V），单位为%）。
图 4. CO2 浓度变化曲线(1) Fig.4 CO2 concentration curve (One)
m3 / h
m3 /h M3/（m·h） m/s m/s m/s m m 行业规范标准 人 次 ％（V/V） ％（V/V） ％（V/V） h s W kJ/(kg·℃) 0.032% 0.07% 题目已设定 1.5m 行业规范标准
vo
v1 v2
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H
L n N
N η0
η1
ητ
t1 t2
Qq cp
ζ 1, 2
（4）
当t = t1时，η = η1；
则：
t1 =
ρ ρ + ρo − (V p + Vq ) o η1 + (Vq + V p ) i η 0 + 10 −3Vm N ρi ρi
1.293 1.293 , ρi = T0 T 1+ 1+ i 273 273
V0η 0
（5）
式子中
ρo =
2.白天情况下各模型的求解
∫
η −η 0
0
dη 表示 CO2 量浓度的增量。
η=
或者
[10 −3Vm N + (V p + Vq )η 0 ]t + V0η0 V0 + (Vq + V p )
V0 (η − η 0 )
ρo t ρi
（3）
t=
ρ − (V p + Vq )( o η − η 0 ) + 10 −3 Vm N ρi
由图 4 可知，即使我们不开窗户，没有考虑晚上呼吸作用产生 CO2 少，在一天之内室 内 CO2 浓度都不会超过 0.10%，不会有生命危险。 （2） F0 = 40m 模型的求解
2
当 F0 = 40m 时， 增加一个窗户， 则 Vq =1.0×3.2×4× （1.2+0.5） ×3+1.0×6.4×2× （1.2+2.05）
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2. 问题分析
北方冬季寒冷， 室内外温差大。 为了保暖， 各家各户门窗紧闭， 减少了开窗换气的时间， 这样空气不流通， 严重影响人的身体健康， 属于室内污染。 室内污染来源主要包括建筑材料、 日用消费品和化学品的作用和个人活动。正常情况下，通过人体呼出气、汗液、大小便等排 出的CO2、氨类化合物、硫化氢等内源性化学污染物，呼出气中排出的苯、甲苯、苯乙烯、 甲醇、二硫化碳等外源性污染物；通过咳嗽、打喷嚏等喷出的流感病毒、结核杆菌、链球菌 等生物污染物构成室内的主要污染源之一。[3]室内污染经常是多种有害物质的综合，常常以 一种污染物作为评价空气质量的指标，或根据多种指标综合成“指数”来判断空气污染水平。 成人在安静状态时， 每小时呼出CO2 约20L； 室内CO2 主要来自人的呼吸和燃料的燃烧。 劳动时CO2 的呼出量为安静时的1.5～2 倍。[4]随着室内CO2 量的增高，身体其他部分也不 断排出污染物，如汗的分解产物及其挥发的不良气味等。室内CO2 的蓄积逐渐增高的同时， 氧的含量就相对降低。当CO2含量达0.07%时[4]，有少数敏感人就有不适的感觉；当含量达 0.1%时，空气中其他性状开始恶化，人们普遍有不舒适的感觉。因此CO2 在一定程度上可 作为室内空气污染的一个指标。居室空气中CO2 含量应在0.07%以下，最高不超过0.1%。虽 然有冷风侵入，能够实现一定的换气次数，但是人呼吸释放的CO2比较高，在房间体积没有 足够大时，不能满足换气要求，因此，决定人为开窗在于室内CO2浓度过高，所以我们设定 的开窗计算标准为：当室内CO2浓度达到0.07%时，开启窗户。 开启窗户之后，在热压作用下，空气开始对流，冷风侵入。此时为自然通风换气，室内 的温度也会因此而降低。所以设定的关窗计算标准为：当室内温度降低到16℃以下时（国家 标准），并且计算开窗后的CO2浓度是否下降到标准以下，若达不到要求，继续开窗通风， 直到CO2浓度低于0.07%。 当房屋足够大时，通过门缝、窗缝的冷风渗入量足以使房间的 CO2 浓度在标准以下， 整个冬季就可以不开窗。
摘 要： 北方冬季寒冷， 室内外温差大。 为保证室内空气质量和保暖需要， 需要定期开窗户。 本文以辽宁阜新地区气象统计数据为例， 用数学模型解决室内外空气换气问题， 在探讨特定 人数下， 不同面积的住房所需要的开窗次数和开窗换气时间。 解决问题的依据在于保证室内 温度和空气中 CO2 浓度达到国家规定的室内空气质量标准的要求。在解决温度上的问题， 利用静压方程和热平衡方程；CO2 浓度的变化，结合生理数据和冷风侵入等因素建立数学模 型，利用 MATLAB 软件绘出白天、晚上的开窗前后的室内 CO2 浓度随时间的变化曲线。这 样可以直观的得出考虑 CO2 浓度的情况下说需要的开窗次数及开窗时间。最后结合温度变 化与 CO2 浓度变化，确定最终需要的开窗次数及开窗时间。 关键词：室内空气换气；自然通风；冷风侵入；数学建模 中图分类号：TU
Vm ⋅ Ndt + ∫ (Vq + V p )η0 dt + [V0 − ( ∫ Vq dt + ∫ V p dt )
0 0 0
η −η ρo ]η = V0 (η + ∫ dη ) 0 ρi
0
（2） 生理学上，正常情况下每人每小时呼吸产生 CO2 量一定。式子中第一项是人呼吸产生 的 CO2 量；第二项是门窗缝隙换气以及随机开门气体换气所含有的 CO2 量第三项是由于部 分换气更新后房间里面的空气含 CO2 量。门窗缝隙，随机开门所换气体根据流体连续性方 程，进入房间的空气和流出房间的空气质量相等，上式第三项进行了转换。右边的式子表示 在某时刻房间中含有的 CO2 量，
0. 引言
北方冬季寒冷，室内外温差大。室内温度在 180 以上人们才感到舒适。为了保暖，各家 各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，使得室内的空气不流通导致室内空气质量差，从而 使人们易患呼吸道感染性疾病。“经常开窗换气，保持室内空气新鲜”，在北方已得到了人们 的重视，那么，在房间面积一定的条件下，已知室内外温度，每天应开窗换气几次，每次应 换气多长时间，假设房间高度 2.7m，家庭人口 3 人，试针对如下情况建立数学模型解决这 一问题。 1．分别对居住面积 20，40，60，80 m2 的情况进行分析； 2．如果冬季不开窗，需至少有多大居住面积； 3．讨论室内空气质量还有哪些问题必须考虑。 这里存在这样的问题： 1．门、窗缝隙冷空气渗入量的计算问题； 2．人呼吸产生 CO2 导致室内 CO2 浓度变化，由此决定开窗问题； 3．开窗后冷空气侵入，自然通风换气的流量计算，从而确定开窗时间问题； 4．根据确定的开关窗户时间确定每天开窗换气次数问题； 5．根据门、窗缝隙冷空气渗入量及房间空间大小，使房间空气能够自行达到质量标准 的所需要的居住面积的最小值问题。
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气象条件[2]： 室外平均温度为 T。=-17℃； 室外风速为：v。=2.3m/s； 主导风向北； 室内供暖温度 Ti=18℃。 ②开窗时，通风换气流动按一维定常流动计算。 ③屋内供暖系统在关闭门窗时候理论上能够维持室内温度保持在 18℃，而且不考虑日照作 用。 ④每多 20 m 的住房我们就多一个假设的窗户。
2
=106.88 m / h 把 η 0 = 0.032 o o ,η1 = 0.07 o o 代入式（5）中求得 t1 =4.19h，CO2 浓度变化曲线如图 5 所示。
3
图 5. CO2 浓度变化曲线(2) Fig.4 CO2 concentration curve (Two)
3
3
2、 根据式 （1） 求出门、 窗缝冷空气隙渗入量。 取 n=1， 窗户 V L =3.2 m3（ / m·h） ， 门 V L =6.4m3/ （m·h），
Vq =1.0×2×3.2×4×（0.5+1.2）+1.0×6.4×2×（1.2+2.05）=85.12 m 3 / h
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1. 模型假设
①房屋在辽宁阜新，朝南，窗户及门等结构尺寸如图 1 所示，结构如图 2 示， 护围结构参数[1]： 外墙：一砖半厚内面抹灰砖墙，K=1.56W/（㎡·℃）； 外窗：单层铝合金玻璃窗，尺寸为（宽×高）=1.5m×1.8m，K=6.40 W/（㎡·℃）； 外门：单层木门，尺寸为（宽×高）=1.8m×2.5，K=4.65 W/（㎡·℃）； 地面：不保温地面。
j
[5]
(1)
式中，n 属于风向修正系数，按手册选取（n=1.0）。关于门窗缝隙的长度，随着房屋面 积的增加，门窗的数目在某些情况下会相应的增加，缝隙长度也随之增大。这里面模型的建 立，我们根据建筑行业的习惯，我们每增加一个房间我们就多设一个窗户，保守的算，每增 加 20 平米的房屋我们多设一个房间，多一个如图 1 的窗户，这样缝隙长度随之增加。
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4.2 问题 2 模型的建立及求解
1.白天情况下模型建立 白天，人释放的 CO2 使室内 CO2 浓度提高，再考虑门窗缝隙的冷风渗入带入 CO2 的量， 当室内 CO2 浓度达到国家标准限值时，关闭窗户，建立如下模型：
t t t t
∫ 10
0
−3
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冬季北方室内空气交换问题的数学建模
林紫雄 1，于良健 2，蒲天一 3
1 南京航空航天大学机电学院，南京 (210000) 2 中油管道天燃气管道德州压缩技术分公司，德州 (253000) 3 中国煤炭科学研究院太原分院，太原 (030000)
E-mail: purple_paradise@126.com