《导数及其应用》文科单元测试题(详细答案)

《导数及其应用》单元测试题（文科）

（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数的导数是（）

(A)(B)(C)

(D)

2．函数的一个单调递增区间是（）

(A) (B) (C) (D)

3．已知对任意实数，有，且时，，则时（）

A．B．

C．D．

4．若函数在内有极小值，则（）

（A）（B）（C）（D）

5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A． B． C． D．

6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

8．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）

A．B．C．D．

9．设在内单调递增，，则是的（）

Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

10．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）（A）y

（B）

（C）

（D）O 1 2 3 4 x

二．填空题（本大题共4小题，共20分）

11．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为

，则＿＿．

13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是

14．已知函数

(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是.

(2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围.

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是.

三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

16．设函数在及时取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

17．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求

(Ⅰ)求点的坐标；

(Ⅱ)求动点的轨迹方程.

18.已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.

19．已知

（1）当时，求函数的单调区间。

（2）当时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？

20．已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

【文科测试解答】

一、选择题

1．;

2．，选(A)

3.(B)数形结合

4.A由,依题意，首先要求b>0, 所以

由单调性分析，有极小值，由得.

5．解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A

6．（D）

7．（D）

8．（C）

9．（B）

10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT

点B处的切线为BQ，T

B

y

A

如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于Q

切线AT的倾斜角

O 1 2 3 4 x

所以选B

11．

12．32

13．

14. (1)

三、解答题

15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

16．解：（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以，

解得或，

因此的取值范围为．

17．解:(1)令解得

当时,, 当时,,当时,

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,

所以, 点A、B的坐标为.

(2) 设，，

，所以，又PQ的中点在上，所以

消去得.

另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q

的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

18．解（1）………………………2分∴曲线在处的切线方程为，即

；……4分

（2）记

令或

1. …………………………………………………………6分

则的变化情况如下表

极大极小

有极大值有极小值

. ………………………10分

由的简图知，当且仅当

即时，

函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

19．（1）或递减;递增; （2）1、当

递增;2、当递增;3、当或

递增; 当递增;当或

递增;（3）因由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：