最小树问题-课件·PPT
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网络规划3-最小树问题
§6.3 最小树问题
第三节 最小树问题
一、最小树问题
1、什么是树？ 无圈连通图。 2、什么是最小树？ 权重之和最小的树。 3、最小树问题： 例6.3.1：电话线架设问题 某地7个村镇之间的现有交通道路如下图6.3-1所示, 边旁数字为各村镇之间道路的长度。现要沿交通道路架设 电话线，使各村之间均能通话。应如何架线使总长最短?
单位：海里
2 8
3 13 10
4 9 7 18
5 16 12 11 9
6 20 15 6 17 19
1 2 3 4 5
§6.3 最小树问题
二、最小树的求解方法
1、破圈法：1）适用于网络图已存在的问题；2）基本思 路；对网络图中每一个圈都破掉其最长边，直至网络图中 不存在圈为止。3）例:以例6.3-1为例，步骤如下图6.3-2
§6.3 最小树问题
6
1
4
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2 9 7
1
2
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5
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4
5
例6.3.2：
3
图6.3-1
6
某公司拟铺设海上油管,要求将海上六口油井连通，仅
1号油井与海岸相连，距离为5海里。已知，海上六口油井
Hale Waihona Puke §6.3 最小树问题间的距离如下表6.3-1。试问，应如何铺设油管使铺设油 管的总长最短？ 表6.3-1
到 从
§6.3 最小树问题
表6.3-2
从
1 2 3 4 5
单位：海里
2 3 4 5 6
到
8
13 10
9 7 18
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20 15 6 17 19
3
海岸
第三节 最小树问题
一、最小树问题
1、什么是树？ 无圈连通图。 2、什么是最小树？ 权重之和最小的树。 3、最小树问题： 例6.3.1：电话线架设问题 某地7个村镇之间的现有交通道路如下图6.3-1所示, 边旁数字为各村镇之间道路的长度。现要沿交通道路架设 电话线，使各村之间均能通话。应如何架线使总长最短?
单位：海里
2 8
3 13 10
4 9 7 18
5 16 12 11 9
6 20 15 6 17 19
1 2 3 4 5
§6.3 最小树问题
二、最小树的求解方法
1、破圈法：1）适用于网络图已存在的问题；2）基本思 路；对网络图中每一个圈都破掉其最长边，直至网络图中 不存在圈为止。3）例:以例6.3-1为例，步骤如下图6.3-2
§6.3 最小树问题
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例6.3.2：
3
图6.3-1
6
某公司拟铺设海上油管,要求将海上六口油井连通，仅
1号油井与海岸相连，距离为5海里。已知，海上六口油井
Hale Waihona Puke §6.3 最小树问题间的距离如下表6.3-1。试问，应如何铺设油管使铺设油 管的总长最短？ 表6.3-1
到 从
§6.3 最小树问题
表6.3-2
从
1 2 3 4 5
单位：海里
2 3 4 5 6
到
8
13 10
9 7 18
16 12 11 9
20 15 6 17 19
3
海岸
教学课件：第五章-最小树问题
最小树问题的实际应用
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
10.2_最小树问题
+50+60 = 290（米）
所以，排污管道最小建设
3
30
成本 = 290×500 = 145000 元 60
1
4
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5
30 30
7 处理中心A
50
30 20
6
8
12
OR:SM
本章小结
树是图论中应用比较活跃的领域，在各个学科中都有广 泛的应用。
例如在一些地区之间架设电话线路或铺设铁路线，修公 路等施工方案的确定，都可以采用最小树的方法求得最 佳施工方案。
60
100
70
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2栋
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8栋
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0
表中空格表示由于特殊原因无法铺设管道。
10
OR:SM
三、最小树问题应用案例
树图：无圈的连通图称为树。
4
OR:SM
二、树及性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两个悬挂点。
性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一个树的 充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。
最小树与最小树形图(数学建模)讲解
最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。
具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。
具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。
具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
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v3 5
4
6
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v1 1
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4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
《小树问题》课件
算法实现
if not s
if self.isSameTree(s, t)
return False
算法实现
return True
return
self.isSubtree(s.left,
t)
or
self.isSubtree(s.right, t)
def isSameTree(self, s: TreeNode, t: TreeNode) -> bool
return False ```
算法的复杂度分析
时间复杂度
O(n)，其中 n 是二叉树的节点数 。由于每个节点只被访问一次， 所以时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度
O(n)，需要使用并查集来记录每 个节点的连通分量信息。
04
小树问题的应用
在计算机科学中的应用
01
02
03
算法设计与分析
小树问题可以作为算法设 计和分析的案例，用于讲 解分治策略、动态规划等 算法思想。
详细描述
为了解决小树问题，我们需要建立一个数学模型。这个模型需要将小树的高度和影子的长度与太阳的 高度角联系起来。通过几何学和三角函数的知识，我们可以建立如下数学模型：tan(太阳高度角) = 小树的高度 / 影子的长度。
数学模型的解析
总结词
解释数学模型的应用和限制
详细描述
通过解析这个数学模型，我们可以求解太阳的高度角。需要注意的是，这个模型的应用 有一定的限制，例如在无遮挡物的开阔地使用效果最佳。此外，由于测量误差和环境因 素的影响，模型的精度也会受到一定的影响。因此，在实际应用中，我们需要对测量数
对未来研究的建议
可以进一步探索小树问题的变种 ，以增加问题的复杂性和趣味性
运筹学-13图论概念及最小树
第一节 图的基本概念与模型
起点与终点相重合的链，称做圈。 起点与终点相重合的路，称做回路。 若在一个图中，每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图。 否则，称该图不是连通的。
第一节 图的基本概念与模型
• 一个简单图中任意两点之间有边相连，称这样的图为完全图。
• 其边数有
Cn2
1 2
nn
树，称为该图的最小部分树（也称最小支撑树） (minimum spanning tree) • 定理1：图中任一点i，若 j是相邻点中距离最近的，则 边[i,j]一定必含在该图的最小树内。
• 推论：把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两个集
合之间连线的最短的边一定包含在最小部分树内。
2-3 避圈法求最小部分树
图G1={V1,E1}和G2={V2,E2}，如果有V1 V2 和E1 E2 ，称 G1是G2的一个子图。 若有V1= V2 ， E1 E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
第一节 图的基本概念与模型
• 要对研究的问题确定具体对象及这些对象间的性质联系，并 用图形式表示出来，这就是对研究的问题建立图的模型，用
例：e1为环 如果两个点之间的边多于一条，则 称为具有多重边；（平行边） 例：e4和e5为多重边。 对无环，无多重边的图称为简单图；
有平行边，不是简单图
有环边，不是简单图
简单图
第一节 图的基本概念与模型
与某一个点vi相关联的边的数目称为点 的次，（也叫度或线数）记为d(vi)。 例： d(v1) = 4 d(v3) = 5 d(v5) = 1
树图。
• 说明1：树图上只要任意再加上一条边，必定 会出现圈；
• 说明2：由于树图是无圈的连通图，即树图上 任意两点之间有一条且仅有一条惟一通路。是 最脆弱的连通图。
组合图论图论及其算法课件
4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
f ji}，调整增广路P中
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
最小树问题
6
v3
v3
破圈法
• 任取一圈，从该圈中去 掉任一条边 • 对余下的圈重复相同的 v1 步骤 • 直到将图中所有的圈都 破掉为止
v4
2 1 3 4
v5
v6
v2
v3
避圈法
• 也称为生长法 • 从图中某一点开始 生长边 • 逐步扩展成长为一 v1 棵树 • 每步选取与已入树 的边不构成圈的那 些边
v4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法： 从网络图中 任意节点开始寻 找与该节点关联 的权数最小的边， 使之与已选边不 构成为圈，直到 选够n-1条边为 止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中 任选一点
v3 1 v4 5 v5
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10
12 7 19.5
10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
2 6 v5 +∞
v6
+∞
二、最短路问题的算法
（2）考察 v1: T(v2)=min [T(v2)，P(v1) +d12] ＝min [∞，0＋3] = 3 T(v3)=min [T(v3)，P(v1) +d13] ＝min [∞，0＋5] = 5 所以，P(v2 )= 3 (0)
P(v2 )= 3 +∞ v2（3） ∞ v4 + 9 T(v4)= 9
v3
v3
破圈法
• 任取一圈，从该圈中去 掉任一条边 • 对余下的圈重复相同的 v1 步骤 • 直到将图中所有的圈都 破掉为止
v4
2 1 3 4
v5
v6
v2
v3
避圈法
• 也称为生长法 • 从图中某一点开始 生长边 • 逐步扩展成长为一 v1 棵树 • 每步选取与已入树 的边不构成圈的那 些边
v4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法： 从网络图中 任意节点开始寻 找与该节点关联 的权数最小的边， 使之与已选边不 构成为圈，直到 选够n-1条边为 止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中 任选一点
v3 1 v4 5 v5
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10
12 7 19.5
10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
2 6 v5 +∞
v6
+∞
二、最短路问题的算法
（2）考察 v1: T(v2)=min [T(v2)，P(v1) +d12] ＝min [∞，0＋3] = 3 T(v3)=min [T(v3)，P(v1) +d13] ＝min [∞，0＋5] = 5 所以，P(v2 )= 3 (0)
P(v2 )= 3 +∞ v2（3） ∞ v4 + 9 T(v4)= 9
最小树问题
(2)破圈法：
① 在网络图中寻找 一个圈。若不存在圈， 则已经得到最短树或网 络不存在最短树；
② 去掉该圈中权数 最大的边；
反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1
4
v2
1
v3
1
2 13
1
v8
4
55
4
v4
v0
2
4
5
v7
3
v6
2
v5
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1
按权值从小到大排列，依次选
V1 0 1 1 0 0
V1 V3
V2
V3 V5
V4
1 0011 1 0001 0 10 0 1
V5 0 1 1 1 0
两顶点间有边连接的记为 1 ，无边连接的记为 0。 得到的矩阵一定是对称矩阵。
2、赋权无向图的矩阵表示： 两顶点间有边
连接的记为该边的权数。无边相连的记为 ，
对角线上的数是 0 。得到的矩阵也是对称矩阵。
些边
v2
v5
v6
v3
二、最小生成树及其算法
1．最小生成树
一个网络图可以有多个生成树．记N的所有生成 树的集合为：T＝{ Tk | k＝1，2，…，L }
设Tk ＝（V， Ek ）是网络图N＝（G，w）的一棵生成树， 则边集Ek中所有边的权数之和称为树Tk 的权数，记为
w Tk w e
e Ek
1、根据网路写出边权矩阵，两点间若没有边，则用表示；
2、从 v1 开始标记，在第一行打 ，划去第一列； 3、从所有打 的行中找出尚未划掉的最小元素，对该元素
画圈，划掉该元素所在列，与该列数对应的行打 ；
4、若所有列都划掉，则已找到最小生成树(所有画圈元素所 对应的边)；否则，返回第 3 步。
最小树与最短路问题
w( p )
aij p
w
ij
求一条从vs到vt的最短路径，即求从vs到vt的一条权和 最小的路p0使
w( p0 ) min w( p)
p
称p0为vs到vt的最短路，w(p0)为vs到vt的距离，记d(vs,vt) 注：在有向图中d(vs,vt)与d(vt,vs)不一定相同 3、求最短路的方法 Dijkstra方法 当所有道路长wij0时，有以下结论： 设G=(V,E)，若S为V的真子集，且vsS，记 S V \ S
2、最小生成树模型
一个无圈的连通图称为树。 设图G为具有n顶点的树，则下列6个结论等价 ①、G为无圈的连通图。
②、G为连通的且具有n-1条边。 ③、G为连通的且每条边为一割集。
④、G无圈且具有n-1条边。 ⑤、G任意两个顶点之间恰有一条路。 ⑥、G为最小连通图。
若图T=(V,E')是图G=(V,E)的生成子图，且T是一棵 树，则称T是G的一棵生成树。
若p vs vi v j是G中从vs到S的最短路则有： vi S , v j S , vs到vi的最短路为 vs沿p到vi的路。
1 ）vi S , v j S , 为显然的
2）反证：若不是，设Q为 vs到vi的最短路，则可令p 为vs沿Q到vi，再从vi沿p到 vj的路，则p’ 的权就比p的 权小，这与p为vs 到¯ S的最 短路矛盾.
图的矩阵表示
一个有m条边的n阶无向图G的关联矩阵A = (aij )n×m , 其中 1, 若vi与ej关联;
aij 0, 若vi与ej不关联.
无向图的关联矩阵每列的元素中有且仅有两个1.
1 1 A 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
第四节最小树问题
证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质 续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当 且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明 定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅 当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来， 这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次
第四节 最小树问题
最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法
算法步骤 算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤 算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树 当且仅当对任意边e∈T*有
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性
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